第２９卷第２期计算机应用研究
Ｖ０１．２９Ｎｏ．２
２０１２年２月
ＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎＲｅｓｅａｒｃｈｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒｓ
Ｆｅｂ．２０１２
分数阶微积分在图像处理中的研究综述
黄果ｈ，许黎岫，蒲亦非２
（１．乐山师范学院ａ．智能信息处理及应用实验室；ｂ．物电学院，四川乐山６１４０００；２．四川大学计算机学院，成
都６１００６４）
摘要：综述了关于分数阶微积分理论在数字图像底层处理中的应用研究，具体包括：分数阶微积分和分数阶偏微分方程的基本理论及分数阶傅里叶变换的基本性质；分数阶微分滤波器的构造及在图像增强中的应用研究；分数阶积分滤波器的构造及在图像去噪中的应用研究；分数阶偏微分方程在图像去噪中的应用研究。最后，总结了分数阶微积分理论在图像处理中已取得的研究成果，并结合已有的基于分数阶微积分理论的图像底层处理模型，展望了分数阶微积分理论在图像处理中的应用前景。
关键词：分数阶微积分；分数阶偏微分方程；变分法；泛函极值；图像增强；图像去噪中图分类号：ＴＮ３９１
文献标志码：Ａ
文章编号：１００１．３６９５（２叭２）０２—０４１４—０７
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００ｌ一３６９５．２０１２．０２．００３
Ｓｕｍｍａｒｙｏｆｒｅｓｅａｒｃｈ
ｏｎ
ｉｍａｇｅｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇｕｓｉｎｇｆｒａｃｔｉｏｎａｌｃａｌｃｕｌｕｓ
ＨＵＡＮＧＧｕ０１ａ，ＸＵＬｉｌｂ，ＰＵＹｉ．ｆｅｉ２
（１．Ⅱｋ６０ｍ￡ｏ，ｙ矿胁扰咖眦聊备玎№砌ｎＰｒｏｃ哪堍＆Ａ一池ｔ如ｎ，６．ｓ如００ｆ０，Ｐ蛳如＆觑∞打口ｎ如，肠＾口ｎⅣ０ｒ，ｍｚ‰妇ｍ毋，ｋ＾口ｎ＿ｓｉ－如Ｍｎ６１４０００，醌ｉＭ；２．ｃｏ朋ｅ酽ｏ，ｃｏｍｐＭ把ｒ＆如袱，．ｓ如＾∽ｎ‰眈巧蚵，蕊ｅ，则Ｍ６１００６４，醌ｉ胍）
Ａｂｓｔｍｃｔ：Ｔｈｅ
ｍａｉｎｃｏｎｔｅｎｔｓ
ｏｆｔｈｉｓｐａｐｅｒｗｅｒｅａｂｏｕｔｆｒａｃｔｉｏｎａｌｃａｌｃｕｌｕｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｉｎｄｉｇｉｔａｌｉｍａｇｅｌｏｗ—ｌｅｖｅｌｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ．
ＳｐｅｃｉｆｉｃａⅡｙｉｎｃｌｕｄｅｄｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇ：ｆｒａｃｔｉｏｎａｌｃａｌｃｕｌｕｓａＪｌｄｆｍｃｔｉｏｎａｌ—ｏｒｄｅｒｐａｒｔｉａｌｄｉｆＥｂｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓａｎｄｔｈｅｂａｓｉｃｐｒｏｐｅ卜ｔｉｅｓｏｆｆｒａｃｔｉｏｎａｌＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏ册：ｔｈｅｓｔｍｃｔｕｒｅｏｆｔｈｅｆｒａｃｔｉｏｎａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｆｉｌｔｅｒａｎｄｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｔｏｉｍａｇｅｅｎｈａｎｃｅｍｅｎｔ；
ｔｈｅｓｔｍｃｔｕｒｅｏｆｔｈｅｆｒａｃｔｉｏｎａｌｉｎｔｅｇｍｔｉｏｎｆｉｌｔｅｒａｎｄｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ
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ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ；ｔｈｅｉｍａｇｅｄｅｎｏｉｓｉｎｇｍｏｄｅｌｂａｓｅｄ
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ｔｉｏｎａｌｐａｒｔｉａｌｄｉ如ｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ．ＦｉｎａＪｌｙ，ｓｕｍｍａｒｉｚｅｄｆｒａｃｔｉｏｎａｌｃａｌｃｕｌｕｓｈａｄｂｅｅｎｍａｄｅｒｅｓｅａ托ｈｒｅｓｕｌｔｓａｎｄｒｅｌａｔｅｄｐｍｂ—ｌｅｍｓｉｎｉｍａｇｅｐｍｃｅｓｓｉｎｇ．Ａｓｓｏｃｉａｔｅｄｗｉｔｈｔｈｅｉｍａｇｅｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇｍｏｄｅｌｓ，ｆｏｒｅｃａｓｔｅｄｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｐｒｏｓｐｅｃｔａｂｏｕｔｆｈｃｔｉｏｎａｌｃａｌｃｕｌｕｓａｐｐｌｉｅｄｔｏｉｍａｇｅｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｆｈｃｔｉｏｎａｌｃａｌｃｕｌｕｓ；ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ－ｏｒｄｅｒｐａｒｔｉａｌｄｉ矗Ｉｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｃａｌｃｕｌｕｓ
ｏｆｖａｒｉａｔｉｏｎｓ；ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｅｘｔｒｅｍｅ；
ｉｍａｇｅ
ｅｎｈａｎｃｅｍｅｎｔ；ｉｍａｇｅｄｅｎｏｉｓｉｎｇ
生物、金融、流体等领域应用越来越广泛，实用价值也得以充
０
引言
分的体现。近几年以来，国内外许多学者研究发现，分数阶分数阶微积分理论与整数阶微积分理论几乎同时诞生，
微积分在信号分析与处理领域具有广泛的应用前景，比如在该理论最早出现在Ｌ’Ｈ６ｐｉｔａｌ写给Ｌｅｉｂｎｉｚ的信件中…。近三信号的奇异性检测和提取方面具有特殊的作用Ｈ“…。分数阶微积分理论在图像底层处理中的应用是最近几年才引起百年来，分数阶微积分仅仅是数学家们的纯数学理论分析和学者关注的，到目前为止，已经取得了初步研究成果，主要包推导。Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ等著名数学家一直致力于完善和发展分数阶括图像增强、图像去噪、图像边缘提取、图像分割、图像奇异微积分的理论研究，从而构建了分数阶微积分理论的基本系性检测等。图像处理中的整数阶微分算子包括梯度和Ｌａ—统架构。直到１９世纪后期，分数阶微积分理论才开始逐渐在ｐｌａｃｅ算子，以及墨西哥帽算子等很多经典的图像处理算子都实际工程领域中得到初步应用。Ｍａｎｄｅｌｂｍｔ旧’３１发现了分形可以近似看做是Ｒｏｄｉｅｃｋ…１提出的ＤＯＧ感受野模型在理论学，他指出自然界和很多技术科学中存在大量分数维事实，上的仿真实现。分数阶微分算子则可以认为是ＤＯＧ感受野发现在整体与部分之间存在自相似现象，并尝试将Ｒｉｅｍａｎｎ－模型的推广和延伸。基于分数阶微分理论的感受野模型较Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分数阶微积分理论应用于描述和分析分形媒介中的整数阶微积分理论更符合人类视觉特性。
布朗运动，从此，工程技术人员开始关注分数阶微积分。近分数阶微积分理论在图像处理领域的应用研究主要包括几十年以来，国内外许多学者研究发现分数阶微积分算子具以下方面：蒲亦非等人¨２。２ｏ认为，选择适当阶次的分数阶微分有记忆性和非局部性，非常适合用来描述现实世界中具有记算子在增强图像过程中可以大幅提升边缘和纹理细节的同时，忆和遗传性质的材料，因此分数阶微积分理论在物理、化学、
非线性地保留了图像平滑区域的纹理信息；此外，杨柱中等
收稿日期：２０１ｌ－０９・１６；修回日期：２０１１・ｌＯ一３０
基金项目：国家自然科学基金资助项目（６０９７２１３１）；四川省教育厅科研项目（１０ｚＣ０１９／
１１ｚＢｌ３２）；乐山市科技局重点研究计划资助项目（２０１１ＧｚＤ０４６）；乐山师范学院资助项目（ｚ１１６２）
作者简介：黄果（１９８０－），男，重庆人，讲师，博士，主要研究方向为分数阶微积分及分数阶偏微分方程在图像处理中的应用研究（ｈｕａｎｇｇｕｏｘｕｌｉ＠１６３．ｃｏｍ）；许黎（１９８２一），女，云南人，讲师，硕士，主要研究方向为分数阶微积分及混沌理论在图像处理中的应用研究；蒲亦非（１９７６一），男，四川人，副教授，博士（后），主要研究方向为分数阶微积分及分数阶偏微分方程在图像处理中的应用研究．
万方数据
第２期黄果，等：分数阶微积分在图像处理中的研究综述
・４１５・
人。２”驯利用分数阶微分算子具有弱导数性质的特点，利用分数阶梯度算子对含弱噪声的图像进行边缘检测，该方法能够有效地解决整数阶梯度算子对噪声敏感的问题，因此可以避免噪声的影响而准确地定位噪声图像的边缘；ＭａｔＩｌｉｅｕ等人心叫提出了分数阶微分的边缘检测算子，即分数阶鲁棒轮廓（ｃｏｎｔｏｕｒ
ｒ０．
ｂｕｓｔｅｄ’ｏｒｄｒｅ
ｎｏｎ
ｅｎｔｉｅｒ，ｃＲＯＮＥ）边缘检测器，说明了该检测
器的分数阶微分阶次在１＜”＜２时，能够有选择地检测出边缘，而在分数阶微分阶次在一１＜”＜１时，该检测算子能够在边缘提取的过程中克服噪声的影响；在此基础上，李远禄等人旧川提出了基于分数阶差分的滤波器并将其应用到边缘检测，该模型将数据的平滑和差分有机结合，利用分数阶微积分基本理论，设计了可以通过调节微分阶次的差分滤波器，该滤波器可以解决传统算子边缘检测出现的边缘漂移问题，并且可以抑制部分噪声；汪凯宇和刘红毅等人。２８’２引利用分数阶微积分具有的记忆特性，分别将分数阶样条小波应用到图像纹理的奇异性检查和图像融合中，较整数阶微积分取得了更好的仿真效果；Ｌｉｕ等人∞叫提出了分数阶奇异值分解的人脸识别方法，该方法可以有效缓解面部的变化，并且在脸部出现剧烈变化时，比传统的分类方法提高其分类的性能，为高层图像处理打下坚实基础；左凯等人口１。将卡尔曼滤波和分数阶微积分理论相结合，提出了二维分数阶卡尔曼滤波器并成功应用到图像处理；汪成亮等人¨２。通过研究分数阶微积分的基本定义和相应的分数阶微分算子的实现方法，提出了将图像的梯度特征和人类视觉特征等理论引入到已有的分数阶微分算子中，由此构建了基于分数阶微分阶次自适应变化的图像增强模型；高朝邦等人”引将四元数理论和分数阶微积分理论有机结合，提出了四元数分数阶方向微分的概念，解释其物理意义和几何意义，并根据分数阶微分的特殊性质将其应用到图像增强当中，可以得到很好的效果；Ｂａｉ等人旧４ｏ以ＲＯＦ去噪模型为基础，将分数阶微积分理论和偏微分方程相结合，提出了基于分数阶偏微分方程的图像去噪模型，该方法可以解决传统低阶次整数阶偏微分方程去噪模型容易产生阶梯效应，以及高阶次整数阶偏微分方程去噪模型去噪效果不佳的缺点。此后，张军等人＂”驯将负指数ｓｏｂｏｌｅｖ空间的多尺度图像建模与基于分数阶微积分的图像建模有效结合，提出了统一的基于分数阶多尺度变分图像去噪模型，并初步设计了该模型涉及参数的自适应选择方法。
１
相关理论及分析
１．１
分数阶微积分的基本定义
从不同的应用角度去分析问题可以得到不同的分数阶微
积分定义，所以迄今为止，分数阶微积分仍然没有统一的时域定义表达式。在众多的定义表达中，主要有三种经典的分数阶微积分定义，包括Ｇｍｍｗａｌｄ—Ｌｅｔｎｉｋｏｖ、Ｒｉｅｍａｎｎ．ＩＪｉｏｕｖｉｌｌｅ和ｃａ．ｐｏｔｕ定义。
