初中数学基础知识及经典题型

例题讲解

【例１】如图10，平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，BC 边上的高AM =4，E 为BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合）．过E 作直线AB 的垂线，垂足为F ． FE 与DC 的延长线相交于点G ，连结DE ，DF 。（1）求证：ΔBEF ∽ΔCEG ．

（2）当点E 在线段BC 上运动时，△BEF 和△CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由．

（3）设BE ＝x ，△DEF 的面积为y ，请你求出y 和x 之间的函数关系式，并求出当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？ A D

B C x

E 图10

【例２】如图二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0) 与坐标轴交于点A B C 且OA ＝1 OB ＝OC ＝3 ．（1）求此二次函数的解析式．（2）写出顶点坐标和对称轴方程．

（3）点M N 在y ＝ax ＋bx ＋c 的图像上(点N 在点M 的右边) 且MN∥x 轴求以MN 为直径且与x 轴相切的圆的半径．

【例3】已知两个关于x 的二次函数y 1与当x =k 时，y 2=17；且二次函数y 2的图象的对称轴是直y 2，y 1=a (x -k ) 2+2(k >0) ，y 1+y 2=x 2+6x +12线x =-1．（1）求k 的值；

（2）求函数y 1，y 2的表达式；

（3）在同一直角坐标系内，问函数y 1的图象与y 2的图象是否有交点？请说明理由．

【例4】如图, 抛物线y =x 2+4x 与x 轴分别相交于点B 、O, 它的顶点为A, 连接AB, 把AB 所的直线沿y 轴向上平移, 使它经过原点O, 得到直线l, 设P 是直线l 上一动点.

（1）求点A 的坐标;

（2）以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中, 有菱形、等腰梯形、直角梯形, 请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;

（3）设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S, 点P 的横坐标为x,

当

4+≤S ≤6+, 求x 的取值范围.

【例4】随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y 1与投资量x 成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y 2与投资量x 成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）

（1）分别求出利润y 1与y 2关于投资量x 的函数关系式；

（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？

【例5】如图，已知 A (-4,0) ，B (0,4) ，现以A 点为位似中心，相似比为9:4，将OB 向右侧放大，B 点的对应点为C ．

（1）求C 点坐标及直线BC 的解析式;

（2）一抛物线经过B 、C 两点，且顶点落在x 轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;

（3）现将直线BC 绕

P ，请找出抛物线上所有满足到直线AB

距离为P ．

【例6】如图，抛物线L 1:y =-x 2-2x +3交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于M 点. 抛物线L 1向

右平移2个单位后得到抛物线L 2，L 2交x 轴于C 、D 两点. （1）求抛物线L 2对应的函数表达式；

（2）抛物线L 1或L 2在x 轴上方的部分是否存在点N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形. 若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P 是抛物线L 1上的一个动点（P 不与点A 、B 重合），那么点P 关于原点的对

称点

Q 是否在抛物线

L 2上，请说明理由.

解析过程及每步分值

【例7】如图，在矩形ABCD 中，AB =

9，AD =点P 是边BC 上的动点（点

P 不与点B ，点C 重合），过点P 作直线PQ ∥BD ，交CD 边于Q 点，再把△PQC 沿着动直线PQ 对折，点C 的对应点是R 点，设CP 的长度为x ，△PQR 与矩形ABCD 重叠部分的面积为y ．

