_三角函数与平面向量

数学专题四三角函数与平面向量

主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等. 有关三角函数的内容平均每年有25分，约占17%，试题的内容主要有两方面；其一是考查三角函数的性质和图象变换；尤其是三角函数的最大值、最小值和周期，题型多为选择题和填空题；其二是考查三角函数式的恒等变形，如利用有关公式求植，解决简单的综合问题，除了在填空题和选择题中出现外，解答题的中档题也经常出现这方面的内容，是高考命题的一个常考的基础性的题型。其命题热点是章节内部的三角函数求值问题，命题新趋势是跨章节的学科综合问题。因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质. 以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识.

【押题1】如果函数y ＝3cos (2x ＋φ)的图象关于点值为

A 、

⎛4π⎫

，0⎪中心对称，那么|ϕ|的最小⎝3⎭

ππππ

B 、 C 、 D 、 6432

【押题指数】★★★★★

【解析】函数y ＝3cos (2x ＋φ)的图象关于点 ∴φ=k π-2⋅

4π⎛4π⎫

+φ=k π ，0⎪中心对称， ∴2⋅3⎝3⎭

4ππ

(k ∈Z ) ．由此易得|φ|min =．故选C ． 33

【方法与技巧】该题考查了三角函数的图象和性质，对于三角函数图象的对称问题，要注意五点作图法中的五个基本点的坐标和整体思想的运用．【押题2】将函数y =sin ωx (ω>0) 的图象按向量a = -示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（）．

⎛π⎫

平移后的图象如图所,0⎪平移，

⎝6⎭

A 、y =sin(x +

) B 、y =sin(x -

) C 、y =sin(2x +

) D 、

y =sin(2x -)

【押题指数】★★★★★

【解析】将函数y =sin ωx (ω>0) 的图象按向量a = -

π⎛π⎫

,0⎪平移，即向左平移，根据

6⎝6⎭

“左加右减”的平移规律，平移后的图象所对应的解析式为y =sin ω(x +

) ，由图象知，

ω(

7ππ3π

+) =，所以ω=2，因此选C ． 1262

【方法与技巧】把按照向量平移转化为方向平移，再利用函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”来解决问题．

【押题3】已知函数f (x ) =A sin(ωx +ϕ), x ∈R （其中A >0, ω>0,0

）的图象与

π2π

, -2) ．，且图象上一个最低点为M (（Ⅰ）32

, ]，求f (x ) 的值域．

122

ππ

【押题4】已知cos α=（Ⅱ）求β．

113π，cos(α-β) =，且0

【押题指数】★★★★★ 【解析】（Ⅰ）由cos α=

1π，0

，得sin α=== 72

∴tan α=

sin α72tan α． ==

tan 2α===-

cos α11-tan 2α47

ππ13

，得0

2214

（Ⅱ）由0

∴sin(α-β) == =

由β=α-(α-β) ，得cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β) +sin αsin(α-

β)

π1131

=⨯+= ∴β=．

37147142

【方法与技巧】①给角求值问题，这类问题要找非特殊角之间、非特殊角和特殊角之间的联系，化简中尽量减少角的个数、三角函数的名称，降低三角函数的次数. ②给值求角问题. 有一个三角函数值利用平方关系求另一个三角函数值时，一定要根据角的范围确定开方后的符号. 给值求角问题，要合理选择该角的某一三角函数，在该范围内三角函数是单调的，根据已知三角函数值，尽量缩小角的范围. 【

押

题

】

已

知

向

量

a =(2cosα，2sin α) ，b =(-sin α，cos α) ，x =a +(t 2-3) b ，y =-ka +b ，且x ⋅y =0，

，3]，求f (t ) 的最大值与最小值．（Ⅰ）求函数k =f (t ) 的表达式；（Ⅱ）若t ∈[-1

【押题指数】★★★★★

【解析】（Ⅰ）a =4，b =1，a ⋅b =0，又x ⋅y =0，

所以x ⋅y =[a +(t 2-3) b ]⋅(-ka +b ) =-ka 2+(t 2-3) b 2+[t -k (t 2-3)]a ⋅b =0，

13313

t -t ，即k =f (t ) =t 3-t ； 4444

323

（Ⅱ）由(1)可得，令f (t ) 导数t -=0

，解得t =±1，列表如下：

所以k =

而f (-1) =，f (1)=-，f (3)=，所以f (t ) max =，f (t ) min =-

222． 2

【方法与技巧】本题以三角函数和平面向量为载体，将三角函数与平面向量、导数等综合考

察，体现了知识之间的融会贯通．考查了方程和函数思想，高考命题对思想方法的考查越来越得到重视．

【押题6】在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A ．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45且与点A 相距

B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45+θ

(其中sin θ

，0

海里的位置C ．（Ⅰ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）; （II ）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．【押题指数】★★★★★

