正态分布的相关计算
赵文斌2015年8月26日
目录
1标准正太分布2正太分布N (µ,δ2)
1标准正太分布
概率密度函数：ϕ(x ) =2
1x
e −分布函数：Φ(x ) =∫x
2
−∞1e −t
dt
特别：Φ(∞) =∫∞
2
−∞1e −t
dt =1
=
∫
−π1−tan (θ) 2e dtan (θ)
数学期望：E (X ) ∫∞
x 2∫=−∞x 1
−e
dx
=∞
x
2
2=∫−∞1e −d x 02∫=∫−∞10e −x
2d x ∞1−x 2∫+e d x 2
∞0∞1−y
1−e
dy +0e y dy =−1e −y |0∞−1−y ∞e |0=
−1(−1−0−(0−1)) =0
1
12
2正太分布N (µ,δ2)
X 2的期望：E (X 2) ====
∫∞∫∞
∫∞
21
e −−∞x x 2
x 22
dx
−1
−∞x e d x 2
2
2
x
1de −−x −∞2∫∞1−x 2−x |∞+−x 1e −∞−∞e dx
=0+1=1e X 的期望：E (e X ) =======
∫∞
∫∞
x 1
e −−∞e 22x
−x −x 2
dx
1dx −∞e
2∫∞1−(x −1) −1dx −∞e
2∫∞1−(x −1) 1e dx −∞e
(x −1) 21∫∞1−e −∞e dx
2(x −1) 1∫∞−e −∞1e d (x 2
1∫∞−y dy e −∞1e 1
−1)
=e 2正太分布N (µ,δ2)
数学期望为µ，方差为δ2的正态分布概率密度函数：f (x ) =分布函数：F (x ) =特别：F (∞) =
∫∞
∫∞
∫x
1e −
(x −µ) 22δ−1
−∞e
(t −µ) 22δdt
−1
−∞e
(t −µ) 22δdt =1
X 的数学期望：E (X ) ====
∫∞∫∞
−1
−∞x e −1
−∞(x −µ) e
(x −µ) 22δdx
∫∞
−1
−∞µe
(x −µ) 22δ(x −µ) 22δ(x −µ) 2
dx +dx
(x −µ) 22δ−12δd (x −−∞(x −µ) e 2∫∞y
1e −2δdy +µF(∞) y −∞µ) +µ
∫∞
−1
−∞e
dx
参考文献
=0+µ=µ
X 2数学期望：E (X ) ==∫∞
2
3
∫∞
(x −µ) (x −µ) ∫∞∫∞−211e −2δdx −2δe dx +(x −µ) 2xµ2
2
−21
e −∞x (x −µ) 2
2δdx
1
e −µ2(x −µ) 22δdx
∫−∞−∞−∞=∞
−∞(x −µ) 21e −(x −µ) 22δd (x −µ) +2µE(x ) −µ2F (∞) =∫∞−∞y 21−y 2
e 2δdy +2µµ−µ2=∫∗1∞
2−∞−y 12−y 2δ+µ2δde
=−y 12−y 22δ∞∫∞12−y 2
δe |−∞+−∞δe 2δdy +µ2
=
(0−0) +δ2∫∞−∞1
−y 22δe dy +µ2=δ2F (∞) +µ2
=δ2+µ2
e X 的期望：
E (e X
) =∫∞
1
(x −µ) 2
=∫−∞e x e −2δ∞
−∞1−x 2dx −2xµ+µ2−2xδ2e
2δdx =∫∞
(x −µ−δ2) 2−2µδ2−δ−∞1−42δ=∫e dx ∞(x −µ−δ2−∞1−) 2δ2e
2δe µ+dx =e µ+δ2∫∞(x −µ−δ2) −∞1−2
2δe dx =e
µ+δ2
F (∞)
=e
µ+δ2
参考文献
正态分布的相关计算
赵文斌2015年8月26日
目录
1标准正太分布2正太分布N (µ,δ2)
1标准正太分布
概率密度函数：ϕ(x ) =2
1x
e −分布函数：Φ(x ) =∫x
2
−∞1e −t
dt
特别：Φ(∞) =∫∞
2
−∞1e −t
dt =1
=
∫
−π1−tan (θ) 2e dtan (θ)
数学期望：E (X ) ∫∞
x 2∫=−∞x 1
−e
dx
=∞
x
2
2=∫−∞1e −d x 02∫=∫−∞10e −x
2d x ∞1−x 2∫+e d x 2
∞0∞1−y
1−e
dy +0e y dy =−1e −y |0∞−1−y ∞e |0=
−1(−1−0−(0−1)) =0
1
12
2正太分布N (µ,δ2)
X 2的期望：E (X 2) ====
∫∞∫∞
∫∞
21
e −−∞x x 2
x 22
dx
−1
−∞x e d x 2
2
2
x
1de −−x −∞2∫∞1−x 2−x |∞+−x 1e −∞−∞e dx
=0+1=1e X 的期望：E (e X ) =======
∫∞
∫∞
x 1
e −−∞e 22x
−x −x 2
dx
1dx −∞e
2∫∞1−(x −1) −1dx −∞e
2∫∞1−(x −1) 1e dx −∞e
(x −1) 21∫∞1−e −∞e dx
2(x −1) 1∫∞−e −∞1e d (x 2
1∫∞−y dy e −∞1e 1
−1)
=e 2正太分布N (µ,δ2)
数学期望为µ，方差为δ2的正态分布概率密度函数：f (x ) =分布函数：F (x ) =特别：F (∞) =
∫∞
∫∞
∫x
1e −
(x −µ) 22δ−1
−∞e
(t −µ) 22δdt
−1
−∞e
(t −µ) 22δdt =1
X 的数学期望：E (X ) ====
∫∞∫∞
−1
−∞x e −1
−∞(x −µ) e
(x −µ) 22δdx
∫∞
−1
−∞µe
(x −µ) 22δ(x −µ) 22δ(x −µ) 2
dx +dx
(x −µ) 22δ−12δd (x −−∞(x −µ) e 2∫∞y
1e −2δdy +µF(∞) y −∞µ) +µ
∫∞
−1
−∞e
dx
参考文献
=0+µ=µ
X 2数学期望：E (X ) ==∫∞
2
3
∫∞
(x −µ) (x −µ) ∫∞∫∞−211e −2δdx −2δe dx +(x −µ) 2xµ2
2
−21
e −∞x (x −µ) 2
2δdx
1
e −µ2(x −µ) 22δdx
∫−∞−∞−∞=∞
−∞(x −µ) 21e −(x −µ) 22δd (x −µ) +2µE(x ) −µ2F (∞) =∫∞−∞y 21−y 2
e 2δdy +2µµ−µ2=∫∗1∞
2−∞−y 12−y 2δ+µ2δde
=−y 12−y 22δ∞∫∞12−y 2
δe |−∞+−∞δe 2δdy +µ2
=
(0−0) +δ2∫∞−∞1
−y 22δe dy +µ2=δ2F (∞) +µ2
=δ2+µ2
e X 的期望：
E (e X
) =∫∞
1
(x −µ) 2
=∫−∞e x e −2δ∞
−∞1−x 2dx −2xµ+µ2−2xδ2e
2δdx =∫∞
(x −µ−δ2) 2−2µδ2−δ−∞1−42δ=∫e dx ∞(x −µ−δ2−∞1−) 2δ2e
2δe µ+dx =e µ+δ2∫∞(x −µ−δ2) −∞1−2
2δe dx =e
µ+δ2
F (∞)
=e
µ+δ2
参考文献