立体几何小题练习

1．某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示，则在图2的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是（）

A ．（1），（3） C ．（2），（4）

B ．（1），（4）

D ．（1），（2），（3），（4）

2．一空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）

A. 2π

+23 B. 4π+2

+23

D. 4π

C. 2π+

3．如图所示，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，那么这个几何体的体积为 ( )

A. 4π B．2π

4．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为），则该棱锥的体积是

A ．

B．8 C．4 D．

8 3

B ={1 ， 2} ， C ={1 ， 3 ， 45．已知集合A ={5} ，}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直

角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为（） A.6 B.32 C.33 D.34

6．如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球 O 1, O 2，这两个球相外切，且球 O 1与正方体共顶点A 的三个面相切，球 O 2与正方体共顶点 B 1的三个面相切, 则两球在正方体的面的正投影是（）

AAC 11C 上

7．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是（）．．．A ．若a B ．若a C ．若a D ．若a

⊥b ，a ⊥α，b ⊄α，则b //α ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β⊥β

，α

⊥β，则a ，则a

//α或a ⊂α ⊥β

//α，α⊥β

8．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，点O 为底面ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上任一点，则异面直线OP 与AM 所成的角的大小为（） A ．30° B．60° C．90° D．120°

9．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（）

A . 7 B . 6 C . 5 D . 3

10．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC=60，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD=1，则三棱锥B-ACD 的体积为为（）

212

12 C.126

11．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）

A ．3 B．C ．6+2

2+6 D．6+22

12．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是( ).

（A

）（B

）（C

）（D

）13．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）

．

14．若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1定正确的是（） A ．l 1

⊥l 2，l 2//l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一

⊥l 4 B．l 1//l 2

C ．l 1与l 4既不垂直也不平行 D．l 1与l 4的位置关系不确定

15．一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形. 则该几何体的表面积为（）

A ．16

B ．48

C ．60 D ．96

16．某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是（）

A ．13π B．16π C．25π D．27π 17．利用斜二测画法得到的

①三角形的直观图一定是三角形； ②正方形的直观图一定是菱形； ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形； ④菱形的直观图一定是菱形. 以上结论正确的是 ( )

A ．①② B ． ① C ．③④ D ． ①②③④

18．已知向量a =(s +1,0,2s ) ，b =(6,2t -1,2) ，a //b ，则s 与t 的值分别为（）. 1, 1 B． 5, 2 C．-1, -1 D．-5, -2 5252

19．设m , n 是两条不同的直线，α, β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A ．A ．若m C ．若m

⊥n , n ⊂α，则m ⊥α

B．若m //α，α//β，则m //β

⊥α, n //m ，则n ⊥α D．若m //α，n //α，则m //n

20．(理科) 异面直线a ，b 成80°角，P 为a ，b 外的一个定点，若过P 有且仅有2条直线与a ，b 所成的角相等且等于α，则角α属于集合（）

A ．{α|40°

21．设b , c 表示两条直线，α, β表示两个平面，则下列结论正确的是

c ∥α则b ∥c A ．若b ⊂α,

b ∥c 则c ∥α B ．若b ⊂α,

C ．若c ∥α, α

⊥β则c ⊥β

D ．若c ∥α, c ⊥β则α⊥β

22．已知两条不同的直线l , m 和两个不同的平面α, β，有如下命题： ①若l ②若l

⊂α, m ⊂α, l //β, m //β，则α//β； ⊂α, l //β, α⋂β=m ，则l //m ；

⊥β, l ⊥β，则l //α，其中正确命题的个数是（）

③若α

A ．3 B．2 C．1 D．0

23．半径为2的球面上冇P,M,N,R 四点，且PM,PN,PR 两两垂直，则为

A. 8 B. 12

C. 16

D. 24

24．四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（）

的最大值

Ａ．

29 B．5 C ． D．22

25．如图所示，某几何体的正视图、侧视图均为等腰三角形，俯视图是正方形，则该几何体的外接球的体积是( )

A. C.

B. D.

26．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为（）

）

正视图侧视图

俯视图

A. 3

+2 B.6+4 C.6 D.10

28．设O －ABC 是四面体，G 是△ABC的重心，G 是OG 上的一点，且OG ＝3GG ，若OG ＝x OA ＋y OB

＋z OC ，则(x，y ，z) 为(

A. (

)

111333111, , ) B. (, , ) C. (, , ) 444444333

D. (

222

, , ) 333

29．根据下列三视图（如下图所示），则它的体积是（）

A ．a

B ．3a

a 3C ．

D ．4a

30．设α，β，γ是三个不重合的平面，m , n 是两条不重合的直线，下列命题中正确的是（） A ．若α

则α⊥γ⊥β，β⊥γ，

B ．若m ∥α，n ∥β，αC ．若m D ．若m

⊥β，则m ⊥n

⊥α, α⊥β，则m ∥β

⊥α, n ⊥α, 则m ∥n

,BC =

，且矩形从CD 的顶点都在半径为R 的球O 的球面上，若四

31．在矩形从CD 中，从=

棱锥O -ABCD的体积为8，则球O 的半径R= (A)3

(B)

(C)

(D)4

32．如图（1）所示，长方体

AC 1沿截面AC 11MN 截得几何体DMN -D 1AC 11，它的正视图、侧

视图均为图（2）所示的直角梯形，则该几何体的表面积为（）

A 图（1）

33．某几何体的正视图与俯视图如图所示，侧视图与正视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是( )

204 B.33

C．6 D．4

34．设平面α、β，直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂α，则“a //β，b //β”是“α//β”的（） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 35．某几何体的三视图如图所示, 它的体积为( )

(A)72π (B)48π (C)30π (D)24π

36．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是（） A ．20

2π B．25π C．200π D．50π

37．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）

．28+C

．56+

．60+ D

．30+

38．（2015秋•河池期末）下列结论判断正确的是（） A ．任意三点确定一个平面 B ．任意四点确定一个平面 C ．三条平行直线最多确定一个平面 D ．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB 与CC 1异面

39．（理科）正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于 ( )

D 1 A 1

1 B 1C

A 、直线AC B 、直线A 1A C 、直线A 1D 1 D 、直线B 1D 1

40．已知球的半径为R ，则半球的最大内接正方体的边长为（）

A ．

R 2

B ．

R 2

C ．

R 3

D ．1) R

、侧

41．在三棱锥

P -A B C 中，侧面PAB

、侧面

PAC PBC

两两互相垂直，且

P A :P B :P C =1:2:3P -ABC ，设三棱锥

为V 2，则

的体积为V 1，三棱锥P -

ABC

的外接球的体积

V 2

=（） V 1

B．

A 11π3

C ．

8 D．π

42．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积为

A .

12 B . 33

C . 1 D .