【解析】（Ⅰ）如图，AB

∠BAC =θ,sin θ=

．由于0

所以cos θ

/小时）．

（Ⅱ）如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，设点B 、C 的坐标分别是B （x 1，y 2）， C （x 1，y 2），BC 与x 轴的交点为D ．由题设有，x 1=y 1=

x 2

=ACcos∠CAD =-θ) =30，

y 2

=ACsin∠CAD =-θ) =20．所以过点B 、C 的直线l 的斜率k =直线l 的方程为y =2x -40．又点E （0，-55）到直线l 的距离d

以船会进入警戒水域．

【方法与技巧】

三角函数在实际问题中有很多的应用，随着课改的深入，联系实际，注重数

AB=40，20

=2，10

学在实际问题的应用将分是一个热点．【押题7】已知函

数f (x ) =sin

x x x

cos +2（Ⅰ）将f (x ) 写成含333

A s i n ωx (+φω) >(，0

b 、c 满足b 2=ac，且边b 所对角为x ，试求x 的范围及此时函数f (x ) 的值域。【押题指数】★★★★★ 【解析】

（Ⅰ）f (x ) =

12x 2x 2x π， sin =sin(+) +

23333令

2x π3k -13k -1+=k π，k ∈Z 得x =π，

(k ∈Z ) ，即对称中心为(π，k ∈Z 33222

1πa 2+c 2-b 22ac -ac 1

，即0

232ac 2ac 2

此

时

π2x π5π

，所

以

2x π

，所

以

2x π， +) ≤133。即f (x

) 值域为1+

【方法与技巧】三角形中的变换问题，除了需要运用三角式变换的所有方法、技巧外，还经常需要考虑对条件或结论中的“边”与“角”运用“正弦定理、余弦定理或面积公式”进行互换。

1) B (，1) ，【押题8】已知函数f (x ) =a +b sin x +c cos x (x ∈R ) 的图像过点A (0，，且b >0，

又f (x

) 的最大值为1，（Ⅰ）求函数f (x ) 的解析式；（Ⅱ）由函数y =f (x ) 图像经过平移是否能得到一个奇函数y =g (x ) 的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由。

【押题指数】★★★★★

【解析】

（Ⅰ）f (x ) =a +b sin x +c cos x =a +x +φ)(tanφ=) ，由题意，可得

c b

⎧a +c =1⎧a =-1⎪⎪

，解得⎨b =2，所以f (x ) =-1+2sin x +2cos x ；

⎨a +b =1

⎪c =2⎪⎩⎩a =1

（Ⅱ）f (x ) =-1+2sin x +2cos x =x +) -1，将f (x ) 的图像向上平移1个单

ππ

位得到函数y =x +) 的图像，再向右平移单位得到y =x 的图像，故

将f (x ) 的图像先向上平移1个单位，再向右平移单位就可以得到奇函数y =g (x ) 的图像。

【方法与技巧】本题主要在于灵活运用正、余弦函数的图象及性质，以及数形结合的解题思想. 解题关键在于对三角函数及其图象特征全面、深刻的理解及运用. 【押题9】已知sin(的值.

【押题指数】★★★★★ 【

解

析

】

∵

+2α) ⋅sin(

-2α) =

1ππ

, α∈(, ) ，求2sin 2α+tan α-cot α-1442

sin(

+2α) ⋅sin(

-2α) =sin(

+2α) ⋅cos(

+2α) =

1π1

sin(+4α) =cos 4α, 222

∴cos 4α=

1ππ5π

. 又α∈(, ), 所以α=. 于是2sin 2α+tan α-cot α-1=-cos 2α 24212

5π5πsin 2α-cos 2α

2cot ) + =-cos 2α+-2cos 2α=-(cos2α+2cot 2α) =-(cos66sin αcos αsin 2α

=-(- 【方法与技巧】此类求值问题的类型是：已知三角方程，求某三角代数式的值。一般来说先解三角方程，得角的值或角的某个三角函数值。如何使解题过程化繁为简，变形仍然显得重要，此题中巧用诱导公式、二倍角公式，还用到了常用的变形方法，即“化正余切为正余弦”。

【押题10】在ΔABC 中，已知sin A cos

C A 3

+sin C cos 2=sin B （Ⅰ）求证：a 、b 、222

c 成等差数列；（Ⅱ）求角B 的取值范围。【押题指数】★★★★★

【解析】（1）条件等式降次化简得sin A +sin C =2sin B ⇒a +c =2b

a 2+c 2-(

（2）cos B =

a +c 2

) π3(a 2+c 2) -2ac 6ac -2ac 1=≥=, B 的取值范围(0, ]

32ac 8ac 8ac 2

【方法与技巧】本题将三角函数、等比数列知识有机结合，并不单纯考查对三角函数的恒等变形知识的掌握，而是通过三角形的边角关系，同时考查正弦定理和余弦定理. 这样一道题涵盖了三角函数部分的大部分内容，而且计算并不繁琐，在考查基础知识的基础上注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，同时兼顾基础性和综合性，坚持多角度的考查，全面考查综合数学素养的要求.

