韦达定理与根的判别式

韦达定理与根的判别式

知识点：

1、根的判别式b2

4ac

（1）b2

4ac0 ，方程有两个不相等的实数根； （2）b24ac0，方程有两个相等的实数根； （3）b24ac0，方程没有实数根； 2、韦达定理

已知x1,x2是一元二次方程的两根，则有

xb1x2

a

x1x2

ca

例1：已知一元二次方程x2

2xm10 （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）设x2

1,x2是方程的两个实数根，且满足x1x1x21，求m的值 练习：

1

、方程x2

30的根的情况是（ ）

A有两个不等的有理实根 B有两个相等的有理实根 C有两个不等的无理实根 D有两个相等的无理实根 2、已知x2

1,x2是方程2x3x40的两个根，则（ ） A x331x22 ，x1x22 B x1x22 ，x1x22 C x1x32

2

，x1x22 D x31x2

2

，x1x22

3

、已知方程x220，则此方程（ ）

A 无实数根 B

两根之和为 C两根之积为2

D

有一根为2 1

4、已知x1,x2是方程2x3x10的两个根，则

32

32

2

1x1



1x2

的值为（ ）

A 3 B -3 C  D

5、若将二次三项式x2px6因式分解，分解后的一个因式是x-3，则p的值是（ ） A -5 B -1 C 1 D 5

6、已知x1,x2是方程x4x30的两个根，那么x1x2的值是（ ） A - 4 B 4 C -3 D 3

7、在一元二次方程ax2bxc0(a0)中，若a与c异号，则方程（ ） A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D 根的情况无法确定

8、已知一元二次方程的两根分别为x13,x24，则这个方程为（ ） A (x3)(x4)0 B (x3)(x4)0 C (x3)(x4)0 D (x3)(x4)0

9、关于x的一元二次方程3x2xk10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A k

43

2

2

B k

43

且k1 C k

2

2

43

D k

43

10、若关于x的一元二次方程(m2)x(2m1)x10有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A m

43

B m

43

C m

43

且m2 D m

º

43

且m2

2

2

11、已知一直角三角形的三边为a、b、c，∠B=90 ，那么关于x的方程a(x1)2cxb(x1)0的根的情况为（ ）

A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D 无法确定 12、设x1,x2是方程2x4x30的两个根，则

2

2

2

1x1



1x2

13、已知关于x的方程x2(m2)xm0有两个实数根，且两根的平方和等于16，则m的值为 14

、已知方程x(1

2

x

2

0的两根为x1,x2，则x1x2的值为22

15、关于x的一元二次方程mx(3m1)xm0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。

2

例2：m取什么值时，关于x的方程

2x2-(m＋2)x＋2m－2＝0

有两个相等的实数根？求出这时方程的根.

解：因为方程有两个相等的实数根，所以Δ 0,即 Δ=

= 0 解这个关于m的方程得

1、用判别式直接判断一元二次方程是否有实数根。

（1）y2＋y－4＝0 （2）y2＋y+4＝0； （3）y2－y－4＝0 （4）y2－y+4＝0；

2、m取什么值时，关于x的方程

2x2-4mx＋2m2 －m＝0

(1)有两个相等的实数根？ (2)有两个不相等的实数根？ (3)没有实数根？

3、m取什么值时，关于x的方程

mx2-(2m-1)x＋m－2＝0

没有实数根？

一元二次方程根与系数的关系

解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？

（1）x2－2x＝0； （2）x2＋3x－4＝0； （3）x2－5x＋6＝0.

探 索

一般地，对于关于x的方程x2＋px＋q＝0（p，q为已知常数，p2－4q≥0），用求根公式求出它的两个根x1、x2，

3

x1＋x2= 即：两根之和等于

x1•x2= 即：两根之积等于

练习

1、（1）x2－x－4＝0 （2）x2－4x+1＝0；

x1x2= x1x2= x1.x2= x1.x2=

2、已知关于x的方程x2

－px＋q＝0的两个根是0和－3，求p和 q的值；

3、已知方程x2+kx

的一个根是-1，求k的值及另一个根.

