椭圆C 的上准线是抛物线x 2=-4y 的准线，且C 经过这条抛物 线的焦点，椭圆的离心率e =1，求椭圆的长半轴a 的范围。 2
|FA |解：设椭圆的上焦点为F(x , y ) ，由定义知，=2x 2+(y +1) 21=e = 22
⇒x 2+(y +1) 2=1。故椭圆上焦点F 的轨变是以A(0, －1) 为圆心，半径为1的圆。
由此易知焦点F 到准线y = 1的距离p 的范围是1≤p ≤3。 a 2a 23-c =-ae =a 又p =c ae 2
∴1≤
32a ≤3⇒≤a ≤2 23
x 2y 2
P (x , y ) 是椭圆2+2=1(a >b >0) 上任一点，F 1、F 2是两个焦点，求|PF1|·|PF2|的取值范围。 a b
解：∵|PF1|＋|PF2| = 2a
∴|PF1|·|PF2| = |PF1|·(2a －|PF1|) =－(|PF1|－a ) 2＋a 2
又∵a -c ≤|PF 1|≤a +c
2∴当|PF |PF2|有最大值a 2。 1|=a ±c 时, 有最小值b ; 当|PF 1|=a 时, |PF1|·
故|PF1|·|PF2|的取值范围是[b 2, a 2]。
x 2y 2
+=1，试确定m 的取 （1986年全国高考题）已知椭圆C :43
值范围，使得对于直线l :y =4x +m ，椭圆C 上有不同的两点P ，Q 关于该直线对称。
解：设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2), PQ 中点M (x 0, y 0) ，则：
x 12y 12+=1 43
22x 2y 2+=1 43 ① ②
①－②得，3(x 1-x 2)(x 1+x 2) +4(y 1-y 2)(y 1+y 2) =0⇒3(x 1+x 2) =-x 4(y 1-y 2) 1y (y 1+y 2) ⇒3⋅0=-4(-) ⋅0⇒y 0=3x 0 x 1-x 2242
又y 0=4x 0+m ④ ③
由③、④解得x 0=-m , y 0=-3m
又点M (x 0, y 0) 在椭圆内部 22x 0y 0(-m ) 2(-3m ) 222+
微信：shuxuejiaoyu
椭圆C 的上准线是抛物线x 2=-4y 的准线，且C 经过这条抛物 线的焦点，椭圆的离心率e =1，求椭圆的长半轴a 的范围。 2
|FA |解：设椭圆的上焦点为F(x , y ) ，由定义知，=2x 2+(y +1) 21=e = 22
⇒x 2+(y +1) 2=1。故椭圆上焦点F 的轨变是以A(0, －1) 为圆心，半径为1的圆。
由此易知焦点F 到准线y = 1的距离p 的范围是1≤p ≤3。 a 2a 23-c =-ae =a 又p =c ae 2
∴1≤
32a ≤3⇒≤a ≤2 23
x 2y 2
P (x , y ) 是椭圆2+2=1(a >b >0) 上任一点，F 1、F 2是两个焦点，求|PF1|·|PF2|的取值范围。 a b
解：∵|PF1|＋|PF2| = 2a
∴|PF1|·|PF2| = |PF1|·(2a －|PF1|) =－(|PF1|－a ) 2＋a 2
又∵a -c ≤|PF 1|≤a +c
2∴当|PF |PF2|有最大值a 2。 1|=a ±c 时, 有最小值b ; 当|PF 1|=a 时, |PF1|·
故|PF1|·|PF2|的取值范围是[b 2, a 2]。
x 2y 2
+=1，试确定m 的取 （1986年全国高考题）已知椭圆C :43
值范围，使得对于直线l :y =4x +m ，椭圆C 上有不同的两点P ，Q 关于该直线对称。
解：设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2), PQ 中点M (x 0, y 0) ，则：
x 12y 12+=1 43
22x 2y 2+=1 43 ① ②
①－②得，3(x 1-x 2)(x 1+x 2) +4(y 1-y 2)(y 1+y 2) =0⇒3(x 1+x 2) =-x 4(y 1-y 2) 1y (y 1+y 2) ⇒3⋅0=-4(-) ⋅0⇒y 0=3x 0 x 1-x 2242
又y 0=4x 0+m ④ ③
由③、④解得x 0=-m , y 0=-3m
又点M (x 0, y 0) 在椭圆内部 22x 0y 0(-m ) 2(-3m ) 222+
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