【押题10】已知向量=(sinθ, -2) 与=(1, cos θ) 互相垂直，其中θ∈(0,

．(Ⅰ) 求sin θ

和cos θ的值；(Ⅱ)

若sin(θ-ϕ) =【押题指数】★★★★★

π0

2【解析】(Ⅰ) ∵与互相垂直则⋅=sin θ-2cos θ=0，即sin θ=2cos θ，代入

sin 2θ

+cos 2θ=1得sin θ=

π，cos θ=，又θ∈

(0,) ，∴sin θ=

，

2cos θ=

(

． Ⅱ

) ∵

，

，∴

，则

cos(θ-ϕ) =-sin 2(θ-ϕ) =

3， 10

． ∴cos ϕ=cos[θ-

(θ-φ)]=cos θcos(θ-φ) +sin θsin(θ-φ) =

【方法与技巧】该题以向量为载体考查了三角函数的基本运算性质和向量的数量积．三角函数与平面向量的综合题在近几年的高考题中经常出现，难度不大，考题灵活多变，形式新颖，较好的考查了这两部分的基本知识和基本方法．

【押题12】设函数f(x)=sin(2x+φ),(-π

.(Ⅰ) 求φ；(Ⅱ) 求函数y=f(x)的单增区间；(Ⅲ) 证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)8

的图像不相切.

【押题指数】★★★★★

由sinx 的单增区间可求f(x)=sin(2x+φ) 的单增区间. 由｜f ′(x)｜=｜2cos(2x+φ) ｜≤2，直线5x-2y+c=0的斜率为

>2说明直线和f(x)的图象不能相切. 本题第(Ⅰ)(Ⅱ) 问是三角函数中2

最基本的问题，第(Ⅲ) 问是考查一般函数在某点导数的几何意义，涉及的都是一些基本的概念，也是每个同学应该掌握的

备选题

π1

【押题1】已知f (x ) = sin x + sin (-x ) ．(Ⅰ) 若α∈[0,π]，且sin 2α=, 求f (α) 的值；(Ⅱ)

23若x ∈[0,π]，求f (x ) 的单调递增区间．【押题指数】★★★★★

【解析】(Ⅰ) ∵α∈[0,π] ∴sin α＞0，∴f (α) = sinα+ cosα„„„1分又sin2α=

π1

= 2sinα·cos α＞0 ∴α∈(0,) ，sin α+ cosα＞0．„3分

4 由(sinα+ cosα) 2 = 1 + 2sinα·cos α=∴sin α+ cosα

∴f (α

„„7分

3ππππ

(Ⅱ) 由（1）知f (x

x +) ，当2k π-≤x +≤2k π+时，f (x ) 是单调递增的9分

4242

∴2k π-

3πππ

≤x ≤2k π+，又0≤x ≤π． 11分∴f (x ) 的单调递增区间为[0，]．12分 444

【押题2】如图A , B 是单位圆O 上的动点，且A , B 分别在第一, 二象限.

C 是圆与x 轴正半轴的交点，∆AOB 为正三角形. 若A 点的坐标为(x , y ) .

sin 2α+sin 2α⎛34⎫

记∠COA =α．(Ⅰ) 若A 点的坐标为 , ⎪, 求的值；(Ⅱ) 2

55⎝⎭cos α+cos 2α

求|BC |2的取值范围.

【押题指数】★★★★★

【解析】(Ⅰ) 因为A 点的坐标为 , 得

π4⎛34⎫

sin 2α+sin 2αsin 2α+2sin αcos α3

cos α=，.3分所以=20...6分＝

53cos 2α-1cos 2α+cos 2α

(Ⅱ) 因为三角形

AOB

为正三角形，所以∠AOB =60

所以

c o ∠s C O =B cos(∠COA +600)

cos(α+60 )

...8分=

所以

|B =+C |-2O |O |∠C C |

2O -2cos(|O α+)

B |.10分B O

, ∴

55ππ

即∴-

3π

【押题3】在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a =，

b 2+c 2-2bc =3．

（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）设cos B =

，求边c 的大小． 5

【押题指数】★★★★★ 【解析】（Ⅰ）a =

，则a 2+c 2-2bc =3得：b 2+c 2=a 2+2bc ，

πb 2+c 2-a 23+2bc -32

∴cos A ==，∴A =．„4分 =

42bc 2bc 2

>0，知B 为锐角，所以sin B =．„„5分 55

（Ⅱ）由cos B =

∴sin C =sin(A +B ) =sin A cos B +cos A sin B =

242372

．„8分 ⨯+⨯=

252510

由正弦定理得：c =

a sin C 7．„10分 =

sin A 5

【押题4】已知函数f (x ) =2sin(2ωx +ϕ), (ω>0, ϕ∈(0, π)) 的图象中相邻两条对称轴间的距离为

ππ

, 且点(-, 0) 是它的一个对称中心. （Ⅰ）求f (x ) 的表达式；（Ⅱ）若24

f (ax ) (a >0) 在（0，）上是单调递减函数，求a 的最大值.