4、如果2x2－ mx－4=0的两个根分别是x1、x2,且

1x1的值是？

1

x=2，那么实数m2

5、如果2x2－ 5x－4=0的两个根分别是α、β，那么α+β+αβ=？

5、已知关于x的方程x2－6x＋p2

－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值.

4

22、如果x－mx+6=0的两个根分别是x1、x2,且

已知关于x的一元二次方程x2kx

2

2

1x1



1x2

=3，求实数m的值。

12

k

2

20，

（1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设x1、x

2

是方程的两根，且x122kx12x1x25，求k之值。

已知△ABC的两边长a=3，c=5，且第三边长b为关于x的一元二次方程x4xm0的两个正整数根之一，求证△ABC为直角三角形。

例6 已知方程xx10的两个实数根为x1,x2，求： (1)x1x2；

(3)x1x2；

5

2

2

2

2

(2)

1x1



1x2

；

(4)(x11)(x21)。

二、填空题：

1．若方程2x2

5xk0的两根之比是2：3，则

2．若方程2x24x30的两根为a、β，则a22aββ2有 。 3．已知两个数的和是4，积为-2，则这两个数等于 。

4．若方程3x24xk0的两根均为正数，则k的取值范围是三、解答题

2．已知关于x的方程(a21)x2(a1)x10的两实根互为倒数，求a之值.

3．已知关于x的方程x22(m2)xm20，问：是否存在实数m,使方程的两个实数根的平方和 等于56，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

求证:方程无论m为何值时,都有两个不相等的实数根．

三、应用题

1）用配方法求x2 –4x+5的最小值。 3)用配方法求x2 –8x+5的最小值。 解：x2 –4x+5

= x2 –4x+ 22 +1 =( x –2)2 +1

所以x2 –4x+5的最小值是1。 4)用配方法求-x2 +4x+5的最大值。2)用配方法求x2 –4x–5的最小值。

4)用配方法求-x2 +4x+5的最大值。

6

韦达定理与根的判别式

知识点：

1、根的判别式b2

4ac

（1）b2

4ac0 ，方程有两个不相等的实数根； （2）b24ac0，方程有两个相等的实数根； （3）b24ac0，方程没有实数根； 2、韦达定理

已知x1,x2是一元二次方程的两根，则有

xb1x2

a

x1x2

ca

例1：已知一元二次方程x2

2xm10 （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）设x2

1,x2是方程的两个实数根，且满足x1x1x21，求m的值 练习：

1

、方程x2

30的根的情况是（ ）

A有两个不等的有理实根 B有两个相等的有理实根 C有两个不等的无理实根 D有两个相等的无理实根 2、已知x2

1,x2是方程2x3x40的两个根，则（ ） A x331x22 ，x1x22 B x1x22 ，x1x22 C x1x32

2

，x1x22 D x31x2

2

，x1x22

3

、已知方程x220，则此方程（ ）

A 无实数根 B

两根之和为 C两根之积为2

D

有一根为2 1

4、已知x1,x2是方程2x3x10的两个根，则

32

32

2

1x1



1x2

的值为（ ）

A 3 B -3 C  D

5、若将二次三项式x2px6因式分解，分解后的一个因式是x-3，则p的值是（ ） A -5 B -1 C 1 D 5

6、已知x1,x2是方程x4x30的两个根，那么x1x2的值是（ ） A - 4 B 4 C -3 D 3

7、在一元二次方程ax2bxc0(a0)中，若a与c异号，则方程（ ） A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D 根的情况无法确定

8、已知一元二次方程的两根分别为x13,x24，则这个方程为（ ） A (x3)(x4)0 B (x3)(x4)0 C (x3)(x4)0 D (x3)(x4)0

9、关于x的一元二次方程3x2xk10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A k

43

2

2

B k

43

且k1 C k

2

2

43

D k

43

10、若关于x的一元二次方程(m2)x(2m1)x10有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A m

