Chapter 3习题答案 时域离散相似法
1. 教材P71第1题
u
闭环控制系统如图，试求
1
的Φ(T),Φm(T)，并列出求解y(t)的差分方程（在
s(s+2)
¯处断开加虚拟采样开关和零阶信号重构器。 解： 对环节
1
先进行分解，如下图选择状态变量，写出状态空间表达式为：
s(s+2)
⎧⎡00⎤⎡
1⎤&=⎢⎪x⎥x+⎢0⎥e （1） ⎨1−2⎣⎦⎣⎦⎪y=[01]x⎩
其中：
⎡00⎤⎡1⎤A=⎢⎥,B=⎢0⎥,C=[01] −12⎣⎦⎣⎦
求解Φ(T)：
（2）
0⎤⎡ssI−A=⎢⎥ （3）
−1s+2⎣⎦0⎤⎡s
[sI−A]−1=⎢⎥
⎣−1s+2⎦
−1
⎡1⎢s=⎢1⎢⎢⎣s(s+2)⎤
0⎥
1⎥ （4） ⎥s+2⎥⎦
Φ(T)=e
T
AT
=L(sI−A)
T
−1
[
−1
]
10⎤⎡
=⎢1−2T−2T⎥ （5）
−(1e)e⎢⎥⎣2⎦
Φm(T)=∫Φ(T−τ)Bdτ=∫
1T⎡⎤⎡⎤
111T⎢−2(T−τ)⎥dτ=⎢−2T⎥ （6）
−−+ee(1)⎢⎥⎢⎥⎣2⎦⎣244⎦
则在¯处断开加虚拟采样开关和零阶信号重构器后，环节为：
1
的离散状态空间表达式
s(s+2)
⎧10⎤T⎡⎤⎡
11−2T⎥e(k)⎪x(k+1)=⎢1−2T−2T⎥x(k)+⎢T−+e⎥(1e)e− （7） ⎨⎢⎥⎢244⎦⎣2⎣⎦⎪
⎩y(k)=[01]x(k)
而e(k)=u(k)−y(k)=u(k)−x2(k)，故
⎧10⎤T⎡⎤⎡
11−2T⎥(u(k)−x2(k))⎪x(k+1)=⎢1−2T−2T⎥x(k)+⎢T−+e⎥(1e)e− （8） ⎨⎢⎥⎢244⎦⎣2⎣⎦⎪
⎩y(k)=[01]x(k)
即：
⎧1⎡⎪x(k+1)=⎢1−2T
(1e)−⎨⎢2⎣⎪
⎩y(k)=[01]x(k)
即：
T−T⎤⎤⎡
3−2TT1⎥x(k)+⎢T11−2T⎥u(k)e−+⎥−+e⎥ （9） ⎢424⎦⎦⎣244
x1(k+1)=x1(k)−Tx2(k)+Tu(k) （10）
x2(k+1)=
13T1T11
(1−e−2T)x1(k)+(e−2T−+)x2(k)+(−+e−2T)u(k) （11） 2424244
3−2TT1T11−2T⎡⎤
+−−+−−+x(k1)(e)x(k)(e)u(k)（12） 22⎢⎥424244⎣⎦
由（11），得：
x1(k)=
2
1−e−2T
由（12），令k=k+1得：
x1(k+1)=
2
1−e−2T
3−2TT1T11−2T⎡⎤+−−++−−++x(k2)(ex(k1)(e)u(k1)22⎢⎥424244⎣⎦
（13）
（12）和（13）带入（10），有：
Chapter 3习题答案 时域离散相似法 3/6
21−e−2T
3−2TT1T11−2T⎡⎤+−−++−−++x(k2)(e)x(k1)(e)u(k1)22⎢⎥424244⎣⎦2⎡3−2TT1T11−2T⎤=+−−+−−+x(k1)(e)x(k)(e)u(k)22⎥ （14） ⎢1−e−2T⎣424244⎦
−Tx2(k)+Tu(k)
即：
x(k+2)=(3
4e−2T−T2+14xk+1)+(T1122(2−4+4
e−2T)u(k+1)+
x)−(3
4e−2T−T2+14)x)−(T112(k+12(k2−4+4