2π

, ∴ω=1. ------3分 2ω

【押题指数】★★★★★

【解析】（Ⅰ）由题意得f (x ) 的最小正周期为π, ∴T =π=

∴f (x ) =23sin(2x +ϕ). 又(-

, 0) 是它的一个对称中心，

∴sin[2(-) +ϕ]=0, ∴ϕ=. -----2分∴f (x ) =23sin(2x +) =2cos 2x .. --2

422

分

（Ⅱ）因为f (ax ) =23cos 2ax ，----2分 2ax ∈(0, 所以欲满足条件，必须

πππ

2a π

), 3

2a π33

≤π, ---3分∴a ≤. 即a 的最大值为. ----2分 322

(x ∈R ，ω∈R ) 的最小正周期为π，【押题5】

已知函数y =ωx cos ωx -cos ωx+2

且当x =

时，函数有最小值，（Ⅰ）求f (x ) 的解析式；（Ⅱ）求f (x ) 的单调递增区间。 6

【押题指数】★★★★★

【解析】

（Ⅰ）y =ωx cos ωx -cos ωx+

313

=2ωx -(1+cos 2ωx ) + 222

+) ，1由题意ω=±1，当ω=1时，f (x ) =s i n x (+，) 1

πππf () =sin +1，不是最小值。当ω=-1时，f (x ) =s i -n (x 2+，) 1666ππ

f () =-sin +1，是最小值。 62

ππ

所以f (x ) =sin(-2x -) +1=-sin(2x +) +1；

ππ3ππ2π

+2k π，即+k π≤x ≤+k π，k ∈Z 时，函数单调递（Ⅱ）当+2k π≤2x +≤

262632x =s i n (ω

增。

(a >0，b >0，ω>0) 的最小【押题6】已知定义在R 上的函数f (x ) =a sin ωx +b cos ωx ，

正周期为π，f (x ) ≤

2，f () =（Ⅰ）写出函数f (x ) 的解析式；（Ⅱ）写出函数f (x ) 的单调递增区间；（Ⅲ）说明f (x ) 的图像如何由函数y =2sin x 的图像变换而来。【押题指数】★★★★★

，由题意，

ππ

ω=2=2，

f (x ) =2sin(2x +φ) ，代入f () =

2sin(2⨯+φ) =，

ππ

所以φ=, 即f (x ) =2sin(2x +) ；

66πππππ

（Ⅱ）当-+2k π≤2x +≤+2k π，即x ∈[k π-，k π+]，k ∈Z ，函数单调增；

26236

（Ⅲ）将函数y =2sin x 的图像向左平移单位，再将得到的函数图像上所有的点的纵坐

标不变，横坐标缩短到原来的倍，可得到函数f (x ) 的图像。

⎫⎡ππ⎤2⎛π【押题7】

已知函数f (x ) =2sin +x ⎪2x ，x ∈⎢⎥．（Ⅰ）求f (x ) 的最

⎝4⎭⎣42⎦

【解析】

（Ⅰ）f (x ) =a sin ωx +b cos ωx =

ωx +φ) ，tan φ=

大值和最小值；（Ⅱ）若不等式f (x ) -m

42围．

⎡ππ⎤⎣⎦

【押题指数】★★★★★ 【

解

析

】

（

Ⅰ

）

π⎫⎡⎛⎛π⎫⎤

∵f (x ) =⎢1-cos +2x ⎪⎥2x =1+sin 2x 2x =1+2sin 2x -⎪．

3⎭⎝⎝2⎭⎦⎣

又∵x ∈⎢⎥

⎡ππ⎤⎣⎦

，∴

ππ2π

≤2x -≤633

，即

2≤+1

π⎫⎛

2 s x -i ⎪≤2，

3⎭⎝

∴f (x ) max =3，f (x ) min =2．

（Ⅱ）∵f (x ) -m

⎡ππ⎤⎣⎦

，4) ． ∴m >f (x ) max -2且m

【押题8】长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R 的圆面．该圆面的内接四边形ABCD 是原棚户建筑用地，测量可知边界AB = AD = 4万米，BC = 6万米，CD = 2万米．（Ⅰ）请计算原棚户区建筑用地ABCD 的面积及圆面的半径R 的值；（Ⅱ）因地理条件的限制，边界AD 、DC 不能变更，而边界AB 、BC 可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC 上设计一点P ；使得棚户区改造的新建筑用地APCD 的面积最大，并求最大值．【押题指数】★★★★★

【解析】（Ⅰ）因为四边形ABCD 内接于圆，所以∠ABC +∠ADC = 180°，连接AC ，由余弦定理：

AC 2 = 42 + 62 – 2×4×6×cos ∠ABC = 42 + 22 – 2×2×4 cos∠ADC ． 1

所以cos ∠ABC =，∵∠ABC ∈(0，π) ，故∠ABC = 60°．

S 四边形ABCD =

×4×6×sin60°+×2×4×sin120°

（万平方米）．„4分 22

在△ABC 中，由余弦定理：AC = AB + BC – 2AB·BC ·cos ∠ABC = 16 + 36 – 2×4×61

×． 2

= ．6分由正弦定理

AC a b

∴2R ==

==2R ，

s i n A sin A sin B ∴R =

米）．8分

（Ⅱ）∵S 四边形APCD = S △ADC + S△APC 又S △ADC = = y ．则S △APC

AD ·CD ·sin120°

，设AP = x ， CP 2

1222xy sin 60︒xy ．„10分又由余弦定理AC = x + y – 2xy cos60° 2= x 2 + y 2 – xy = 28．∴x 2 + y 2 – xy ≥2xy – xy = xy ．∴xy ≤28 当且仅当x = y时取等号„„12分 ∴S 四边形APCD

≤28=

13分．

【押题9】已知a =(sinx ,1) ，b =(1,cos x ) ，且函数f (x ) =a ⋅b ，f '(x ) 是f (x ) 的导函

数.