43

B m

43

C m

43

且m2 D m

º

43

且m2

2

2

11、已知一直角三角形的三边为a、b、c，∠B=90 ，那么关于x的方程a(x1)2cxb(x1)0的根的情况为（ ）

A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D 无法确定 12、设x1,x2是方程2x4x30的两个根，则

2

2

2

1x1



1x2

13、已知关于x的方程x2(m2)xm0有两个实数根，且两根的平方和等于16，则m的值为 14

、已知方程x(1

2

x

2

0的两根为x1,x2，则x1x2的值为22

15、关于x的一元二次方程mx(3m1)xm0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。

2

例2：m取什么值时，关于x的方程

2x2-(m＋2)x＋2m－2＝0

有两个相等的实数根？求出这时方程的根.

解：因为方程有两个相等的实数根，所以Δ 0,即 Δ=

= 0 解这个关于m的方程得

1、用判别式直接判断一元二次方程是否有实数根。

（1）y2＋y－4＝0 （2）y2＋y+4＝0； （3）y2－y－4＝0 （4）y2－y+4＝0；

2、m取什么值时，关于x的方程

2x2-4mx＋2m2 －m＝0

(1)有两个相等的实数根？ (2)有两个不相等的实数根？ (3)没有实数根？

3、m取什么值时，关于x的方程

mx2-(2m-1)x＋m－2＝0

没有实数根？

一元二次方程根与系数的关系

解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？

（1）x2－2x＝0； （2）x2＋3x－4＝0； （3）x2－5x＋6＝0.

探 索

一般地，对于关于x的方程x2＋px＋q＝0（p，q为已知常数，p2－4q≥0），用求根公式求出它的两个根x1、x2，

3

x1＋x2= 即：两根之和等于

x1•x2= 即：两根之积等于

练习

1、（1）x2－x－4＝0 （2）x2－4x+1＝0；

x1x2= x1x2= x1.x2= x1.x2=

2、已知关于x的方程x2

－px＋q＝0的两个根是0和－3，求p和 q的值；

3、已知方程x2+kx

的一个根是-1，求k的值及另一个根.

4、如果2x2－ mx－4=0的两个根分别是x1、x2,且

1x1的值是？

1

x=2，那么实数m2

5、如果2x2－ 5x－4=0的两个根分别是α、β，那么α+β+αβ=？

5、已知关于x的方程x2－6x＋p2

－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值.

4

22、如果x－mx+6=0的两个根分别是x1、x2,且

已知关于x的一元二次方程x2kx

2

2

1x1



1x2

=3，求实数m的值。

12

k

2

20，

（1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设x1、x

2

是方程的两根，且x122kx12x1x25，求k之值。

已知△ABC的两边长a=3，c=5，且第三边长b为关于x的一元二次方程x4xm0的两个正整数根之一，求证△ABC为直角三角形。

例6 已知方程xx10的两个实数根为x1,x2，求： (1)x1x2；

(3)x1x2；

5

2

2

2

2

(2)

1x1



1x2

；

(4)(x11)(x21)。

二、填空题：

1．若方程2x2

5xk0的两根之比是2：3，则

2．若方程2x24x30的两根为a、β，则a22aββ2有 。 3．已知两个数的和是4，积为-2，则这两个数等于 。

4．若方程3x24xk0的两根均为正数，则k的取值范围是三、解答题

2．已知关于x的方程(a21)x2(a1)x10的两实根互为倒数，求a之值.

3．已知关于x的方程x22(m2)xm20，问：是否存在实数m,使方程的两个实数根的平方和 等于56，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

求证:方程无论m为何值时,都有两个不相等的实数根．

三、应用题

1）用配方法求x2 –4x+5的最小值。 3)用配方法求x2 –8x+5的最小值。 解：x2 –4x+5

= x2 –4x+ 22 +1 =( x –2)2 +1

所以x2 –4x+5的最小值是1。 4)用配方法求-x2 +4x+5的最大值。2)用配方法求x2 –4x–5的最小值。

4)用配方法求-x2 +4x+5的最大值。

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