e−2T)u(k)+ T−Te−2T−
T−Te−2T
2x2(k)+2
u(k)即：
x(k+2)=(3T5
24e−2T−2+4)x2(k+1)−
32T (4e−2T+14+Te−2)x2(k)+ T11−2T(2−4+4e−2T)u(k+1)−(−11−2TTe4+4e+2
u(k)故：输出的差分方程：
y(k+2)=(3T5
4e−2T−2+4)y(k+1)−
(3−2T1Te−2T4e+4+2)y(k)+ T112T(−2T11−2TTe−2−4+4e)u(k+1)−(−4+4e+2
)u(k)2. 教材P72第3题
用增广矩阵法求
Y(s)sU(s)=
s(s+1)
的增广方程，其中u(t)=a(1−e−t
) 解：
对系统，写出一个其状态空间表达式为：
⎧⎪⎨x&=⎡⎢01⎤⎡0⎤⎪0−1⎥x+⎢1⎥u ⎩
y=⎣[10]x⎦⎣⎦即：
（1） （15）
（16） （17）
&=Ax+Bu⎧x
（2） ⎨
⎩y=Cx
取：
x3=a⋅1(t),x4=−ae−t （3）
则
&3=0,x&4=ae−t=−x4 （4） x
所以：
⎧⎨
x&=Ax+Bu⎩y=Cxx&3=0, x
&4=−x4写成矩阵形式：
⎧⎪⎡&1⎤⎡0⎪⎢x
⎢x&⎥⎢100⎤⎥⎡⎢x1⎤2⎥=⎢0−111⎥⎢x⎥2⎪⎪⎢⎪⎢x&⎢0000⎥⎢x⎥3⎥⎨
⎣x
&⎥⎢⎣000−1⎥⎦⎢3⎥⎣x⎥4⎦4⎦⎪
⎡ ⎪⎢x1⎤⎪y=⎪
[1000]⎢x⎥2
⎢x⎥
⎪⎩
⎢3⎥⎣x⎥4⎦上式即增广矩阵方程
3. 增广方程的求法
已知系统的状态方程为x
&=Ax+Bu，试求u(t)=t时系统的增广方程 解：取xn+1=t,xn+2=x
&n+1 则有：
x
&n+1=1x&
n+2=&x&n+1=0
则有：
⎡⎢x&⎤⎡AB0⎤⎡x⎤⎢x&⎥n+1=⎢001⎥⎢xn⎢x⎥⎢⎥⎥+1 ⎣&⎢⎥n+2⎥⎦⎢⎣000⎥⎦⎢⎣xn+2⎥⎦
（5） （6）
4. 增广方程的求法
&=Ax+Bu，试求u(t)=sint时系统的增广方程 已知系统的状态方程为x
解：取xn+1=sint,xn+2=cost 则有：
&n+1=xn+2x
&n+2=−xn+1x
则有：
&⎤⎡AB0⎤⎡x⎤⎡x⎢x&n+1⎥=⎢001⎥⎢xn+1⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢&n+2⎥⎣x⎦⎢⎣0−10⎥⎦⎢⎣xn+2⎥⎦
5. 教材P72第4题
用MATLAB编制程序，实现对下面非线性环节的仿真
i
解：
if ui>=c1 if ui
u0=ui−c1
else
u0=c2 end end
if ui=−c1−c2
u0=ui+c1
else
u0=c2 end end
if ui>−c1&ui
u0=0 end
i
定义： ui,ui分别为上一步的输入和当前的输入, uo,uo分别为上一步的输出和当前的输出。
%上行特性
if ui>ui
if ui
u0=−c end
if ui>=−c1&ui
u0=0 end
if ui>=c2
u0=c end end
%下行特性
if ui
if ui
u0=−c end
if ui>−c2&ui
u0=0 end
if ui>c2
u0=c end end %维持不变
if ui=ui
u0=uo
end