43．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式

161

d ≈(V ) 3，人们还用过一些类似的近似公式，根据π=3.14159 判断，下列近似公式中最

精确的一个是（）

161211

A ．d ≈(V ) B．d ≈(V ) 3

9113001

V ) 3 D．d ≈(2V ) 3 C ．d ≈(157

44．如图，在正三棱锥A —BCD 中，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF —BCD 的体积为

（）

⊥DE . 若BC =a ，则A

A ．

a 24

B ．

D ．

C ．

3a 12

AB =1，AD =3，则该球的表45．点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，AC ，AD 两两垂直，且面积为（）

A ．7π B．14π C．

π2

．

46．已知不同直线m 、n 和不同平面α、β，给出下列命题： ①

m //n ⎫α//β⎫m ⊂α⎫

⎬⇒n //β ③⎬⇒m //β ②⎬⇒m , n 异面 m //β⎭m ⊂α⎭n ⊂β⎭

④

α⊥β⎫

⎬⇒m ⊥β 其中错误的命题有（）个 m //α⎭

A ．1 B．2 C．3 D．4

47．设α和β是两个不重合的平面，给出下列命题： ①若α外一条直线l 与α内一条直线平行，则l //α； ②若α内两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α

//β

；

③设α β=l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α⊥β

⊥α. ； ④若直线l 与平面α内的无数条直线垂直, 则l

上面的命题中，真命题的序号是（）

A. ①③ B. ②④ C. ①② D. ③④

48．用一些棱长是1 cm 的小正方体堆放成一个几何体，其正视图和俯视图如图所示，则这个几何体

的体积最多是(

)

A ．6 cm B ．7 cm

号)

①若l ∥α，l ∥β，则α∥β ② 若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β

③若l ∥α，α∥β，则l ∥β ④ 若l ⊥α，l//β，则 α⊥β 33 C ．8 cm D ．9 cm 3349．已知l 是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是．(填所有真命题的序

50．如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F 且EF

＝

结论中错误的是 ( ) ．

2，则下列

A ．AC ⊥BE

B ．EF ∥平面ABCD

C ．三棱锥A-BEF 的体积为定值

D ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值

51．如右图，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为

52．图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm的几何体的三视图，则h ＝________cm.

53．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是

54．已知A (2,-2, 4) , B (2,-5,1) ，C(1,-4,1) ，则直线AB 与直线BC 的夹角为_________.

．侧棱长为V —ABC 中，∠AVB =∠BVC =∠CVA =40 ，过A 作截面AEF ，则截面三角形AEF 周长的最小值是______________

56．已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其中正（主）视图、侧（左）视图都是等腰直角三角形，则这个几何体的体积是 .

57．（本小题满分12分）

如图甲，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，，点M 、N 分别在AB 、CD 上，且MN ⊥AB ，MC ⊥CB ，BC ＝2，MB ＝4，现将梯形ABCD 沿MN 折起，使平面AMND 与平面MNCB 垂直（如图乙）

（1）求证：AB ∥平面DNC ；

（2）当DN 的长为何值时，二面角D －BC －N 的大小为6

58．已知直线l 1:？ y =ax +2a 与直线l 2:ay =(2a -1) x -a , 若l 1//l 2，则a =_________；若l 1⊥l 2 则a =___________________．

59．如图，等腰梯形ABCD 中, AB

折起，满足平面

=AD =DC =1BC =1，现将三角形ACD 沿AC 2向上ABC ⊥平面ACD ，则三棱锥D -ABC 的外接球的表面积为_______．

60．某四棱锥的三视图如右图所示，则该四棱锥的体积为__.

参考答案

1．A

【解析】可以是一个正方体上面一个球，也可以是一个圆柱上面一个球．

2．C

【解析】

试题分析：由于根据三视图的特点可知，该几何体是一个简单的组合体，上面是四棱锥，下面是圆柱体，

，故选A. 1，高位2

，因此可知其体积为1V =2π=2π+3考点：本试题考查了空间几何体体积的知识。

点评：根据已知的三视图，分析得到原几何体是一个四棱锥和一个圆柱体的组合体。进而结合柱体的体积公式和锥体的体积公式来求解得到。关键是弄清楚各个几何体的高度和底面的边长和圆的半径，属于中档题。

3．B

【解析】

试题分析：几何体是圆柱，V

考点：三视图，圆柱的体积.

4．A

【解析】

试题分析：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底边长也为2的等腰直角三角形，然后利用三视图数据求出几何体的体积. 解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥, 由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面边长为2，底面面积

考点：三视图求几何体的面积、体积

点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，考查空间想象能力与计算能力．

5．A

【解析】

试题分析：不考虑限定条件确定的不同点的个数为C 2C 3A 3=36，但集合B ，C 中有相同元素1，由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为：36-3=33个, 故选A.

考点：1. 分类计数原理与分步计数原理；2. 排列与组合.

6．B

【解析】

试题分析：由题意可以判断出两球在正方体的面113=π⨯12⨯2=2π. 12 ×2×2=2，故此三棱锥的体积为14×2×2=33, 故选A AAC 11C 上的正投影与正方形相切，排除C 、D ，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被全挡住，由于两球不等，所以排除A ，所以B 正确.

考点：简单空间图形的三视图.

7．D ．

【解析】

试题分析：A ：记a ，b 确定的平面为γ，α γ=c ，在平面γ内，∵a ⊥c ，a ⊥b ，∴b //c ，从而根据线面平行的判定可知A 正确；B ：等价于两个平面的法向量垂直，根据面面垂直的判定可知B 正确；C ：根据面面垂直的性质可知C 正确；D ：a ⊥β或a ⊂β，故D 错误，故选D ．

考点：1．线面平行的判定；2．线面垂直面面垂直的判定与性质．

8．C

【解析】

试题分析：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线OP 与AM 所成的角的大小．

解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，

建立空间直角坐标系，

设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，A 1P=t（0≤t≤1），

A （2，0，0），M （0，0，1）

O （1，1，0），P （2，t ，2），

=（﹣2，0，1），=（1，t ﹣1，2），

∴AM ⋅OP =﹣2+0+2=0，

∴异面直线OP 与AM 所成的角的大小为90°．

故选：C ．

考点：异面直线及其所成的角．

9．A

【解析】略

10．A

【解析】解：将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ACD ⊥平面ABC ，

则折起后B ，D 两点的距离为1，三棱锥B-ACD

的体积为为=

11．B 11⨯⨯=32212, 选A

【解析】

试题分析：该几何体是上面一个三棱锥，下面一个三棱柱，故体积为

考点：三视图．

12．A

【解析】

试题分析：由三视图可知，这个三棱锥的底面是底为6

，高为锥的体积：V 1118⨯2⨯2⨯1+⨯⨯2⨯2⨯1=. 23236，所以三棱

11=⨯⨯6⨯6= 32

考点：1. 三视图；2. 三棱锥的体积

13．D

【解析】

试题分析：还原三视图得，该四面体为正四面体，如图所示，正方体棱长为1

故其表面积为S =4⨯2=

考点：三视图.

