轴对称
对称是一个十分宽广的概念，它出现在数学教材中，也存在于日常生活中，能在文学意境中感受它，也能在建筑物、绘画艺术、日常生活用品中看到它，更存在于大自然的深刻结构中．数学和人类文明同步发展，“对称”只是是纷繁数学文化中的标志之一．
让我们来认识下轴对称在生活中的应用吧
一、从轴对称图形中发现对称原理的运用
根据轴对称图形的一半和对称轴可以精确的画出轴对称图形的另一半图形，这是在教学了轴对称图形后常见的习题。在数学中，轴对称图形同时也为人们研究数学提供了某些启示，例如它在博弈问题中也常运用这一原理。如：桌面上有21个棋子，排成一排，你一次可以拿一粒也可以拿两粒棋子，甚至可以拿三个棋子。想拿哪里的棋子都行，不必按顺序拿，但拿两粒或三粒棋子时必须是相邻的即中间没有空隔或其他棋子，问：“两人轮流拿谁拿到最后一粒谁赢，你如果先拿能保证赢吗？”
这题看上去挺复杂，按排列组合众多拿法要想一一分析清楚太费力，其实运用对称原理就非常简单，先拿的人只要先拿走中间一粒，即第十一粒棋，这样左、右两边各剩十粒，这样对方拿左边的棋子，你就拿右边的棋子，并且个数和位置和他对称，如果对方拿右边的棋子，你就按照他拿左边的棋子，总之只要保持左、右两边的棋子剩下的个数和位置一样，只要他有的拿，你也有的拿，因此最后一粒必然落入你手中，因此先拿必胜，如果棋子是20粒（偶数个），你就先拿中间的两粒，让左右两边各剩9粒棋子，这样你就必胜。
类似的题目还有如：用若干一元的硬币两人轮流将它摆在一个大圆盘上，要求硬币之间不能重叠，谁摆不下谁算输，是先摆赢还是后摆赢？显然根据对称原理，先摆的人只要先占住圆心，以后对方摆哪你就照他在对面对称着摆出，只要他有空间摆，那么在相对称的地方也必定有空间摆，直至对方摆不下为止，对方先输。其实这两题的思维方法都来自轴对称图形的基本特征，教师在教学完轴对称图形的内容后可以适当的渗透这方面的知识，学生即乐于学习，又加深对轴对称图形知识的运用和深层理解，发现对称的美，感受到数学的魅力。
用对称图形表示对偶。数学的对称美自然地表现在数学元素的“对偶”和数学命题的对偶上。但是“对偶”没有几何的直观。如何使数学中的“对偶”有视觉上的对称美,并且利用这种美发现数学问题? 射影几何学在这方面有极好的应用。 例1 在欧氏平面几何中,对命题“过两点可以作一条直线”。我们把其中“点”换成“直线”,“直线”换成“点”,再适当改变关系词,则命题变为“两直线交于一点”。而这个命题显然是错误的,因为两直线平行时就没有交点。这说明在这个命题中,点与直线的关系不是对称的。设想两平行直线在无穷远点相交,这时点与直线就形成对称关系。狄沙格正是在此设想下初步建立了射影几何理论。我们把例1中的对偶关系用下面的图直观的表现出来:上行表示过两点可以确定一条直线,箭头的含义是“确定”。左、右两个箭头表示交换点与直线的位置。下行表示“两直线交于一点”,箭头的含义是“相交”,这是根据设想做出的,这个设想使图
(1)成为完美的矩形,并且点与直线的对偶关系转化为了
几何上的对称。数学中的对称美为数学研究提供了一种独特的方法,即对称法。
简单的说,对称法就是运用对称性的思维方法。例1中所做的“设想”就是使用了对称法。数学家利用这一方法,揭示和发现了很多的数学奥秘,得到非常有用的理论和结论。也正是对称法,启发我们将“对偶”转化为“对称”。除了射影几何外,现代代数学中也有此类应用。
数学形式和结构的对称性,数学命题关系中的对偶性都是对称美的自然表现.在数学解题方面,对称方法往往使问题解决的过程简捷明快.因对称和谐,它唤起人们探索的兴趣,人们长去研究它,数学方法是一门科学又是一门艺术,因此研究数学中的对称美与对称性原理解题是有价值的课题.Ⅰ.对称美及对称性原理在数学发现中的用途举例
.利用对称性,预测问题结果
当人们面临一个课题或解一道数学难题时,往往先对结果作一大致的估量或预测而不是先用于计算或论证,有些数学问题可以根据其对称性,先预测结果,再进行证明.