（1）求∠CQP 的度数；（2）当x 取何值时，点R 落在矩形ABCD 的AB 边7

上？

27（3）①求y 与x 之间的函数关系式；

②当x 取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？

C P

（备用图1）

（备用图2）

解析过程及每步分值

BC =CD 3

∴CD =9，BC = Q C D ，∴∠CDB =30．

PQ ∥BD ，∴∠CQP =∠CDB =30 ．

P （2）如图1，由轴对称的性质可知，△RPQ ≌△CPQ ，

B ∴∠RPQ =∠CPQ ，RP =CP ．（图1）由（1）知∠CQP =30，∴∠RPQ =∠CPQ =60，

∴∠RPB =60 ，∴RP =

2BP CP =x ，∴PR =x ，PB =x ．

△RPB 中，根据题意得

：

112x ) =x ，

S △CPQ =⨯CP ⨯CQ =x

22解这个方程得：x =

（3在矩形ABCD 的内部或AB 边上时，

， 0

解：（1）如图，四边形A B C D 是矩形，

∴A B =C ，D A D

又AB =9，AD =

∠C =90，

△RPQ ≌△CPQ ，∴

当0

当R 在矩形

ABCD 的外部时（如图2），x 3

在Rt △PFB

中， ∠RPB =60，

∴PF =2BP =

x ) ，

RP =CP 又，∴S △ERF =ER ⨯FR =x -18x +

2∴RF =RP -PF =3x -

在Rt △ERF 中，

∠EFR =∠PFB =30 ，∴ER =-6．

，

-S ，

∴

当

x -．

2(0

综上所述，y 与x

y ．

2②矩形面积=9⨯

当0

≤函数

y x +18

y 2727

+=，解这个方程，得x =，因为27

所以x = 所以x =

综上所述，当x =△PQR 与矩形ABCD 重叠部分的面积等于矩形面积的．

y =

第四章兴趣练习

4.1 代数部分

1. 已知：抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．其中点A 在x

轴的负半轴上，点C 在y 轴的负半轴上，线段OA 、OC 的长（OA

x 2-5x +4=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x =1．

（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；

（3）若点D 是线段AB 上的一个动点（与点A 、B 不重合），过点D 作DE ∥BC 交AC

于点E ，连结CD ，设BD 的长为m ，△CDE 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．S 是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D 点坐标；若不存在，请说明理由．

2. 已知，如图1，过点E (0，-1)作平行于x 轴的直线l ，抛物线y =

x 上的两点A 、B 的4

横坐标分别为-1和4，直线AB 交y 轴于点F ，过点A 、B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为点C 、D ，连接CF 、DF ．

（1）求点A 、B 、F 的坐标；（2）求证：CF ⊥DF ；

（3）点P 是抛物线y =

x 对称轴右侧图象上的一动点，过点P 作PQ ⊥PO 交x 轴4

于点Q ，是否存在点P 使得△OPQ 与△CDF 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

（图1）

备用图

3. 已知矩形纸片OABC 的长为4，宽为3，以长OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系；点P 是OA 边上的动点（与点O 、A 不重合），现将△POC 沿PC 翻折得到△PEC ，再在AB 边上选取适当的点D ，将△PAD 沿PD 翻折，得到△PFD ，使得直线PE 、PF 重合．

（1）若点E 落在BC 边上，如图①，求点P 、C 、D 的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；

（2）若点E 落在矩形纸片OABC 的内部，如图②，设OP =x ，AD =y ，当x 为何值时，y 取得最大值？

（3）在（1）的情况下，过点P 、C 、D 三点的抛物线上是否存在点Q ，使△PDQ 是以PD 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．

图①

图②

5. 如图①，已知抛物线y =ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （－3，0），与y 轴交于点C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．

图①

图②

二、动态几何

，AD =6厘米，DC =4厘米，BC 的6. 如图，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠A =90°

∶4，坡度i =3动点P 从A 出发以2厘米/秒的速度沿AB 方向向点B 运动，动点Q 从点B 出

发以3厘米/秒的速度沿B →C →D 方向向点D 运动，两个动点同时出发，当其中一个动

点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t 秒．（1）求边BC 的长；

（2）当t 为何值时，PC 与BQ 相互平分；

（3）连结PQ ，设△PBQ 的面积为y ，探求y 与t 的函数关系式，求t 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？

7. 已知：直线y =

x +1与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线y =x 2+bx +c 与直线交22

于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为（1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点P 在x 轴上移动，当△P AE 是直角三角形时，求点P 的坐标．

（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM -MC |的值最大，求出点M 的坐标．

8. 已知：抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴为x =-1，与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中A (-3， 0)、C (0，-2)．

（1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得△PBC 的周长最小．请求出点P 的坐标．（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE ∥PC 交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，△PDE 的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