Chapter 3习题答案 时域离散相似法
1. 教材P71第1题
u
闭环控制系统如图，试求
1
的Φ(T),Φm(T)，并列出求解y(t)的差分方程（在
s(s+2)
¯处断开加虚拟采样开关和零阶信号重构器。 解： 对环节
1
先进行分解，如下图选择状态变量，写出状态空间表达式为：
s(s+2)
⎧⎡00⎤⎡
1⎤&=⎢⎪x⎥x+⎢0⎥e （1） ⎨1−2⎣⎦⎣⎦⎪y=[01]x⎩
其中：
⎡00⎤⎡1⎤A=⎢⎥,B=⎢0⎥,C=[01] −12⎣⎦⎣⎦
求解Φ(T)：
（2）
0⎤⎡ssI−A=⎢⎥ （3）
−1s+2⎣⎦0⎤⎡s
[sI−A]−1=⎢⎥
⎣−1s+2⎦
−1
⎡1⎢s=⎢1⎢⎢⎣s(s+2)⎤
0⎥
1⎥ （4） ⎥s+2⎥⎦
Φ(T)=e
T
AT
=L(sI−A)
T
−1
[
−1
]
10⎤⎡
=⎢1−2T−2T⎥ （5）
−(1e)e⎢⎥⎣2⎦
Φm(T)=∫Φ(T−τ)Bdτ=∫
1T⎡⎤⎡⎤
111T⎢−2(T−τ)⎥dτ=⎢−2T⎥ （6）
−−+ee(1)⎢⎥⎢⎥⎣2⎦⎣244⎦
则在¯处断开加虚拟采样开关和零阶信号重构器后，环节为：
1
的离散状态空间表达式
s(s+2)
⎧10⎤T⎡⎤⎡
11−2T⎥e(k)⎪x(k+1)=⎢1−2T−2T⎥x(k)+⎢T−+e⎥(1e)e− （7） ⎨⎢⎥⎢244⎦⎣2⎣⎦⎪
⎩y(k)=[01]x(k)
而e(k)=u(k)−y(k)=u(k)−x2(k)，故
⎧10⎤T⎡⎤⎡
11−2T⎥(u(k)−x2(k))⎪x(k+1)=⎢1−2T−2T⎥x(k)+⎢T−+e⎥(1e)e− （8） ⎨⎢⎥⎢244⎦⎣2⎣⎦⎪
⎩y(k)=[01]x(k)
即：
⎧1⎡⎪x(k+1)=⎢1−2T
(1e)−⎨⎢2⎣⎪
⎩y(k)=[01]x(k)
即：
T−T⎤⎤⎡
3−2TT1⎥x(k)+⎢T11−2T⎥u(k)e−+⎥−+e⎥ （9） ⎢424⎦⎦⎣244
x1(k+1)=x1(k)−Tx2(k)+Tu(k) （10）
x2(k+1)=
13T1T11
(1−e−2T)x1(k)+(e−2T−+)x2(k)+(−+e−2T)u(k) （11） 2424244
3−2TT1T11−2T⎡⎤
+−−+−−+x(k1)(e)x(k)(e)u(k)（12） 22⎢⎥424244⎣⎦
由（11），得：
x1(k)=
2
1−e−2T
由（12），令k=k+1得：
x1(k+1)=
2
1−e−2T
3−2TT1T11−2T⎡⎤+−−++−−++x(k2)(ex(k1)(e)u(k1)22⎢⎥424244⎣⎦
（13）
（12）和（13）带入（10），有：
Chapter 3习题答案 时域离散相似法 3/6
21−e−2T
3−2TT1T11−2T⎡⎤+−−++−−++x(k2)(e)x(k1)(e)u(k1)22⎢⎥424244⎣⎦2⎡3−2TT1T11−2T⎤=+−−+−−+x(k1)(e)x(k)(e)u(k)22⎥ （14） ⎢1−e−2T⎣424244⎦
−Tx2(k)+Tu(k)
即：
x(k+2)=(3
4e−2T−T2+14xk+1)+(T1122(2−4+4
e−2T)u(k+1)+
x)−(3
4e−2T−T2+14)x)−(T112(k+12(k2−4+4