例1. 已知x,y,z∈R,且x+y+z=1求函数f(x,y,z)= ﹢4x+1+4y+1+4z+1的最
大值
分析直接求最大值,无从下手,观察变量x,y,z可知:它们在条件及函数f(x,y,z)中均具有对称性,可预测当x=y=z=1时函数取最大值.此时,函数f(x,y,z)的值为3
1114⨯+1+4⨯+1+4⨯+1=21 333
从而4x+1+4y+1+4z+1≤21
只需进一步检测预测结果的正确性,将求最值题转化为证明题,降低了原题的难度. 上不等式通过基本不等式 x2+y2+z2x+y+z≥不难证得 33
.运用对称性,诱发解题灵感
有些数学问题,用对称的眼光去观察﹑审视,通过形﹑式的补美造成对称或采用对称变换调整元素之间的关系,往往能诱发解题灵感,简化解题过程.
例2. 若a,b,c表示三角形三边之长,
求证:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc
分析本题关于a,b,c是对称的,这就启发我们将3abc移到左平分给三个加项,即需证:
[a2(b+c-a)-abc]+[b2(c+a-b)-abc]+[c2(a+b-c)-abc] ≤0
由对称性,我们只需变换上式左边中的某一项,如
2a(b+c-a)-abc=ab(a-c)+a2(c-a)
=a(a-b)(c-a)
于是, 左边其余两项显然为:b(b-c)(a-b),c(c-a)(b-c)
又因为关于a,b,c对称,故不妨假设a ≥b ≥c
此时, c(c-a)(b-c) ≤0
而a(a-b)(c-a) +a(a-b)(c-a)=(a-b)[c(a-b)-(a2-b2)]
=(a-b)2[c-(a+b)] ≤0
从而原不等式获证
.洞察对称性,巧妙转化问题
对于一些数学问题,若能洞察到问题所具有的对称性,往往可将
题巧妙转化,使问题解题思路简捷﹑化难为易﹑避繁就简.
例3. 自点A(-3,3)发出光线h射到x到轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆
22x+y-4x-4y+7=0相切,求光线h所在的直线方程
分析 :本题解法颇多,若能运用对称的思想,巧妙转化问题,不难发现原命题即为:”求过点
22A(-3,3)且与⊙c(x-2)+(y-2)=1对称的圆⊙c¹相切的直线方程”如图,
这样的转化不但明确了解题
思路,而且简化了解题计算量
,设直线h的方程y-3=k(x+3)则根据⊙c¹的圆心C’(2,-2)到直线h的方程的距离等于⊙c¹的半径1,可求出k=-',从而求出直线方程 3'
下面我们来看一下对称的应用吧
一，二重积分中的对称性
(1) 通常，二重积分具有如下对称性性质：
① 如果积分区域D关于x轴对称，f(x,y)为y的奇偶函数，则二重积分
⎰⎰D⎧0,⎪f(x,y)dxdy=⎨2fx,ydxdy,()⎪⎰⎰⎩D1f(x,y)为y的奇函数,f(x,y)为y的偶函数. D1为D在上半平面部分.