１）分数阶微积分的Ｇｒｎｍｗａｌｄ—Ｌｅｔｎｉｋｏｖ定义
：ｃ＝２骂∥ｊ叁黼ｔ一曲）ｗｅＲ一
（１）
２）分数阶微积分的Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ定义
『警
【专赢可，：茄ａｙ。一㈨如
…ｅⅣ
万方数据
３）分数阶微积分的Ｃ印ｕｔｏ定义
细撇卜ｋ志乃筘…川…。＠’。
【鲁币％Ｊ：带如嚷”ｋ…
ｆ掣
…ｅⅣ
‘
针对三种经典分数阶微积分定义，国内外众多学者从不同应用角度研究分析各种各样的实际问题，得到了不同形式的分数阶微积分定义表达式。分数阶微积分Ｒｉｅｍａｎｎ一“ｏｕｖｉｌｌｅ定义和分数阶微积分ｃ印ｕｔｏ定义都是对分数阶微积分Ｇｎｉｍｗａｌｄ．Ｌｅｔｎｉｋｏｖ定义的改进。分数阶微积分的Ｇｒｕｍｗａｌｄ．Ｌｅｔｎｉｋｏｖ定义在数值实现时可以转换为卷积运算形式，因此非常适合在信号处理中的应用；分数阶微积分的Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉ．ｏｕｖｉｕｅ定义主要应用于计算一些较为简单函数的解析解；分数阶微积分的ｃ印ｕｔｏ定义适用于分数阶微分方程初边值问题的分析，因此非常适合在工程领域中应用。三种关于分数阶微积分定义之间存在着紧密的联系，在一定条件下可以相互转换。例如，如果分数阶微积分阶次ｗ满足ｎ一，１＜”＜凡，当函数，（ｘ）的ｍ＋１阶导数连续并且满足ｍ＝Ｌ
ｎ一１
ｊ，分数阶微积分
Ｇｍｍｗａｌｄ—Ｌｅｔｎｉｋｏｖ的定义与分数阶微积分Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ的定义是完全等价的。在满足相同条件下，分数阶微积分的ｃ叩ｕｔｏ定义和分数阶微积分的Ｇｍｍｗａｌｄ—Ｌｅｔｎｉｋｏｖ定义等价。当分数阶微积分阶次”为正整数和负实数时，分数阶微积分的ｃ印ｕｔｏ定义和分数阶微积分的Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ定义满足以下关系：
：Ｄ㈧＝：乒糍孵＋：Ｄ荆（４）
１．２分数阶偏微分方程
分数阶偏微分方程是由传统整数阶偏微分方程拓展演化而得到的，是将传统整数阶偏微分方程中对时间或者空间的偏导数项用分数阶偏导数来替代而得到的㈤Ｊ。分数阶偏微分方程的基本形式为
！丝！！型２：拯！：吐＋塑！！也
ｆ一
５、
矿ｔ妒ｘ
护ｙ
’根据偏微分阶次ｄ和卢的不同将分数阶偏微分方程分为三种基本形式㈤““：
ａ）时间分数阶偏微分方程（时间偏导数阶次ｄ为非整数，空间偏导数阶次卢为整数）。特别地，当０＜ｄ＜１，口＝２时，将
热传导方程（扩散方程）推广为时间分数阶热传导方程（时间分数阶扩散方程）；当１＜“＜２，口＝２时，该方程可以认为是热传导方程和波动方程的非线性插值。
ｂ）空间分数阶偏微分方程（空间偏导数阶次口为非整数，时间偏导数阶次仅为整数）。特别地，当ｄ＝１，ｌ＜届＜２时，将热传导方程（扩散方程）推广为空间分数阶热传导方程（空间分数阶扩散方程）。
ｃ）空间一时间分数阶偏微分方程（时间偏导数阶次ｄ为
非整数，同时空间偏导数阶次卢为非整数）。特别地，当０＜
ａ＜１，ｌ＜卢＜２时，将热传导方程（扩散方程）推广为时间一空间分数阶热传导方程（时间一空间分数阶扩散方程）。
图像增强是数字图像处理的基本内容之一，以梯度算子和Ｌ印ｌａｃｉａｎ算子等为代表的整数阶微分方法在图像增强中的应
２分数阶微分与图像增强
・４１６・
计算机应用研究第２９卷
用已经相当广泛。近年来，很多学者将分数阶微分理论应用到图像增强中并且取得了较好的效果。分数阶微分可以在提高信号高频成分的同时非线性地保留信号中的甚低频，因此将该理论应用到图像增强中，可以使图像边缘更加突出，同时保留了图像平滑区域的纹理信息。分数阶微分理论应用到数字图像中的关键是增加一个自由度，即阶次。（０＜”＜１），通过适当调节”的大小可以构造相应的掩模算子，从而得到较好的图像增强效果。
２．１
分数阶微分对信号的作用
已知任意平方可积的能量信号以菇）Ｅｒ（Ｒ），由信号处理
＾
的基本理论可知其Ｆｏｕｒｉｅｒ变换为八甜）＝ｆ。八戈）ｅ一”出。假设信号八搿）的乃阶导数为尸（石）（ｎ∈ｚ＋），根据Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的性质可以得到
盯＾
＾
＾
＾
Ｄ’弧ｘ）铮（口Ｄ“（∞）＝（妇）４以ｍ）＝ｄ“（（ｃＪ），（∞）（６）
假设信号八戈）的分数阶”阶导数为厂（戈）（”∈月＋），同样根据分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的性质可以得到
ｎ＾
＾
＾
＾
Ｄ杈ｘ）甘（功９。（∞）＝（奶）”，（∞）＝ｄ”（∞班∞）
（７）
＾
＾
其帆
。．．
ｂ＆）＿ｌ。附（乞）：罕。ｇｎ（。）
一ｍ）＝（洳）”＝“”（ｏ）ｅ‘∥‘“’
（８）
图１为分数阶微分算子在阶次不同时的幅频特性。从图１可以清楚地得出：ａ）分数阶微分算子对信号都有加强的作用，并且加强的幅度随频率和微分阶次的增加而非线性地急剧增强；ｂ）２阶次微分相比１阶次微分对信号低频成分的提升较弱，但是对信号高频成分的提升却更明显；ｃ）特别地，当微分阶次”＝０时，表示分数阶微分算子不对信号进行任何改变；ｄ）对于分数阶
微分阶次０＜”＜１时，在信号的低频部分（∞＜１），分数阶微分算
子对信号的幅值进行了一定的提升，并且提升的幅度稍大于１阶次和２阶次微分；在信号的高频部分（∞＞１），分数阶微分算子对信号的幅值进行一定的提升，但是提升的幅度也明显小于１阶次和２阶次微分。上述性质表明，分数阶微分算子具有弱导数性质，即分数阶微分算子在加强信号中高频成分的同时．对
信号的甚低频分量进行了非线性保留。此外，从信号处理的角
度分析分数阶微积分算子的物理意义可知，分数阶微分算子可以理解为广义的调幅调相，其振幅随频率呈分数阶幂指数变化，相位是频率的广义Ｈｉｌｂｅｒｔ变化。
３
一Ｉ三潍；
Ｓ２
｛＝＝茹５ａ
．∥／
／／
胃
墨・
一匕≤芝≥０
，一一一ｊ曩互国龟罗舒；ｔ帮ｊ＝
！
．盖矗笙孝三哆ｒ
．ｑ
频率ｗ／Ｈｚ
图１分数阶微分算子的幅频特性曲线
２．２分数阶微分滤波器的构造
假设二维图像信号，（省，ｙ）对于ｘ和ｙ轴方向的分数阶微分在一定的条件下是可分离的，这样可以利用分数阶微分算子分别对数字图像的八个方向进行滤波处理，然后将得到的中间结果通过相关规则结合。将图像信号，（立，ｙ＞）的持续期［ｏ，￡］
按单位间隔＾＝１等分，即ｎ＝Ｉ半ｌ＝［卜口】。这样可以得
ｒ＋
。１＾＝ｌ
Ｌ
，‘
Ｊ
’
到｛Ｇ—Ｌ定义下的分数阶微分算子沿ｘ和ｙ轴方向的数值计算
万方数据
表达式，如式（９）和（１Ｕ）所不，兵甲代表不分颧彤ｒ微分效值计
：彤，（。，ｙ），垒，（＊，ｙ）＋（一口），（。一１，ｙ）＋Ｌ立毛型，（＊一２，ｙ）¨
算的余项，如式（１１）和（１２）所示。
ｉ—二！尘ｊｊ二！二；；土ｊ趔，（ｘ一３，ｙ）＋Ｒ：（。，ｙ）（９）
６
…。～７一＂…
、‘７
：彤，（。，ｙ），垒，（ｘ，ｙ）＋（一口），（。，ｙ一１）＋Ｌ型妥竺业，（。，），一２）＋．
Ｒ：（ｚ）＝ｉｉ—二！堕ｊ。二！二；；＿２ｊ趟，（ｘ，ｙ一３）＋Ｒ：（。，ｙ）（１０）
—二兰立ｊ—＝６
兰２生三土ｊｊｉ旦‘、’。¨７‘‘＊、。’ｗｊＩ兰幽，（ｘ一４，，，）＋、一。７
月；（ｚ）＝ｉ二二旦２』乏‰ｍ吨ｙ）．．．＋
，（ｍ＋１），（一口）…’…”７
—二！＿＝ｌＬ上｛ｉ二竺二二兰羔幽（ｚ，，，．．４）＋…＋
（１１）、…
蒯‰职一－ｍ）
，（ｍ＋１）厂（一＂）…。＾～
（１２）、…
图２表示分数阶微分图像增强掩模算子形，该算子将式（９）和（１０）推广到图像的其余六个方向，从而得到一个基于八个方向的图像增强掩模算子（图中表格空白部分用０填充）。
该增强算子具有各向旋转不变性，增强算子形中的滤波系数
如式（１３）所示。
％ｏ＝１％１＝一口
％：巫掣
％：＝型子坐
‘１３’
％。＝巫型必乏芋上业业
％
００％。Ｏ０
％。
０
００
Ｏ
０
００Ｏ阡０，０％，
Ｏ％，
０００
０
０
阡名．
阡名．
阡名
０
Ｏ
０
％
阡名：
阡名．降名。阡０．％
％。
００
Ｏ
阡名．％．％，
Ｏ
Ｏ
Ｏ
Ｏ
０
％
０
阡名：
Ｏ
％
Ｏ
Ｏ
００
０ＯＯＯ
％。
Ｏ
Ｏ
％
Ｏ
０
％。
图２分数阶微分增强掩模算子
３分数阶积分与图像去噪
众所周知，分数阶微分和分数阶积分是互为逆运算，同样图像增强和图像去噪也是相反的过程。既然分数阶微分
理论在图像增强中取得了很好的效果，因此，本章尝试将分
数阶积分理论用到图像去噪，提出了基于分数阶积分的图像去噪算法。该方法打破了传统图像去噪算法基于整数积分阶次的思想，通过设定一个较小的分数积分阶次来构建相应的图像去噪掩模，并利用迭代的方法来控制图像去噪的效果，从而在图像去噪的同时，尽量保留了图像的边缘和纹理等细节信息。
３．１
分数阶积分对信号的作用
对已知任意平方可积的能量信号以￡）∈ｒ（Ｒ），由信号处
理的基本理论可知其Ｆｏｕｒｉｅｒ变换蒯∞）＝ｋ，（￡）ｅ一…出。假
＾
第２期
黄果，等：分数阶微积分在图像处理中的研究综述
・４１７・
设信号八ｆ）的ｎ阶导数为厂（ｔ）（ｎＥｚ），根据Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的性质可以得到
Ｆｒ＾
＾
＾
＾
Ｄ杈ｆ）铮（口Ｄ“（∞）＝（池）”，（ｃｃＪ）＝ｄ“（∞）八∞）
（１４）
这样将信号八￡）的分数阶”导数为，（ｆ）（”∈Ｒ＋），同样根
据Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的性质可以得到
盯＾
＾
＾
＾
Ｄ弧￡）甘（口Ｄ”（ｍ）＝（妇）。八∞）＝ｄ”（∞小∞）
（１５）
ｒｄ”（ｍ）＝（汹）”＝ｎ”（∞）ｅ妒（“）
其中：
‰ｏ川计删ｏ）：孚。ｇＩｌ（。）
（１６）
于是，当”∈Ｒ一时，根据分数阶算子理论，即Ｄ～＝，，并且”’＝一”，可以得到分数阶积分算子的Ｆｏｕｒｉｅｒ变换形式为
盯＾
＾
＾
＾
，。八￡）甘（矿）”‘（∞）＝（洒）”“ｃ【，）＝∥（∞）・，（∞）
（１７）
ｒ，’（甜）＝ｄ”’（埘）ｅ‘伊Ｉ“）
其吼
ｋ（：川计。∥（２）：半。ｇｎ（。）
（１８）
根据式（１８）的描述，可以得出分数阶积分算子在阶次。’０，０．２，０．５，０．８，１．０，１．５，２．０时的幅频特性，如图３所示。
ｊ３．
＼
ｌ＼
Ｉ—ｖ＝Ｑ．Ｑ
；ｌ｛｝Ｓ２．
¨’；
＋ｖ＝１．Ｏｖ＝０．５
—＊一ｖ＝０．８～
胃趔＼Ｎ酞
＋ｖ＝１．５一罂１．
＼Ｃ再Ｎ
一ｖ＝２．０
＼￣￣ｌ￣
～～一鼍杂心
Ｏ．
１嫌遵基釜斟≮娶堇ｊ
——寻＝＝ｊ！
频率ｗ／Ｈｚ
。
图３分数阶积分的幅频特性曲线
从图３可以清楚地得出：ａ）分数阶积分对信号都有衰减作用，并且随着频率和积分次数的增加而非线性地急速衰减；ｂ）２阶次积分相比１阶次积分对信号低频成分的提升较大，同时对信号的高频成分的削弱也明显；ｃ）特别地，当”＝０时，表示分数阶积分算子不对信号进行任何改变；ｄ）对于积分次数０＜ｗ＜１时，在信号的频率∞＜ｌ的区域，分数阶积分算子对信号的幅值进行了一定的提升，但是提升的幅度远小于１次和２次积分；在信号的频率∞＞１的区域，分数阶积分算子对信号的幅值进行了一定的削弱，但是削弱的幅度也明显小于１次和２次积分。上述性质表明，分数阶积分算子在削弱信号高频部分的同时，对其中的最高频部分进行了非线性的保留；分数阶积分算子在加强信号低频部分的同时，对其中的最低频部分也进行了一定的保留。这样，分数阶积分算子在去除噪声的同时，一定程度上保留了图像的边缘和纹理等细节信息，从而使去噪后的图像不会产生严重的模糊现象。３．２分数阶积分滤波器的构造