14．D

【解析】

试题分析：∵l 1⊥l 2，l 2//l 3，∴l 1⊥l 3，又l 3⊥l 4，l 1与l 4都垂直于l 3，垂直于同一直线的两直线可能平行，可能相交，也可能异面，故选D ．

考点：空间两直线的位置关系．

点评：解本题的关键是掌握空间两直线的位置关系，垂直于同一直线的两直线位置关系不确定．

15．B

【解析】

试题分析：由三视图可知，该几何体是直三棱柱，三棱柱的高为4，底面是等腰三角形，腰长为5，底边长为6的等腰三角形，那么利用三棱柱的体积公式可知为V

考点：本试题考查了空间几何体的体积的知识。

点评：对于该类试题是高考中必考的一个知识点，通常和表面积和体积结合，因此关键的是确定出几何体的原型，那么结合我们所学的几何体的体积公式来求解得到结论，属于基础题。

16．C

【解析】

试题分析：此几何体是底面为正方形的长方体, 由正视图有底面对角线为4,

所以底边边长为1=⨯6⨯4⨯4=48, 故选B. 2由侧视

图有高为3, 该几何体的外接球球心为体对角线的中点, 设其外接球半径为R ,

则2R ==5, R =

考点：1. 三视图的识别；2. 球的表面积公式.

17．B

【解析】 5252=25π, 表面积S =4πR =4π⨯42, 故选C.

试题分析：在斜二测画法画法中：平行关系不变，长度关系发生了改变，所以②正方形的直观图一定是菱形是错误的；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形也是错误的；④菱形的直观图一定是菱形也是错误的。考点：斜二测画法。

点评：在斜二测画法中，与x 轴平行的的线段在直观图中仍然与x 轴平行，长度不变；与y 轴平行的的线段在直观图中仍然与y 轴平行，长度变为原来的一半。

18．A ‘‘

s +12s

【解析】解：向量a =(s +1,0,2s ) ，b =(6,2t -1,2) ，a //b ∴=∴2t -1=0 1, 1 解得为s 与t 的值分别为52

19．C

【解析】

试题分析：一条直线要垂直于平面内的两条相交直线，则线面垂直，所以A 错，B 错，因为有可能m ⊂β，平行与同一个平面的两条直线平行，相交或异面．两平行线中的一条平行与平行，令一条也平行与平面．考点：1．线面垂直的判定；2．线面平行的判定．

20．A

【解析】略

21．D

【解析】

试题分析：观察长方体上底面的一条棱与下底面的四条棱的位置关系可知选项A 是错误的；选项B 直线c 也可在平面内；选项C 中的直线c 可以满足c ⊂β或c //β或c ⊥β，故答案选D ．

考点：直线与平面的位置关系与判定

22．C

【解析】

试题分析：由于一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，所以①错误；由于一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，所以②正确；因为α则l //α⊥β, l ⊥β，或l ⊂α，所以③错误；

综上可知：②正确．

考点：线面关系．

23．A

【解析】略

24．A

【解析】

试题分析：由三视图，可知：该四棱锥S -ABCD , 底面ABCD 是直角梯形，两底边为2, 4，直角腰为

3，SA ⊥面ABCD ，其中SC 是最长的棱，则SC =32+42+22=29．

考点：三视图．

25．D

【解析】依题意得，该几何体是一个正四棱锥，其中底面是边长为2的正方形、高是

心到各顶点的距离都等于，因此底面的中，故该，即该几何体的外接球球心为底面正方形的中心，外接球半径为

几何体的外接球的体积等于×＝，选D

26．C

【解析】

试题分析：由“长对正，高平齐，宽相等”的原则，知俯视图应为C ．故选C ．

考点：三视图．

27．B

【解析】

⎧a 2+b 2+c 2=10⎪22试题分析：由三视图设长方体中同一顶点出发的三条棱长为a 、b 、c ，则有⎨a +b =6，解

⎪b 2+c 2=5⎩

⎧a =⎪方程组得到⎨b =1，

所以该长方体的面积为S =221+2⨯1=4+故选B.

⎪c =2⎩(

)

考点：1、空间几何体的三视图；2、空间几何体的表面积.

28．A

【解析】

试题分析：如图取AB 中点E ，连接AE ，

3 3 3 2 OG =OG 1=(OA +AG 1) =(OA +AE ) =∵4443

A +B (A =C -) O (B +O -) A

3 1 1OG =OG 1=(OA +OB +OC ) ，故x=y=z=444

考点：本题主要考查了空间向量基本定理的运用。

点评：掌握空间向量基本定理是解决问题的关键。

29．D

【解析】

1 3 [OA +(AB +AC )]43 ，-=O C +O A ，又O ∴B O C ，故选A 。

如图，在边长为2a 的正方体ABCD -A 1BC 11D 1，分别取AB , BB 1, BC 11, C 1D 1, DD 1, AD 中点并顺

ABCD -A 1BC 11D 1被上述中点所连平面截取后得到的几=1(2a ) 3=4a 3，故选D 2次连接，则三视图所对应的几何体就是正方体何体。由图可知，该几何体是正方体体积的一半，所以V

30．D

【解析】

试题分析：依题意，对于A ，若α得α, γ⊥β，β⊥γ，不一定垂直，故A 不正确；对于B ，若m ∥α，

内，n ∥β，α⊥β，则m , n 不一定垂直，故B 不正确；对于C ，若m ⊥α, α⊥β，则m 可能在面β

故C 不正确；对于D ，利用线面垂直的性质得，若m ⊥α, n ⊥α, 则m ∥n 正确；故选D ．

考点：1、空间点、线、面的平行的判定；2、空间点、线、面的垂直的判定．

31．D

【解析】因为四棱锥O-ABCD 的体积为8，底面矩形ABCD 的面积S

的高h =AB ⋅BC =24，则四棱锥O-ABCD =3V =1。因为矩形ABCD 的顶点都在球O 的球面上，根据球的对称性可知O 在底面ABCD 的射影S

为矩形ABCD 对角线交点O ’，故有

OO ' =1

。在

R ∆t O ' O 中A ，

由

OO ' =1, O ' A =

32．C ．

1AC ==

R =OA =4，故选D 。 2DMN -D 1AC 11

为三棱台，其

中

【解析】如题图（1）所示，该几何体

DM =DN =1, MN D 1A 1=DC 11=

A 1C 1=AA 1=4, A 1N =S 表面积=S D DMN +S D D 1A 1C 1+S 梯形DNA 1D 1+S 梯形DMC 1D 1+S 梯形A 1C 1MN

它的表面积为11211=? 12? 22? (

12) ? 42222

C ．

【命题意图】本题考查由三视图确定几何体的形状以及几何体表面积的计算，意在考查学生空间想象能力、计算能力． 33．A

【解析】由三视图知，该几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥，其中正方体的棱长为2，正四棱锥的底面为正方体的上底面，高为1，所以该几何体的体积为V ＝2×2×2－34．B 【解析】

试题分析：由平面与平面平行的判定定理可知，若直线a 、b 是平面α内两条相交直线，且有“a //β，，则有“α//β”，当“α//β”，若a ⊂α，b ⊂α，则有“a //β，b //βb //β”

是“α//β”的必要不充分条件. 选B.