4) ；矩形9. 如图1，已知抛物线经过坐标原点O 和x 轴上另一点E ，顶点M 的坐标为(2，ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD =2，AB =3．

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；

（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度从点A 出发向B 匀速移动．设它们运动的时间为t 秒．．．．．（0≤t ≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）．

时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由； 2

②设以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为S ，试问S 是否存在最大值？若存在，求出这

①当t =

个最大值；若不存在，请说明理由．

图1

10. 已知抛物线：y 1=-

x +2x ． 2

（1）求抛物线y 1的顶点坐标．

（2）将抛物线y 1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y 2，求抛物线

y 2的解析式．

（3）如下图，抛物线y 2的顶点为P ，x 轴上有一动点M ，在y 1、y 2这两条抛物线上是否存在点N ，使O （原点）、P 、M 、N 四点构成以OP 为一边的平行四边形，若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由．

【提示：抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴是x =-

，顶点坐标是2a

⎛b 4ac -b 2⎫ -⎪】

4a ⎭⎝2a

11. 如图，已知抛物线C 1：y =a (x +2)-5的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A

在点B 的左边），点B 的横坐标是1．

（1）求P 点坐标及a 的值；（4分）

（2）如图（1），抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，将抛物线C 2向右平移，平移后的抛物线记为C 3，C 3的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求C 3的解析式；（4分）

（3）如图（2），点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4．抛物线C 4的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标．（5分）

图1 图2

0) 、C (8，0) 、D (8，8) ．12. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B (4，抛

物线y =ax 2+bx 过A 、C 两点．

（1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）动点P 从点A 出发，沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒．过点P 作PE ⊥AB 交AC 于

点E ．

①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G ．当t 为何值时，线段EG 最长？ ②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形？请直接写出相应的t 值．

13. 如图1，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M （－2，-1），且P （-1，－2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，P A 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ．

（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）如图2，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值．

图2

14. 如图，矩形ABCD 中，AB = 6cm，AD = 3cm，点E 在边DC 上，且DE = 4cm．动点P 从点A 开始沿着A →B →C →E 的路线以2cm/s的速度移动，动点Q 从点A 开始沿着AE 以1cm/s的速度移动，当点Q 移动到点E 时，点P 停止移动．若点P 、Q 从点A 同时出发，设点Q 移动时间为t （s ），P 、Q 两点运动路线与线段PQ 围成的图形面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式．

15. 如图，已知二次函数y =(x +m ) 2+k -m 2的图象与x 轴相交于两个不同的点

A (x 1，0) 、B (x 2，0) ，与y 轴的交点为C ．设△ABC 的外接圆的圆心为点P ．

（1）求⊙P 与y 轴的另一个交点D 的坐标；

（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径，且△ABC 的面积等于，求m 和k 的值．

16. 如图，点A 、B 坐标分别为（4，0）、（0，8），点C 是线段OB 上一动点，点E 在x 轴

E tt =(>0) 正半轴上，四边形OEDC 是矩形，且OE =2OC ．设O

重合部分的面积为S ．根据上述条件，回答下列问题：（1）当矩形OEDC 的顶点D 在直线AB 上时，求t 的值；（2）当t =4时，求S 的值；

（3）直接写出S 与t 的函数关系式；（不必写出解题过程）（4）若S =12，则t = ．

17. 直线y =-

，矩形OEDC 与△AOB

x +6与坐标轴分别交于A 、B 两点，动点P 、Q 同时从O 点出发，同时到4

运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →

达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA

B →A 运动．

（1）直接写出A 、B 两点的坐标；

（2）设点Q 的运动时间为t 秒，△OPQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当S =

时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第5

四个顶点M 的坐标．

18. 如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部的线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S ∆ABC =于水平宽与铅垂高乘积的一半．

图1

解答下列问题：

如图2，抛物线顶点坐标为点C （1，4），交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点B ．（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；