② 如果积分区域D关于y轴对称，f(x,y)为x的奇偶函数，则二重积分
⎰⎰D⎧0,⎪f(x,y)dxdy=⎨2fx,ydxdy,()⎪⎰⎰⎩D2f(x,y)为x的奇函数,f(x,y)为x的偶函数.
D2为D在右半平面部分.
③ 如果积分区域D关于原点对称，f(x,y)为x,y的奇偶函数，则二重积分
⎰⎰D⎧0,⎪f(x,y)dxdy=⎨2fx,ydxdy,()⎪⎰⎰⎩D2f(x,y)为x,y的奇函数,f(x,y)为x,y的偶函数.
D1为D在上半平面部分.
④ 如果积分区域D关于直线y=x对称，则二重积分
⎰⎰f(x,y)dxdy=⎰⎰f(y,x)dxdy.
DD
二、两线两点求线路最短
例4. 如图4所示，一个港湾，停留了M、N两艘轮船。
（1）M船的船长从M处出发，先到OA岸，再到N船。船长如何走使水路最短？
（2）若M船的船长从M处出发，先到OA岸，再到OB岸，最后到N船，船长如 何走使水路最短？
图4
解：（1）如图5所示，作点N关于OA的对称点C，连结MC，交OA于E，则从M 到E再到N的水路最短。
（2）如图6所示，作点M关于OA的对称点M”，作点N关于OB的对称点N”， 连结M”N”，交OA于P，交OB于Q，则从M到P，从P到Q，再从Q到N的水 路最短。
图5 图6
变式:如图6,M为马厩,OA为草地,OB为河,N为营地,将军每天从马厩牵出马去草 地放牧,然后去 河边饮马,最后回到营地,请帮他设计最短线路
.
对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略.
三、点关于直线的对称问题
点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.
例2 求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标.
分析 因为A，A′关于直线对称，所以直线l是线段AA′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口.
解 据分析，直线l与直线AA′垂直，并且平分线段AA′，设A′的坐标为（x，y），则AA′的中点B的坐标为 ⎛1+x3+y⎫•,,•k⎪•2⎭⎝2AA'=y-3•. x-1
3+y⎧1+x+2⨯-3=0⎪22⎪由题意可知，⎨， y-31⎛⎫⎪∙ -⎪=-1⎪⎩x-1⎝2⎭
3⎧x=-⎪⎪5解得⎨. 故所
⎪y=-1
⎪5⎩
四、直线关于直线的对称问题
直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.
例4 求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.
分析 由题意，所给的两直线l1，l2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.
解 根据分析，可设直线l的方程为x-y+c=0，在直线l1：x-y-1=0上取点M（1，0），则易求得M关于直线l2：x-y+1=0的对称点N（-1，2），
将N的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，
故所求直线l的方程为x-y+3=0.
点评 将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l的形式，然后再在直线l2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.
例5 试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程.
分析 两直线相交，可先求其交点，再利用到角公式求直线斜率.
⎧x-y-2=09⎫⎛5,•-⎪， 解 由⎨解得l1，l2的交点A -•2⎭⎝2⎩3x-y+3=0
设所求直线l的斜率为k， 由到角公式得，3-1k-3=，所以k=-7. 1+3⨯11+3k
由点斜式，得直线l的方程为7x+y+22=0.
点评 本题亦可以先求l1，l2的交点A，再在直线l1上取异于点A的任意点B，再求点B关于点A的对称点B′，最后由A，B′两点写出直线l的方程.
总结：（1）一般的，求与直线ax+by+c=0关于x=a0对称的直线方程，先写成a(x-a0)+by+c+aa0=0的形式，再写成a(a0-x)+by+c+aa0=0形式，化简后即是所求值.
（2）一般的，求与直线ax+by+c=0关于y=b0对称的直线方程，先写成ax+b(y-b0)+c+bb0=0的形式，再写ax+b(b0-y)+c+bb0=0成形式，化简后即是的求值.
（3）一般的，求与直线ax+by+c=0关于原点对称的直线方程，只需把x换成-x，把y换成-y，化简后即为所求.