仍然假设二维图像信号，（髫，ｙ）对于夏轴和ｙ轴方向的分数阶积分在一定的条件下是可分离的，这样可以利用分数阶积分算子分别对数字图像的八个方向进行滤波处理，然后将得到的中间结果通过相关规则结合。将图像信号，（石，ｙ）的持续期
［ａ，￡］按单位间隔危＝ｌ等分，即ｎ＝Ｉ半ｌ＝【￡一ｏ】。这样可
ｒ．
。１＾＝ｌ
Ｌ
，‘
Ｊ
以得到Ｇ—Ｌ定义下的分数阶积分算子沿ｘ轴和ｙ轴方向的数值计算表达式，如式（１９）和（２０）所示，其中尺’表示分数阶积分数值计算的余项，如式（２１）和（２２）所示。
：墨’，（ｘ，ｙ），垒，（￥，ｙ）＋Ｆ’，（ｘ—ｌ，），）＋型掣，（ｘ一２，），）＋…＋
…１、
万方数据
！：￡！：！二攀，（＊一３，ｙ）＋尺：（ｚ，ｙ）
（１９）
：ｃ
７，（＊，ｙ），垒，（。，ｙ）＋Ⅳ，，（Ⅸ，ｙ一１）＋丛妥山，（。，ｙ一２）”．＋
矗墨（ｚ）＝！：￡！！±』ｊｊ』；：二必，（＊一４，，，）＋…＋
！：￡！：±』攀，（ｚ，），一３）＋Ｒ；（ｚ，ｙ）
（２０）
Ｒ’；’（＊）＝竺』』￡ｊ，（ｍ＋１）厂（口’）…’…”７
高‰毗吨ｙ）Ｌ！上工ｊ：÷兰必，（ｚ，，，一４）＋一（２１）、…
羔揣如扩ｍ）
・＋，（ｍ＋１）厂（Ｆ’）…。’…７
（２２）、…
图４表示分数阶积分去噪掩模算子形，该算子将式（１９）和（２０）推广到图像的其余六个方向，从而得到一个基于八个方向的去噪掩模算子（图中表格空白部分用０填充）。该去噪算子具有各向旋转不变性，去噪算子形中的滤波系数如式
（２３）所示。
‰＝ｌ
觋，＝”
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彬彬形彬
形
ＯＯ
Ｏ
形
矿％
０
０
Ｏ
０Ｏ
彬
０矿
０形
０
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Ｏ
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０
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形Ｏ
Ｏ
形
０Ｏ％
图４分数阶积分去噪掩模算子
４分数阶偏微分方程与图像去噪
基于偏微分方程（ｐａｎｉａｌ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ
ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ＰＤＥ）的图像
处理是一门崭新的交叉学科分支，融合了数学、物理学、电子信息学和计算机科学与技术等多个领域的相关理论知识。迄今为止，国内外许多学者已经建立了大量经典的基于ＰＤＥ的图像处理模型，并显示出了巨大的生命力Ⅲ“Ｊ。基于整数阶ＰＤＥ的图像去噪模型具有强大的数学理论基础，因此该方法具有其他去噪方法不具备的诸多优势，但是国内外许多学者在深入研究的过程中仍然发现ＰＤＥ图像去噪模型存在很多不足之处。比如Ｐ—Ｍ”ｕ和ＲＯＦ模型¨２，５纠虽然能够有效地去除平滑区域的噪声，但是去噪后的图像会产生阶梯效应而出现分片光滑现象；ＬＬＴ模型＂４ｏ利用了高阶ＰＤＥ建模，虽然能够消除阶梯效应，但是去噪后的图像视觉效果不好；ＭｃＭ去噪模型ｐ”“１虽然保护了图像的边缘信息，但是去噪后的图像会产生许多人为痕迹。为了解决各种整数阶ＰＤＥ图像去噪模型存在的问题，有学者提出将分数阶微积分理论引入到ＰＤＥ图像
去噪模型中，构建基于分数阶ＰＤＥ的图像去噪模型。该模型
・４１８・
计算机应用研究第２９卷
将分数阶梯度算子替代整数阶梯度算子来构建去噪模型的能量泛函。
４．１
基于分数阶Ｆｏｕｒｆｅｒ变换的图像去噪模型
因为分数阶有界变差空间曰矿（ｎ）是传统的有界变差空
间曰ｙ（ｎ）的推广和延伸，Ｂｙ（ｎ）空间是建立在传统梯度模值的基础上，相应地，曰矿（ｎ）空间就应该建立在分数阶梯度模值基础上。这样可以建立基于分数阶有界变差空间日矿（门）的能量泛函来描述噪声图像。
已知噪声图像，（省，ｙ），（戈，ｙ）∈力，将ＲＯＦ模型的正则项梯度算子Ｖ，用分数阶梯度算子Ｖ”，来替代，可以得到基于分数阶偏微分方程去噪模型的能量泛函：
Ｅ（，）＝』ｎ１Ｄ”，ｌｄ％ｄｙ＋÷Ｉ｜，０一，｜｜乞
，∈ＢＰ（力），（Ⅳ，ｙ）∈力
（２４）
其中：ｆＤ”，ｆ－√（彤，）２＋（彤，）２、Ｄ＝，和彤，分别表示图像，
（戈，ｙ）关于ｘ和ｙ轴的分数阶导数。
为了得到上述能量泛函的ＥｕＩｅ卜Ｌａｇｍｎｇｅ方程，需要极小化上述能量泛函，因此，利用变分法的性质构造相应能量泛函。
ｇ（８）＝Ｅ（，＋占妒）＝
』ｎＩＤ。（，＋印）Ｉｃｋｄｙ＋｛一｜｜，０一，一即｜｜乙
（２５）
其中：占为任意实数，妒为任意函数。
利用泛函极值的基本性质，当Ｐ∈瞄（ｎ），有ｇ’。（０）＝０，
可以得到相应的Ｅｕｌ矗一Ｌａｇｒａｎｇｅ方程：
』ｎ（尚％＋尚叫岫训舶棚删删（２６）
为了得到最终的去噪模型，需要消除任意函数妒。因此，
采用ＰａｒｓｅＶａｌ恒等公式』ｎ，‘ｇ出妙＝去』ｎ，ｇ幽，幽ｚ对式
（２６）进行处理，可得
知（龟９尚＋匆妒尚）圳旷
—］广一—广
ｌ
＾万万
去ｆｎ妒（，ｏ一，）如１曲２＝ｏ
（２７）
因为分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的性质有域妒：（口俐。）”９，联妒＝
（丑叮『∞：）。妒，并消除系数ｌ／（２订）可以得出
——广—ｒ一
』ｎ（（细∥；尚郴酬；尚）岫慨一
＾百百
Ａ』ｎ妒（毛一，）ｄｍｌｄ∞２＝Ｏ
（２８）
又因为函数妒的任意性，利用变分法的基本引理可得出、
—广—广
。【（丑俐Ｉ）”面＋（尼彻２）。面一Ａ（，０—７）卸（２９）。。（椭）”尚＋（胁）。尚州名一？）：ｏ（２９）
一一
对式（２９）两边先去共轭，然后再利用Ｆｏｕｒｉｅｒ逆变换可以得出相应的图像去噪的分数阶偏微分方程：
１，‘Ｒｅ｛［恧（尚）＋谚（尚）】卜¨瑚㈣，
最后利用梯度下降法，引入时间变量ｆ，可以得到基于
Ｆ０谢ｅｒ变换的分数阶偏微分方程的去噪模型：
詈一ｅ｛［瓦（高）吲尚）肛ｃ¨川，・，
该模型最大的难点就是如何求取分数阶微分算子的共轭
万方数据
算子Ｄ＝和联。基于Ｆｏｕ矗ｅｒ变换的分数阶偏微分方程的去噪模型是利用分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的性质来得到彤和联的数值解。
已知有噪声图像，（ｚ，ｙ）（省，ｙ∈力），假设其在ｘ和ｙ轴方向相互独立，其石和ｙ方向的分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换为
知（ｍ・＾’训（１一≯Ｍ”沙㈨”聊）／Ⅳ
二，，（。，ｙ）＝，（。，，，）一，（。，ｙ一１）＝
‘３２’
知ｍ－‰（－一扩咧Ｖ州…蚓“
因此，由Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的性质可知，一阶差分的空域与频域的表达式对应关系为
『Ｄ；，（并，ｙ）Ｈ（１一ｅ一口删１７Ⅳ），（∞ｌ‘，∞２）
｛
＾
（３３）
【Ｄ，，（并，ｙ）＋｛（１一ｅ—Ｊ２”“２７Ⅳ），（∞ｌ，ｍ２）
同理可知，ｎ阶差分的空域与频域的表达式对应关系为
『Ｄ：，（ｚ，ｙ）Ｈ（１一ｅ—Ｂ”。１７”）“，（∞ｌ，∞２）
｛
＾
（３４）
【Ｄ：，（ｚ，），）Ｈ（１一ｅ一声删２７Ⅳ）“，（∞１，∞２）
由分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的基本性质可知，将整数阶次ｎ推广到分数阶次”，即可得到基于分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的分数阶导数数值计算公式：
ｆＤ：，（ｚ，），）Ｈ（１一ｅ一口”’１７”）”，（∞１，∞２）
｛
＾
（３５）
【Ｄ：，（菇，ｙ）十＋（１一ｅ一口伽’２７Ⅳ）。，（∞１。，∞２）
这样，由式（３５）可以得到分数阶微分算子的共轭算子：
｛————．
『Ｄ：，（算，，，）＋＋（１一ｅ一正删１７Ⅳ）。，（∞１‘，∞２）
（３６）
【Ｄ：，（省，ｙ）＋＋（１一ｅ一届俐２７Ⅳ）”，（∞１，∞２）
已知有噪声图像，（聋，ｙ），戈，ｙ∈仃，并且假设噪声图像，（石，号，（戈，・）的分数阶微积分数值计算。由分数阶微积分的Ｇ—Ｌ
定义可知，图像信号，（互，・）的分数阶微分为
刚ｖ）＝（÷）“善（－１）’而器拦而如咄…ｓ，）
当步长＾＝１时可以得到
：彤如）－ｉ邑（。）“｝，（一，）：剃加善㈢）Ｕ卜Ｄ
（３８）
假设函数ｃ”（茄）满足
ｃ。（。）＝ｆ（一・）５（：）
算≥。
（３９）
【ｏ
膏＜ｏ
因此，可以将信号的分数阶微积分改写为信号，（石）与函
：叫，（ｇ）＝ｃ”（ｚ）＋，（ｚ）
（４０）
于是，将式（４０）代入基于分数阶曰旷（以）空间的能量泛函，可得到基于卷积积分的分数阶变分模型：
Ｅ（，）＝』ｎ
ｃ“＋，ｌｄ聋ｄｙ＋—：一Ｉ｜厂一，１ｌ乙
（４１）
ｒ
ｃ”｝，Ｊ＝／（ｃ”。，）：＋（ｃ。｝，）；２（ｃ”＋Ｄ；＝』ｎｃ。（：），（＊一ｚ，ｙ）出
（４２）
为了得到式（４１）的Ｅｕｌｅｒ＿咖ｇｅ，与上节假设一样，仍然
【（ｃ。￥，），＝／ｎｃ。（ｚ），（ｘ，，一ｚ）出
４．２基于分数阶基本定义的图像去噪模型
ｙ）在ｘ和ｙ轴方向相互独立，因此只考虑ｘ轴方向的图像信数ｃ”（髫）的卷积操作形式：
其中：
第２期
黄果，等：分数阶微积分在图像处理中的研究综述
・４１９・
假设任蒽函数妒，从而构造函数，便兵满足式（４３）：
性具有特殊的生物视觉感受野模型，因此分数阶微积分理论ｇ（ｓ）＝Ｅ（，＋Ｐ妒）＝』ｎ
ｃ”（，＋印）Ｉｃｋｄｙ＋争ｏ，ｏ一，一８妒｜Ｉ乞（４３）
为数字图像底层处理提供了一种崭新的研究方法。表１表示分数阶微积分理论应用于图像底层处理的类比，该表说明了仍然利用泛函极值的基本性质令ｇ’（０）＝０，可以得到
分数阶微积分理论应用于图像处理所涉及的定义、适用情。ｎ
ｆ。笠塑盘Ｉ磐坐兰丛尘韭出¨ｃ”｝，Ｉ
““７
况、特点、优缺点情况。
Ａｆｎ（，０一，）妒ｄｘｄｙ＝Ｏ
（４４）
表１
分数阶微积分应用于图像底层处理的类比
因为当（省，ｙ）薯力时，，（菇，），）＝０。所以将伫一Ｒ２时，可以得到Ｐａｒｓｅｖａｌ恒等式：
１
＾百
』Ｒ塘出ｄｙ２寿』Ｒ２，ｇｄ∞１ｄ∞２
（４５）
————Ｆ一———百一
可以根据Ｐａｒｓｅｖａｌ恒等式将式（４４）进一步改写为
去，ｎ（箐等）ｃ一：珐如，她＋去，力（箐等）㈡：坫蛔幽：一
Ａ寿』ｎ（，０一，）妒ｄ∞１ｄ∞２２０
（４６’
＾
＾
＾
因为存在ｃ”｝，＝ｃ。・，，并且因为函数妒的任意性，可以得到
（鬻）州‰（锗）以ｏＡｃ名一２Ⅲ㈤，—ｒ
＾
本文介绍的各种基于分数阶微积分和分数阶偏微分方程因为ｃ”（∞）＝ｃ”（一∞），可以得到
理论的图像处理模型还存在一些不足之处，在今后的研究工作（锗）以二训＋（锗）以二㈦州Ｊ２一？）＝ｏ㈤，
中需要重点解决以下几个方面的问题：ａ）本文主要介绍分数阶微积分理论应用到图像去噪和增强两种基本的图像底层处利用Ｆ０ｕｒｉｅｒ逆变换的性质可以得到
（（锗）甜㈠，）。＋（（锗）＂㈠，），一
理，需要进一步将基于分数阶微积分的图像处理模型推广到图像分割、边缘提取、数字水印、指纹提取等图像处理的其他应用领域；ｂ）本文介绍的基于分数阶微积分理论的图像处理模型Ａ（如一，）＝Ｏ
（４９）
都只是应用于二维图像处理，因此，以后要逐步尝试将上述模慷沁）锗㈦埘胁协沁）锗㈠＂胁
去掉卷积符号后可以得到
型推广到三维图像处理；ｃ）分数阶微积分理论作为一种基本的数学分析工具，已经成功应用到了图像处理中，并取得了很Ａ（，０一，）＝０
（５０）
好的应用效果，如何将分数阶微分理论和当今成熟的经典算法最后，利用梯度下降法即可以得到基于Ｇ－Ｌ定义分数阶结合，如利用神经网络、遗传算法、模糊数学等经典理论来估计偏微分方程的图像去噪模型：