（Ⅰ）求函数F (x ) =f (x ) f '(x ) +f 2(x ) 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）若f (x ) =2f '(x ) ，

1+sin 2x 求的值 cos 2x -sin x cos x

【押题指数】★★★★★ 【

解

析

】（

Ⅰ

）

∵

f (x ) =sin x +cos x

，∴

f ' (x =) -c x o s x

∴F (x ) =f (x ) f '(x ) +f 2(x )

=cos 2x -sin 2x +1+2sin x cos x =1+sin 2x +cos 2x =1+2sin(2x +∴当2x +T =

)

=2k π+

⇒x =k π+

(k ∈Z ) 时，F (x ) ma x =1+2，最小正周期为

2π

=π 2

n ，即（Ⅱ）∵f (x ) =2f '(x ) ， ∴sin x +cos x =2cos x -2sin x ，∴c o s x =3s i x

1t a n x =

1+sin x 2sin x +cos x 2tan x +111∴====. 22

2cos x -sin x cos x cos x -sin x cos x 1-tan x 63

【押题10】把函数f(x)=sin2x-2sinxcosx+3cos2x 的图象沿x 轴向左平移m(m>0)个单位，所得函数的图象关于直线x=

171517

π对称. （Ⅰ）求m 的最小值；（Ⅱ）证明当x ∈(-π, -888

π) 时，经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为负数；（Ⅲ）设x 1,x 2∈(0,π),x 1≠x 2, 且f(x1)=f(x2)=1,求x 1+x2的值.

数学专题四三角函数与平面向量

【押题1】如果函数y ＝3cos (2x ＋φ)的图象关于点值为

A 、

⎛4π⎫

，0⎪中心对称，那么|ϕ|的最小⎝3⎭

ππππ

B 、 C 、 D 、 6432

【押题指数】★★★★★

【解析】函数y ＝3cos (2x ＋φ)的图象关于点 ∴φ=k π-2⋅

4π⎛4π⎫

+φ=k π ，0⎪中心对称， ∴2⋅3⎝3⎭

4ππ

(k ∈Z ) ．由此易得|φ|min =．故选C ． 33

⎛π⎫

平移后的图象如图所,0⎪平移，

⎝6⎭

A 、y =sin(x +

) B 、y =sin(x -

) C 、y =sin(2x +

) D 、

y =sin(2x -)

【押题指数】★★★★★

【解析】将函数y =sin ωx (ω>0) 的图象按向量a = -

π⎛π⎫

,0⎪平移，即向左平移，根据

6⎝6⎭

“左加右减”的平移规律，平移后的图象所对应的解析式为y =sin ω(x +

) ，由图象知，

ω(

7ππ3π

+) =，所以ω=2，因此选C ． 1262

【方法与技巧】把按照向量平移转化为方向平移，再利用函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”来解决问题．

【押题3】已知函数f (x ) =A sin(ωx +ϕ), x ∈R （其中A >0, ω>0,0

）的图象与

π2π

, -2) ．，且图象上一个最低点为M (（Ⅰ）32

, ]，求f (x ) 的值域．

122

ππ

【押题4】已知cos α=（Ⅱ）求β．

113π，cos(α-β) =，且0

【押题指数】★★★★★ 【解析】（Ⅰ）由cos α=

1π，0

，得sin α=== 72

∴tan α=

sin α72tan α． ==

tan 2α===-

cos α11-tan 2α47

ππ13

，得0

2214

（Ⅱ）由0

∴sin(α-β) == =

由β=α-(α-β) ，得cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β) +sin αsin(α-

β)

π1131

=⨯+= ∴β=．

37147142

押

题

】

已

知

向

量

a =(2cosα，2sin α) ，b =(-sin α，cos α) ，x =a +(t 2-3) b ，y =-ka +b ，且x ⋅y =0，

，3]，求f (t ) 的最大值与最小值．（Ⅰ）求函数k =f (t ) 的表达式；（Ⅱ）若t ∈[-1

【押题指数】★★★★★

【解析】（Ⅰ）a =4，b =1，a ⋅b =0，又x ⋅y =0，

所以x ⋅y =[a +(t 2-3) b ]⋅(-ka +b ) =-ka 2+(t 2-3) b 2+[t -k (t 2-3)]a ⋅b =0，

13313

t -t ，即k =f (t ) =t 3-t ； 4444

323

（Ⅱ）由(1)可得，令f (t ) 导数t -=0

，解得t =±1，列表如下：

所以k =

而f (-1) =，f (1)=-，f (3)=，所以f (t ) max =，f (t ) min =-

222． 2

【方法与技巧】本题以三角函数和平面向量为载体，将三角函数与平面向量、导数等综合考

察，体现了知识之间的融会贯通．考查了方程和函数思想，高考命题对思想方法的考查越来越得到重视．

B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45+θ

(其中sin θ

，0

【解析】（Ⅰ）如图，AB

∠BAC =θ,sin θ=

．由于0

所以cos θ

/小时）．

（Ⅱ）如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，设点B 、C 的坐标分别是B （x 1，y 2）， C （x 1，y 2），BC 与x 轴的交点为D ．由题设有，x 1=y 1=