考点：1. 平面与平面平行的判定定理与性质；2. 充分必要条件 35．A

【解析】由三视图知, 该几何体是由圆锥和半球组合而成的, 直观图如图所示, 圆锥的底面半径为3, 高为4, 半球的半径为3. V=V半球+V圆锥=36．D 【解析】

”，因此“a //β，b //β”

120

×2×2×1＝ 33

π×3+

×π×3×4=30π. 3

试题

分析：此球的

半径

r =

．所以此球的表面积为

S =4πr =4π⨯=50π．

⎝⎭

故D 正确．

考点：长方体外接球． 37．D 【解析】

试题分析：三棱锥如图：

AB BC =4，CA =5，AD =DE =4，AE =2，CE =3，BE =5，BD

1111

S ∆ABD =⨯6=S ∆BCD =⨯4⨯5=10, S ∆ABC =⨯4⨯5=10, S ∆ACD =⨯4⨯5=10,

2222从而

表面积是30+选D ．

考点：三视图 38．D 【解析】

试题分析：根据题意，容易得出选项A 、B 、C 错误，画出图形，结合异面直线的定义即可判断D 正确．解：对于A ，不在同一直线上的三点确定一个平面，∴命题A 错误；对于B ，不在同一直线上的四点确定一个平面，∴命题B 错误；对于C ，三条平行直线可以确定一个或三个平面，∴命题C 错误；

对于D ，如图所示，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB 与CC 1是异面直线，命题D 正确．故选：D ．

考点：平面的基本性质及推论．

39．D 【解析】略 40．C 【解析】略 41．A 【解析】

试题分析：由侧面PAB 、侧面PAC 、侧PBC 两两互相垂直知PA , PB , PC 两两相互垂直，不妨设

PA =1，PB =2，PC =3，则V 1=⨯⨯1⨯2⨯3=1．三棱锥P -

ABC 的外接球的直径

4V 2=2R ==

V 2=πR 3=

3V 13

考点：1、三棱锥的外接球；2、三棱锥与球的体积．

42．A

【解析】该几何体的直观图如图所示：

，故选A ．

为一四棱锥，其底面ABCD 是正方形，PC

^平面AC ，AC =1, PC =2.

AD 2+DC 2=AC 2, 又AD =DC , ∴AD 2=，∴正方形

11111

ABCD 的面积S =，∴V =Sh =2=. 故选A.

23323

43．B 【解析】

试题分析：由题意得，球的体积为V 选项A 代入得π

=π() 3，

解得d =33，设选项中的常数为

，则π=

6b ，a

=3.375；选项B 代入得π=3.142857；选项C 代入得π=3.14；选项D 代入得

π=3，故选B.

考点：数值的估算. 44．A 【解析】略 45．B 【解析】

试题分析：三棱锥A ﹣BCD 的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长

为球的直径，d

，外接球的表面积是4π

（

）

=14π．故选B ．

考点：球内接多面体，球的表面积．

【名师点睛】与球有关的切、接问题中常见的组合：

（1）正四面体与球：如图1，设正四面体的棱长为a ，内切球的半径为r ，外接球的半径为R ，取AB 的中点为D ，连接CD ，SE 为正四面体的高，在截面三角形SDC 内作一个与边SD 和DC 相切，圆心在高SE 上的

圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O ．此时，CO ＝OS ＝R ，OE ＝r ，SE

，

＝

a ，则有R ＋r

3a 2

，R －r ＝|CE|＝

，解得R

＝

，r

＝．

412

（2）正方体与球：

①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG 的内切圆，如图2所示．设正方体的棱长为a ，则|OJ|＝r ＝为内切球半径）．

r 2

②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG 的外接圆，则|GO|＝R

＝

a ．

③正方体的外接球：截面图为正方形ACC 1A 1的外接圆，则|A1O|

（3）三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：

． ①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．即三棱锥A 1AB1D 1的外接球的球心和正方体ABCDA1B 1C 1D 1的外接球的球心重合．如图3，

设AA 1＝a ，则R

．

②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体

a 2+b 2+c 2

的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R ＝

2l 2＝4

（l 为长方体的体对角线长）．

46．C 【解析】试题分析：①

m //n ⎫α//β⎫

⇒m //β，正确；②⎬⇒n //β，当n ⊂α时不成立，故②错误； ⎬

m //β⎭m ⊂α⎭

③

α⊥β⎫m ⊂α⎫

⎬⇒m ⊥β， ⎬⇒m , n 异面，α⋂β=c , m //c , n //c , m //n ，故③错误；④

m //α⎭n ⊂β⎭

有可能m //β，故④错误

考点：直线与平面（平行）垂直的判定和性质定理，平面与平面（平行）垂直的判定和性质定理 47．C 【解析】

试题分析：根据直线与平面平行的判定定理可知①是真命题；由平面与平面平行的判定定理可知是②真命题；若α

β=l ，在α内有一条直线垂直于交线l ，不一定垂直平面β

，故③时假命题；根据已知条

件可知，这无数条直线是平行的，由直线与平面垂直的判定定理可得④是假命题. 故选C. 考点：1. 直线与平面平行或垂直；2. 平面与平面平行或垂直. 48．B

【解析】考点：由三视图求面积、体积．

分析：由三视图构成几何体的形状，不难推出几何体的体积最多值．解答：解：由正视图与俯视图可知小正方体最多有7块，故体积最多为7cm3．故选B

点评：本题考查三视图确定几何体的体积，可看出空间想象能力，是基础题． 49．④ 【解析】

试题分析：①若l ∥α，l ∥β，则l 可平行两平面的交线，所以为假命题；②若α⊥β，l ∥α，则l 可平行两平面的交线，所以为假命题；③若l ∥α，α∥β，则l 可在平面β内，所以为假命题；④若l ⊥α，l//β，则l 必平行平面β内一直线m ，所以m ⊥α，因而α⊥β为真命题考点：线面关系判定 50．D

【解析】∵AC ⊥平面BB 1D 1D ，又BE ⊂平面BB 1，D 1D . ∴AC ⊥BE ，故A 正确．

∵B 1D 1∥平面ABCD ，又E 、F 在直线D 1B 1上运动， ∴EF ∥平面ABCD ，故B 正确．

C 中由于点B 到直线B 1D 1的距离不变，故△BEF 的面积为定值，又点A 到平面BEF

为定值．

，故V A-BEF

当点E 在D 1处，点F 为D 1B 1的中点时，建立空间直角坐标系，如图所示，可得A (1,1,0)，B (0,1,0)，E (1,0,1)，

F (

, -,1) ，

∴AE ＝(0，－1,1) ，BF ＝(, -,1) ，

3∴AE ·BF ＝.

又|AE |

|BF |

AE ⋅BF ∴cos 〈AE ，BF 〉＝

AE ⋅BF

∴此时异面直线AE 与BF 成30°角．

. 11

, ,1) ，F (0,1,1)， 22

②当点E 为D 1B 1的中点，点F 在B 1处时，此时E (

∴AE ＝(-, -,1) ，BF ＝(0,0,1)，

∴AE ·BF ＝1，|AE |

＝=

AE ⋅BF ∴cos 〈AE ，BF 〉＝

AE ⋅BF

，故选D.

