·278·科教文化
线性空间L(P) 的基和维数的求法n
张润石
（四川理工学院理学院，四川自贡643000）
摘要：给出了由数域P 上的n 维线性空间P n 的全体线性变换所构成的线性空间L(Pn ) 的基和维数的求法。并可推广到L(V)的基和维数的求法。
关键词：线性空间；基；维数；极大线性无关组
成可求出L(V)的基和维数。1引言及引理
Á, x Ã, x Á) :x Á P }求L(P3) 的基和维数。对线性空间的研究最基本的要求就是要知道它的基和维数，从例题：已知数域P ，P {(x Â
线性变换而通过对基的变换等对整个空间的性质和结构加以了解。=(1,0,0), e Â=(0,1,0), e Ã=(0,0,1) 解：取P 3的一组基为e Á在代数学上应用非常广泛，不少同学在学习《高等代数》时对由n 维?100?线性空间的V 全体线性变换所构成的线性空间L(V)无法理解，感觉?Á(?Á, ?Â, ?Ã) ?(?Á, ?Â, ?Ã) ?000?2Á??非常抽象，只硬记住L(V)的维数是n 维，其他一无所知，本文给出??000??了由数域P 上的n 维线性空间Pn 的全体线性变换所构成的线性空
?010?间L(Pn)的基和维数的求法。并可推广到L(V)的基和维数的求法。??Á(?Á, ?Â, ?Ã) ?(?Á, ?Â, ?Ã) ?Â定义1[1]?000???000??设s , t 是线性空间V 的任意两个线性变换，线性空间V 上全
?001?(s t )(a ) s (a ) t (a ) , a V ; 和数体变换，对于所定义的加法：
?Á(?Á, ?Ã, ?Â) ?(?Á, ?Ã, ?Â) ?000?V ; k P ，量乘法：也构成数域P 上一个线性Â(k s )(a ) =k s (a ) , a ????000空间。记为L(V)??
n 则由数域P 上的n 维线性空间P 的全体线性变换所构成的线?000?
性空间?Á(?Â, ?Á, ?Ã) ?(?Â, ?Á, ?Ã) ?100?Â??定义2[2]??000??, e Â, L e Á设e Á是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，是中V s 000??
, e Â, L e Á, s e Â, L s e Á) =(e Á, e Â, L e Á) A ，) =(s e Á用矩阵来表示就是s (e Á（1）?Á(?Ã, ?Á, ?Â) ?(?Ã, ?Á, ?Â) ?001?Â?? a Áa ÁL a ÁÁÂÁ ??000?? a Âa ÂL a ÂÁÁÂ ?, ?, ?其中矩阵A = 称为s 在基Á下的矩阵。ÂÁM M M M ?000?a a ÁL a ÁÁÁÂ Á[3]引理1?Á(?Â, ?Ã, ?Á) ?(?Â, ?Ã, ?Á) ?000?Â??, e Â, L e Á设e Á是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基??100??）对应一个n ´n 矩阵，这个对应具有以下，每个线性变换按公式（1000??下性质：??Á(?Ã, ?Â, ?Á) ?(?Ã, ?Â, ?Á) 000?Â??（1）线性变换的和对应于矩阵的和; ??010??（2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；
?000?（3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；?Á(?Â, ?Ã, ?Á) ?(?Â, ?Ã, ?Á) ?000?Á??（4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵。??001??2求解定理
可以通过对矩阵的研究得出线性空间L(Pn ) 的基和维数的求解
定理。参考文献−(1,0, 0), 定理：已知数域P 上的n 维线性空间P n 的一组基为?Á[1]同济大学应用数学系. 线性代数（第四版）[M]. 北京：高等教育出e Á=(0,1,0L 0), L 版社，2003：98. e Á=(0,L 0,1) 。则由P n 的全体线性变换所构成的线性空间L(Pn) . 高等代数[M].北京：[2]张禾瑞，郝 新高等教育出版社，2005：226-:(x , x , L x ) (x ,0, L 0) 的维数是n ?n 维的，并存在一组基为s Á，ÁÁÂÂÁ234.
s Á:(x Â, x Ã, L x Â) (0,0,x Á,0, L 0) L [3]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数s Á:(x Â, x Á, L x Â) (0,x Á,0, L 0) ，（第三ÁÁ
版）[M].北京：高等教育出版社，2003：284. s Á:(x Á, x Â, L x Á) (0,L 0, x Â) 其中l =1, 2, L n . Â, s Â, L s Â证明：显然s Á是线性空间P n 上的线性变换，只需证[4]杨闻起. 线性空间中次子空间的基和维数[J].数学的实践与认识，ÁÁÁ2006（36）：271-274. , s Â, L s Âs Á, s Â, L s Â是极大线性无关组。由引理1知，若证s ÁÁÁÁÁÁÁ[5]李雪佳. 亚子空间的基和维数[J].毕节学院学报，2009（8）：41-45. =(1,0, L 0), , s Â, L s Â线性无关即证s Á在P n 的一组基e ÁÁÁÁ作者简介：张润石（1975，12~），女，出生于吉林磐石市，讲师，硕e Á=(0,1,0L 0), L e ÁE ij 线性无关成=(0,L 0,1) 下的矩阵E ij 线性无关，士研究生，研究方向：代数学。立。矩阵组添加上任意一个n 阶矩阵都线性相关，所以s , s , L s ÁÁÂÁÂÁì=a Á+a Á+L a Áse Áe Áe Âe ÁïÁÂÁï?Á(?Â, ?Á, ?Ã) ?(?Â, ?Á, ?Ã) ?010?ïÁï??se =a e +a e +a e L ÂÁÂÁÂÂÂÂÁÁï的一个线性变换，基向量的像可以被基线性表出：í??000??ïL L L L L L L L L L L ïïïe Áe Âe Á=a Á+a Â+L a ÁïÁÁÁîse Á?000?