分数阶微积分的阶次，从而构建性能更加完备的图像处理算詈＝一（协沁）锗㈦刎胁
子；ｄ）图像去噪和图像增强是互为逆过程，因此，可以尝试将基于分数阶偏微分方程的图像去噪模型利用反扩散原理推广』ｎｃ”（ｚ）！ｉ；÷等（ｘ，，，＋ｚ）出）＋Ａ（，０一，）
得到基于分数阶偏微分方程的图像增强模型，并将该模型和其
（５１）
他的一些经典图像增强方法结合得到性能更加优越的图像增强模型；ｅ）本文介绍关于分数阶偏微分方程的图像处理模型５结束语
都是基于较弱函数空间条件下建立的，在数学完备性方面存在自从Ｍａｎｄｅｌｂｍｔ发现分形现象，并将Ｒｉｅｍａｎｎ－ＬｉｏｕｖｉⅡｅ分不足，因此需要寻找更为适合的基于分数阶微积分理论的图像数阶微积分理论应用于分析和研究分形媒介中的布朗运动描述空间对图像建模。
以来，分数阶微积分逐渐受到工程技术人员的高度关注。近分数阶微积分理论作为一种崭新的工程应用工具，已经引些年以来，分数阶微积分理论已经在化学、电磁学、控制学、起了国内外众多科技工作者的广泛关注，并在包括图像处理的材料科学和力学等众多学科领域中得到广泛应用并取得了实际应用领域中取得了较好的成果。因此可以大胆预测，随着重大的研究成果。然而，将分数阶微积分理论应用到现代信分数阶微积分理论的进一步发展和完善，数值计算方法和滤波号分析与处理中，特别是数字图像的处理，在国内外都还是器构造方法的进一步简化和改进，学术前沿的新方法和新技术一个新兴的学科分支。分数阶微积分理论适合研究具有非的进一步推广和应用，计算机硬件设备运算能力的进一步发展线性、非因果、非平稳等特征不确定的信号，因此分数阶微积
和提高，分数阶微积分理论未来必将具有更加广泛的应用分理论中许多经典算法都非常适合在现代信号分析与处理
空间。中应用。众所周知，数字图像中邻域内像素点之间的灰度值参考文献：
具有高度的自相似性，这种高度的自相似性可以近似为分形［１］
ＬＥＩＢＮＩｚＧ
ｗ．ｃｏｒｒｅ叩ｏｎｄａｔｉｃｅｄｅＬｅｉｂｎｉｚ
ａｖｅｃ
Ｈｕｇｅｎｓ，ｖａＪｌｚｕｌｉ．
结构，并通常是以复杂的边缘和纹理等细节信息来表示。此ｃｈ帆ｅｔ
ｌｅＭａｒｑｕｉｓｄｅＬ’Ｈ０ｓｐｉｔａｌ［Ｍ］．Ｐ耐ｓ：Ｌｉｂｒ．ｄｅ
Ａ．Ｆ咖ｃｋ，
外，数字图像的分数阶微分具有特殊的马赫现象，其拮抗特
１８５３：２９７—３０２．
万方数据
・４２０・计算机应用研究
第２９卷
『２］
ＭＡＮＤＥＬＢＲＯＴＢＢ，ｖａｎＮＥＳｓＪｗ．ＴｈｅｆｈｃｔｉｏｎａｌｂｒＤｕｎｉａｎｍｏ．
ｔｉｏｎｓ，ｆｒａｃｔｉｏｎ８ｌｎｏｉｓｅｓａｎｄ
ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．ＳＩＡＭ
ＲｅＶｉｅｗ，１９６８，
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Ｔ陋ｎｓ
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ｆｈｃｔｉｏｎａｌＦｏｕｒｉｅｒ
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ＳｉｇｎａＩＰｒｏｃｅｓｓＬｅｔｔ，１９９６，３
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Ｒ
ｗ．Ｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅａｎａｌｙｓｉｓｏｆ
ｃａｔｒｅｔｉｎａｌ
９８ｎ对ｉｏｎ
ｃｅｌｌ
ｒｅ—
ｓｐｏｎ８ｅ
ｔｏ
ｖｉ８ｕａｌ
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ｄｉｆｆｅｒｅｎ—
ｔｉａｌ印ｐｒｏａｃｈ
ｔｏ
ｄｅｔｅｃｔｉｎｇｔｅｘｔｕｒ■ｆｅａｔｕｒｅｓｏｆｄｉｇｉｔａｌｉｍａｇｅａｎｄｉｔｓｆｈｃ—
ｔｉｏｎａｌｄｉⅡｅｒｅｎｔｉａｌｆｉｌｔｅｒｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ［Ｊ］．
Ｓｃｊｅｎｃｅ－ｎＣｈｉｎａＳｅ—
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Ｙｉ—ｆｅｉ，ｚＨ０ｕ
Ｊｉ—ｌｉｕ，ｙｕＡＮ
ｘｉａｏ．ＦｒａｃｔｉｏｎａｌｄｉｆｆｅＩｅｎｔｉａｌｍａｓｋ：ａ
ｆｒａｃｔｉｏｎａＩ
ｄｉｆＩｂｒｅｎｔｉａｌ－ｂａｓｅｄ如ｐｒｏａｃｈ
ｆｂｒｍｕｌｔｉｓｃａｌｅ
ｔｅｘｔｕ南ｅｎｈａｎｃｅ－ｍｅｎｔ［Ｊ］．ＩＥＥＥ
Ｔｒａｎｓ
ｏｎ
Ｉｍａｇｅ
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．一｛
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‘
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ｖａｌｕｅ
ｄｅｃｏ‘叩ｏｓｉｔｉｏｎｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｆｏｒｆａｃｅｒｅｃｏ印ｉｔｉｏｎ［Ｊ］．
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Ｔｒａｎｓ
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Ｊｕｎ，ｗ＿ＥＩｚｈｉ—ｈｕｉ．ＡｃｌａｓｓｏｆｆｂｃⅡｏｎａｌ－ｏｒｄｅｒ舢ｌｔｉ—ｓｃａｌｅ
ｖ耐ａｔｉｏｎａｌ
ｍｏｄｅｌｓａｎｄ
ａｌｔｅｍａｔｉｎｇｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎａｌｇｏｆｉｔｈｍｆｏｒｉｍａｇｅｄｅ—
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ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａＩ
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ｍｅｎｔａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｓｐａｃｅ—ｔｉｍｅｆｒａｃｔｉｏｎａｌｄｉｆｆｕｓｉｏｎ［Ｊ］．
ＦｒａｃＣａｌｃ
ＡｐｐＩ
Ａｎａｌ，２００１，４（２）：１５３—１９２．
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Ｆａ－ｗａｎｇ．Ｔｈｅ
ｆｕｎｄ砌ｅｎｔａｌ
ｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅ
ｓｐａｃｅ—ｔｉｒｒｌｅｆｈｃｔｉｏｎａｌａｄｖｅｃｔｉｏｎ１ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．
ＪｏｕｒｎａＩｏｆ
Ａｐｐ¨ｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ＆Ｃｏｍｐｕ“ｎｇ，２００５，１８（１—２）：３３９－３５０．［４４］鸭ｃＨｕＭＰＥ砒正Ｄ，ＤＥＲＩＣＨＥ
Ｒ．Ｖｅｃｔｏｒ—ｖａｌｕｅｄｉｍａｇｅｒｅｇＩｌｌａｒｉｚａ一
“．ｔｉｏｎ：ｗｈｈＰＤＥｓ：。ａｃＤｍｍｏｎ。ｆＩ’舭单Ｉｅｗｏｒｋ
ｆｂｒｄｉ］日ｆｅｒｅｎｔ
ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．
。ＩＥＥＥＴｒａｎｓ
Ｏｎ
Ｐａｔｔｅｒｎ
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万方数据
分数阶微积分在图像处理中的研究综述
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
黄果， 许黎， 蒲亦非， HUANG Guo， XU Li， PU Yi-fei
黄果,HUANG Guo(乐山师范学院智能信息处理及应用实验室,四川乐山,614000)， 许黎,XU Li(乐山师范学院物电学院,四川乐山,614000)， 蒲亦非,PU Yi-fei(四川大学计算机学院,成都,610064)计算机应用研究
Application Research of Computers2012,29(2)4次
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51. PERONA P;MALIK J Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion[外文期刊] 1990(07)52. RUDING L;OSHER S;FATEMI E Nonlinear total variation based noise removal algorithms 1992(1-4)53. OSHER S;RUDIN L I;FATEMI E Nonlinear total variation based noise removal algorithms 1992(03)
54. LYSAKER M;LUNDERVOLD A;TAI X C Noise removal using fourth-order partial differential equation withapplications to medical magnetic resonance images in space and time[外文期刊] 2003(12)55. KASS M;WITKIN A;TERZOPOULOS D Snakes:active contour models 1988(04)56. XU Chen-yang;JERRY L P Snakes shapes and gradient vector flow 1998(03)
57. XU Chen-yang;JERRY L P Generalized gradient vector flow external forces for active contours[外文期刊] 1998(02)
引证文献(4条)
1. 勾荣 基于Riemann-Liouville分数阶微分的图像增强[期刊论文]-制造业自动化
2013(16)2. 勾荣 基于 G-L 分数阶微分的图像边缘检测[期刊论文]-计算机与现代化
2013(11)3. 勾荣 基于分数阶微分的图像增强算法[期刊论文]-电子科技 2013(12)
4. 魏文力. 李宝树. 崔克彬. 徐雪涛 基于改进的最大熵航拍输电线路图像复原方法[期刊论文]-科学技术与工程 2013(32)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_jsjyyyj201202003.aspx
第２９卷第２期计算机应用研究
Ｖ０１．２９Ｎｏ．２
２０１２年２月
ＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎＲｅｓｅａｒｃｈｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒｓ
Ｆｅｂ．２０１２
分数阶微积分在图像处理中的研究综述
黄果ｈ，许黎岫，蒲亦非２
（１．乐山师范学院ａ．智能信息处理及应用实验室；ｂ．物电学院，四川乐山６１４０００；２．四川大学计算机学院，成
都６１００６４）