e−2T)u(k)+ T−Te−2T−
T−Te−2T
2x2(k)+2
u(k)即：
x(k+2)=(3T5
24e−2T−2+4)x2(k+1)−
32T (4e−2T+14+Te−2)x2(k)+ T11−2T(2−4+4e−2T)u(k+1)−(−11−2TTe4+4e+2
u(k)故：输出的差分方程：
y(k+2)=(3T5
4e−2T−2+4)y(k+1)−
(3−2T1Te−2T4e+4+2)y(k)+ T112T(−2T11−2TTe−2−4+4e)u(k+1)−(−4+4e+2
)u(k)2. 教材P72第3题
用增广矩阵法求
Y(s)sU(s)=
s(s+1)
的增广方程，其中u(t)=a(1−e−t
) 解：
对系统，写出一个其状态空间表达式为：
⎧⎪⎨x&=⎡⎢01⎤⎡0⎤⎪0−1⎥x+⎢1⎥u ⎩
y=⎣[10]x⎦⎣⎦即：
（1） （15）
（16） （17）
&=Ax+Bu⎧x
（2） ⎨
⎩y=Cx
取：
x3=a⋅1(t),x4=−ae−t （3）
则
&3=0,x&4=ae−t=−x4 （4） x
所以：
⎧⎨
x&=Ax+Bu⎩y=Cxx&3=0, x
&4=−x4写成矩阵形式：
⎧⎪⎡&1⎤⎡0⎪⎢x
⎢x&⎥⎢100⎤⎥⎡⎢x1⎤2⎥=⎢0−111⎥⎢x⎥2⎪⎪⎢⎪⎢x&⎢0000⎥⎢x⎥3⎥⎨
⎣x
&⎥⎢⎣000−1⎥⎦⎢3⎥⎣x⎥4⎦4⎦⎪
⎡ ⎪⎢x1⎤⎪y=⎪
[1000]⎢x⎥2
⎢x⎥
⎪⎩
⎢3⎥⎣x⎥4⎦上式即增广矩阵方程
3. 增广方程的求法
已知系统的状态方程为x
&=Ax+Bu，试求u(t)=t时系统的增广方程 解：取xn+1=t,xn+2=x
&n+1 则有：
x
&n+1=1x&
n+2=&x&n+1=0
则有：
⎡⎢x&⎤⎡AB0⎤⎡x⎤⎢x&⎥n+1=⎢001⎥⎢xn⎢x⎥⎢⎥⎥+1 ⎣&⎢⎥n+2⎥⎦⎢⎣000⎥⎦⎢⎣xn+2⎥⎦
（5） （6）
4. 增广方程的求法
&=Ax+Bu，试求u(t)=sint时系统的增广方程 已知系统的状态方程为x
解：取xn+1=sint,xn+2=cost 则有：
&n+1=xn+2x
&n+2=−xn+1x
则有：
&⎤⎡AB0⎤⎡x⎤⎡x⎢x&n+1⎥=⎢001⎥⎢xn+1⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢&n+2⎥⎣x⎦⎢⎣0−10⎥⎦⎢⎣xn+2⎥⎦
5. 教材P72第4题
用MATLAB编制程序，实现对下面非线性环节的仿真
i
解：
if ui>=c1 if ui
u0=ui−c1
else
u0=c2 end end
if ui=−c1−c2
u0=ui+c1
else
u0=c2 end end
if ui>−c1&ui
u0=0 end
i
定义： ui,ui分别为上一步的输入和当前的输入, uo,uo分别为上一步的输出和当前的输出。
%上行特性
if ui>ui
if ui
u0=−c end
if ui>=−c1&ui
u0=0 end
if ui>=c2
u0=c end end
%下行特性
if ui
if ui
u0=−c end
if ui>−c2&ui
u0=0 end
if ui>c2
u0=c end end %维持不变
if ui=ui
u0=uo
end