x 2

=ACcos∠CAD =-θ) =30，

y 2

=ACsin∠CAD =-θ) =20．所以过点B 、C 的直线l 的斜率k =直线l 的方程为y =2x -40．又点E （0，-55）到直线l 的距离d

以船会进入警戒水域．

【方法与技巧】

三角函数在实际问题中有很多的应用，随着课改的深入，联系实际，注重数

AB=40，20

=2，10

学在实际问题的应用将分是一个热点．【押题7】已知函

数f (x ) =sin

x x x

cos +2（Ⅰ）将f (x ) 写成含333

A s i n ωx (+φω) >(，0

b 、c 满足b 2=ac，且边b 所对角为x ，试求x 的范围及此时函数f (x ) 的值域。【押题指数】★★★★★ 【解析】

（Ⅰ）f (x ) =

12x 2x 2x π， sin =sin(+) +

23333令

2x π3k -13k -1+=k π，k ∈Z 得x =π，

(k ∈Z ) ，即对称中心为(π，k ∈Z 33222

1πa 2+c 2-b 22ac -ac 1

，即0

232ac 2ac 2

此

时

π2x π5π

，所

以

2x π

，所

以

2x π， +) ≤133。即f (x

) 值域为1+

1) B (，1) ，【押题8】已知函数f (x ) =a +b sin x +c cos x (x ∈R ) 的图像过点A (0，，且b >0，

又f (x

【押题指数】★★★★★

【解析】

（Ⅰ）f (x ) =a +b sin x +c cos x =a +x +φ)(tanφ=) ，由题意，可得

c b

⎧a +c =1⎧a =-1⎪⎪

，解得⎨b =2，所以f (x ) =-1+2sin x +2cos x ；

⎨a +b =1

⎪c =2⎪⎩⎩a =1

（Ⅱ）f (x ) =-1+2sin x +2cos x =x +) -1，将f (x ) 的图像向上平移1个单

ππ

位得到函数y =x +) 的图像，再向右平移单位得到y =x 的图像，故

将f (x ) 的图像先向上平移1个单位，再向右平移单位就可以得到奇函数y =g (x ) 的图像。

【押题指数】★★★★★ 【

解

析

】

∵

+2α) ⋅sin(

-2α) =

1ππ

, α∈(, ) ，求2sin 2α+tan α-cot α-1442

sin(

+2α) ⋅sin(

-2α) =sin(

+2α) ⋅cos(

+2α) =

1π1

sin(+4α) =cos 4α, 222

∴cos 4α=

1ππ5π

. 又α∈(, ), 所以α=. 于是2sin 2α+tan α-cot α-1=-cos 2α 24212

5π5πsin 2α-cos 2α

2cot ) + =-cos 2α+-2cos 2α=-(cos2α+2cot 2α) =-(cos66sin αcos αsin 2α

【押题10】在ΔABC 中，已知sin A cos

C A 3

+sin C cos 2=sin B （Ⅰ）求证：a 、b 、222

c 成等差数列；（Ⅱ）求角B 的取值范围。【押题指数】★★★★★

【解析】（1）条件等式降次化简得sin A +sin C =2sin B ⇒a +c =2b

a 2+c 2-(

（2）cos B =

a +c 2

) π3(a 2+c 2) -2ac 6ac -2ac 1=≥=, B 的取值范围(0, ]

32ac 8ac 8ac 2

【押题10】已知向量=(sinθ, -2) 与=(1, cos θ) 互相垂直，其中θ∈(0,

．(Ⅰ) 求sin θ

和cos θ的值；(Ⅱ)

若sin(θ-ϕ) =【押题指数】★★★★★

π0

2【解析】(Ⅰ) ∵与互相垂直则⋅=sin θ-2cos θ=0，即sin θ=2cos θ，代入

sin 2θ

+cos 2θ=1得sin θ=

π，cos θ=，又θ∈

(0,) ，∴sin θ=

，

2cos θ=

(

． Ⅱ

) ∵

，

，∴

，则

cos(θ-ϕ) =-sin 2(θ-ϕ) =

3， 10

． ∴cos ϕ=cos[θ-

(θ-φ)]=cos θcos(θ-φ) +sin θsin(θ-φ) =

【押题12】设函数f(x)=sin(2x+φ),(-π

.(Ⅰ) 求φ；(Ⅱ) 求函数y=f(x)的单增区间；(Ⅲ) 证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)8

的图像不相切.

