根与系数的关系知识点及综合应用
一、一元二次方程根与系数的关系
（1） 若方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0) 的两个实数根是x 1，x 2，
则x 1+x2= -b c ，x 1x 2= a a
（2） 若一个方程的两个根为x 1, ，x 2，那么这个一元二次方程为
a x 2+(x 1+x 2)x +x 1x 2=0 (a ≠0)
二、根与系数的关系的应用：
（1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；
（2）判别一元二次方程两根的符号。 []
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定
既要求出判别式的值，又要确定 或 或的正负情况。因此解答此题的关键是：的正负情况。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7) ＝65＞0
∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为， ∵＜0
∴原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中
若＞0，
仍需考虑＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
（3）求根及未知数字母系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数字母系数.
例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
分析：此题通常有两种解法：
一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。
解法一：把代入原方程，得：
即
解得 当
， 解得： 时，原方程均可化为：
∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。 解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：
，
∵，∴把代入 ，可得： ∴把代入，可得：， 即 解得 ∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。
（4）求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x 1和x 2的代数式的值，
根与系数关系常用的转化关系：
x 1+ x2 =(x1+x2) - 2x1x 2 ；2 2211x +x 22 ；（x 1+a）(x2+a)=x1x 2+a(x1+x2)+a； +=1
x 1x 2x 1x 2
（x 1-x 2）=(x1+x2) -4x 1x 2 ；∣x1-x2∣=22x 1+x 2-4x 1x 2 2（5） 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般
式.
2X -(x1+x2)x+x1x 2=0
（6）运用判别式及根与系数的关系解题。
例：已知、零实数根，问和是关于的一元二次方程能否同号？若能同号，请求出相应的的两个非的取值范围；若不能同号，请说明理由，
解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根，
∴则有
∴
又∵
、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得： 假设、同号，则有两种可能：
（1） （2）
若
， 则有：
；
即有： 解这个不等式组，得 ∵时方程才有实树根，∴此种情况不成立。
若 ， 则有： 即有： 解这个不等式组，得； 又∵，∴当时，两根能同号
说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的内容。
（7）运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。
例：已知、是方程的两个实数根，求的值。
分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。
解法一：由于是方程的实数根，所以 设，与相加，得：
）
（变形目的是构造根据根与系数的关系，有：
， 和）
于是，得：
∴=0
解法二：由于、是方程的实数根， ∴ ∴
说明：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。
有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力，多年来一直受到命题老师的青睐。
（8）运用一元二次方程根的意义及判别式解题。
例：已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。
分析：当设两方程的相同根为时，根据根的意义，可以构成关于和的二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。
解：设两方程的相同根为， 根据根的意义，
有
两式相减，得
当时，
，方程的判别式
方程无实数解
当时， 有实数解
代入原方程，得， 所以 于是，两方程至少有一个相同的实数根，4个实数根的相乘积为
说明：（1）本题的易错点为忽略对
除了犯有默认
的讨论和判别式的作用，常常的错误，甚至还会得出并不存在的解：
当时，，两方程相同，方程的另一根也相同，所以4个根的相乘积为：；
（2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件：
且
另外还应注意：求得的
的值必须满足这两个不等式才有意义。
根与系数的关系知识点及综合应用
一、一元二次方程根与系数的关系
（1） 若方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0) 的两个实数根是x 1，x 2，
则x 1+x2= -b c ，x 1x 2= a a
（2） 若一个方程的两个根为x 1, ，x 2，那么这个一元二次方程为
a x 2+(x 1+x 2)x +x 1x 2=0 (a ≠0)
二、根与系数的关系的应用：
（1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；
（2）判别一元二次方程两根的符号。 []
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定
既要求出判别式的值，又要确定 或 或的正负情况。因此解答此题的关键是：的正负情况。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7) ＝65＞0
∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为， ∵＜0
∴原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中
若＞0，
仍需考虑＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
（3）求根及未知数字母系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数字母系数.
例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
分析：此题通常有两种解法：
一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。
解法一：把代入原方程，得：
即
解得 当
， 解得： 时，原方程均可化为：
∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。 解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：
，
∵，∴把代入 ，可得： ∴把代入，可得：， 即 解得 ∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。
（4）求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x 1和x 2的代数式的值，
根与系数关系常用的转化关系：
x 1+ x2 =(x1+x2) - 2x1x 2 ；2 2211x +x 22 ；（x 1+a）(x2+a)=x1x 2+a(x1+x2)+a； +=1
x 1x 2x 1x 2
（x 1-x 2）=(x1+x2) -4x 1x 2 ；∣x1-x2∣=22x 1+x 2-4x 1x 2 2（5） 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般
式.
2X -(x1+x2)x+x1x 2=0
（6）运用判别式及根与系数的关系解题。
例：已知、零实数根，问和是关于的一元二次方程能否同号？若能同号，请求出相应的的两个非的取值范围；若不能同号，请说明理由，
解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根，
∴则有
∴
又∵
、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得： 假设、同号，则有两种可能：
（1） （2）
若
， 则有：
；
即有： 解这个不等式组，得 ∵时方程才有实树根，∴此种情况不成立。
若 ， 则有： 即有： 解这个不等式组，得； 又∵，∴当时，两根能同号
说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的内容。
（7）运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。
例：已知、是方程的两个实数根，求的值。
分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。
解法一：由于是方程的实数根，所以 设，与相加，得：
）
（变形目的是构造根据根与系数的关系，有：
， 和）
于是，得：
∴=0
解法二：由于、是方程的实数根， ∴ ∴
说明：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。
有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力，多年来一直受到命题老师的青睐。
（8）运用一元二次方程根的意义及判别式解题。
例：已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。
分析：当设两方程的相同根为时，根据根的意义，可以构成关于和的二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。
解：设两方程的相同根为， 根据根的意义，
有
两式相减，得
当时，
，方程的判别式
方程无实数解
当时， 有实数解
代入原方程，得， 所以 于是，两方程至少有一个相同的实数根，4个实数根的相乘积为
说明：（1）本题的易错点为忽略对
除了犯有默认
的讨论和判别式的作用，常常的错误，甚至还会得出并不存在的解：
当时，，两方程相同，方程的另一根也相同，所以4个根的相乘积为：；
（2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件：
且
另外还应注意：求得的
的值必须满足这两个不等式才有意义。