．

【解析】

试题分析：观察三视图可知，该几何体是一个斜四棱柱，底面为边长为3的正方形，

所以几何体体积为

考点：本题主要考查三视图，几何体的体积计算。

点评：基础题，三视图是高考必考题目，因此，要明确三视图视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题。特别注意三视图中“虚线”是被遮住的棱。 52．4

【解析】由三视图可知，棱锥的三条长分别为5,6，h 的侧棱两两垂直， 11

故×20，h ＝4. 3253．π

+24

【解析】

试题分析：由三视图可得该几何体为正方体去掉一个半球，半球的半径r

=1，故该器皿的表面积是

V =2⨯2⨯6-π+⋅4π1=24-π+2π=π+24．

考点：由三视图求表面积． 54．60 【解析】

试题分析：由A , B , C 三个点的坐标，得AB =(0,-3, -3) ，BC =(-1, -1,0)

AB ⋅BC 1A B ⋅B C =⋅B c o C θs ，cos θ==，θ=600 =

AB ⋅BC 2

考点：空间向量的坐标运算及求角。 55．6 【解析】略 56．4cm 【解析】

，则：

试题分析：此几何体是四棱锥，底面是如俯视图的直角梯形，顶点在底面的射影在俯视图的右上顶点处，根据所给的数据V

⨯(4+2)⨯2⨯2=4cm 3，故填：4cm 3. 32

考点：1. 三视图；2. 几何体的体积.

【方法点睛】本题考查了三视图的问题，属于基础题型，三视图主要还是来自简单几何体，所以需掌握三棱锥，四棱锥的三视图，尤其是四棱锥的放置方法，比如正常放置，底面就是底面，或是以其中一个侧面当底面的放置方法，还有棱柱，包含三棱柱，四棱柱，比如各种角度，以及以底面当底面，或是以侧面当底面的放置方法，还包含旋转体的三视图，以及一些组合体的三视图，只有先掌握这些，再做题时才能做到胸有成竹.

57．解：（1）∵MB ∥NC ，MB ⊄平面DNC ，NC ⊂平面DNC ， ∴MB ∥平面DNC. „„„„2分同理MA ∥平面DNC ，

又MA ∩MB ＝M 且MA 、MB ⊂平面MAB ，

∴平面MAB ∥平面NCD ， „„„„4分又AB ⊂平面MAB ，

∴AB ∥平面NCD. „„„„5分（2）过N 作NH ⊥BC 交BC 延长线于H ，连结DH ， „„„„6分 ∵平面AMND ⊥平面MNCB ，DN ⊥MN ∴DN ⊥平面MNCB ，从而DH ⊥BC ，

∴∠DHN 为二面角D －BC －N 的平面角。 „„„„8分由BC ＝2，MB ＝4，MC ⊥CB ，知∠MBC

=60o ，CN =4-2cos60o =3.

NH =3 sin 60o =

∴

„„„„10分

DN =NH ，

tan ∠NHD =

由条件知：

DN =NH ∴

【解析】略 58．a

3==. 2 „„„„12分

=1，a =0

【解析】

试题分析：若

l 1//l 2

，则

-a 2+2a -1=0(⇒a -)1

=0得，a =1

；若

l 1⊥l 2

，

a (2a -1)+a =0⇒a =0．

考点：直线与直线的位置关系． 59．5π 【解析】

试题分析：由题可得

AC =3, 所以∆ABC 为直角三角形．设AC

、

中点分别为

E , F ，则

515⎛1⎫

EF =，所以r =+ ⎪=，则表面积为4π⋅=5π

242⎝2⎭

考点：1．几何体的外接球表面积； 60．16 【解析】

．

试题分析：由三视图可知此四棱锥的底面为矩形，其中一侧棱垂直底面。所以体积为

V =

⨯3⨯4⨯4=1。6 3

考点：三视图和空间几何体之间的关系，体积的计算公式。考查空间想象能力。

立体几何小题练习

1．某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示，则在图2的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是（）

A ．（1），（3） C ．（2），（4）

B ．（1），（4）

D ．（1），（2），（3），（4）

2．一空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）

A. 2π

+23 B. 4π+2

+23

D. 4π

C. 2π+

3．如图所示，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，那么这个几何体的体积为 ( )

A. 4π B．2π

4．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为），则该棱锥的体积是

A ．

B．8 C．4 D．

8 3

B ={1 ， 2} ， C ={1 ， 3 ， 45．已知集合A ={5} ，}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直

角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为（） A.6 B.32 C.33 D.34

AAC 11C 上

7．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是（）．．．A ．若a B ．若a C ．若a D ．若a

⊥b ，a ⊥α，b ⊄α，则b //α ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β⊥β

，α

⊥β，则a ，则a

//α或a ⊂α ⊥β

//α，α⊥β

9．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（）

A . 7 B . 6 C . 5 D . 3

10．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC=60，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD=1，则三棱锥B-ACD 的体积为为（）

212

12 C.126

11．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）

A ．3 B．C ．6+2

2+6 D．6+22

12．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是( ).

（A

）（B

）（C

）（D

）13．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）

．

14．若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1定正确的是（） A ．l 1

⊥l 2，l 2//l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一

⊥l 4 B．l 1//l 2

C ．l 1与l 4既不垂直也不平行 D．l 1与l 4的位置关系不确定

15．一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形. 则该几何体的表面积为（）

A ．16

B ．48

C ．60 D ．96

16．某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是（）

A ．13π B．16π C．25π D．27π 17．利用斜二测画法得到的

A ．①② B ． ① C ．③④ D ． ①②③④

18．已知向量a =(s +1,0,2s ) ，b =(6,2t -1,2) ，a //b ，则s 与t 的值分别为（）. 1, 1 B． 5, 2 C．-1, -1 D．-5, -2 5252

19．设m , n 是两条不同的直线，α, β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A ．A ．若m C ．若m

⊥n , n ⊂α，则m ⊥α

B．若m //α，α//β，则m //β

⊥α, n //m ，则n ⊥α D．若m //α，n //α，则m //n

20．(理科) 异面直线a ，b 成80°角，P 为a ，b 外的一个定点，若过P 有且仅有2条直线与a ，b 所成的角相等且等于α，则角α属于集合（）

A ．{α|40°

21．设b , c 表示两条直线，α, β表示两个平面，则下列结论正确的是

c ∥α则b ∥c A ．若b ⊂α,

b ∥c 则c ∥α B ．若b ⊂α,

C ．若c ∥α, α

⊥β则c ⊥β

D ．若c ∥α, c ⊥β则α⊥β

22．已知两条不同的直线l , m 和两个不同的平面α, β，有如下命题： ①若l ②若l

⊂α, m ⊂α, l //β, m //β，则α//β； ⊂α, l //β, α⋂β=m ，则l //m ；

⊥β, l ⊥β，则l //α，其中正确命题的个数是（）

③若α

A ．3 B．2 C．1 D．0

23．半径为2的球面上冇P,M,N,R 四点，且PM,PN,PR 两两垂直，则为

A. 8 B. 12

C. 16

D. 24

24．四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（）

的最大值

Ａ．

29 B．5 C ． D．22

25．如图所示，某几何体的正视图、侧视图均为等腰三角形，俯视图是正方形，则该几何体的外接球的体积是( )