（4）一般地直（曲）线f(x，y)=0关于直线y=x+c的对称直（曲）线为f(y-c，x+c)=0. 即把f(x，y)=0中的x换成y-c、y换成x+c即可.
（5）一般地直（曲）线f(x，y)=0关于直线y= -x+c的对称直（曲）线为f(-y+c，-x+c). 即把f(x，y)=0中的x换成-y+c，y换成-x+c.
1，点P关于x轴对称点为P1（3，4），则点P的坐标为（ ） A.（3，﹣4） B.（﹣3，﹣4） C.（﹣4，﹣3） D.（﹣3，4） 考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标。 专题：应用题。 分析：根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可求解． 解答：解：∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴点P的坐标为（3，﹣4）． 故选A
点评：本题考查关于x轴对称的点的坐标的特点，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．
2 在平面直角坐标系中，点A（2，3）与点B关于x轴对称，则点B的坐标为（ ） A、（3，2） B、（-2，-3） C、（-2，3） D、（2，-3）
分析：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，-y），据此即可求得点（2，3）关于x轴对称的点的坐标． 解答：解：∵点（2，3）关于x轴对称； ∴对称的点的坐标是（2，-3）． 故选D． 点评：本题主要考查了直角坐标系点的对称性质，
3，如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称或中心对称变换，若原来点A坐标是（a，b），则经过第2011次变换后所得的A点坐标是 （a，﹣b） ．
,分析：经过观察可得每3次变换为一个循环，看第2011次是第几个图形中的变换即可． 解答：解：∵2011÷3=670„1，第一次变换是各对应点关于x轴对称，点A坐标是（a，b）， ∴经过第2011次变换后所得的A点坐标是（a，﹣b）．
故答案为（a，﹣b）．
点评：考查规律性点的变换问题；通过观察得到点的循环变换规律是解决本题的关键．
三、解答题
1.如图，下列网格中，每个小方格的边长都是1．
（1）分别作出四边形ABCD关于x轴、y轴、原点的对称图形；
（2）求出四边形ABCD的面积．
考点：作图-旋转变换；作图-轴对称变换。
分析：（1）分别作A，B，C，D关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标，即可得出答案；
（2）根据三角形底乘以高除以2，即可得出答案．
解答：解（1）如图所示：
（2）四边形ABCD的面积=2S∆ABD=2⨯⨯2⨯1=2．
点评：此题主要考查了关于坐标轴以及原点对称的图形作法和三角形面积求法，得出对应点的坐标是解决问题的关键．
12
“对称”在数学上的表现是普遍的：轴对称、中心对称、对称多项式等，从奇偶性上也可以视为对称，从运算关系角度看互逆运算也可看为对称关系，还有许许多多的地方都体现出它的魅力，就像亚里士多德所说的那样：虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能和数学完全分离。因为美的主要形式就是秩序、匀称和确定性，这些正是数学所研究的原则。我们做为新课程理念指导下的教师不仅要传授学生知识，更重要的是要培养学生发现美、创造美的能力，让学生在学数学的过程中发现数学的美，深深的被数学的魅力感动，进一步提高了数学素养，努力去探索世界的真、善、美，就像一位物理学家所说的那样：如果一个理论它是美的，那它一定是个真理。
更进一步说，大自然的物质结构是用对称语言写成的．诺贝尔物理学奖获得者杨振宁回忆他的大学生活时说，对我后来的工作有决定影响的一个领域叫做对称原理．1957年李政道和杨振宁获诺贝尔奖的工作——“宇称不守恒”的发现，就和对称密切相关．此外，为杨振宁赢得更高的声誉的“杨振宁——米尔斯规范场”，更是研究“规范对称”的直接结果．在“对称和物理学”一文中最后，他写道：“在理解物理世界的过程中，21世纪会目睹对称概念的新方面吗?我的回答是，十分可能．”
