6.2 可分离变量与一阶线性微分方程
一．可分离变量的微分方程
微分方程 dy =e x -y dx
不能用直接积分的方法求解，但如果适当变形，写成形式
e y dy =e x dx
此时方程右边只含有x 的函数及微分，左边只含有y 的函数及微分，就是把方程的变量及微分分离在等式两边，两边积分，得
y x e dy =e ⎰⎰dx
e y =e x +C
这就是方程得通解。
一般地，把未知函数y 及其微分dy 放在等式一边，而把变量x 及其微分dx 放到等式的另一边，然后对两边积分，求出通解。这种方法叫做分离变量法。
能分离变量的方程叫做可分离变量的微分方程。它的一般形式为
dy =f (x )g (y ) dx
解法步骤：
（1） 分离变量
dy =f (x )dx g y （2） 两边积分
dy ⎰g y =⎰f (x )dx
（3） 求出积分，得通解。
注意：只需要在通解的右边加上一个任意常数C 即可。
dy 1+y 2
=例1 求微分方程的通解。 dx y 1+x 2解：分离变量，得
ydy dx = 221+y 1+x
两边积分，得
ydy dx =⎰1+y 2⎰1+x 2
即 1l n (1+y 2)=a r c t x a +C n 2
这就是所求微分方程的通解。
例2 求微分方程y '=2xy 的通解。
解：分离变量，得
dy =2xdx y
两边积分，得
dy ⎰y =⎰2xdx
2即 ln y =x +C 1
x y =e 2+C 1
C 1x y =±e e
C 12令±e =C ，则通解为
2x y =C e
练习：P147 1（1）（2）
二．一阶线性微分方程
在一阶微分方程中，如果未知函数及其导数都是一次的，则这样的方程叫做一阶线性微分方程。它的一般形式是
dy +P (x )y =Q (x ) dx
当Q (x )≡0时，上式变成
dy +P (x )y =0 dx
此式叫做一阶线性齐次微分方程。
dy +P (x )y =Q (x )叫做一阶线性非齐次微分方程。 dx
dy +P (x )y =0的解法，该方程实际上是一个可分离先学习一阶线性齐次微分方程dx 当Q (x )≠0，式子
变量的微分方程。 dy =-P (x )dx y
两边积分，得 ln y =-P (x )dx +ln C 1 ⎰
整理，得微分方程的通解为
-P (x )dx y =Ce ⎰
其中C 为任意常数。
现在再来学习一阶线性非齐次微分方程的通解。把方程
改写成
两边积分，得
ln y =dy +P (x )y =Q (x ) dx ⎤dy ⎡Q (x )=⎢-P (x )⎥dx y ⎣y ⎦Q (x )⎰y -⎰P (x )dx
即
由于e y =e ⎰Q (x )dx y ⎰Q (x )dx -P (x )dx y e ⎰ 是x 的函数，设C (x )=e ⎰Q (x )
y dx
，于是上式可写成
-P (x )dx y =C (x )e ⎰
-P (x )dx 该式也就是将齐次方程的通解y =Ce ⎰中的任意常数C 变成待定函数C (x )，为了求
-P (x )dx 出函数C (x )，将设定的y =C (x )e ⎰代入非齐次方程中，由于
所以 -P (x )dx -P (x )dx dy =C '(x )e ⎰-P (x )C (x )e ⎰ dx
-P (x )dx -P (x )dx -P (x )dx C '(x )e ⎰-P (x )C (x )e ⎰+P (x )C (x )e ⎰=Q (x )
即有
C '(x )=Q (x )e ⎰P (x )dx
两边积分，得
所以一阶线性非齐次微分方程的通解为
-P (x )dx ⎡P (x )dx Q (x )e ⎰dx +C ⎤ y =e ⎰⎢⎣⎰⎥⎦