（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB =若存在，

求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由． y

O A

图2

ah ，即三角形面积等2

S △CAB ，8

19. 如图，在平面直角坐标系中，点A 、

C 的坐标分别为(-10) 点B 在x 轴上．已(0，知某二次函数的图象经过A 、B 、C 三点，且它的对称轴为直线x =1，点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B 、C 不重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F ．

（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P 的横坐标为m 用含m 的代数式表示线段PF 的长．，

（3）求△PBC 面积的最大值，并求此时点P 的坐标．

20. 如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，∠B =60°．从初始时刻开始，点P 、Q 同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A →C →B 的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A →B →C →D 的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动，设

P 、Q 运动的时间为x 秒时，△APQ 与△ABC 重叠部分的面积为y 平方厘米（这里规定：．．．．

点和线段是面积为O 的三角形），解答下列问题：（1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是秒；

Q 从开始运动到停止的过程中，（2）点P 、当△APQ 是等边三角形时x 的值是秒；

（3）求y 与x 之间的函数关系式．

A ．设F 2的对称轴21. 定义一种变换：平移抛物线F 1得到抛物线F 2，使F 2经过F 1的顶点

分别交F 1，F 2于点D ，B ，点C 是点A 关于直线BD 的对称点．

0) ，（1）如图1，若F 1：y =x ，经过变换后，得到F 2：y =x +bx ，点C 的坐标为(2，

则①b 的值等于______________；

②四边形ABCD 为（）

A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形

（2）如图2，若F ：y =ax +c ，经过变换后，点B 的坐标为(2，c -1) ，求△ABD 的1

面积；

1227

x -x +

，经过变换后，AC =P 是直线AC 上的333

动点，求点P 到点D 的距离和到直线AD 的距离之和的最小值．

（3）如图3，若F 1：y =（图1）

（图3）

（图2）

22. 如图，已知直线y =-

x +1交坐标轴于A ，B 两点，以线段AB 为边向上作正方形2

ABCD ，过点A ，D ，C 的抛物线与直线另一个交点为E ．

（1）请直接写出点C , D 的坐标；（2）求抛物线的解析式；

（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB 下滑，直至顶点D 落在x 轴上

时停止．设正方形落在x 轴下方部分的面积为S ，求S 关于滑行时间t 的函数关

系式，并写出相应自变量t 的取值范围；

（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C , E 两点

间的抛物线弧所扫过的面积．

x +1

23. 如图，点A 、B 坐标分别为（4，0）、（0，8），点C 是线段OB 上一动点，点E 在x 轴

E tt =(>0) 正半轴上，四边形OEDC 是矩形，且OE =2OC ．设O

重合部分的面积为S ．根据上述条件，回答下列问题：（1）当矩形OEDC 的顶点D 在直线AB 上时，求t 的值；（2）当t =4时，求S 的值；

（3）直接写出S 与t 的函数关系式；（不必写出解题过程）（4）若S =12，则t = ．

，矩形OEDC 与△AOB

24. 如图所示，某校计划将一块形状为锐角三角形ABC 的空地进行生态环境改造．已知

△ABC 的边BC 长120米，高AD 长80米．学校计划将它分割成△AHG 、△BHE 、△GFC 和矩形EFGH 四部分（如图）．其中矩形EFGH 的一边EF 在边BC 上，其余两个顶点H 、G 分别在边AB 、AC 上．现计划在△AHG 上种草，每平米投资6元；在△BHE 、△FCG 上都种花，每平方米投资10元；在矩形EFGH 上兴建爱心鱼池，每平方米投资4元．

（1）当FG 长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？

（2）当矩形EFGH 的边FG 为多少米时，△ABC 空地改造总投资最小？最小值为多少？

B C

E D F

25. 已知：t 1，t 2是方程t +2t -24=0的两个实数根，且t 1

x +bx +c 3

（2）设点P (x ，y ) 是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ 是以OA 为对角线的平行四边形，求