轴对称
对称是一个十分宽广的概念，它出现在数学教材中，也存在于日常生活中，能在文学意境中感受它，也能在建筑物、绘画艺术、日常生活用品中看到它，更存在于大自然的深刻结构中．数学和人类文明同步发展，“对称”只是是纷繁数学文化中的标志之一．
让我们来认识下轴对称在生活中的应用吧
一、从轴对称图形中发现对称原理的运用
根据轴对称图形的一半和对称轴可以精确的画出轴对称图形的另一半图形，这是在教学了轴对称图形后常见的习题。在数学中，轴对称图形同时也为人们研究数学提供了某些启示，例如它在博弈问题中也常运用这一原理。如：桌面上有21个棋子，排成一排，你一次可以拿一粒也可以拿两粒棋子，甚至可以拿三个棋子。想拿哪里的棋子都行，不必按顺序拿，但拿两粒或三粒棋子时必须是相邻的即中间没有空隔或其他棋子，问：“两人轮流拿谁拿到最后一粒谁赢，你如果先拿能保证赢吗？”
这题看上去挺复杂，按排列组合众多拿法要想一一分析清楚太费力，其实运用对称原理就非常简单，先拿的人只要先拿走中间一粒，即第十一粒棋，这样左、右两边各剩十粒，这样对方拿左边的棋子，你就拿右边的棋子，并且个数和位置和他对称，如果对方拿右边的棋子，你就按照他拿左边的棋子，总之只要保持左、右两边的棋子剩下的个数和位置一样，只要他有的拿，你也有的拿，因此最后一粒必然落入你手中，因此先拿必胜，如果棋子是20粒（偶数个），你就先拿中间的两粒，让左右两边各剩9粒棋子，这样你就必胜。
类似的题目还有如：用若干一元的硬币两人轮流将它摆在一个大圆盘上，要求硬币之间不能重叠，谁摆不下谁算输，是先摆赢还是后摆赢？显然根据对称原理，先摆的人只要先占住圆心，以后对方摆哪你就照他在对面对称着摆出，只要他有空间摆，那么在相对称的地方也必定有空间摆，直至对方摆不下为止，对方先输。其实这两题的思维方法都来自轴对称图形的基本特征，教师在教学完轴对称图形的内容后可以适当的渗透这方面的知识，学生即乐于学习，又加深对轴对称图形知识的运用和深层理解，发现对称的美，感受到数学的魅力。
用对称图形表示对偶。数学的对称美自然地表现在数学元素的“对偶”和数学命题的对偶上。但是“对偶”没有几何的直观。如何使数学中的“对偶”有视觉上的对称美,并且利用这种美发现数学问题? 射影几何学在这方面有极好的应用。 例1 在欧氏平面几何中,对命题“过两点可以作一条直线”。我们把其中“点”换成“直线”,“直线”换成“点”,再适当改变关系词,则命题变为“两直线交于一点”。而这个命题显然是错误的,因为两直线平行时就没有交点。这说明在这个命题中,点与直线的关系不是对称的。设想两平行直线在无穷远点相交,这时点与直线就形成对称关系。狄沙格正是在此设想下初步建立了射影几何理论。我们把例1中的对偶关系用下面的图直观的表现出来:上行表示过两点可以确定一条直线,箭头的含义是“确定”。左、右两个箭头表示交换点与直线的位置。下行表示“两直线交于一点”,箭头的含义是“相交”,这是根据设想做出的,这个设想使图
(1)成为完美的矩形,并且点与直线的对偶关系转化为了
几何上的对称。数学中的对称美为数学研究提供了一种独特的方法,即对称法。
简单的说,对称法就是运用对称性的思维方法。例1中所做的“设想”就是使用了对称法。数学家利用这一方法,揭示和发现了很多的数学奥秘,得到非常有用的理论和结论。也正是对称法,启发我们将“对偶”转化为“对称”。除了射影几何外,现代代数学中也有此类应用。
数学形式和结构的对称性,数学命题关系中的对偶性都是对称美的自然表现.在数学解题方面,对称方法往往使问题解决的过程简捷明快.因对称和谐,它唤起人们探索的兴趣,人们长去研究它,数学方法是一门科学又是一门艺术,因此研究数学中的对称美与对称性原理解题是有价值的课题.Ⅰ.对称美及对称性原理在数学发现中的用途举例
.利用对称性,预测问题结果
当人们面临一个课题或解一道数学难题时,往往先对结果作一大致的估量或预测而不是先用于计算或论证,有些数学问题可以根据其对称性,先预测结果,再进行证明.