摘要：综述了关于分数阶微积分理论在数字图像底层处理中的应用研究，具体包括：分数阶微积分和分数阶偏微分方程的基本理论及分数阶傅里叶变换的基本性质；分数阶微分滤波器的构造及在图像增强中的应用研究；分数阶积分滤波器的构造及在图像去噪中的应用研究；分数阶偏微分方程在图像去噪中的应用研究。最后，总结了分数阶微积分理论在图像处理中已取得的研究成果，并结合已有的基于分数阶微积分理论的图像底层处理模型，展望了分数阶微积分理论在图像处理中的应用前景。
关键词：分数阶微积分；分数阶偏微分方程；变分法；泛函极值；图像增强；图像去噪中图分类号：ＴＮ３９１
文献标志码：Ａ
文章编号：１００１．３６９５（２叭２）０２—０４１４—０７
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００ｌ一３６９５．２０１２．０２．００３
Ｓｕｍｍａｒｙｏｆｒｅｓｅａｒｃｈ
ｏｎ
ｉｍａｇｅｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇｕｓｉｎｇｆｒａｃｔｉｏｎａｌｃａｌｃｕｌｕｓ
ＨＵＡＮＧＧｕ０１ａ，ＸＵＬｉｌｂ，ＰＵＹｉ．ｆｅｉ２
（１．Ⅱｋ６０ｍ￡ｏ，ｙ矿胁扰咖眦聊备玎№砌ｎＰｒｏｃ哪堍＆Ａ一池ｔ如ｎ，６．ｓ如００ｆ０，Ｐ蛳如＆觑∞打口ｎ如，肠＾口ｎⅣ０ｒ，ｍｚ‰妇ｍ毋，ｋ＾口ｎ＿ｓｉ－如Ｍｎ６１４０００，醌ｉＭ；２．ｃｏ朋ｅ酽ｏ，ｃｏｍｐＭ把ｒ＆如袱，．ｓ如＾∽ｎ‰眈巧蚵，蕊ｅ，则Ｍ６１００６４，醌ｉ胍）
Ａｂｓｔｍｃｔ：Ｔｈｅ
ｍａｉｎｃｏｎｔｅｎｔｓ
ｏｆｔｈｉｓｐａｐｅｒｗｅｒｅａｂｏｕｔｆｒａｃｔｉｏｎａｌｃａｌｃｕｌｕｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｉｎｄｉｇｉｔａｌｉｍａｇｅｌｏｗ—ｌｅｖｅｌｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ．
ＳｐｅｃｉｆｉｃａⅡｙｉｎｃｌｕｄｅｄｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇ：ｆｒａｃｔｉｏｎａｌｃａｌｃｕｌｕｓａＪｌｄｆｍｃｔｉｏｎａｌ—ｏｒｄｅｒｐａｒｔｉａｌｄｉｆＥｂｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓａｎｄｔｈｅｂａｓｉｃｐｒｏｐｅ卜ｔｉｅｓｏｆｆｒａｃｔｉｏｎａｌＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏ册：ｔｈｅｓｔｍｃｔｕｒｅｏｆｔｈｅｆｒａｃｔｉｏｎａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｆｉｌｔｅｒａｎｄｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｔｏｉｍａｇｅｅｎｈａｎｃｅｍｅｎｔ；
ｔｈｅｓｔｍｃｔｕｒｅｏｆｔｈｅｆｒａｃｔｉｏｎａｌｉｎｔｅｇｍｔｉｏｎｆｉｌｔｅｒａｎｄｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ
ｔｏ
ｉｍａｇｅ
ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ；ｔｈｅｉｍａｇｅｄｅｎｏｉｓｉｎｇｍｏｄｅｌｂａｓｅｄ
ｏｎ
ｆｈｃ—
ｔｉｏｎａｌｐａｒｔｉａｌｄｉ如ｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ．ＦｉｎａＪｌｙ，ｓｕｍｍａｒｉｚｅｄｆｒａｃｔｉｏｎａｌｃａｌｃｕｌｕｓｈａｄｂｅｅｎｍａｄｅｒｅｓｅａ托ｈｒｅｓｕｌｔｓａｎｄｒｅｌａｔｅｄｐｍｂ—ｌｅｍｓｉｎｉｍａｇｅｐｍｃｅｓｓｉｎｇ．Ａｓｓｏｃｉａｔｅｄｗｉｔｈｔｈｅｉｍａｇｅｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇｍｏｄｅｌｓ，ｆｏｒｅｃａｓｔｅｄｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｐｒｏｓｐｅｃｔａｂｏｕｔｆｈｃｔｉｏｎａｌｃａｌｃｕｌｕｓａｐｐｌｉｅｄｔｏｉｍａｇｅｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｆｈｃｔｉｏｎａｌｃａｌｃｕｌｕｓ；ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ－ｏｒｄｅｒｐａｒｔｉａｌｄｉ矗Ｉｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｃａｌｃｕｌｕｓ
ｏｆｖａｒｉａｔｉｏｎｓ；ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｅｘｔｒｅｍｅ；
ｉｍａｇｅ
ｅｎｈａｎｃｅｍｅｎｔ；ｉｍａｇｅｄｅｎｏｉｓｉｎｇ
生物、金融、流体等领域应用越来越广泛，实用价值也得以充
０
引言
分的体现。近几年以来，国内外许多学者研究发现，分数阶分数阶微积分理论与整数阶微积分理论几乎同时诞生，
微积分在信号分析与处理领域具有广泛的应用前景，比如在该理论最早出现在Ｌ’Ｈ６ｐｉｔａｌ写给Ｌｅｉｂｎｉｚ的信件中…。近三信号的奇异性检测和提取方面具有特殊的作用Ｈ“…。分数阶微积分理论在图像底层处理中的应用是最近几年才引起百年来，分数阶微积分仅仅是数学家们的纯数学理论分析和学者关注的，到目前为止，已经取得了初步研究成果，主要包推导。Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ等著名数学家一直致力于完善和发展分数阶括图像增强、图像去噪、图像边缘提取、图像分割、图像奇异微积分的理论研究，从而构建了分数阶微积分理论的基本系性检测等。图像处理中的整数阶微分算子包括梯度和Ｌａ—统架构。直到１９世纪后期，分数阶微积分理论才开始逐渐在ｐｌａｃｅ算子，以及墨西哥帽算子等很多经典的图像处理算子都实际工程领域中得到初步应用。Ｍａｎｄｅｌｂｍｔ旧’３１发现了分形可以近似看做是Ｒｏｄｉｅｃｋ…１提出的ＤＯＧ感受野模型在理论学，他指出自然界和很多技术科学中存在大量分数维事实，上的仿真实现。分数阶微分算子则可以认为是ＤＯＧ感受野发现在整体与部分之间存在自相似现象，并尝试将Ｒｉｅｍａｎｎ－模型的推广和延伸。基于分数阶微分理论的感受野模型较Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分数阶微积分理论应用于描述和分析分形媒介中的整数阶微积分理论更符合人类视觉特性。
布朗运动，从此，工程技术人员开始关注分数阶微积分。近分数阶微积分理论在图像处理领域的应用研究主要包括几十年以来，国内外许多学者研究发现分数阶微积分算子具以下方面：蒲亦非等人¨２。２ｏ认为，选择适当阶次的分数阶微分有记忆性和非局部性，非常适合用来描述现实世界中具有记算子在增强图像过程中可以大幅提升边缘和纹理细节的同时，忆和遗传性质的材料，因此分数阶微积分理论在物理、化学、
非线性地保留了图像平滑区域的纹理信息；此外，杨柱中等
收稿日期：２０１ｌ－０９・１６；修回日期：２０１１・ｌＯ一３０
基金项目：国家自然科学基金资助项目（６０９７２１３１）；四川省教育厅科研项目（１０ｚＣ０１９／
１１ｚＢｌ３２）；乐山市科技局重点研究计划资助项目（２０１１ＧｚＤ０４６）；乐山师范学院资助项目（ｚ１１６２）
作者简介：黄果（１９８０－），男，重庆人，讲师，博士，主要研究方向为分数阶微积分及分数阶偏微分方程在图像处理中的应用研究（ｈｕａｎｇｇｕｏｘｕｌｉ＠１６３．ｃｏｍ）；许黎（１９８２一），女，云南人，讲师，硕士，主要研究方向为分数阶微积分及混沌理论在图像处理中的应用研究；蒲亦非（１９７６一），男，四川人，副教授，博士（后），主要研究方向为分数阶微积分及分数阶偏微分方程在图像处理中的应用研究．
万方数据
第２期黄果，等：分数阶微积分在图像处理中的研究综述
・４１５・
人。２”驯利用分数阶微分算子具有弱导数性质的特点，利用分数阶梯度算子对含弱噪声的图像进行边缘检测，该方法能够有效地解决整数阶梯度算子对噪声敏感的问题，因此可以避免噪声的影响而准确地定位噪声图像的边缘；ＭａｔＩｌｉｅｕ等人心叫提出了分数阶微分的边缘检测算子，即分数阶鲁棒轮廓（ｃｏｎｔｏｕｒ
ｒ０．
ｂｕｓｔｅｄ’ｏｒｄｒｅ
ｎｏｎ
ｅｎｔｉｅｒ，ｃＲＯＮＥ）边缘检测器，说明了该检测
器的分数阶微分阶次在１＜”＜２时，能够有选择地检测出边缘，而在分数阶微分阶次在一１＜”＜１时，该检测算子能够在边缘提取的过程中克服噪声的影响；在此基础上，李远禄等人旧川提出了基于分数阶差分的滤波器并将其应用到边缘检测，该模型将数据的平滑和差分有机结合，利用分数阶微积分基本理论，设计了可以通过调节微分阶次的差分滤波器，该滤波器可以解决传统算子边缘检测出现的边缘漂移问题，并且可以抑制部分噪声；汪凯宇和刘红毅等人。２８’２引利用分数阶微积分具有的记忆特性，分别将分数阶样条小波应用到图像纹理的奇异性检查和图像融合中，较整数阶微积分取得了更好的仿真效果；Ｌｉｕ等人∞叫提出了分数阶奇异值分解的人脸识别方法，该方法可以有效缓解面部的变化，并且在脸部出现剧烈变化时，比传统的分类方法提高其分类的性能，为高层图像处理打下坚实基础；左凯等人口１。将卡尔曼滤波和分数阶微积分理论相结合，提出了二维分数阶卡尔曼滤波器并成功应用到图像处理；汪成亮等人¨２。通过研究分数阶微积分的基本定义和相应的分数阶微分算子的实现方法，提出了将图像的梯度特征和人类视觉特征等理论引入到已有的分数阶微分算子中，由此构建了基于分数阶微分阶次自适应变化的图像增强模型；高朝邦等人”引将四元数理论和分数阶微积分理论有机结合，提出了四元数分数阶方向微分的概念，解释其物理意义和几何意义，并根据分数阶微分的特殊性质将其应用到图像增强当中，可以得到很好的效果；Ｂａｉ等人旧４ｏ以ＲＯＦ去噪模型为基础，将分数阶微积分理论和偏微分方程相结合，提出了基于分数阶偏微分方程的图像去噪模型，该方法可以解决传统低阶次整数阶偏微分方程去噪模型容易产生阶梯效应，以及高阶次整数阶偏微分方程去噪模型去噪效果不佳的缺点。此后，张军等人＂”驯将负指数ｓｏｂｏｌｅｖ空间的多尺度图像建模与基于分数阶微积分的图像建模有效结合，提出了统一的基于分数阶多尺度变分图像去噪模型，并初步设计了该模型涉及参数的自适应选择方法。
１
相关理论及分析
１．１
分数阶微积分的基本定义
从不同的应用角度去分析问题可以得到不同的分数阶微
积分定义，所以迄今为止，分数阶微积分仍然没有统一的时域定义表达式。在众多的定义表达中，主要有三种经典的分数阶微积分定义，包括Ｇｍｍｗａｌｄ—Ｌｅｔｎｉｋｏｖ、Ｒｉｅｍａｎｎ．ＩＪｉｏｕｖｉｌｌｅ和ｃａ．ｐｏｔｕ定义。
１）分数阶微积分的Ｇｒｎｍｗａｌｄ—Ｌｅｔｎｉｋｏｖ定义
：ｃ＝２骂∥ｊ叁黼ｔ一曲）ｗｅＲ一
（１）
２）分数阶微积分的Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ定义
『警
【专赢可，：茄ａｙ。一㈨如
…ｅⅣ
万方数据
３）分数阶微积分的Ｃ印ｕｔｏ定义
细撇卜ｋ志乃筘…川…。＠’。
【鲁币％Ｊ：带如嚷”ｋ…
ｆ掣
…ｅⅣ
‘
