2011年全国各地中考数学压轴题专集：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形
3．以平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH，设∠ADC＝（0°＜＜
90°）．
（1）求∠HAE的大小（用含 的代数式表示）； （2）求证：HE＝HG； D
E（3）判断四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．
B
F
6．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC与BD相交于点O，点E在射线BM上．
（1）连接OE，与边CD交于点F．若CE＝OC，求CF的长；
（2）连接DE、AE，AE与对角线BD相交于点P．若△ADE为等腰三角形，求DP的长．
D D
F
C E M C M
备用图
8．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0）． （1）求证：h1＝h3； l22
（2）设正方形ABCD的面积为S，求证：S＝(h1＋h2)＋h1；
l3
（3）若 h1＋h2＝1，当h1变化时，说明正方形ABCD的面
2l 积为S随h1的变化情况．
l
10．矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，现将这张纸片按下列图示方式折叠，AE是折痕．
（1）如图1，P，Q分别为AD，BC的中点，点D的对应点F在PQ上，求PF和AE的长； （2）如图2，DP＝（3）如图3，DP＝
11
AD，CQ＝BC，点D的对应点F在PQ上，求AE的长； 33
11
AD，CQ＝BC，点D的对应点F在PQ上． nn
①直接写出AE的长（用含n的代数式表示）；
②当n越来越大时，AE的长越来越接近于_________． D P
E
C
Q B
D P A
E
C Q B
D P
E
C Q
A
图1
1 图2
A
图3
B
11．如图，等腰梯形ABCD中，AD＝4，BC＝9，∠B＝45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向终D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． （1）求AB的长；
（2）设BP＝x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；
（3）探究：探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，M为CD中点，点E在线段MC上运动，FG垂直平分AE，垂足为O，分别交AD、BC于F、G． （1）求
AE
的值； FG
（2）设CE＝x，四边形AGEF的面积为y，求y关于x的函数关系式；当y取最大值时，判断四边形AGEF的形状，并说明理由．
E
15．如图1，矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，在BC边上取一点E，将△ABE沿AE翻折，使点B落在DC边上的点F处． （1）求CF和EF的长；
（2）如图2，一动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AF向终点F作匀速运动，过点P作PM∥EF交AE于点M，过点M作MN∥AF交EF于点N．设点P运动的时间为t（0＜t＜10），四边形PMNF的面积为S，试探究S的最大值？
（3）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图3，在（2）的条件下，连接FM，若△AMF为等腰三角形，求点M的坐标．
C D D E E
A B
（图1） （图2）
2
16．如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（6，0），（0，2），M是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点M的直线y＝－
2
x＋m交折线OAB于点N． 3
（1）记△MOE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出m的取值范围；
（2）当点N在线段OA上时，若矩形OABC关于直线MN的对称图形为四边形O1A1B1C1． ①当m为何值时，B、N、B1三点在同一直线上；
②试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．
备用图 备用图
18
．如图，菱形ABCD中，AB＝10，sinA＝
4
，点E在AB上，AE＝4，过点E作EF∥AD，5
交
CD于F，点P从点A出发，以每秒1个单位长的速度沿线段AB向终点B匀速运动，同时点Q从点E出发，以相同的速度沿线段EF向终点F匀速运动，设运动时间为t（秒）． （1）当t＝5秒时，求PQ的长；
（2）当BQ平分∠ABC时，直线PQ将菱形ABCD的周长分成两部分，求这两部分的比； （3）以P为圆心，PQ长为半径的⊙P是否能与直线AD相切？如果能，求此时t的值；如果不能，说明理由．
C
备用图
3
22．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，BC∥OA，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，8），OA＝OB． （1）求点B的坐标；
（2）点P从点A出发，沿线段AO以1个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PH⊥OA，交折线A－B－O于点H，设点P的运动时间为t秒（0≤t≤10）． ①是否存在某个时刻t，使△OPH的面积等于△OAB面积的
3
？若存在，求出t的值，20
若不存在，请说明理由；
②以P为圆心，PA长为半径作⊙P，当⊙P与线段OB只有一个公共点时，求t的值或t的取值范围．
23．如图，在
Rt△OAB中，∠A＝90°，∠ABO＝30°，OB
＝
83
AB的垂直平分线CD3
分别与AB、x轴、y轴交于点C、E、D． （1）求点E的坐标；
（2）求直线CD的解析式；
（3）在直线CD上和坐标平面内是否分别存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图，ABCD是一张矩形纸片，AD＝BC＝1，AB＝CD＝5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．
K
1
B A A M
（1）若∠1＝70°，求∠MKN的度数；
1