例1. 已知x,y,z∈R,且x+y+z=1求函数f(x,y,z)= ﹢4x+1+4y+1+4z+1的最
大值
分析直接求最大值,无从下手,观察变量x,y,z可知:它们在条件及函数f(x,y,z)中均具有对称性,可预测当x=y=z=1时函数取最大值.此时,函数f(x,y,z)的值为3
1114⨯+1+4⨯+1+4⨯+1=21 333
从而4x+1+4y+1+4z+1≤21
只需进一步检测预测结果的正确性,将求最值题转化为证明题,降低了原题的难度. 上不等式通过基本不等式 x2+y2+z2x+y+z≥不难证得 33
.运用对称性,诱发解题灵感
有些数学问题,用对称的眼光去观察﹑审视,通过形﹑式的补美造成对称或采用对称变换调整元素之间的关系,往往能诱发解题灵感,简化解题过程.
例2. 若a,b,c表示三角形三边之长,
求证:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc
分析本题关于a,b,c是对称的,这就启发我们将3abc移到左平分给三个加项,即需证:
[a2(b+c-a)-abc]+[b2(c+a-b)-abc]+[c2(a+b-c)-abc] ≤0
由对称性,我们只需变换上式左边中的某一项,如
2a(b+c-a)-abc=ab(a-c)+a2(c-a)
=a(a-b)(c-a)
于是, 左边其余两项显然为:b(b-c)(a-b),c(c-a)(b-c)
又因为关于a,b,c对称,故不妨假设a ≥b ≥c
此时, c(c-a)(b-c) ≤0
而a(a-b)(c-a) +a(a-b)(c-a)=(a-b)[c(a-b)-(a2-b2)]
=(a-b)2[c-(a+b)] ≤0
从而原不等式获证
.洞察对称性,巧妙转化问题
对于一些数学问题,若能洞察到问题所具有的对称性,往往可将
题巧妙转化,使问题解题思路简捷﹑化难为易﹑避繁就简.
例3. 自点A(-3,3)发出光线h射到x到轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆
22x+y-4x-4y+7=0相切,求光线h所在的直线方程
分析 :本题解法颇多,若能运用对称的思想,巧妙转化问题,不难发现原命题即为:”求过点
22A(-3,3)且与⊙c(x-2)+(y-2)=1对称的圆⊙c¹相切的直线方程”如图,
这样的转化不但明确了解题
思路,而且简化了解题计算量
,设直线h的方程y-3=k(x+3)则根据⊙c¹的圆心C’(2,-2)到直线h的方程的距离等于⊙c¹的半径1,可求出k=-',从而求出直线方程 3'
下面我们来看一下对称的应用吧
一，二重积分中的对称性
(1) 通常，二重积分具有如下对称性性质：
① 如果积分区域D关于x轴对称，f(x,y)为y的奇偶函数，则二重积分
⎰⎰D⎧0,⎪f(x,y)dxdy=⎨2fx,ydxdy,()⎪⎰⎰⎩D1f(x,y)为y的奇函数,f(x,y)为y的偶函数. D1为D在上半平面部分.