针对三种经典分数阶微积分定义，国内外众多学者从不同应用角度研究分析各种各样的实际问题，得到了不同形式的分数阶微积分定义表达式。分数阶微积分Ｒｉｅｍａｎｎ一“ｏｕｖｉｌｌｅ定义和分数阶微积分ｃ印ｕｔｏ定义都是对分数阶微积分Ｇｎｉｍｗａｌｄ．Ｌｅｔｎｉｋｏｖ定义的改进。分数阶微积分的Ｇｒｕｍｗａｌｄ．Ｌｅｔｎｉｋｏｖ定义在数值实现时可以转换为卷积运算形式，因此非常适合在信号处理中的应用；分数阶微积分的Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉ．ｏｕｖｉｕｅ定义主要应用于计算一些较为简单函数的解析解；分数阶微积分的ｃ印ｕｔｏ定义适用于分数阶微分方程初边值问题的分析，因此非常适合在工程领域中应用。三种关于分数阶微积分定义之间存在着紧密的联系，在一定条件下可以相互转换。例如，如果分数阶微积分阶次ｗ满足ｎ一，１＜”＜凡，当函数，（ｘ）的ｍ＋１阶导数连续并且满足ｍ＝Ｌ
ｎ一１
ｊ，分数阶微积分
Ｇｍｍｗａｌｄ—Ｌｅｔｎｉｋｏｖ的定义与分数阶微积分Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ的定义是完全等价的。在满足相同条件下，分数阶微积分的ｃ叩ｕｔｏ定义和分数阶微积分的Ｇｍｍｗａｌｄ—Ｌｅｔｎｉｋｏｖ定义等价。当分数阶微积分阶次”为正整数和负实数时，分数阶微积分的ｃ印ｕｔｏ定义和分数阶微积分的Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ定义满足以下关系：
：Ｄ㈧＝：乒糍孵＋：Ｄ荆（４）
１．２分数阶偏微分方程
分数阶偏微分方程是由传统整数阶偏微分方程拓展演化而得到的，是将传统整数阶偏微分方程中对时间或者空间的偏导数项用分数阶偏导数来替代而得到的㈤Ｊ。分数阶偏微分方程的基本形式为
！丝！！型２：拯！：吐＋塑！！也
ｆ一
５、
矿ｔ妒ｘ
护ｙ
’根据偏微分阶次ｄ和卢的不同将分数阶偏微分方程分为三种基本形式㈤““：
ａ）时间分数阶偏微分方程（时间偏导数阶次ｄ为非整数，空间偏导数阶次卢为整数）。特别地，当０＜ｄ＜１，口＝２时，将
热传导方程（扩散方程）推广为时间分数阶热传导方程（时间分数阶扩散方程）；当１＜“＜２，口＝２时，该方程可以认为是热传导方程和波动方程的非线性插值。
ｂ）空间分数阶偏微分方程（空间偏导数阶次口为非整数，时间偏导数阶次仅为整数）。特别地，当ｄ＝１，ｌ＜届＜２时，将热传导方程（扩散方程）推广为空间分数阶热传导方程（空间分数阶扩散方程）。
ｃ）空间一时间分数阶偏微分方程（时间偏导数阶次ｄ为
非整数，同时空间偏导数阶次卢为非整数）。特别地，当０＜
ａ＜１，ｌ＜卢＜２时，将热传导方程（扩散方程）推广为时间一空间分数阶热传导方程（时间一空间分数阶扩散方程）。
图像增强是数字图像处理的基本内容之一，以梯度算子和Ｌ印ｌａｃｉａｎ算子等为代表的整数阶微分方法在图像增强中的应
２分数阶微分与图像增强
・４１６・
计算机应用研究第２９卷
用已经相当广泛。近年来，很多学者将分数阶微分理论应用到图像增强中并且取得了较好的效果。分数阶微分可以在提高信号高频成分的同时非线性地保留信号中的甚低频，因此将该理论应用到图像增强中，可以使图像边缘更加突出，同时保留了图像平滑区域的纹理信息。分数阶微分理论应用到数字图像中的关键是增加一个自由度，即阶次。（０＜”＜１），通过适当调节”的大小可以构造相应的掩模算子，从而得到较好的图像增强效果。
２．１
分数阶微分对信号的作用
已知任意平方可积的能量信号以菇）Ｅｒ（Ｒ），由信号处理
＾
的基本理论可知其Ｆｏｕｒｉｅｒ变换为八甜）＝ｆ。八戈）ｅ一”出。假设信号八搿）的乃阶导数为尸（石）（ｎ∈ｚ＋），根据Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的性质可以得到
盯＾
＾
＾
＾
Ｄ’弧ｘ）铮（口Ｄ“（∞）＝（妇）４以ｍ）＝ｄ“（（ｃＪ），（∞）（６）
假设信号八戈）的分数阶”阶导数为厂（戈）（”∈月＋），同样根据分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的性质可以得到
ｎ＾
＾
＾
＾
Ｄ杈ｘ）甘（功９。（∞）＝（奶）”，（∞）＝ｄ”（∞班∞）
（７）
＾
＾
其帆
。．．
ｂ＆）＿ｌ。附（乞）：罕。ｇｎ（。）
一ｍ）＝（洳）”＝“”（ｏ）ｅ‘∥‘“’
（８）
图１为分数阶微分算子在阶次不同时的幅频特性。从图１可以清楚地得出：ａ）分数阶微分算子对信号都有加强的作用，并且加强的幅度随频率和微分阶次的增加而非线性地急剧增强；ｂ）２阶次微分相比１阶次微分对信号低频成分的提升较弱，但是对信号高频成分的提升却更明显；ｃ）特别地，当微分阶次”＝０时，表示分数阶微分算子不对信号进行任何改变；ｄ）对于分数阶
微分阶次０＜”＜１时，在信号的低频部分（∞＜１），分数阶微分算
子对信号的幅值进行了一定的提升，并且提升的幅度稍大于１阶次和２阶次微分；在信号的高频部分（∞＞１），分数阶微分算子对信号的幅值进行一定的提升，但是提升的幅度也明显小于１阶次和２阶次微分。上述性质表明，分数阶微分算子具有弱导数性质，即分数阶微分算子在加强信号中高频成分的同时．对
信号的甚低频分量进行了非线性保留。此外，从信号处理的角
度分析分数阶微积分算子的物理意义可知，分数阶微分算子可以理解为广义的调幅调相，其振幅随频率呈分数阶幂指数变化，相位是频率的广义Ｈｉｌｂｅｒｔ变化。
３
一Ｉ三潍；
Ｓ２
｛＝＝茹５ａ
．∥／
／／
胃
墨・
一匕≤芝≥０
，一一一ｊ曩互国龟罗舒；ｔ帮ｊ＝
！
．盖矗笙孝三哆ｒ
．ｑ
频率ｗ／Ｈｚ
图１分数阶微分算子的幅频特性曲线
２．２分数阶微分滤波器的构造
假设二维图像信号，（省，ｙ）对于ｘ和ｙ轴方向的分数阶微分在一定的条件下是可分离的，这样可以利用分数阶微分算子分别对数字图像的八个方向进行滤波处理，然后将得到的中间结果通过相关规则结合。将图像信号，（立，ｙ＞）的持续期［ｏ，￡］
按单位间隔＾＝１等分，即ｎ＝Ｉ半ｌ＝［卜口】。这样可以得
ｒ＋
。１＾＝ｌ
Ｌ
，‘
Ｊ
’
到｛Ｇ—Ｌ定义下的分数阶微分算子沿ｘ和ｙ轴方向的数值计算
万方数据
表达式，如式（９）和（１Ｕ）所不，兵甲代表不分颧彤ｒ微分效值计
：彤，（。，ｙ），垒，（＊，ｙ）＋（一口），（。一１，ｙ）＋Ｌ立毛型，（＊一２，ｙ）¨
算的余项，如式（１１）和（１２）所示。
ｉ—二！尘ｊｊ二！二；；土ｊ趔，（ｘ一３，ｙ）＋Ｒ：（。，ｙ）（９）
６
…。～７一＂…
、‘７
：彤，（。，ｙ），垒，（ｘ，ｙ）＋（一口），（。，ｙ一１）＋Ｌ型妥竺业，（。，），一２）＋．
Ｒ：（ｚ）＝ｉｉ—二！堕ｊ。二！二；；＿２ｊ趟，（ｘ，ｙ一３）＋Ｒ：（。，ｙ）（１０）
—二兰立ｊ—＝６
兰２生三土ｊｊｉ旦‘、’。¨７‘‘＊、。’ｗｊＩ兰幽，（ｘ一４，，，）＋、一。７
月；（ｚ）＝ｉ二二旦２』乏‰ｍ吨ｙ）．．．＋
，（ｍ＋１），（一口）…’…”７
—二！＿＝ｌＬ上｛ｉ二竺二二兰羔幽（ｚ，，，．．４）＋…＋
（１１）、…
蒯‰职一－ｍ）
，（ｍ＋１）厂（一＂）…。＾～
（１２）、…
图２表示分数阶微分图像增强掩模算子形，该算子将式（９）和（１０）推广到图像的其余六个方向，从而得到一个基于八个方向的图像增强掩模算子（图中表格空白部分用０填充）。
该增强算子具有各向旋转不变性，增强算子形中的滤波系数
如式（１３）所示。
％ｏ＝１％１＝一口
％：巫掣
％：＝型子坐
‘１３’
％。＝巫型必乏芋上业业
％
００％。Ｏ０
％。
０
００
Ｏ
０
００Ｏ阡０，０％，
Ｏ％，
０００
０
０
阡名．
阡名．
阡名
０
Ｏ
０
％
阡名：
阡名．降名。阡０．％
％。
００
Ｏ
阡名．％．％，
Ｏ
Ｏ
Ｏ
Ｏ
０
％
０
阡名：
Ｏ
％
Ｏ
Ｏ
００
０ＯＯＯ
％。
Ｏ
Ｏ
％
Ｏ
０
％。
图２分数阶微分增强掩模算子
３分数阶积分与图像去噪
众所周知，分数阶微分和分数阶积分是互为逆运算，同样图像增强和图像去噪也是相反的过程。既然分数阶微分
理论在图像增强中取得了很好的效果，因此，本章尝试将分
数阶积分理论用到图像去噪，提出了基于分数阶积分的图像去噪算法。该方法打破了传统图像去噪算法基于整数积分阶次的思想，通过设定一个较小的分数积分阶次来构建相应的图像去噪掩模，并利用迭代的方法来控制图像去噪的效果，从而在图像去噪的同时，尽量保留了图像的边缘和纹理等细节信息。
３．１
分数阶积分对信号的作用
对已知任意平方可积的能量信号以￡）∈ｒ（Ｒ），由信号处
理的基本理论可知其Ｆｏｕｒｉｅｒ变换蒯∞）＝ｋ，（￡）ｅ一…出。假
＾
第２期
黄果，等：分数阶微积分在图像处理中的研究综述
・４１７・
设信号八ｆ）的ｎ阶导数为厂（ｔ）（ｎＥｚ），根据Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的性质可以得到
Ｆｒ＾
＾
＾
＾
Ｄ杈ｆ）铮（口Ｄ“（∞）＝（池）”，（ｃｃＪ）＝ｄ“（∞）八∞）
（１４）
这样将信号八￡）的分数阶”导数为，（ｆ）（”∈Ｒ＋），同样根
据Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的性质可以得到
盯＾
＾
＾
＾
Ｄ弧￡）甘（口Ｄ”（ｍ）＝（妇）。八∞）＝ｄ”（∞小∞）
（１５）
ｒｄ”（ｍ）＝（汹）”＝ｎ”（∞）ｅ妒（“）
其中：
‰ｏ川计删ｏ）：孚。ｇＩｌ（。）
（１６）
于是，当”∈Ｒ一时，根据分数阶算子理论，即Ｄ～＝，，并且”’＝一”，可以得到分数阶积分算子的Ｆｏｕｒｉｅｒ变换形式为
盯＾
＾
＾
＾
，。八￡）甘（矿）”‘（∞）＝（洒）”“ｃ【，）＝∥（∞）・，（∞）
（１７）
ｒ，’（甜）＝ｄ”’（埘）ｅ‘伊Ｉ“）
其吼
ｋ（：川计。∥（２）：半。ｇｎ（。）
（１８）
根据式（１８）的描述，可以得出分数阶积分算子在阶次。’０，０．２，０．５，０．８，１．０，１．５，２．０时的幅频特性，如图３所示。
ｊ３．
＼
ｌ＼
Ｉ—ｖ＝Ｑ．Ｑ
；ｌ｛｝Ｓ２．
¨’；
＋ｖ＝１．Ｏｖ＝０．５
—＊一ｖ＝０．８～
胃趔＼Ｎ酞
＋ｖ＝１．５一罂１．
＼Ｃ再Ｎ
一ｖ＝２．０
＼￣￣ｌ￣
～～一鼍杂心
Ｏ．
１嫌遵基釜斟≮娶堇ｊ
——寻＝＝ｊ！
频率ｗ／Ｈｚ
。
图３分数阶积分的幅频特性曲线
从图３可以清楚地得出：ａ）分数阶积分对信号都有衰减作用，并且随着频率和积分次数的增加而非线性地急速衰减；ｂ）２阶次积分相比１阶次积分对信号低频成分的提升较大，同时对信号的高频成分的削弱也明显；ｃ）特别地，当”＝０时，表示分数阶积分算子不对信号进行任何改变；ｄ）对于积分次数０＜ｗ＜１时，在信号的频率∞＜ｌ的区域，分数阶积分算子对信号的幅值进行了一定的提升，但是提升的幅度远小于１次和２次积分；在信号的频率∞＞１的区域，分数阶积分算子对信号的幅值进行了一定的削弱，但是削弱的幅度也明显小于１次和２次积分。上述性质表明，分数阶积分算子在削弱信号高频部分的同时，对其中的最高频部分进行了非线性的保留；分数阶积分算子在加强信号低频部分的同时，对其中的最低频部分也进行了一定的保留。这样，分数阶积分算子在去除噪声的同时，一定程度上保留了图像的边缘和纹理等细节信息，从而使去噪后的图像不会产生严重的模糊现象。３．２分数阶积分滤波器的构造
仍然假设二维图像信号，（髫，ｙ）对于夏轴和ｙ轴方向的分数阶积分在一定的条件下是可分离的，这样可以利用分数阶积分算子分别对数字图像的八个方向进行滤波处理，然后将得到的中间结果通过相关规则结合。将图像信号，（石，ｙ）的持续期
［ａ，￡］按单位间隔危＝ｌ等分，即ｎ＝Ｉ半ｌ＝【￡一ｏ】。这样可
ｒ．
。１＾＝ｌ
Ｌ
，‘
Ｊ
以得到Ｇ—Ｌ定义下的分数阶积分算子沿ｘ轴和ｙ轴方向的数值计算表达式，如式（１９）和（２０）所示，其中尺’表示分数阶积分数值计算的余项，如式（２１）和（２２）所示。
：墨’，（ｘ，ｙ），垒，（￥，ｙ）＋Ｆ’，（ｘ—ｌ，），）＋型掣，（ｘ一２，），）＋…＋
…１、
万方数据
！：￡！：！二攀，（＊一３，ｙ）＋尺：（ｚ，ｙ）
（１９）
：ｃ
７，（＊，ｙ），垒，（。，ｙ）＋Ⅳ，，（Ⅸ，ｙ一１）＋丛妥山，（。，ｙ一２）”．＋
矗墨（ｚ）＝！：￡！！±』ｊｊ』；：二必，（＊一４，，，）＋…＋
！：￡！：±』攀，（ｚ，），一３）＋Ｒ；（ｚ，ｙ）
（２０）