（2）△MNK的面积能否小于？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；
2
（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值．
A B A B
4
28．已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．
（1）如图①，当PA的长度等于_________时，∠PAB＝60°；
当PA的长度等于_________时，△PAD是等腰三角形；
（2）如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），记△PAD、△PAB、△PBC的面积分别为S1、S2、S3．设P点坐标
为（a，b），试求2S1S3－S2的最大值，并求出此时a、b
A B （图①）
31．如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．
（1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；
（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．
Q C
N
M F
A B E P
33．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝6，BC＝8，AD＝14，点E、F、G分别在BC、AB、AD上，且BE＝3，BF＝2，以EF、FG为邻边作□EFGH，连接CH、DH．
（1）直接写出点H到AD的距离；
（2）若点H落在梯形ABCD内或其边上，求△HGD面积的最大值与最小值； （3）当△EHC为等腰三角形时，求AG的长．
E B
F
A D G
5
2
34．已知菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上（点E、F分别不与点C、D重合），且AE＝AF，∠EAF＝54°．
（1）如图1，当AC平分∠EAF时，若AB＝AE，求∠AEB的度数；
（2）如图2，当AC不平分∠EAF时，若△ABE是一个等腰三角形，求∠AEB的度数．
D
D
F
C C
图1 图2
35．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90º，BC＝2，D是线段BC上一点，以AD为边，在AD的右侧作正方形ADEF．直线AE与直线BC交于点G，连接CF． （1）猜想线段CF与线段BD的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）连接FG，当△CFG是等腰三角形时，求BD的长．
A A
F
C C
备用图
E
37．在矩形ABCD中，点P在AD上，AB＝2，AP＝1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F，连接EF（如图1）．
（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图2），求PC的长； （2）探究：将直尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：
①tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由；
②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长． A P D A P D
C E) (F图1 图2
6
38．已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC＝60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．
（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为点P． ①猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断
11＋是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请DMDN
说明理由．
F C B
图1 图2
图3
40．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝10，AB＝3，BC＝14，点E、F分别在BC、DC上，将梯形ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD上一点C′，再沿C′G折叠四边形C′ABE，使AC′ 与C′E重合，且C′A过点E． （1）试证明C′G∥EF；
（2）若点A′ 与点E重合，求此时图形重叠部分的面积． C′ A A
B C B C G
A′
备用图
B′
42．如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE＝AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→C→B向终点B运动，直线EP交AD于F，过点F作直线FG⊥DE于G，交AB于Q．设点P运动时间为t（秒）． （1）求证：AF＝AQ；
（2）当t为何值时，四边形PQBC是矩形？
（3）如图2，连接PB，当t为何值时，△PQB是等腰三角形？
图2
E 图1
7
E
43．如图1，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝AD＝4，BC＝6．点E为AB边上一点，EF∥DC，交BC边于点F，FG∥ED，交DC边于点G． （1）若四边形DEFG为矩形，求AE的长；
（2）如图2，将（1）中的∠DEF绕E点逆时针旋转，得到∠D′EF′，EF′交BC边于F′点，且F′点与C点不重合，射线ED′交AD边于点M，作F′N∥ED′交DC边于点N．设AM的长为x，△NF′C中，F′C边上的高为y，求y关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值
D′
范围．
N
E E
F F
图1 图2
45．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝5，BD＝3，以B点为坐标原点、AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．将平行四边形ABCD绕B点逆时针方向旋转，使C点落在y轴正半轴上，C、D、A三点旋转后的位置分别是E、F和G三点． （1）求证：点D在y轴上；
（2）若直线y＝kx＋b经过E、F两点，求直线EF的解析式；