是极大线性无关组，是L(P) 一组基。
n , h Â, L h Á推论1：任取P 的一组基h Á，化为标准正交基后仍可得
, s Â, L s Â到s Á其中l =1, 2, L n . ÁÁÁ
推论2：任一n 维线性空间都V 与Pn 同构，利用线性变换的合n
·278·科教文化
线性空间L(P) 的基和维数的求法n
张润石
（四川理工学院理学院，四川自贡643000）
摘要：给出了由数域P 上的n 维线性空间P n 的全体线性变换所构成的线性空间L(Pn ) 的基和维数的求法。并可推广到L(V)的基和维数的求法。
关键词：线性空间；基；维数；极大线性无关组
成可求出L(V)的基和维数。1引言及引理
Á, x Ã, x Á) :x Á P }求L(P3) 的基和维数。对线性空间的研究最基本的要求就是要知道它的基和维数，从例题：已知数域P ，P {(x Â
线性变换而通过对基的变换等对整个空间的性质和结构加以了解。=(1,0,0), e Â=(0,1,0), e Ã=(0,0,1) 解：取P 3的一组基为e Á在代数学上应用非常广泛，不少同学在学习《高等代数》时对由n 维?100?线性空间的V 全体线性变换所构成的线性空间L(V)无法理解，感觉?Á(?Á, ?Â, ?Ã) ?(?Á, ?Â, ?Ã) ?000?2Á??非常抽象，只硬记住L(V)的维数是n 维，其他一无所知，本文给出??000??了由数域P 上的n 维线性空间Pn 的全体线性变换所构成的线性空
?010?间L(Pn)的基和维数的求法。并可推广到L(V)的基和维数的求法。??Á(?Á, ?Â, ?Ã) ?(?Á, ?Â, ?Ã) ?Â定义1[1]?000???000??设s , t 是线性空间V 的任意两个线性变换，线性空间V 上全
?001?(s t )(a ) s (a ) t (a ) , a V ; 和数体变换，对于所定义的加法：
?Á(?Á, ?Ã, ?Â) ?(?Á, ?Ã, ?Â) ?000?V ; k P ，量乘法：也构成数域P 上一个线性Â(k s )(a ) =k s (a ) , a ????000空间。记为L(V)??
n 则由数域P 上的n 维线性空间P 的全体线性变换所构成的线?000?
性空间?Á(?Â, ?Á, ?Ã) ?(?Â, ?Á, ?Ã) ?100?Â??定义2[2]??000??, e Â, L e Á设e Á是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，是中V s 000??
, e Â, L e Á, s e Â, L s e Á) =(e Á, e Â, L e Á) A ，) =(s e Á用矩阵来表示就是s (e Á（1）?Á(?Ã, ?Á, ?Â) ?(?Ã, ?Á, ?Â) ?001?Â?? a Áa ÁL a ÁÁÂÁ ??000?? a Âa ÂL a ÂÁÁÂ ?, ?, ?其中矩阵A = 称为s 在基Á下的矩阵。ÂÁM M M M ?000?a a ÁL a ÁÁÁÂ Á[3]引理1?Á(?Â, ?Ã, ?Á) ?(?Â, ?Ã, ?Á) ?000?Â??, e Â, L e Á设e Á是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基??100??）对应一个n ´n 矩阵，这个对应具有以下，每个线性变换按公式（1000??下性质：??Á(?Ã, ?Â, ?Á) ?(?Ã, ?Â, ?Á) 000?Â??（1）线性变换的和对应于矩阵的和; ??010??（2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；
?000?（3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；?Á(?Â, ?Ã, ?Á) ?(?Â, ?Ã, ?Á) ?000?Á??（4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵。??001??2求解定理
可以通过对矩阵的研究得出线性空间L(Pn ) 的基和维数的求解
定理。参考文献−(1,0, 0), 定理：已知数域P 上的n 维线性空间P n 的一组基为?Á[1]同济大学应用数学系. 线性代数（第四版）[M]. 北京：高等教育出e Á=(0,1,0L 0), L 版社，2003：98. e Á=(0,L 0,1) 。则由P n 的全体线性变换所构成的线性空间L(Pn) . 高等代数[M].北京：[2]张禾瑞，郝 新高等教育出版社，2005：226-:(x , x , L x ) (x ,0, L 0) 的维数是n ?n 维的，并存在一组基为s Á，ÁÁÂÂÁ234.
s Á:(x Â, x Ã, L x Â) (0,0,x Á,0, L 0) L [3]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数s Á:(x Â, x Á, L x Â) (0,x Á,0, L 0) ，（第三ÁÁ
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是极大线性无关组，是L(P) 一组基。
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推论2：任一n 维线性空间都V 与Pn 同构，利用线性变换的合n