② 如果积分区域D关于y轴对称，f(x,y)为x的奇偶函数，则二重积分
⎰⎰D⎧0,⎪f(x,y)dxdy=⎨2fx,ydxdy,()⎪⎰⎰⎩D2f(x,y)为x的奇函数,f(x,y)为x的偶函数.
D2为D在右半平面部分.
③ 如果积分区域D关于原点对称，f(x,y)为x,y的奇偶函数，则二重积分
⎰⎰D⎧0,⎪f(x,y)dxdy=⎨2fx,ydxdy,()⎪⎰⎰⎩D2f(x,y)为x,y的奇函数,f(x,y)为x,y的偶函数.
D1为D在上半平面部分.
④ 如果积分区域D关于直线y=x对称，则二重积分
⎰⎰f(x,y)dxdy=⎰⎰f(y,x)dxdy.
DD
二、两线两点求线路最短
例4. 如图4所示，一个港湾，停留了M、N两艘轮船。
（1）M船的船长从M处出发，先到OA岸，再到N船。船长如何走使水路最短？
（2）若M船的船长从M处出发，先到OA岸，再到OB岸，最后到N船，船长如 何走使水路最短？
图4
解：（1）如图5所示，作点N关于OA的对称点C，连结MC，交OA于E，则从M 到E再到N的水路最短。
（2）如图6所示，作点M关于OA的对称点M”，作点N关于OB的对称点N”， 连结M”N”，交OA于P，交OB于Q，则从M到P，从P到Q，再从Q到N的水 路最短。
图5 图6
变式:如图6,M为马厩,OA为草地,OB为河,N为营地,将军每天从马厩牵出马去草 地放牧,然后去 河边饮马,最后回到营地,请帮他设计最短线路
.
对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略.
三、点关于直线的对称问题
点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.
例2 求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标.
分析 因为A，A′关于直线对称，所以直线l是线段AA′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口.
解 据分析，直线l与直线AA′垂直，并且平分线段AA′，设A′的坐标为（x，y），则AA′的中点B的坐标为 ⎛1+x3+y⎫•,,•k⎪•2⎭⎝2AA'=y-3•. x-1
3+y⎧1+x+2⨯-3=0⎪22⎪由题意可知，⎨， y-31⎛⎫⎪∙ -⎪=-1⎪⎩x-1⎝2⎭
3⎧x=-⎪⎪5解得⎨. 故所
⎪y=-1
⎪5⎩
四、直线关于直线的对称问题
直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.
例4 求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.
分析 由题意，所给的两直线l1，l2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.
解 根据分析，可设直线l的方程为x-y+c=0，在直线l1：x-y-1=0上取点M（1，0），则易求得M关于直线l2：x-y+1=0的对称点N（-1，2），
将N的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，
故所求直线l的方程为x-y+3=0.
点评 将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l的形式，然后再在直线l2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.
例5 试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程.
分析 两直线相交，可先求其交点，再利用到角公式求直线斜率.
⎧x-y-2=09⎫⎛5,•-⎪， 解 由⎨解得l1，l2的交点A -•2⎭⎝2⎩3x-y+3=0
设所求直线l的斜率为k， 由到角公式得，3-1k-3=，所以k=-7. 1+3⨯11+3k
由点斜式，得直线l的方程为7x+y+22=0.
点评 本题亦可以先求l1，l2的交点A，再在直线l1上取异于点A的任意点B，再求点B关于点A的对称点B′，最后由A，B′两点写出直线l的方程.
总结：（1）一般的，求与直线ax+by+c=0关于x=a0对称的直线方程，先写成a(x-a0)+by+c+aa0=0的形式，再写成a(a0-x)+by+c+aa0=0形式，化简后即是所求值.
（2）一般的，求与直线ax+by+c=0关于y=b0对称的直线方程，先写成ax+b(y-b0)+c+bb0=0的形式，再写ax+b(b0-y)+c+bb0=0成形式，化简后即是的求值.
（3）一般的，求与直线ax+by+c=0关于原点对称的直线方程，只需把x换成-x，把y换成-y，化简后即为所求.