OPAQ 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

OPAQ 的面积为24时，是否存在这样的点P ，使 OPAQ

（3）在（2）的条件下，当

为正方形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．

三、说理题

0) B (1，，0) C (0，-2) 三点． 26. 如图，抛物线经过A (4，，

（1）求出抛物线的解析式；

（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．

27. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A 、B 、C 、D 四点．抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴交于点D ，与直线y =x 交于点M 、N ，且MA 、NC 分别与圆O 相切于点A 和点C ．（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连结DE ，并延长DE 交圆O 于F ，求EF 的长．（3）过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线上，说明理由．

28. 如图1，已知：抛物线y =过B 、C 两点的直线是y =

x +bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，经2

x -2，连结AC ． 2

（1）B 、C 两点坐标分别为B （_____，_____）、C （_____，_____），抛物线的函数关系

式为______________；

（2）判断△ABC 的形状，并说明理由；

（3）若△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFC （顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上）？若能，求出在AB 边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．

⎛b 4ac -b 2⎫

[抛物线y =ax +bx +c 的顶点坐标是 -, ⎪]

4a ⎭⎝2a

图1

图2(备用)

29. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =2，OC =3．过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．

（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为

，那么5

EF =2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

30. 如图所示，将矩形OABC 沿AE 折叠，使点O 恰好落在BC 上F 处，以CF 为边作正方形CFGH ，延长BC 至M ，使C M =E -E O （1）试比较EO 、EC 的大小，并说明理由．（2）令m =由．

（3）在（2）的条件下，若CO =1，CE =，Q 为AE 上一点且QF =

，再以CM 、CO 为边作矩形CMNO ．

S 四边形CFGH

，请问m 是否为定值？若是，请求出m 的值；若不是，请说明理

S 四边形CMNO

，抛物线3

y =mx 2+bx +c 经过C 、Q 两点，请求出此抛物线的解析式．

（4）在（3）的条件下，若抛物线y =mx 2+bx +c 与线段AB 交于点P ，试问在直线BC

B 、K 为顶点的三角形与△AEF 相似？若存在，上是否存在点K ，使得以P 、请求直线KP

与y 轴的交点T 的坐标；若不存在，请说明理由．

4.2 几何部分

经典难题（一）

1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二） E

A B

D O F

2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．

A D 求证：△PBC 是正三角形．（初二）

C B

3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、

CC 1、DD 1的中点．

A D

求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） D A A 1

B 2 2

4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC

的延长线交MN 于E 、F ．

求证：∠DEN ＝∠F ．

1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O

（1）求证：AH ＝2OM ；

（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）

2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB

及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）

3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：

设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN

于P 、Q ．

求证：AP ＝AQ ．（初二）

4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形

CBFG ，点P 是EF 的中点．

求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．

1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．

求证：CE ＝CF ．（初二）

2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．

求证：AE ＝AF ．（初二）

3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．

求证：PA ＝PF ．（初二）

4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于

B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）

经典难题（四）

1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．

求：∠APB 的度数．（初二）

2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）

3、Ptolemy （托勒密）定理：设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ²CD ＋AD ²BC ＝AC ²BD ．（初三）

4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）

经典难题（五）

1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，l ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：

≤l ＜2．

2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC

3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．

4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．

第五章复习提纲

初中数学总复习提纲

第一章实数

★重点★ 实数的有关概念及性质，实数的运算 ☆内容提要☆

一、重要概念

1．数的分类及概念数系表：

0 整数

(有限或无限循环性数)

分数

实数

(无限不循环小数)

说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）

2）有标准

整数分数

实数0 整数分数

2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x ≥0）常见的非负数有：

a 2

(a为一切实数) │a │

a (a≥0)

性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。 3．倒数： ①定义及表示法

②性质：A.a ≠1/a（a ≠±1）;B.1/a中，a ≠0;C.0＜a ＜1时1/a＞1;a

＞1时，1/a＜1;D. 积为1。 4．相反数： ①定义及表示法

②性质：A.a ≠0时，a ≠-a;B.a 与-a 在数轴上的位置;C. 和为0, 商

为-1。

5．数轴：①定义（“三要素”）

②作用：A. 直观地比较实数的大小;B. 明确体现绝对值意义;C. 建立点与实数的一一对应关系。

6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）

定义及表示：

奇数：2n-1

偶数：2n （n 为自然数）

7．绝对值：①定义（两种）：

代数定义： a(a≥0)