（3）将平行四边形EFGB沿y轴正半轴向上平移，得平行四边形E′F′G′B′．设BB′＝m（0＜m≤3），平行四边形E′F′G′B′与平行四边形ABCD重叠部分的面积为S，求S关于m的函数关系式．
46．已知矩形ABCD中，AB＝7，AD＝6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，且AH＝2，连接CF． （1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长； （2）当△FCG的面积为1时，求DG的长；
（3）当△FCG的面积最小时，求DG的长．
8
47．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角线APQ．当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B． （1）求点B的坐标；
（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ为定值；
（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
48．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝m（m＞4），点P是AB边上的任意一（不与点A、B重合），连结PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q．
（1）当m＝10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；
（2）连结AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）
（3）若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围． D
49．已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且始终保持PE＝PD．
（1）如图1，当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）；
（2）如图2，当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图3，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）
B B
图1
图
2 9
51．如图：菱形ABCD由两个等边三角形组成，点P是△ABD内任一点，将△BPD绕点B旋转到△BQC的位置．则：
（1）当四边形BPDQ是平行四边形时，求∠BPD； （2）当△PQD是等腰直角三角形时，求∠BPD； （3）若∠APB＝100°，且△PQD是等腰三角形时，求∠BPD． D
PA C
B 56．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F．连接BE，DF． （1）求证：∠ADP＝∠EPB； （2）求∠CBE的度数；
AP
（3）当的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由．
AB
E
58．如图，直线l1与x轴、y轴分别交于点A（8，0）、点B，经过原点的直线l2与AB交于15点C（3），与过点A且平行于y轴的直线交于点D．E是直线AB上的动点，过点E作
4
y轴的平行线，与直线CD交于点F，以EF为边向右侧作正方形EFGH．设E点的横坐标为t．
（1）点求直线l1的解析式；
（2）当点E在线段AC上时，求正方形EFGH与△ACD重叠部分的面积的最大值；
9
（3）设点M坐标为（4，），在点E的运动过程中，点M能否在正方形EFGH内部？若
2
能，求t的取值范围；若不能，请说明理由．
10
59．如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝90°，AB＝7，AD＝9，BC＝12，在线段BC上任取一点E，连结DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F． （1）若点F与B重合，求CE的长；
（2）若点F在线段AB上，且AF＝CE，求CE的长；
（3）设CE＝x，BF＝y，写出y关于x的函数关系式（直接写出结果即可）． AD AD
F
B E C B
C
备用图
63．如图，在□ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，CE、AF与对角线BD分别相交于点G、H．
（1）求证：DH=HG=BG；
（2）如果AD⊥BD，求证：四边形EGFH是菱形．
64．如图，点F是正方形ABCD的边CD上的动点（可与C、D重合），AE平分∠BAF交BC边于点E．
点F在线段CD上运动，AE平分∠BAF交BC边于点E． （1）求证：AF＝BE＋DF；
（2）若正方形ABCD的边长为1，△ABE与△ADF的面积之和为S．问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时DF的长；若不存在，请说明理由．
F
B E
C
65．如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的动点，满足∠EAF＝45°． （1）求证：BE＋DF＝EF；
（2）若正方形ABCD的边长为1，求△CEF内切圆半径的最大值． F
66．如图，直线y＝3x＋6交x轴、y轴于B、A两点，点C在x轴上，点D的坐标为（6，6），四边形ABCD是等腰梯形． （1）求点C的坐标；
（2）点P是坐标平面内一点，且△PAB、△PBC、△PCD、△PAD都是等腰三角形，求点P的坐标．
70．已知直线l过点A（3，7），交x轴的正半轴于点N，交y轴的正半轴于点M． （1）如图1，求△MON面积的最小值；
（2）如图2，正方形ABCD内接于△MON，边AD在直线l上，顶点B、C分别在线段OM、ON上，求此时直线l的解析式．
图2 图1
71．如图，将边长为a的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、DC上），使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，GH与DC交于点M，连接BG与EF交于点N． M（1）求证：①BG＝EF；②△DGM的周长为定值；
（2）当四边形AEFD的面积最大时，求AG的长． GN
E K A B
77．已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF＝∠ACD．