【押题指数】★★★★★

由sinx 的单增区间可求f(x)=sin(2x+φ) 的单增区间. 由｜f ′(x)｜=｜2cos(2x+φ) ｜≤2，直线5x-2y+c=0的斜率为

>2说明直线和f(x)的图象不能相切. 本题第(Ⅰ)(Ⅱ) 问是三角函数中2

最基本的问题，第(Ⅲ) 问是考查一般函数在某点导数的几何意义，涉及的都是一些基本的概念，也是每个同学应该掌握的

备选题

π1

【押题1】已知f (x ) = sin x + sin (-x ) ．(Ⅰ) 若α∈[0,π]，且sin 2α=, 求f (α) 的值；(Ⅱ)

23若x ∈[0,π]，求f (x ) 的单调递增区间．【押题指数】★★★★★

【解析】(Ⅰ) ∵α∈[0,π] ∴sin α＞0，∴f (α) = sinα+ cosα„„„1分又sin2α=

π1

= 2sinα·cos α＞0 ∴α∈(0,) ，sin α+ cosα＞0．„3分

4 由(sinα+ cosα) 2 = 1 + 2sinα·cos α=∴sin α+ cosα

∴f (α

„„7分

3ππππ

(Ⅱ) 由（1）知f (x

x +) ，当2k π-≤x +≤2k π+时，f (x ) 是单调递增的9分

4242

∴2k π-

3πππ

≤x ≤2k π+，又0≤x ≤π． 11分∴f (x ) 的单调递增区间为[0，]．12分 444

【押题2】如图A , B 是单位圆O 上的动点，且A , B 分别在第一, 二象限.

C 是圆与x 轴正半轴的交点，∆AOB 为正三角形. 若A 点的坐标为(x , y ) .

sin 2α+sin 2α⎛34⎫

记∠COA =α．(Ⅰ) 若A 点的坐标为 , ⎪, 求的值；(Ⅱ) 2

55⎝⎭cos α+cos 2α

求|BC |2的取值范围.

【押题指数】★★★★★

【解析】(Ⅰ) 因为A 点的坐标为 , 得

π4⎛34⎫

sin 2α+sin 2αsin 2α+2sin αcos α3

cos α=，.3分所以=20...6分＝

53cos 2α-1cos 2α+cos 2α

(Ⅱ) 因为三角形

AOB

为正三角形，所以∠AOB =60

所以

c o ∠s C O =B cos(∠COA +600)

cos(α+60 )

...8分=

所以

|B =+C |-2O |O |∠C C |

2O -2cos(|O α+)

B |.10分B O

, ∴

55ππ

即∴-

3π

【押题3】在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a =，

b 2+c 2-2bc =3．

（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）设cos B =

，求边c 的大小． 5

【押题指数】★★★★★ 【解析】（Ⅰ）a =

，则a 2+c 2-2bc =3得：b 2+c 2=a 2+2bc ，

πb 2+c 2-a 23+2bc -32

∴cos A ==，∴A =．„4分 =

42bc 2bc 2

>0，知B 为锐角，所以sin B =．„„5分 55

（Ⅱ）由cos B =

∴sin C =sin(A +B ) =sin A cos B +cos A sin B =

242372

．„8分 ⨯+⨯=

252510

由正弦定理得：c =

a sin C 7．„10分 =

sin A 5

【押题4】已知函数f (x ) =2sin(2ωx +ϕ), (ω>0, ϕ∈(0, π)) 的图象中相邻两条对称轴间的距离为

ππ

, 且点(-, 0) 是它的一个对称中心. （Ⅰ）求f (x ) 的表达式；（Ⅱ）若24

f (ax ) (a >0) 在（0，）上是单调递减函数，求a 的最大值.