注：（1）由非齐次微分方程的通解可知，非齐次微分方程的通解等于它的一个特解与对应的齐次方程的通解之和。
（2）这种把对应的齐次方程通解中的任意常数C 变换成为待定函数C (x )，从而得到非齐次方程通解的方法，叫做常数变易法。
（3）求一阶线性非齐次微分方程的通解可直接用公式。
1sin x y =的通解 x x
1sin x 解 P (x )=, Q (x )= x x
∴所求微分方程的通解为 例3 求方程y '+
11dx ⎡sin x ⎰dx ⎤⎰x x y =e e dx +C ⎢⎰⎥ x ⎣⎦-
=e -ln x ⎡sin x ln x ⎤ e dx +C ⎰⎢⎥⎣x ⎦
1sin xdx +C x ⎰
1 =(-cos x +C ) x =()
例4 求方程x dy +(2xy -x +1)dx =0满足初始条件y x =1=0的特解。 2
解 把方程化成 dy 2x -1+y = dx x x
2x -1 由于 P (x )=, Q (x )= x x
所以，所求微分方程的通解为 22dx ⎡x -1⎰dx ⎤⎰ y =e x ⎢⎰e x dx +C ⎥ ⎣x ⎦-
=e -2ln x ⎢
=
=⎡x -12ln x ⎤ e dx +C ⎰⎥⎣x ⎦1⎡x -1)dx +C ⎤ 2⎣⎰(⎦x 1⎛12⎫x -x +C ⎪ x 2⎝2⎭
11C -+2 2x x
1，故所求微分方程的特解为 2 = 把初始条件y x =1=0代入通解，得C =
y =111-+2 2x 2x
练习： P147 3（2）
小结：1 可分离变量的微分方程的通解
-P (x )dx 2 一阶线性齐次微分方程的通解y =Ce ⎰
3 一阶线性非齐次微分方程的通解
-P (x )dx ⎡P (x )dx Q (x )e ⎰dx +C ⎤ y =e ⎰⎢⎣⎰⎥⎦
6.2 可分离变量与一阶线性微分方程
一．可分离变量的微分方程
微分方程 dy =e x -y dx
不能用直接积分的方法求解，但如果适当变形，写成形式
e y dy =e x dx
此时方程右边只含有x 的函数及微分，左边只含有y 的函数及微分，就是把方程的变量及微分分离在等式两边，两边积分，得
y x e dy =e ⎰⎰dx
e y =e x +C
这就是方程得通解。
一般地，把未知函数y 及其微分dy 放在等式一边，而把变量x 及其微分dx 放到等式的另一边，然后对两边积分，求出通解。这种方法叫做分离变量法。
能分离变量的方程叫做可分离变量的微分方程。它的一般形式为
dy =f (x )g (y ) dx
解法步骤：
（1） 分离变量
dy =f (x )dx g y （2） 两边积分
dy ⎰g y =⎰f (x )dx
（3） 求出积分，得通解。
注意：只需要在通解的右边加上一个任意常数C 即可。
dy 1+y 2
=例1 求微分方程的通解。 dx y 1+x 2解：分离变量，得
ydy dx = 221+y 1+x
两边积分，得
ydy dx =⎰1+y 2⎰1+x 2
即 1l n (1+y 2)=a r c t x a +C n 2
这就是所求微分方程的通解。
例2 求微分方程y '=2xy 的通解。
解：分离变量，得
dy =2xdx y
两边积分，得
dy ⎰y =⎰2xdx
2即 ln y =x +C 1
x y =e 2+C 1
C 1x y =±e e
C 12令±e =C ，则通解为
2x y =C e
练习：P147 1（1）（2）
二．一阶线性微分方程
在一阶微分方程中，如果未知函数及其导数都是一次的，则这样的方程叫做一阶线性微分方程。它的一般形式是
dy +P (x )y =Q (x ) dx
当Q (x )≡0时，上式变成