（1）如图1，若AB＝BC＝AC，求证：AE＝EF； （2）如图2，若AB＝BC，（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论； （3）如图3，若AB＝kBC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出AE与EF之间的数量关系，并证明． A D
C
图1 图2 图3
78．如图，正方形ABCD的边长为2，M是AB的中点，点P是射线DC上的动点，过P作PE⊥DM于E．
（1）若以P、E、M为顶点的三角形与△ABM相似，求PD的长；
（2）若以C为圆心，CP为半径的⊙C与线段DM只有一个公共点，求PD的长或PD的取值范围．
P C C D D
A M B A M B
P为线段DE79．如图1，在矩形ABCD中，点E在边AD上，∠ABE＝30°，BE备用图＝DE，点
上的任意一点，过点P作PQ∥BD，交BE于点Q． （1）若AB＝23，求边AD的长；
（2）如图2，在（1）的条件下，若点P为线段DE的中点，连接CQ，过点P作PF⊥QC于F，求线段PF的长；
（3）试判断BE、PQ、PD这三条线段的长度之间有怎样的数量关系？请证明你的结论．
A D A D
F
C B C
图1 图2
82．如图，直角梯形OABC的直角顶点O在坐标原点，∠OAB＝60°，顶点A、C的坐标分别为（10，0）、（0，23），点E在线段OA上（不与A重合），点F在射线AB上．将△AEF沿EF折叠，使点A落在射线AB上点A′ 处，设点E的横坐标为x，△A′EF与梯形OABC重叠部分的面积为S．
（1）当重叠部分的图形为四边形时，求x的取值范围； （2）求S关于x的函数关系式；
（3）S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求此时x的值；若不存在，请说明理由．
备用图
83．已知在矩形ABCD中，AB＝1，点P在对角线AC上，直线l过点P且与AC垂直，与AD相交于点E．
（1）若AD＝a，直线l与边BC相交于点G（如图1），AP＝代数式表示）；
1
AC，求AE的长（用含a的3
（2）在（1）中，又直线l把矩形分成的两部分面积比为2 :5，求a的值；
（3）若AP＝
1
AC，且直线l经过点B（如图2），求AD的长； 4
（4）若直线l分别与边AD、AB相交于点E、F，AP＝
1
AC．设AD的长为x，△AEF的面4
积为y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
A D
B C G
D
C
图2
图1
86．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－
1
x＋b（b＞0）分别交x轴、y轴于A、B两点，2
以OA、OB为边作矩形OACB，D为BC的中点．以M（4，0）、N（8，0）为斜边端点作等腰直角三角形PMN，点P在第一象限，设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S． （1）求点P的坐标；
（2）求S与b的函数关系式； （3）若在直线y＝－
1
x＋b（b＞0）上存在点Q，使∠OQM＝90°，求b的取值范围； 2
（4）在b值的变化过程中，若△PCD为等腰三角形，求所有符合条件的b值．
2011年全国各地中考数学压轴题专集：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形
3．以平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH，设∠ADC＝（0°＜＜
90°）．
（1）求∠HAE的大小（用含 的代数式表示）； （2）求证：HE＝HG； D
E（3）判断四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．
B
F
6．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC与BD相交于点O，点E在射线BM上．
（1）连接OE，与边CD交于点F．若CE＝OC，求CF的长；
（2）连接DE、AE，AE与对角线BD相交于点P．若△ADE为等腰三角形，求DP的长．
D D
F
C E M C M
备用图
8．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0）． （1）求证：h1＝h3； l22
（2）设正方形ABCD的面积为S，求证：S＝(h1＋h2)＋h1；
l3
（3）若 h1＋h2＝1，当h1变化时，说明正方形ABCD的面
2l 积为S随h1的变化情况．
l
10．矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，现将这张纸片按下列图示方式折叠，AE是折痕．
（1）如图1，P，Q分别为AD，BC的中点，点D的对应点F在PQ上，求PF和AE的长； （2）如图2，DP＝（3）如图3，DP＝
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AD，CQ＝BC，点D的对应点F在PQ上，求AE的长； 33
11
AD，CQ＝BC，点D的对应点F在PQ上． nn
①直接写出AE的长（用含n的代数式表示）；
②当n越来越大时，AE的长越来越接近于_________． D P
E
C
Q B
D P A
E
C Q B
D P
E
C Q
A
图1
1 图2
A
图3
B
11．如图，等腰梯形ABCD中，AD＝4，BC＝9，∠B＝45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向终D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． （1）求AB的长；
（2）设BP＝x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；
（3）探究：探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，M为CD中点，点E在线段MC上运动，FG垂直平分AE，垂足为O，分别交AD、BC于F、G． （1）求
AE
的值； FG
（2）设CE＝x，四边形AGEF的面积为y，求y关于x的函数关系式；当y取最大值时，判断四边形AGEF的形状，并说明理由．
E
15．如图1，矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，在BC边上取一点E，将△ABE沿AE翻折，使点B落在DC边上的点F处． （1）求CF和EF的长；