2π

, ∴ω=1. ------3分 2ω

【押题指数】★★★★★

【解析】（Ⅰ）由题意得f (x ) 的最小正周期为π, ∴T =π=

∴f (x ) =23sin(2x +ϕ). 又(-

, 0) 是它的一个对称中心，

∴sin[2(-) +ϕ]=0, ∴ϕ=. -----2分∴f (x ) =23sin(2x +) =2cos 2x .. --2

422

分

（Ⅱ）因为f (ax ) =23cos 2ax ，----2分 2ax ∈(0, 所以欲满足条件，必须

πππ

2a π

), 3

2a π33

≤π, ---3分∴a ≤. 即a 的最大值为. ----2分 322

(x ∈R ，ω∈R ) 的最小正周期为π，【押题5】

已知函数y =ωx cos ωx -cos ωx+2

且当x =

时，函数有最小值，（Ⅰ）求f (x ) 的解析式；（Ⅱ）求f (x ) 的单调递增区间。 6

【押题指数】★★★★★

【解析】

（Ⅰ）y =ωx cos ωx -cos ωx+

313

=2ωx -(1+cos 2ωx ) + 222

+) ，1由题意ω=±1，当ω=1时，f (x ) =s i n x (+，) 1

πππf () =sin +1，不是最小值。当ω=-1时，f (x ) =s i -n (x 2+，) 1666ππ

f () =-sin +1，是最小值。 62

ππ

所以f (x ) =sin(-2x -) +1=-sin(2x +) +1；

ππ3ππ2π

+2k π，即+k π≤x ≤+k π，k ∈Z 时，函数单调递（Ⅱ）当+2k π≤2x +≤

262632x =s i n (ω

增。

(a >0，b >0，ω>0) 的最小【押题6】已知定义在R 上的函数f (x ) =a sin ωx +b cos ωx ，

正周期为π，f (x ) ≤

，由题意，

ππ

ω=2=2，

f (x ) =2sin(2x +φ) ，代入f () =

2sin(2⨯+φ) =，

ππ

所以φ=, 即f (x ) =2sin(2x +) ；

66πππππ

（Ⅱ）当-+2k π≤2x +≤+2k π，即x ∈[k π-，k π+]，k ∈Z ，函数单调增；

26236

（Ⅲ）将函数y =2sin x 的图像向左平移单位，再将得到的函数图像上所有的点的纵坐

标不变，横坐标缩短到原来的倍，可得到函数f (x ) 的图像。

⎫⎡ππ⎤2⎛π【押题7】

已知函数f (x ) =2sin +x ⎪2x ，x ∈⎢⎥．（Ⅰ）求f (x ) 的最

⎝4⎭⎣42⎦

【解析】

（Ⅰ）f (x ) =a sin ωx +b cos ωx =

ωx +φ) ，tan φ=

大值和最小值；（Ⅱ）若不等式f (x ) -m

42围．

⎡ππ⎤⎣⎦

【押题指数】★★★★★ 【

解

析

】

（

Ⅰ

）

π⎫⎡⎛⎛π⎫⎤

∵f (x ) =⎢1-cos +2x ⎪⎥2x =1+sin 2x 2x =1+2sin 2x -⎪．

3⎭⎝⎝2⎭⎦⎣

又∵x ∈⎢⎥

⎡ππ⎤⎣⎦

，∴

ππ2π

≤2x -≤633

，即

2≤+1

π⎫⎛

2 s x -i ⎪≤2，

3⎭⎝

∴f (x ) max =3，f (x ) min =2．

（Ⅱ）∵f (x ) -m

⎡ππ⎤⎣⎦

，4) ． ∴m >f (x ) max -2且m

【解析】（Ⅰ）因为四边形ABCD 内接于圆，所以∠ABC +∠ADC = 180°，连接AC ，由余弦定理：

AC 2 = 42 + 62 – 2×4×6×cos ∠ABC = 42 + 22 – 2×2×4 cos∠ADC ． 1

所以cos ∠ABC =，∵∠ABC ∈(0，π) ，故∠ABC = 60°．

S 四边形ABCD =

×4×6×sin60°+×2×4×sin120°

（万平方米）．„4分 22

在△ABC 中，由余弦定理：AC = AB + BC – 2AB·BC ·cos ∠ABC = 16 + 36 – 2×4×61

×． 2

= ．6分由正弦定理

AC a b

∴2R ==

==2R ，

s i n A sin A sin B ∴R =

米）．8分

（Ⅱ）∵S 四边形APCD = S △ADC + S△APC 又S △ADC = = y ．则S △APC

AD ·CD ·sin120°

，设AP = x ， CP 2

≤28=

13分．

【押题9】已知a =(sinx ,1) ，b =(1,cos x ) ，且函数f (x ) =a ⋅b ，f '(x ) 是f (x ) 的导函

数.

（Ⅰ）求函数F (x ) =f (x ) f '(x ) +f 2(x ) 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）若f (x ) =2f '(x ) ，

1+sin 2x 求的值 cos 2x -sin x cos x

【押题指数】★★★★★ 【

解

析

】（

Ⅰ

）

∵

f (x ) =sin x +cos x

，∴

f ' (x =) -c x o s x

∴F (x ) =f (x ) f '(x ) +f 2(x )

=cos 2x -sin 2x +1+2sin x cos x =1+sin 2x +cos 2x =1+2sin(2x +∴当2x +T =

)

=2k π+

⇒x =k π+

(k ∈Z ) 时，F (x ) ma x =1+2，最小正周期为

2π

=π 2

n ，即（Ⅱ）∵f (x ) =2f '(x ) ， ∴sin x +cos x =2cos x -2sin x ，∴c o s x =3s i x

1t a n x =

1+sin x 2sin x +cos x 2tan x +111∴====. 22

2cos x -sin x cos x cos x -sin x cos x 1-tan x 63

【押题10】把函数f(x)=sin2x-2sinxcosx+3cos2x 的图象沿x 轴向左平移m(m>0)个单位，所得函数的图象关于直线x=

171517

π对称. （Ⅰ）求m 的最小值；（Ⅱ）证明当x ∈(-π, -888

π) 时，经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为负数；（Ⅲ）设x 1,x 2∈(0,π),x 1≠x 2, 且f(x1)=f(x2)=1,求x 1+x2的值.

_三角函数与平面向量

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