│a │ -a(a

几何定义：数a 的绝对值顶的几何意义是实数a 在数轴上所对应的点到原点的距离。

②│a │≥0, 符号“││”是“非负数”的标志; ③数a 的绝对值只有一个; ④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。

二、实数的运算

1．运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）

2．运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的] 分配律）

3．运算顺序：A. 高级运算到低级运算;B. （同级运算）从“左” 到“右”（如5÷

³5）;C.(有括号时) 由“小”到“中”到“大”。 5

三、应用举例（略）

附：典型例题

1．已知：a 、b 、x 在数轴上的位置如下图，求证：│x-a │+│x-b │ =b-a.

2.已知：a-b=-2且ab

第二章代数式

★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算 ☆内容提要☆

一、重要概念

分类：单项式

有理式代数式无理式

1. 代数式与有理式

用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。整式和分式统称为有理式。

2. 整式和分式

含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。 3. 单项式与多项式

没有加减运算的整式叫做单项式。（数字与字母的积—包括单独的一个数或字母）几个单项式的和，叫做多项式。

说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开; 根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如，

x 2 =x,x 2=│x │等。

4. 系数与指数

区别与联系：①从位置上看; ②从表示的意义上看 5. 同类项及其合并

条件：①字母相同; ②相同字母的指数相同合并依据：乘法分配律 6. 根式

表示方根的代数式叫做根式。

含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。

注意：①从外形上判断; ②区别：3、7是根式，但不是无理式（是无理数）。 7. 算术平方根

⑴正数a 的正的平方根（a [a≥0—与“平方根”的区别]）; ⑵算术平方根与绝对值

① 联系：都是非负数，a 2=│a │

②区别：│a │中，a 为一切实数; a 中，a 为非负数。

8. 同类二次根式、最简二次根式、分母有理化

化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式; ②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。

把分母中的根号划去叫做分母有理化。 9. 指数

n ⑴ a ·a …a (a —幂，乘方运算)

n 个

① a ＞0时，a ＞0; ②a ＜0时，a ＞0（n 是偶数），a ＜0（n 是奇数） ⑵零指数：a =1（a ≠0）负整指数：a

p 0

=1/a （a ≠0,p 是正整数）

二、运算定律、性质、法则

1．分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则 2．分式的性质

b bm =（m ≠0） a am b -b b

=⑵符号法则：-=

a a -a

⑴基本性质：

⑶繁分式：①定义; ②化简方法（两种）

3．整式运算法则（去括号、添括号法则） 4．幂的运算性质：①a ²a =a

m +n

; ②a ÷a =a

m n m -n

; ③(a m ) n =a

; ④

a n a n

(ab ) =a b ; ⑤() =n

b b

技巧：()

b a

-p

a =() p b

5．乘法法则：⑴单³单; ⑵单³多; ⑶多³多。 6．乘法公式：（正、逆用）(a ±b ) 2=a 2±2ab +b 2 （a+b）（a-b ）=a -b (a±b) (a 2 ab +b 2) =a ±b

7．除法法则：⑴单÷单; ⑵多÷单。 8．因式分解：⑴定义; ⑵方法：A. 提公因式法;B. 公式法;C. 十字相乘法;D. 分组分解法;E. 求根公式法。

9．算术根的性质：

a 2＝a ; (a ) 2=a (a ≥0) ; ab =a ⋅(a≥0,b ≥

0);

a a

(a≥0,b ＞0)(正用、逆用) =

b b

10．根式运算法则：⑴加法法则（合并同类二次根式）; ⑵乘、除法法则; ⑶分母有理

化：A.