Ｒ’；’（＊）＝竺』』￡ｊ，（ｍ＋１）厂（口’）…’…”７
高‰毗吨ｙ）Ｌ！上工ｊ：÷兰必，（ｚ，，，一４）＋一（２１）、…
羔揣如扩ｍ）
・＋，（ｍ＋１）厂（Ｆ’）…。’…７
（２２）、…
图４表示分数阶积分去噪掩模算子形，该算子将式（１９）和（２０）推广到图像的其余六个方向，从而得到一个基于八个方向的去噪掩模算子（图中表格空白部分用０填充）。该去噪算子具有各向旋转不变性，去噪算子形中的滤波系数如式
（２３）所示。
‰＝ｌ
觋，＝”
％：华
％：止岩
心３’
；
％。＝亟必鼍≯掣业
彬
００嘭
０
０
形
０
０
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矿
职
彬彬形彬
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０
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０矿
０形
０
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Ｏ
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０
０
形Ｏ
Ｏ
形
０Ｏ％
图４分数阶积分去噪掩模算子
４分数阶偏微分方程与图像去噪
基于偏微分方程（ｐａｎｉａｌ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ
ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ＰＤＥ）的图像
处理是一门崭新的交叉学科分支，融合了数学、物理学、电子信息学和计算机科学与技术等多个领域的相关理论知识。迄今为止，国内外许多学者已经建立了大量经典的基于ＰＤＥ的图像处理模型，并显示出了巨大的生命力Ⅲ“Ｊ。基于整数阶ＰＤＥ的图像去噪模型具有强大的数学理论基础，因此该方法具有其他去噪方法不具备的诸多优势，但是国内外许多学者在深入研究的过程中仍然发现ＰＤＥ图像去噪模型存在很多不足之处。比如Ｐ—Ｍ”ｕ和ＲＯＦ模型¨２，５纠虽然能够有效地去除平滑区域的噪声，但是去噪后的图像会产生阶梯效应而出现分片光滑现象；ＬＬＴ模型＂４ｏ利用了高阶ＰＤＥ建模，虽然能够消除阶梯效应，但是去噪后的图像视觉效果不好；ＭｃＭ去噪模型ｐ”“１虽然保护了图像的边缘信息，但是去噪后的图像会产生许多人为痕迹。为了解决各种整数阶ＰＤＥ图像去噪模型存在的问题，有学者提出将分数阶微积分理论引入到ＰＤＥ图像
去噪模型中，构建基于分数阶ＰＤＥ的图像去噪模型。该模型
・４１８・
计算机应用研究第２９卷
将分数阶梯度算子替代整数阶梯度算子来构建去噪模型的能量泛函。
４．１
基于分数阶Ｆｏｕｒｆｅｒ变换的图像去噪模型
因为分数阶有界变差空间曰矿（ｎ）是传统的有界变差空
间曰ｙ（ｎ）的推广和延伸，Ｂｙ（ｎ）空间是建立在传统梯度模值的基础上，相应地，曰矿（ｎ）空间就应该建立在分数阶梯度模值基础上。这样可以建立基于分数阶有界变差空间日矿（门）的能量泛函来描述噪声图像。
已知噪声图像，（省，ｙ），（戈，ｙ）∈力，将ＲＯＦ模型的正则项梯度算子Ｖ，用分数阶梯度算子Ｖ”，来替代，可以得到基于分数阶偏微分方程去噪模型的能量泛函：
Ｅ（，）＝』ｎ１Ｄ”，ｌｄ％ｄｙ＋÷Ｉ｜，０一，｜｜乞
，∈ＢＰ（力），（Ⅳ，ｙ）∈力
（２４）
其中：ｆＤ”，ｆ－√（彤，）２＋（彤，）２、Ｄ＝，和彤，分别表示图像，
（戈，ｙ）关于ｘ和ｙ轴的分数阶导数。
为了得到上述能量泛函的ＥｕＩｅ卜Ｌａｇｍｎｇｅ方程，需要极小化上述能量泛函，因此，利用变分法的性质构造相应能量泛函。
ｇ（８）＝Ｅ（，＋占妒）＝
』ｎＩＤ。（，＋印）Ｉｃｋｄｙ＋｛一｜｜，０一，一即｜｜乙
（２５）
其中：占为任意实数，妒为任意函数。
利用泛函极值的基本性质，当Ｐ∈瞄（ｎ），有ｇ’。（０）＝０，
可以得到相应的Ｅｕｌ矗一Ｌａｇｒａｎｇｅ方程：
』ｎ（尚％＋尚叫岫训舶棚删删（２６）
为了得到最终的去噪模型，需要消除任意函数妒。因此，
采用ＰａｒｓｅＶａｌ恒等公式』ｎ，‘ｇ出妙＝去』ｎ，ｇ幽，幽ｚ对式
（２６）进行处理，可得
知（龟９尚＋匆妒尚）圳旷
—］广一—广
ｌ
＾万万
去ｆｎ妒（，ｏ一，）如１曲２＝ｏ
（２７）
因为分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的性质有域妒：（口俐。）”９，联妒＝
（丑叮『∞：）。妒，并消除系数ｌ／（２订）可以得出
——广—ｒ一
』ｎ（（细∥；尚郴酬；尚）岫慨一
＾百百
Ａ』ｎ妒（毛一，）ｄｍｌｄ∞２＝Ｏ
（２８）
又因为函数妒的任意性，利用变分法的基本引理可得出、
—广—广
。【（丑俐Ｉ）”面＋（尼彻２）。面一Ａ（，０—７）卸（２９）。。（椭）”尚＋（胁）。尚州名一？）：ｏ（２９）
一一
对式（２９）两边先去共轭，然后再利用Ｆｏｕｒｉｅｒ逆变换可以得出相应的图像去噪的分数阶偏微分方程：
１，‘Ｒｅ｛［恧（尚）＋谚（尚）】卜¨瑚㈣，
最后利用梯度下降法，引入时间变量ｆ，可以得到基于
Ｆ０谢ｅｒ变换的分数阶偏微分方程的去噪模型：
詈一ｅ｛［瓦（高）吲尚）肛ｃ¨川，・，
该模型最大的难点就是如何求取分数阶微分算子的共轭
万方数据
算子Ｄ＝和联。基于Ｆｏｕ矗ｅｒ变换的分数阶偏微分方程的去噪模型是利用分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的性质来得到彤和联的数值解。
已知有噪声图像，（ｚ，ｙ）（省，ｙ∈力），假设其在ｘ和ｙ轴方向相互独立，其石和ｙ方向的分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换为
知（ｍ・＾’训（１一≯Ｍ”沙㈨”聊）／Ⅳ
二，，（。，ｙ）＝，（。，，，）一，（。，ｙ一１）＝
‘３２’
知ｍ－‰（－一扩咧Ｖ州…蚓“
因此，由Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的性质可知，一阶差分的空域与频域的表达式对应关系为
『Ｄ；，（并，ｙ）Ｈ（１一ｅ一口删１７Ⅳ），（∞ｌ‘，∞２）
｛
＾
（３３）
【Ｄ，，（并，ｙ）＋｛（１一ｅ—Ｊ２”“２７Ⅳ），（∞ｌ，ｍ２）
同理可知，ｎ阶差分的空域与频域的表达式对应关系为
『Ｄ：，（ｚ，ｙ）Ｈ（１一ｅ—Ｂ”。１７”）“，（∞ｌ，∞２）
｛
＾
（３４）
【Ｄ：，（ｚ，），）Ｈ（１一ｅ一声删２７Ⅳ）“，（∞１，∞２）
由分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的基本性质可知，将整数阶次ｎ推广到分数阶次”，即可得到基于分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的分数阶导数数值计算公式：
ｆＤ：，（ｚ，），）Ｈ（１一ｅ一口”’１７”）”，（∞１，∞２）
｛
＾
（３５）
【Ｄ：，（菇，ｙ）十＋（１一ｅ一口伽’２７Ⅳ）。，（∞１。，∞２）
这样，由式（３５）可以得到分数阶微分算子的共轭算子：
｛————．
『Ｄ：，（算，，，）＋＋（１一ｅ一正删１７Ⅳ）。，（∞１‘，∞２）
（３６）
【Ｄ：，（省，ｙ）＋＋（１一ｅ一届俐２７Ⅳ）”，（∞１，∞２）
已知有噪声图像，（聋，ｙ），戈，ｙ∈仃，并且假设噪声图像，（石，号，（戈，・）的分数阶微积分数值计算。由分数阶微积分的Ｇ—Ｌ
定义可知，图像信号，（互，・）的分数阶微分为
刚ｖ）＝（÷）“善（－１）’而器拦而如咄…ｓ，）
当步长＾＝１时可以得到
：彤如）－ｉ邑（。）“｝，（一，）：剃加善㈢）Ｕ卜Ｄ
（３８）
假设函数ｃ”（茄）满足
ｃ。（。）＝ｆ（一・）５（：）
算≥。
（３９）
【ｏ
膏＜ｏ
因此，可以将信号的分数阶微积分改写为信号，（石）与函
：叫，（ｇ）＝ｃ”（ｚ）＋，（ｚ）
（４０）
于是，将式（４０）代入基于分数阶曰旷（以）空间的能量泛函，可得到基于卷积积分的分数阶变分模型：
Ｅ（，）＝』ｎ
ｃ“＋，ｌｄ聋ｄｙ＋—：一Ｉ｜厂一，１ｌ乙
（４１）
ｒ
ｃ”｝，Ｊ＝／（ｃ”。，）：＋（ｃ。｝，）；２（ｃ”＋Ｄ；＝』ｎｃ。（：），（＊一ｚ，ｙ）出
（４２）
为了得到式（４１）的Ｅｕｌｅｒ＿咖ｇｅ，与上节假设一样，仍然
【（ｃ。￥，），＝／ｎｃ。（ｚ），（ｘ，，一ｚ）出
４．２基于分数阶基本定义的图像去噪模型
ｙ）在ｘ和ｙ轴方向相互独立，因此只考虑ｘ轴方向的图像信数ｃ”（髫）的卷积操作形式：
其中：
第２期
黄果，等：分数阶微积分在图像处理中的研究综述
・４１９・
假设任蒽函数妒，从而构造函数，便兵满足式（４３）：
性具有特殊的生物视觉感受野模型，因此分数阶微积分理论ｇ（ｓ）＝Ｅ（，＋Ｐ妒）＝』ｎ
ｃ”（，＋印）Ｉｃｋｄｙ＋争ｏ，ｏ一，一８妒｜Ｉ乞（４３）
为数字图像底层处理提供了一种崭新的研究方法。表１表示分数阶微积分理论应用于图像底层处理的类比，该表说明了仍然利用泛函极值的基本性质令ｇ’（０）＝０，可以得到
分数阶微积分理论应用于图像处理所涉及的定义、适用情。ｎ
ｆ。笠塑盘Ｉ磐坐兰丛尘韭出¨ｃ”｝，Ｉ
““７
况、特点、优缺点情况。
Ａｆｎ（，０一，）妒ｄｘｄｙ＝Ｏ
（４４）
表１
分数阶微积分应用于图像底层处理的类比
因为当（省，ｙ）薯力时，，（菇，），）＝０。所以将伫一Ｒ２时，可以得到Ｐａｒｓｅｖａｌ恒等式：
１
＾百
』Ｒ塘出ｄｙ２寿』Ｒ２，ｇｄ∞１ｄ∞２
（４５）
————Ｆ一———百一
可以根据Ｐａｒｓｅｖａｌ恒等式将式（４４）进一步改写为
去，ｎ（箐等）ｃ一：珐如，她＋去，力（箐等）㈡：坫蛔幽：一
Ａ寿』ｎ（，０一，）妒ｄ∞１ｄ∞２２０
（４６’
＾
＾
＾
因为存在ｃ”｝，＝ｃ。・，，并且因为函数妒的任意性，可以得到
（鬻）州‰（锗）以ｏＡｃ名一２Ⅲ㈤，—ｒ
＾
本文介绍的各种基于分数阶微积分和分数阶偏微分方程因为ｃ”（∞）＝ｃ”（一∞），可以得到
理论的图像处理模型还存在一些不足之处，在今后的研究工作（锗）以二训＋（锗）以二㈦州Ｊ２一？）＝ｏ㈤，
中需要重点解决以下几个方面的问题：ａ）本文主要介绍分数阶微积分理论应用到图像去噪和增强两种基本的图像底层处利用Ｆ０ｕｒｉｅｒ逆变换的性质可以得到
（（锗）甜㈠，）。＋（（锗）＂㈠，），一
理，需要进一步将基于分数阶微积分的图像处理模型推广到图像分割、边缘提取、数字水印、指纹提取等图像处理的其他应用领域；ｂ）本文介绍的基于分数阶微积分理论的图像处理模型Ａ（如一，）＝Ｏ
（４９）
都只是应用于二维图像处理，因此，以后要逐步尝试将上述模慷沁）锗㈦埘胁协沁）锗㈠＂胁
去掉卷积符号后可以得到
型推广到三维图像处理；ｃ）分数阶微积分理论作为一种基本的数学分析工具，已经成功应用到了图像处理中，并取得了很Ａ（，０一，）＝０
（５０）
好的应用效果，如何将分数阶微分理论和当今成熟的经典算法最后，利用梯度下降法即可以得到基于Ｇ－Ｌ定义分数阶结合，如利用神经网络、遗传算法、模糊数学等经典理论来估计偏微分方程的图像去噪模型：
分数阶微积分的阶次，从而构建性能更加完备的图像处理算詈＝一（协沁）锗㈦刎胁
子；ｄ）图像去噪和图像增强是互为逆过程，因此，可以尝试将基于分数阶偏微分方程的图像去噪模型利用反扩散原理推广』ｎｃ”（ｚ）！ｉ；÷等（ｘ，，，＋ｚ）出）＋Ａ（，０一，）
得到基于分数阶偏微分方程的图像增强模型，并将该模型和其
（５１）
他的一些经典图像增强方法结合得到性能更加优越的图像增强模型；ｅ）本文介绍关于分数阶偏微分方程的图像处理模型５结束语
都是基于较弱函数空间条件下建立的，在数学完备性方面存在自从Ｍａｎｄｅｌｂｍｔ发现分形现象，并将Ｒｉｅｍａｎｎ－ＬｉｏｕｖｉⅡｅ分不足，因此需要寻找更为适合的基于分数阶微积分理论的图像数阶微积分理论应用于分析和研究分形媒介中的布朗运动描述空间对图像建模。