A. C.

B. D.

26．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为（）

）

正视图侧视图

俯视图

A. 3

+2 B.6+4 C.6 D.10

28．设O －ABC 是四面体，G 是△ABC的重心，G 是OG 上的一点，且OG ＝3GG ，若OG ＝x OA ＋y OB

＋z OC ，则(x，y ，z) 为(

A. (

)

111333111, , ) B. (, , ) C. (, , ) 444444333

D. (

222

, , ) 333

29．根据下列三视图（如下图所示），则它的体积是（）

A ．a

B ．3a

a 3C ．

D ．4a

30．设α，β，γ是三个不重合的平面，m , n 是两条不重合的直线，下列命题中正确的是（） A ．若α

则α⊥γ⊥β，β⊥γ，

B ．若m ∥α，n ∥β，αC ．若m D ．若m

⊥β，则m ⊥n

⊥α, α⊥β，则m ∥β

⊥α, n ⊥α, 则m ∥n

,BC =

，且矩形从CD 的顶点都在半径为R 的球O 的球面上，若四

31．在矩形从CD 中，从=

棱锥O -ABCD的体积为8，则球O 的半径R= (A)3

(B)

(C)

(D)4

32．如图（1）所示，长方体

AC 1沿截面AC 11MN 截得几何体DMN -D 1AC 11，它的正视图、侧

视图均为图（2）所示的直角梯形，则该几何体的表面积为（）

A 图（1）

33．某几何体的正视图与俯视图如图所示，侧视图与正视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是( )

204 B.33

C．6 D．4

(A)72π (B)48π (C)30π (D)24π

36．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是（） A ．20

2π B．25π C．200π D．50π

37．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）

．28+C

．56+

．60+ D

．30+

39．（理科）正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于 ( )

D 1 A 1

1 B 1C

A 、直线AC B 、直线A 1A C 、直线A 1D 1 D 、直线B 1D 1

40．已知球的半径为R ，则半球的最大内接正方体的边长为（）

A ．

R 2

B ．

R 2

C ．

R 3

D ．1) R

、侧

41．在三棱锥

P -A B C 中，侧面PAB

、侧面

PAC PBC

两两互相垂直，且

P A :P B :P C =1:2:3P -ABC ，设三棱锥

为V 2，则

的体积为V 1，三棱锥P -

ABC

的外接球的体积

V 2

=（） V 1

B．

A 11π3

C ．

8 D．π

42．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积为

A .

12 B . 33

C . 1 D .

161

d ≈(V ) 3，人们还用过一些类似的近似公式，根据π=3.14159 判断，下列近似公式中最

精确的一个是（）

161211

A ．d ≈(V ) B．d ≈(V ) 3

9113001

V ) 3 D．d ≈(2V ) 3 C ．d ≈(157

44．如图，在正三棱锥A —BCD 中，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF —BCD 的体积为

（）

⊥DE . 若BC =a ，则A

A ．

a 24

B ．

D ．

C ．

3a 12

AB =1，AD =3，则该球的表45．点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，AC ，AD 两两垂直，且面积为（）

A ．7π B．14π C．

π2

．

46．已知不同直线m 、n 和不同平面α、β，给出下列命题： ①

m //n ⎫α//β⎫m ⊂α⎫

⎬⇒n //β ③⎬⇒m //β ②⎬⇒m , n 异面 m //β⎭m ⊂α⎭n ⊂β⎭

④

α⊥β⎫

⎬⇒m ⊥β 其中错误的命题有（）个 m //α⎭

A ．1 B．2 C．3 D．4

//β

；

③设α β=l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α⊥β

⊥α. ； ④若直线l 与平面α内的无数条直线垂直, 则l

上面的命题中，真命题的序号是（）

A. ①③ B. ②④ C. ①② D. ③④

48．用一些棱长是1 cm 的小正方体堆放成一个几何体，其正视图和俯视图如图所示，则这个几何体

的体积最多是(

)

A ．6 cm B ．7 cm

号)

①若l ∥α，l ∥β，则α∥β ② 若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β

50．如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F 且EF

＝

结论中错误的是 ( ) ．

2，则下列

A ．AC ⊥BE

B ．EF ∥平面ABCD

C ．三棱锥A-BEF 的体积为定值

D ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值

51．如右图，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为

52．图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm的几何体的三视图，则h ＝________cm.

53．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是

54．已知A (2,-2, 4) , B (2,-5,1) ，C(1,-4,1) ，则直线AB 与直线BC 的夹角为_________.

．侧棱长为V —ABC 中，∠AVB =∠BVC =∠CVA =40 ，过A 作截面AEF ，则截面三角形AEF 周长的最小值是______________

56．已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其中正（主）视图、侧（左）视图都是等腰直角三角形，则这个几何体的体积是 .

57．（本小题满分12分）

（1）求证：AB ∥平面DNC ；

（2）当DN 的长为何值时，二面角D －BC －N 的大小为6

58．已知直线l 1:？ y =ax +2a 与直线l 2:ay =(2a -1) x -a , 若l 1//l 2，则a =_________；若l 1⊥l 2 则a =___________________．

59．如图，等腰梯形ABCD 中, AB

折起，满足平面

=AD =DC =1BC =1，现将三角形ACD 沿AC 2向上ABC ⊥平面ACD ，则三棱锥D -ABC 的外接球的表面积为_______．

60．某四棱锥的三视图如右图所示，则该四棱锥的体积为__.

参考答案

1．A

【解析】可以是一个正方体上面一个球，也可以是一个圆柱上面一个球．

2．C

【解析】

试题分析：由于根据三视图的特点可知，该几何体是一个简单的组合体，上面是四棱锥，下面是圆柱体，

，故选A. 1，高位2

，因此可知其体积为1V =2π=2π+3考点：本试题考查了空间几何体体积的知识。

3．B

【解析】

试题分析：几何体是圆柱，V

考点：三视图，圆柱的体积.

4．A

【解析】

考点：三视图求几何体的面积、体积

5．A

【解析】

考点：1. 分类计数原理与分步计数原理；2. 排列与组合.

6．B

【解析】

考点：简单空间图形的三视图.

7．D ．

【解析】

考点：1．线面平行的判定；2．线面垂直面面垂直的判定与性质．

8．C

【解析】

试题分析：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线OP 与AM 所成的角的大小．

解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，

建立空间直角坐标系，

设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，A 1P=t（0≤t≤1），

A （2，0，0），M （0，0，1）

O （1，1，0），P （2，t ，2），

=（﹣2，0，1），=（1，t ﹣1，2），

∴AM ⋅OP =﹣2+0+2=0，

∴异面直线OP 与AM 所成的角的大小为90°．

故选：C ．

考点：异面直线及其所成的角．

9．A

【解析】略

10．A

【解析】解：将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ACD ⊥平面ABC ，

则折起后B ，D 两点的距离为1，三棱锥B-ACD

的体积为为=

11．B 11⨯⨯=32212, 选A

【解析】

试题分析：该几何体是上面一个三棱锥，下面一个三棱柱，故体积为

考点：三视图．

12．A

【解析】

试题分析：由三视图可知，这个三棱锥的底面是底为6

，高为锥的体积：V 1118⨯2⨯2⨯1+⨯⨯2⨯2⨯1=. 23236，所以三棱

11=⨯⨯6⨯6= 32

考点：1. 三视图；2. 三棱锥的体积

13．D

【解析】

试题分析：还原三视图得，该四面体为正四面体，如图所示，正方体棱长为1

故其表面积为S =4⨯2=

考点：三视图.