dy +P (x )y =0 dx
此式叫做一阶线性齐次微分方程。
dy +P (x )y =Q (x )叫做一阶线性非齐次微分方程。 dx
dy +P (x )y =0的解法，该方程实际上是一个可分离先学习一阶线性齐次微分方程dx 当Q (x )≠0，式子
变量的微分方程。 dy =-P (x )dx y
两边积分，得 ln y =-P (x )dx +ln C 1 ⎰
整理，得微分方程的通解为
-P (x )dx y =Ce ⎰
其中C 为任意常数。
现在再来学习一阶线性非齐次微分方程的通解。把方程
改写成
两边积分，得
ln y =dy +P (x )y =Q (x ) dx ⎤dy ⎡Q (x )=⎢-P (x )⎥dx y ⎣y ⎦Q (x )⎰y -⎰P (x )dx
即
由于e y =e ⎰Q (x )dx y ⎰Q (x )dx -P (x )dx y e ⎰ 是x 的函数，设C (x )=e ⎰Q (x )
y dx
，于是上式可写成
-P (x )dx y =C (x )e ⎰
-P (x )dx 该式也就是将齐次方程的通解y =Ce ⎰中的任意常数C 变成待定函数C (x )，为了求
-P (x )dx 出函数C (x )，将设定的y =C (x )e ⎰代入非齐次方程中，由于
所以 -P (x )dx -P (x )dx dy =C '(x )e ⎰-P (x )C (x )e ⎰ dx
-P (x )dx -P (x )dx -P (x )dx C '(x )e ⎰-P (x )C (x )e ⎰+P (x )C (x )e ⎰=Q (x )
即有
C '(x )=Q (x )e ⎰P (x )dx
两边积分，得
所以一阶线性非齐次微分方程的通解为
-P (x )dx ⎡P (x )dx Q (x )e ⎰dx +C ⎤ y =e ⎰⎢⎣⎰⎥⎦
注：（1）由非齐次微分方程的通解可知，非齐次微分方程的通解等于它的一个特解与对应的齐次方程的通解之和。
（2）这种把对应的齐次方程通解中的任意常数C 变换成为待定函数C (x )，从而得到非齐次方程通解的方法，叫做常数变易法。
（3）求一阶线性非齐次微分方程的通解可直接用公式。
1sin x y =的通解 x x
1sin x 解 P (x )=, Q (x )= x x
∴所求微分方程的通解为 例3 求方程y '+
11dx ⎡sin x ⎰dx ⎤⎰x x y =e e dx +C ⎢⎰⎥ x ⎣⎦-
=e -ln x ⎡sin x ln x ⎤ e dx +C ⎰⎢⎥⎣x ⎦
1sin xdx +C x ⎰
1 =(-cos x +C ) x =()
例4 求方程x dy +(2xy -x +1)dx =0满足初始条件y x =1=0的特解。 2
解 把方程化成 dy 2x -1+y = dx x x
2x -1 由于 P (x )=, Q (x )= x x
所以，所求微分方程的通解为 22dx ⎡x -1⎰dx ⎤⎰ y =e x ⎢⎰e x dx +C ⎥ ⎣x ⎦-
=e -2ln x ⎢
=
=⎡x -12ln x ⎤ e dx +C ⎰⎥⎣x ⎦1⎡x -1)dx +C ⎤ 2⎣⎰(⎦x 1⎛12⎫x -x +C ⎪ x 2⎝2⎭
11C -+2 2x x
1，故所求微分方程的特解为 2 = 把初始条件y x =1=0代入通解，得C =
y =111-+2 2x 2x
练习： P147 3（2）
小结：1 可分离变量的微分方程的通解
-P (x )dx 2 一阶线性齐次微分方程的通解y =Ce ⎰
3 一阶线性非齐次微分方程的通解
-P (x )dx ⎡P (x )dx Q (x )e ⎰dx +C ⎤ y =e ⎰⎢⎣⎰⎥⎦