（4）一般地直（曲）线f(x，y)=0关于直线y=x+c的对称直（曲）线为f(y-c，x+c)=0. 即把f(x，y)=0中的x换成y-c、y换成x+c即可.
（5）一般地直（曲）线f(x，y)=0关于直线y= -x+c的对称直（曲）线为f(-y+c，-x+c). 即把f(x，y)=0中的x换成-y+c，y换成-x+c.
1，点P关于x轴对称点为P1（3，4），则点P的坐标为（ ） A.（3，﹣4） B.（﹣3，﹣4） C.（﹣4，﹣3） D.（﹣3，4） 考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标。 专题：应用题。 分析：根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可求解． 解答：解：∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴点P的坐标为（3，﹣4）． 故选A
点评：本题考查关于x轴对称的点的坐标的特点，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．
2 在平面直角坐标系中，点A（2，3）与点B关于x轴对称，则点B的坐标为（ ） A、（3，2） B、（-2，-3） C、（-2，3） D、（2，-3）
分析：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，-y），据此即可求得点（2，3）关于x轴对称的点的坐标． 解答：解：∵点（2，3）关于x轴对称； ∴对称的点的坐标是（2，-3）． 故选D． 点评：本题主要考查了直角坐标系点的对称性质，
3，如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称或中心对称变换，若原来点A坐标是（a，b），则经过第2011次变换后所得的A点坐标是 （a，﹣b） ．
,分析：经过观察可得每3次变换为一个循环，看第2011次是第几个图形中的变换即可． 解答：解：∵2011÷3=670„1，第一次变换是各对应点关于x轴对称，点A坐标是（a，b）， ∴经过第2011次变换后所得的A点坐标是（a，﹣b）．
故答案为（a，﹣b）．
点评：考查规律性点的变换问题；通过观察得到点的循环变换规律是解决本题的关键．
三、解答题
1.如图，下列网格中，每个小方格的边长都是1．
（1）分别作出四边形ABCD关于x轴、y轴、原点的对称图形；
（2）求出四边形ABCD的面积．
考点：作图-旋转变换；作图-轴对称变换。
分析：（1）分别作A，B，C，D关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标，即可得出答案；
（2）根据三角形底乘以高除以2，即可得出答案．
解答：解（1）如图所示：
（2）四边形ABCD的面积=2S∆ABD=2⨯⨯2⨯1=2．
点评：此题主要考查了关于坐标轴以及原点对称的图形作法和三角形面积求法，得出对应点的坐标是解决问题的关键．
12
“对称”在数学上的表现是普遍的：轴对称、中心对称、对称多项式等，从奇偶性上也可以视为对称，从运算关系角度看互逆运算也可看为对称关系，还有许许多多的地方都体现出它的魅力，就像亚里士多德所说的那样：虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能和数学完全分离。因为美的主要形式就是秩序、匀称和确定性，这些正是数学所研究的原则。我们做为新课程理念指导下的教师不仅要传授学生知识，更重要的是要培养学生发现美、创造美的能力，让学生在学数学的过程中发现数学的美，深深的被数学的魅力感动，进一步提高了数学素养，努力去探索世界的真、善、美，就像一位物理学家所说的那样：如果一个理论它是美的，那它一定是个真理。
更进一步说，大自然的物质结构是用对称语言写成的．诺贝尔物理学奖获得者杨振宁回忆他的大学生活时说，对我后来的工作有决定影响的一个领域叫做对称原理．1957年李政道和杨振宁获诺贝尔奖的工作——“宇称不守恒”的发现，就和对称密切相关．此外，为杨振宁赢得更高的声誉的“杨振宁——米尔斯规范场”，更是研究“规范对称”的直接结果．在“对称和物理学”一文中最后，他写道：“在理解物理世界的过程中，21世纪会目睹对称概念的新方面吗?我的回答是，十分可能．”