以来，分数阶微积分逐渐受到工程技术人员的高度关注。近分数阶微积分理论作为一种崭新的工程应用工具，已经引些年以来，分数阶微积分理论已经在化学、电磁学、控制学、起了国内外众多科技工作者的广泛关注，并在包括图像处理的材料科学和力学等众多学科领域中得到广泛应用并取得了实际应用领域中取得了较好的成果。因此可以大胆预测，随着重大的研究成果。然而，将分数阶微积分理论应用到现代信分数阶微积分理论的进一步发展和完善，数值计算方法和滤波号分析与处理中，特别是数字图像的处理，在国内外都还是器构造方法的进一步简化和改进，学术前沿的新方法和新技术一个新兴的学科分支。分数阶微积分理论适合研究具有非的进一步推广和应用，计算机硬件设备运算能力的进一步发展线性、非因果、非平稳等特征不确定的信号，因此分数阶微积
和提高，分数阶微积分理论未来必将具有更加广泛的应用分理论中许多经典算法都非常适合在现代信号分析与处理
空间。中应用。众所周知，数字图像中邻域内像素点之间的灰度值参考文献：
具有高度的自相似性，这种高度的自相似性可以近似为分形［１］
ＬＥＩＢＮＩｚＧ
ｗ．ｃｏｒｒｅ叩ｏｎｄａｔｉｃｅｄｅＬｅｉｂｎｉｚ
ａｖｅｃ
Ｈｕｇｅｎｓ，ｖａＪｌｚｕｌｉ．
结构，并通常是以复杂的边缘和纹理等细节信息来表示。此ｃｈ帆ｅｔ
ｌｅＭａｒｑｕｉｓｄｅＬ’Ｈ０ｓｐｉｔａｌ［Ｍ］．Ｐ耐ｓ：Ｌｉｂｒ．ｄｅ
Ａ．Ｆ咖ｃｋ，
外，数字图像的分数阶微分具有特殊的马赫现象，其拮抗特
１８５３：２９７—３０２．
万方数据
・４２０・计算机应用研究
第２９卷
『２］
ＭＡＮＤＥＬＢＲＯＴＢＢ，ｖａｎＮＥＳｓＪｗ．ＴｈｅｆｈｃｔｉｏｎａｌｂｒＤｕｎｉａｎｍｏ．
ｔｉｏｎｓ，ｆｒａｃｔｉｏｎ８ｌｎｏｉｓｅｓａｎｄ
ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．ＳＩＡＭ
ＲｅＶｉｅｗ，１９６８，
１０（４）：４２２—４３７．
［３］ＭＡＮＤＥＬＢＲＯＴＢＢ．７ＩｈｅｆｍｃｔａＪ学ｅｏｍｅｔｌｙｏｆｎａｔｕｒｅ［Ｍ］．Ｎｅｗ
Ｙｏｒｋ：
Ｗ．Ｈ．Ｆｒｅｅｍ粕ａｎｄＣｏｍｐａｎｙ，１９８３．［４］袁晓，张红雨，虞厥邦．分数导数与数字微分器设计［Ｊ］．电子
学报，２００４，３２（１０）：１６５８—１６６５．
［５］阿然，齐林，王越．分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的原理与应用［Ｍ］．北京：
清华大学出版社，２００４：２３—４９．
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国科学Ｅ辑：信息科学，２００８，３８（４）：４８１．５０３．
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制理论与应用，２００７，２４（５）：７７１—７７６．［８］
ＰＯＤＬＵＢＮＹＩ．Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ．ｏｒｄｅｒｓｖｓｔｅｍｓａＪｌｄ
ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｓ［Ｊ］．１ＥＥＥ
Ｔ陋ｎｓ
ｏｎＡｕｔｏｍａｔｉｃ
ＣｏｎｔｒｏＩ，１９９９，４４（１）：２０８—２１４．
［９］ｚＡＹＥＤＡＩ．ＯｎｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅＦｂｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏ唧ａｎｄ
ｆｈｃｔｉｏｎａｌＦｏｕｒｉｅｒ
ｔ啪ｓｆｏｍ［Ｊ］．１ＥＥＥ
ＳｉｇｎａＩＰｒｏｃｅｓｓＬｅｔｔ，１９９６，３
（１２）：３１０—３１１．
［１０］廖科．分数阶微积分运算数字滤波器设计与电路实现及其应用
［Ｄ］．成都：四川大学，２００６．［１１］ＲＯＤｌＥｃＫ
Ｒ
ｗ．Ｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅａｎａｌｙｓｉｓｏｆ
ｃａｔｒｅｔｉｎａｌ
９８ｎ对ｉｏｎ
ｃｅｌｌ
ｒｅ—
ｓｐｏｎ８ｅ
ｔｏ
ｖｉ８ｕａｌ
ｓｔｉｍｕｌｉ［Ｊ］．ＶｉｓｉｏｎＲｅｓｅａｒｃｈ，１９６５，５（１１）：５８３—
６０１．
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的格形模拟分抗电路［Ｊ］．四川大学学报：工程科学版，２００６，３８
（１）：１２８一１３２．
［１３］陈庆利，蒲亦非，黄果，等．分数阶神经型脉冲振荡器［Ｊ］．四川
大学学报：工程科学版，２０１１，４３（１）：１２３—１２８．
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［１５］ＰＵＹｉ—ｆｅｉ，ＷＡＮＧｗｅｉ．】【ｉｎｇ，ｚＨＯｕＪｉ－ｌｉｕ，封口ｚ．Ｆｍｃｔｉｏｎａｌ
ｄｉｆｆｅｒｅｎ—
ｔｉａｌ印ｐｒｏａｃｈ
ｔｏ
ｄｅｔｅｃｔｉｎｇｔｅｘｔｕｒ■ｆｅａｔｕｒｅｓｏｆｄｉｇｉｔａｌｉｍａｇｅａｎｄｉｔｓｆｈｃ—
ｔｉｏｎａｌｄｉⅡｅｒｅｎｔｉａｌｆｉｌｔｅｒｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ［Ｊ］．
Ｓｃｊｅｎｃｅ－ｎＣｈｉｎａＳｅ—
ｒｉｅｓＦ：Ｉｎｆｏｒｆｌｌａｔｉｏｎ
Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，２００８，５１（９）：１３１９一１３３９．
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报：工程科学版，２００７，３９（３）：１２４—１３２．
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、２００８，３８（１２）．：２２５２—２２７２．
［１９］，蒲亦非．将分数阶微分演算引入数字图像处理［Ｊ］．四川大学学
报：工程科学版，２００７，３９（３）：１２４—１３２．［２０］Ｐｕ
Ｙｉ—ｆｅｉ，ｚＨ０ｕ
Ｊｉ—ｌｉｕ，ｙｕＡＮ
ｘｉａｏ．ＦｒａｃｔｉｏｎａｌｄｉｆｆｅＩｅｎｔｉａｌｍａｓｋ：ａ
ｆｒａｃｔｉｏｎａＩ
ｄｉｆＩｂｒｅｎｔｉａｌ－ｂａｓｅｄ如ｐｒｏａｃｈ
ｆｂｒｍｕｌｔｉｓｃａｌｅ
ｔｅｘｔｕ南ｅｎｈａｎｃｅ－ｍｅｎｔ［Ｊ］．ＩＥＥＥ
Ｔｒａｎｓ
ｏｎ
Ｉｍａｇｅ
Ｐｒｏｅｅｓｓｉｎｇ，２０１０，１９（２）：４９１一
．一｛
５１１．
‘
［２１］黄果，蒲亦非，陈庆利，等．非整数步长的分数阶微分滤波器在图
像增强中的应用［Ｊ］．．四川大学学报：工程科学版，２０１１，４３（１）：
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，
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万方数据
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Ｂ，ＭＥＬｃＨｌ０ＲＰ，０ｕＴＳＡＬＯｕＰＡ，ｄｏＺ．Ｆｍｃｔｉｏｎａｌｄｉｆ－
ｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎｆｂｒｅｄｇｅｄｅｔｅｃ６０ｎ［Ｊ］．ＳｉｇｎａＩＰｏｒｃｅｓｓｉｎｇ，２００３，８３
（１１）：２４２１—２４３２．
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ｓｏｎｇ—ｃａｎ，ＴＡＮｘｉａｏ—ｙａｎｇ．Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌｏｒｄｅｒｓｉｎｇｕｌａｒ
ｖａｌｕｅ
ｄｅｃｏ‘叩ｏｓｉｔｉｏｎｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｆｏｒｆａｃｅｒｅｃｏ印ｉｔｉｏｎ［Ｊ］．
Ｐａｔｔｅｍ
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动化学报，２０１１，３７（２）：１５０一１５９．［３４］ＢＡＩＪｉａｎ，ＦＥＮＧ
ｘｉａｎｇ—ｃｈｕ．Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ－ｏｒｄｅｒａｎｉｓｏｔｍｐｉｃｄｉ饪ｈｓｉｏｎｆｂｒ
ｉｍａｇｅ
ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ［Ｊ］．ＩＥＥＥ
Ｔｒａｎｓ
ｏｎ
ＩｍａｇｅＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００７，１６
（１０）：２４９２－２５０２．
［３５］张军，韦志辉．ｓＡＲ图像去噪的分数阶多尺度变分ＰＤＥ模型及
自适应算法［Ｊ］．电子与信息学报，２０１０，３２（７）：１６５４—１６５９．［３６］张军，韦志辉．一种基于卷积积分的图像去噪变分方法［Ｊ］．中国
图象图形学报，２００８，１３（９）：１６７３二１６７７．
［３７］张军，韦志辉．分数阶图像去噪变分模型及投影算法［Ｊ］．计算
机工程与应用，２００９，４５（５）：１—６．
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南京理工大学，２００９．［３９］ｚＨＡＮＧ
Ｊｕｎ，ｗ＿ＥＩｚｈｉ—ｈｕｉ．ＡｃｌａｓｓｏｆｆｂｃⅡｏｎａｌ－ｏｒｄｅｒ舢ｌｔｉ—ｓｃａｌｅ
ｖ耐ａｔｉｏｎａｌ
ｍｏｄｅｌｓａｎｄ
ａｌｔｅｍａｔｉｎｇｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎａｌｇｏｆｉｔｈｍｆｏｒｉｍａｇｅｄｅ—
ｎｏｉｓｉｎｇ［Ｊ］．Ａｐｐ¨ｅｄ
ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａＩ
ＭｏｄｅⅢｎｇ，２０“，３５（５）：２５１６—
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万方数据
分数阶微积分在图像处理中的研究综述
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
黄果， 许黎， 蒲亦非， HUANG Guo， XU Li， PU Yi-fei
黄果,HUANG Guo(乐山师范学院智能信息处理及应用实验室,四川乐山,614000)， 许黎,XU Li(乐山师范学院物电学院,四川乐山,614000)， 蒲亦非,PU Yi-fei(四川大学计算机学院,成都,610064)计算机应用研究
Application Research of Computers2012,29(2)4次
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引证文献(4条)
1. 勾荣 基于Riemann-Liouville分数阶微分的图像增强[期刊论文]-制造业自动化
2013(16)2. 勾荣 基于 G-L 分数阶微分的图像边缘检测[期刊论文]-计算机与现代化
2013(11)3. 勾荣 基于分数阶微分的图像增强算法[期刊论文]-电子科技 2013(12)
4. 魏文力. 李宝树. 崔克彬. 徐雪涛 基于改进的最大熵航拍输电线路图像复原方法[期刊论文]-科学技术与工程 2013(32)
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