14．D

【解析】

试题分析：∵l 1⊥l 2，l 2//l 3，∴l 1⊥l 3，又l 3⊥l 4，l 1与l 4都垂直于l 3，垂直于同一直线的两直线可能平行，可能相交，也可能异面，故选D ．

考点：空间两直线的位置关系．

点评：解本题的关键是掌握空间两直线的位置关系，垂直于同一直线的两直线位置关系不确定．

15．B

【解析】

考点：本试题考查了空间几何体的体积的知识。

16．C

【解析】

试题分析：此几何体是底面为正方形的长方体, 由正视图有底面对角线为4,

所以底边边长为1=⨯6⨯4⨯4=48, 故选B. 2由侧视

图有高为3, 该几何体的外接球球心为体对角线的中点, 设其外接球半径为R ,

则2R ==5, R =

考点：1. 三视图的识别；2. 球的表面积公式.

17．B

【解析】 5252=25π, 表面积S =4πR =4π⨯42, 故选C.

18．A ‘‘

s +12s

【解析】解：向量a =(s +1,0,2s ) ，b =(6,2t -1,2) ，a //b ∴=∴2t -1=0 1, 1 解得为s 与t 的值分别为52

19．C

【解析】

20．A

【解析】略

21．D

【解析】

考点：直线与平面的位置关系与判定

22．C

【解析】

综上可知：②正确．

考点：线面关系．

23．A

【解析】略

24．A

【解析】

试题分析：由三视图，可知：该四棱锥S -ABCD , 底面ABCD 是直角梯形，两底边为2, 4，直角腰为

3，SA ⊥面ABCD ，其中SC 是最长的棱，则SC =32+42+22=29．

考点：三视图．

25．D

【解析】依题意得，该几何体是一个正四棱锥，其中底面是边长为2的正方形、高是

心到各顶点的距离都等于，因此底面的中，故该，即该几何体的外接球球心为底面正方形的中心，外接球半径为

几何体的外接球的体积等于×＝，选D

26．C

【解析】

试题分析：由“长对正，高平齐，宽相等”的原则，知俯视图应为C ．故选C ．

考点：三视图．

27．B

【解析】

⎧a 2+b 2+c 2=10⎪22试题分析：由三视图设长方体中同一顶点出发的三条棱长为a 、b 、c ，则有⎨a +b =6，解

⎪b 2+c 2=5⎩

⎧a =⎪方程组得到⎨b =1，

所以该长方体的面积为S =221+2⨯1=4+故选B.

⎪c =2⎩(

)

考点：1、空间几何体的三视图；2、空间几何体的表面积.

28．A

【解析】

试题分析：如图取AB 中点E ，连接AE ，

3 3 3 2 OG =OG 1=(OA +AG 1) =(OA +AE ) =∵4443

A +B (A =C -) O (B +O -) A

3 1 1OG =OG 1=(OA +OB +OC ) ，故x=y=z=444

考点：本题主要考查了空间向量基本定理的运用。

点评：掌握空间向量基本定理是解决问题的关键。

29．D

【解析】

1 3 [OA +(AB +AC )]43 ，-=O C +O A ，又O ∴B O C ，故选A 。

如图，在边长为2a 的正方体ABCD -A 1BC 11D 1，分别取AB , BB 1, BC 11, C 1D 1, DD 1, AD 中点并顺

30．D

【解析】

试题分析：依题意，对于A ，若α得α, γ⊥β，β⊥γ，不一定垂直，故A 不正确；对于B ，若m ∥α，

内，n ∥β，α⊥β，则m , n 不一定垂直，故B 不正确；对于C ，若m ⊥α, α⊥β，则m 可能在面β

故C 不正确；对于D ，利用线面垂直的性质得，若m ⊥α, n ⊥α, 则m ∥n 正确；故选D ．

考点：1、空间点、线、面的平行的判定；2、空间点、线、面的垂直的判定．

31．D

【解析】因为四棱锥O-ABCD 的体积为8，底面矩形ABCD 的面积S

的高h =AB ⋅BC =24，则四棱锥O-ABCD =3V =1。因为矩形ABCD 的顶点都在球O 的球面上，根据球的对称性可知O 在底面ABCD 的射影S

为矩形ABCD 对角线交点O ’，故有

OO ' =1

。在

R ∆t O ' O 中A ，

由

OO ' =1, O ' A =

32．C ．

1AC ==

R =OA =4，故选D 。 2DMN -D 1AC 11

为三棱台，其

中

【解析】如题图（1）所示，该几何体

DM =DN =1, MN D 1A 1=DC 11=

A 1C 1=AA 1=4, A 1N =S 表面积=S D DMN +S D D 1A 1C 1+S 梯形DNA 1D 1+S 梯形DMC 1D 1+S 梯形A 1C 1MN

它的表面积为11211=? 12? 22? (

12) ? 42222

C ．

【命题意图】本题考查由三视图确定几何体的形状以及几何体表面积的计算，意在考查学生空间想象能力、计算能力． 33．A

是“α//β”的必要不充分条件. 选B.

考点：1. 平面与平面平行的判定定理与性质；2. 充分必要条件 35．A

【解析】由三视图知, 该几何体是由圆锥和半球组合而成的, 直观图如图所示, 圆锥的底面半径为3, 高为4, 半球的半径为3. V=V半球+V圆锥=36．D 【解析】

”，因此“a //β，b //β”

120

×2×2×1＝ 33

π×3+

×π×3×4=30π. 3

试题

分析：此球的

半径

r =

．所以此球的表面积为

S =4πr =4π⨯=50π．

⎝⎭

故D 正确．

考点：长方体外接球． 37．D 【解析】

试题分析：三棱锥如图：

AB BC =4，CA =5，AD =DE =4，AE =2，CE =3，BE =5，BD

1111

S ∆ABD =⨯6=S ∆BCD =⨯4⨯5=10, S ∆ABC =⨯4⨯5=10, S ∆ACD =⨯4⨯5=10,

2222从而

表面积是30+选D ．

考点：三视图 38．D 【解析】

对于D ，如图所示，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB 与CC 1是异面直线，命题D 正确．故选：D ．

考点：平面的基本性质及推论．

39．D 【解析】略 40．C 【解析】略 41．A 【解析】

试题分析：由侧面PAB 、侧面PAC 、侧PBC 两两互相垂直知PA , PB , PC 两两相互垂直，不妨设

PA =1，PB =2，PC =3，则V 1=⨯⨯1⨯2⨯3=1．三棱锥P -

ABC 的外接球的直径

4V 2=2R ==

V 2=πR 3=

3V 13

考点：1、三棱锥的外接球；2、三棱锥与球的体积．

42．A

【解析】该几何体的直观图如图所示：

，故选A ．

为一四棱锥，其底面ABCD 是正方形，PC

^平面AC ，AC =1, PC =2.