（2）如图2，一动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AF向终点F作匀速运动，过点P作PM∥EF交AE于点M，过点M作MN∥AF交EF于点N．设点P运动的时间为t（0＜t＜10），四边形PMNF的面积为S，试探究S的最大值？
（3）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图3，在（2）的条件下，连接FM，若△AMF为等腰三角形，求点M的坐标．
C D D E E
A B
（图1） （图2）
2
16．如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（6，0），（0，2），M是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点M的直线y＝－
2
x＋m交折线OAB于点N． 3
（1）记△MOE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出m的取值范围；
（2）当点N在线段OA上时，若矩形OABC关于直线MN的对称图形为四边形O1A1B1C1． ①当m为何值时，B、N、B1三点在同一直线上；
②试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．
备用图 备用图
18
．如图，菱形ABCD中，AB＝10，sinA＝
4
，点E在AB上，AE＝4，过点E作EF∥AD，5
交
CD于F，点P从点A出发，以每秒1个单位长的速度沿线段AB向终点B匀速运动，同时点Q从点E出发，以相同的速度沿线段EF向终点F匀速运动，设运动时间为t（秒）． （1）当t＝5秒时，求PQ的长；
（2）当BQ平分∠ABC时，直线PQ将菱形ABCD的周长分成两部分，求这两部分的比； （3）以P为圆心，PQ长为半径的⊙P是否能与直线AD相切？如果能，求此时t的值；如果不能，说明理由．
C
备用图
3
22．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，BC∥OA，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，8），OA＝OB． （1）求点B的坐标；
（2）点P从点A出发，沿线段AO以1个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PH⊥OA，交折线A－B－O于点H，设点P的运动时间为t秒（0≤t≤10）． ①是否存在某个时刻t，使△OPH的面积等于△OAB面积的
3
？若存在，求出t的值，20
若不存在，请说明理由；
②以P为圆心，PA长为半径作⊙P，当⊙P与线段OB只有一个公共点时，求t的值或t的取值范围．
23．如图，在
Rt△OAB中，∠A＝90°，∠ABO＝30°，OB
＝
83
AB的垂直平分线CD3
分别与AB、x轴、y轴交于点C、E、D． （1）求点E的坐标；
（2）求直线CD的解析式；
（3）在直线CD上和坐标平面内是否分别存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图，ABCD是一张矩形纸片，AD＝BC＝1，AB＝CD＝5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．
K
1
B A A M
（1）若∠1＝70°，求∠MKN的度数；
1
（2）△MNK的面积能否小于？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；
2
（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值．
A B A B
4
28．已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．
（1）如图①，当PA的长度等于_________时，∠PAB＝60°；
当PA的长度等于_________时，△PAD是等腰三角形；
（2）如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），记△PAD、△PAB、△PBC的面积分别为S1、S2、S3．设P点坐标
为（a，b），试求2S1S3－S2的最大值，并求出此时a、b
A B （图①）
31．如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．
（1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；
（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．
Q C
N
M F
A B E P
33．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝6，BC＝8，AD＝14，点E、F、G分别在BC、AB、AD上，且BE＝3，BF＝2，以EF、FG为邻边作□EFGH，连接CH、DH．
（1）直接写出点H到AD的距离；
（2）若点H落在梯形ABCD内或其边上，求△HGD面积的最大值与最小值； （3）当△EHC为等腰三角形时，求AG的长．
E B
F
A D G
5
2
34．已知菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上（点E、F分别不与点C、D重合），且AE＝AF，∠EAF＝54°．
（1）如图1，当AC平分∠EAF时，若AB＝AE，求∠AEB的度数；
（2）如图2，当AC不平分∠EAF时，若△ABE是一个等腰三角形，求∠AEB的度数．
D
D
F
C C
图1 图2
35．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90º，BC＝2，D是线段BC上一点，以AD为边，在AD的右侧作正方形ADEF．直线AE与直线BC交于点G，连接CF． （1）猜想线段CF与线段BD的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）连接FG，当△CFG是等腰三角形时，求BD的长．
A A
F
C C
备用图
E
37．在矩形ABCD中，点P在AD上，AB＝2，AP＝1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F，连接EF（如图1）．
（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图2），求PC的长； （2）探究：将直尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：
①tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由；
②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长． A P D A P D
C E) (F图1 图2
6
38．已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC＝60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．
（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为点P． ①猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断
11＋是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请DMDN
说明理由．
F C B
图1 图2
图3
40．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝10，AB＝3，BC＝14，点E、F分别在BC、DC上，将梯形ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD上一点C′，再沿C′G折叠四边形C′ABE，使AC′ 与C′E重合，且C′A过点E． （1）试证明C′G∥EF；
（2）若点A′ 与点E重合，求此时图形重叠部分的面积． C′ A A
B C B C G
A′
备用图
B′
42．如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE＝AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→C→B向终点B运动，直线EP交AD于F，过点F作直线FG⊥DE于G，交AB于Q．设点P运动时间为t（秒）． （1）求证：AF＝AQ；
（2）当t为何值时，四边形PQBC是矩形？
（3）如图2，连接PB，当t为何值时，△PQB是等腰三角形？
图2
E 图1
7
E
43．如图1，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝AD＝4，BC＝6．点E为AB边上一点，EF∥DC，交BC边于点F，FG∥ED，交DC边于点G． （1）若四边形DEFG为矩形，求AE的长；
（2）如图2，将（1）中的∠DEF绕E点逆时针旋转，得到∠D′EF′，EF′交BC边于F′点，且F′点与C点不重合，射线ED′交AD边于点M，作F′N∥ED′交DC边于点N．设AM的长为x，△NF′C中，F′C边上的高为y，求y关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值
D′
范围．
N
E E
F F
图1 图2
45．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝5，BD＝3，以B点为坐标原点、AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．将平行四边形ABCD绕B点逆时针方向旋转，使C点落在y轴正半轴上，C、D、A三点旋转后的位置分别是E、F和G三点． （1）求证：点D在y轴上；
（2）若直线y＝kx＋b经过E、F两点，求直线EF的解析式；
（3）将平行四边形EFGB沿y轴正半轴向上平移，得平行四边形E′F′G′B′．设BB′＝m（0＜m≤3），平行四边形E′F′G′B′与平行四边形ABCD重叠部分的面积为S，求S关于m的函数关系式．
46．已知矩形ABCD中，AB＝7，AD＝6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，且AH＝2，连接CF． （1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长； （2）当△FCG的面积为1时，求DG的长；
（3）当△FCG的面积最小时，求DG的长．
8
47．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角线APQ．当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B． （1）求点B的坐标；
（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ为定值；
（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
48．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝m（m＞4），点P是AB边上的任意一（不与点A、B重合），连结PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q．
（1）当m＝10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；
（2）连结AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）
（3）若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围． D
49．已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且始终保持PE＝PD．
（1）如图1，当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）；
（2）如图2，当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图3，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）
B B
图1
图
2 9
51．如图：菱形ABCD由两个等边三角形组成，点P是△ABD内任一点，将△BPD绕点B旋转到△BQC的位置．则：
（1）当四边形BPDQ是平行四边形时，求∠BPD； （2）当△PQD是等腰直角三角形时，求∠BPD； （3）若∠APB＝100°，且△PQD是等腰三角形时，求∠BPD． D
PA C
B 56．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F．连接BE，DF． （1）求证：∠ADP＝∠EPB； （2）求∠CBE的度数；
AP
（3）当的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由．
AB