AD 2+DC 2=AC 2, 又AD =DC , ∴AD 2=，∴正方形

11111

ABCD 的面积S =，∴V =Sh =2=. 故选A.

23323

43．B 【解析】

试题分析：由题意得，球的体积为V 选项A 代入得π

=π() 3，

解得d =33，设选项中的常数为

，则π=

6b ，a

=3.375；选项B 代入得π=3.142857；选项C 代入得π=3.14；选项D 代入得

π=3，故选B.

考点：数值的估算. 44．A 【解析】略 45．B 【解析】

试题分析：三棱锥A ﹣BCD 的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长

为球的直径，d

，外接球的表面积是4π

（

）

=14π．故选B ．

考点：球内接多面体，球的表面积．

【名师点睛】与球有关的切、接问题中常见的组合：

圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O ．此时，CO ＝OS ＝R ，OE ＝r ，SE

，

＝

a ，则有R ＋r

3a 2

，R －r ＝|CE|＝

，解得R

＝

，r

＝．

412

（2）正方体与球：

①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG 的内切圆，如图2所示．设正方体的棱长为a ，则|OJ|＝r ＝为内切球半径）．

r 2

②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG 的外接圆，则|GO|＝R

＝

a ．

③正方体的外接球：截面图为正方形ACC 1A 1的外接圆，则|A1O|

（3）三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：

设AA 1＝a ，则R

．

②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体

a 2+b 2+c 2

的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R ＝

2l 2＝4

（l 为长方体的体对角线长）．

46．C 【解析】试题分析：①

m //n ⎫α//β⎫

⇒m //β，正确；②⎬⇒n //β，当n ⊂α时不成立，故②错误； ⎬

m //β⎭m ⊂α⎭

③

α⊥β⎫m ⊂α⎫

⎬⇒m ⊥β， ⎬⇒m , n 异面，α⋂β=c , m //c , n //c , m //n ，故③错误；④

m //α⎭n ⊂β⎭

有可能m //β，故④错误

考点：直线与平面（平行）垂直的判定和性质定理，平面与平面（平行）垂直的判定和性质定理 47．C 【解析】

试题分析：根据直线与平面平行的判定定理可知①是真命题；由平面与平面平行的判定定理可知是②真命题；若α

β=l ，在α内有一条直线垂直于交线l ，不一定垂直平面β

，故③时假命题；根据已知条

【解析】考点：由三视图求面积、体积．

分析：由三视图构成几何体的形状，不难推出几何体的体积最多值．解答：解：由正视图与俯视图可知小正方体最多有7块，故体积最多为7cm3．故选B

点评：本题考查三视图确定几何体的体积，可看出空间想象能力，是基础题． 49．④ 【解析】

【解析】∵AC ⊥平面BB 1D 1D ，又BE ⊂平面BB 1，D 1D . ∴AC ⊥BE ，故A 正确．

∵B 1D 1∥平面ABCD ，又E 、F 在直线D 1B 1上运动， ∴EF ∥平面ABCD ，故B 正确．

C 中由于点B 到直线B 1D 1的距离不变，故△BEF 的面积为定值，又点A 到平面BEF

为定值．

，故V A-BEF

当点E 在D 1处，点F 为D 1B 1的中点时，建立空间直角坐标系，如图所示，可得A (1,1,0)，B (0,1,0)，E (1,0,1)，

F (

, -,1) ，

∴AE ＝(0，－1,1) ，BF ＝(, -,1) ，

3∴AE ·BF ＝.

又|AE |

|BF |

AE ⋅BF ∴cos 〈AE ，BF 〉＝

AE ⋅BF

∴此时异面直线AE 与BF 成30°角．

. 11

, ,1) ，F (0,1,1)， 22

②当点E 为D 1B 1的中点，点F 在B 1处时，此时E (

∴AE ＝(-, -,1) ，BF ＝(0,0,1)，

∴AE ·BF ＝1，|AE |

＝=

AE ⋅BF ∴cos 〈AE ，BF 〉＝

AE ⋅BF

，故选D.

．

【解析】

试题分析：观察三视图可知，该几何体是一个斜四棱柱，底面为边长为3的正方形，

所以几何体体积为

考点：本题主要考查三视图，几何体的体积计算。

【解析】由三视图可知，棱锥的三条长分别为5,6，h 的侧棱两两垂直， 11

故×20，h ＝4. 3253．π

+24

【解析】

试题分析：由三视图可得该几何体为正方体去掉一个半球，半球的半径r

=1，故该器皿的表面积是

V =2⨯2⨯6-π+⋅4π1=24-π+2π=π+24．

考点：由三视图求表面积． 54．60 【解析】

试题分析：由A , B , C 三个点的坐标，得AB =(0,-3, -3) ，BC =(-1, -1,0)

AB ⋅BC 1A B ⋅B C =⋅B c o C θs ，cos θ==，θ=600 =

AB ⋅BC 2

考点：空间向量的坐标运算及求角。 55．6 【解析】略 56．4cm 【解析】

，则：

试题分析：此几何体是四棱锥，底面是如俯视图的直角梯形，顶点在底面的射影在俯视图的右上顶点处，根据所给的数据V

⨯(4+2)⨯2⨯2=4cm 3，故填：4cm 3. 32

考点：1. 三视图；2. 几何体的体积.

57．解：（1）∵MB ∥NC ，MB ⊄平面DNC ，NC ⊂平面DNC ， ∴MB ∥平面DNC. „„„„2分同理MA ∥平面DNC ，

又MA ∩MB ＝M 且MA 、MB ⊂平面MAB ，

∴平面MAB ∥平面NCD ， „„„„4分又AB ⊂平面MAB ，

∴AB ∥平面NCD. „„„„5分（2）过N 作NH ⊥BC 交BC 延长线于H ，连结DH ， „„„„6分 ∵平面AMND ⊥平面MNCB ，DN ⊥MN ∴DN ⊥平面MNCB ，从而DH ⊥BC ，

∴∠DHN 为二面角D －BC －N 的平面角。 „„„„8分由BC ＝2，MB ＝4，MC ⊥CB ，知∠MBC

=60o ，CN =4-2cos60o =3.

NH =3 sin 60o =

∴

„„„„10分

DN =NH ，

tan ∠NHD =

由条件知：

DN =NH ∴

【解析】略 58．a

3==. 2 „„„„12分

=1，a =0

【解析】

试题分析：若

l 1//l 2

，则

-a 2+2a -1=0(⇒a -)1

=0得，a =1

；若

l 1⊥l 2

，

a (2a -1)+a =0⇒a =0．

考点：直线与直线的位置关系． 59．5π 【解析】

试题分析：由题可得

AC =3, 所以∆ABC 为直角三角形．设AC

、

中点分别为

E , F ，则

515⎛1⎫

EF =，所以r =+ ⎪=，则表面积为4π⋅=5π

242⎝2⎭

考点：1．几何体的外接球表面积； 60．16 【解析】

．

试题分析：由三视图可知此四棱锥的底面为矩形，其中一侧棱垂直底面。所以体积为

V =

⨯3⨯4⨯4=1。6 3

考点：三视图和空间几何体之间的关系，体积的计算公式。考查空间想象能力。

立体几何小题练习

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