E
58．如图，直线l1与x轴、y轴分别交于点A（8，0）、点B，经过原点的直线l2与AB交于15点C（3），与过点A且平行于y轴的直线交于点D．E是直线AB上的动点，过点E作
4
y轴的平行线，与直线CD交于点F，以EF为边向右侧作正方形EFGH．设E点的横坐标为t．
（1）点求直线l1的解析式；
（2）当点E在线段AC上时，求正方形EFGH与△ACD重叠部分的面积的最大值；
9
（3）设点M坐标为（4，），在点E的运动过程中，点M能否在正方形EFGH内部？若
2
能，求t的取值范围；若不能，请说明理由．
10
59．如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝90°，AB＝7，AD＝9，BC＝12，在线段BC上任取一点E，连结DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F． （1）若点F与B重合，求CE的长；
（2）若点F在线段AB上，且AF＝CE，求CE的长；
（3）设CE＝x，BF＝y，写出y关于x的函数关系式（直接写出结果即可）． AD AD
F
B E C B
C
备用图
63．如图，在□ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，CE、AF与对角线BD分别相交于点G、H．
（1）求证：DH=HG=BG；
（2）如果AD⊥BD，求证：四边形EGFH是菱形．
64．如图，点F是正方形ABCD的边CD上的动点（可与C、D重合），AE平分∠BAF交BC边于点E．
点F在线段CD上运动，AE平分∠BAF交BC边于点E． （1）求证：AF＝BE＋DF；
（2）若正方形ABCD的边长为1，△ABE与△ADF的面积之和为S．问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时DF的长；若不存在，请说明理由．
F
B E
C
65．如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的动点，满足∠EAF＝45°． （1）求证：BE＋DF＝EF；
（2）若正方形ABCD的边长为1，求△CEF内切圆半径的最大值． F
66．如图，直线y＝3x＋6交x轴、y轴于B、A两点，点C在x轴上，点D的坐标为（6，6），四边形ABCD是等腰梯形． （1）求点C的坐标；
（2）点P是坐标平面内一点，且△PAB、△PBC、△PCD、△PAD都是等腰三角形，求点P的坐标．
70．已知直线l过点A（3，7），交x轴的正半轴于点N，交y轴的正半轴于点M． （1）如图1，求△MON面积的最小值；
（2）如图2，正方形ABCD内接于△MON，边AD在直线l上，顶点B、C分别在线段OM、ON上，求此时直线l的解析式．
图2 图1
71．如图，将边长为a的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、DC上），使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，GH与DC交于点M，连接BG与EF交于点N． M（1）求证：①BG＝EF；②△DGM的周长为定值；
（2）当四边形AEFD的面积最大时，求AG的长． GN
E K A B
77．已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF＝∠ACD．
（1）如图1，若AB＝BC＝AC，求证：AE＝EF； （2）如图2，若AB＝BC，（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论； （3）如图3，若AB＝kBC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出AE与EF之间的数量关系，并证明． A D
C
图1 图2 图3
78．如图，正方形ABCD的边长为2，M是AB的中点，点P是射线DC上的动点，过P作PE⊥DM于E．
（1）若以P、E、M为顶点的三角形与△ABM相似，求PD的长；
（2）若以C为圆心，CP为半径的⊙C与线段DM只有一个公共点，求PD的长或PD的取值范围．
P C C D D
A M B A M B
P为线段DE79．如图1，在矩形ABCD中，点E在边AD上，∠ABE＝30°，BE备用图＝DE，点
上的任意一点，过点P作PQ∥BD，交BE于点Q． （1）若AB＝23，求边AD的长；
（2）如图2，在（1）的条件下，若点P为线段DE的中点，连接CQ，过点P作PF⊥QC于F，求线段PF的长；
（3）试判断BE、PQ、PD这三条线段的长度之间有怎样的数量关系？请证明你的结论．
A D A D
F
C B C
图1 图2
82．如图，直角梯形OABC的直角顶点O在坐标原点，∠OAB＝60°，顶点A、C的坐标分别为（10，0）、（0，23），点E在线段OA上（不与A重合），点F在射线AB上．将△AEF沿EF折叠，使点A落在射线AB上点A′ 处，设点E的横坐标为x，△A′EF与梯形OABC重叠部分的面积为S．
（1）当重叠部分的图形为四边形时，求x的取值范围； （2）求S关于x的函数关系式；
（3）S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求此时x的值；若不存在，请说明理由．
备用图
83．已知在矩形ABCD中，AB＝1，点P在对角线AC上，直线l过点P且与AC垂直，与AD相交于点E．
（1）若AD＝a，直线l与边BC相交于点G（如图1），AP＝代数式表示）；
1
AC，求AE的长（用含a的3
（2）在（1）中，又直线l把矩形分成的两部分面积比为2 :5，求a的值；
（3）若AP＝
1
AC，且直线l经过点B（如图2），求AD的长； 4
（4）若直线l分别与边AD、AB相交于点E、F，AP＝
1
AC．设AD的长为x，△AEF的面4
积为y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
A D
B C G
D
C
图2
图1
86．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－
1
x＋b（b＞0）分别交x轴、y轴于A、B两点，2
以OA、OB为边作矩形OACB，D为BC的中点．以M（4，0）、N（8，0）为斜边端点作等腰直角三角形PMN，点P在第一象限，设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S． （1）求点P的坐标；
（2）求S与b的函数关系式； （3）若在直线y＝－
1
x＋b（b＞0）上存在点Q，使∠OQM＝90°，求b的取值范围； 2
（4）在b值的变化过程中，若△PCD为等腰三角形，求所有符合条件的b值．