;B.

b ab 1

;C. . =

a a m a -n b

11．科学记数法：a ⨯10（1≤a ＜10,n 是整数＝三、应用举例（略）四、数式综合运算（略）

第三章统计初步

★重点★

☆ 内容提要☆

一、重要概念

1. 总体：考察对象的全体。

2. 个体：总体中每一个考察对象。 3. 样本：从总体中抽出的一部分个体。 4. 样本容量：样本中个体的数目。

5. 众数：一组数据中，出现次数最多的数据。

6. 中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数据的平均数）

二、计算方法

1. 样本平均数：⑴x =

1' (x 1+x 2+ +x n ) ; ⑵若x 1' =x 1-a ，x 2=x 2-a ，„，n

' x n =x n -a , 则x =x ' +a (a—常数，x 1，x 2，„，x n 接近较整的常数a); ⑶加权平均数：

x =

x 1f 1+x 2f 2+ +x k f k

(f 1+f 2+ +f k =n ) ; ⑷平均数是刻划数据的集中趋势（集

中位置）的特征数。通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确。

[(x 1-x ) 2+(x 2-x ) 2+ +(x n -x ) 2]; ⑵若n

21' 2' 2' 22' ' ' '

x 1=x 1-a , x 2=x 2-a , „, x n =x n -a , 则s =[(x 1+x 2+ +x n ) -n x ]（a

2．样本方差：⑴s =

—接近x 1、x 2、„、x n 的平均数的较“整”的常数）; 若x 1、x 2、„、x n 较“小”较“整”，则s =

21222

[(x 1+x 2+ +x n ) -n x ]; ⑶样本方差是刻划数据的离散程度（波动大小）n

的特征数，当样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总体方差。

3．样本标准差：s =

s 2

三、应用举例（略）

第四章直线形

★重点★相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质。 ☆ 内容提要☆

一、直线、相交线、平行线

1．线段、射线、直线三者的区别与联系从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。 2．线段的中点及表示

3．直线、线段的基本性质（用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”） 4．两点间的距离（三个距离：点-点; 点-线; 线-线）

5．角（平角、周角、直角、锐角、钝角） 6．互为余角、互为补角及表示方法 7．角的平分线及其表示

8．垂线及基本性质（利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”） 9．对顶角及性质

10．平行线及判定与性质（互逆）（二者的区别与联系）

11．常用定理：①同平行于一条直线的两条直线平行（传递性）; ②同垂直于一条直线的两条直线平行。

12．定义、命题、命题的组成 13．公理、定理 14．逆命题

二、三角形分类：⑴按边分;

⑵按角分

1．定义（包括内、外角）

2．三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论; ②外角和; ③n 边形内角和; ④n 边形外角和。⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。⑶角与边：在同一三角形中，

等边等角

大边大角

小边小角

3．三角形的主要线段

讨论：①定义②³³线的交点—三角形的³心③性质 ① 高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线

⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形

4．特殊三角形（直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）的判定与性质

5．全等三角形

⑴一般三角形全等的判定（SAS 、ASA 、AAS 、SSS ） ⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②专用方法 6．三角形的面积

⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。 7．重要辅助线

⑴中点配中点构成中位线; ⑵加倍中线; ⑶添加辅助平行线 8．证明方法

⑴直接证法：综合法、分析法

⑵间接证法—反证法：①反设②归谬③结论 ⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等 ⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法 ⑸证线段和差关系：延结法、截余法 ⑹证面积关系：将面积表示出来

三、四边形分类表：

1．一般性质（角） ⑴内角和：360°

⑵顺次连结各边中点得平行四边形。

推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。

推论2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。 ⑶外角和：360° 2．特殊四边形

⑴研究它们的一般方法:

称积角性

线轴中

对心

称

对

称

⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形; 梯形、等腰梯形的定义、性质和判定 ⑶判定步骤：四边形→平行四边形→矩形→正方形

┗→菱形──↑

⑷对角线的纽带作用：

3．对称图形

⑴轴对称（定义及性质）; ⑵中心对称（定义及性质） 4．有关定理：①平行线等分线段定理及其推论1、2

②三角形、梯形的中位线定理 ③平行线间的距离处处相等。（如，找下图中面积相等的三角形）

5．重要辅助线：①常连结四边形的对角线; ②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。

6．作图：任意等分线段。

四、应用举例（略）

第五章方程（组）

★重点★一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法; 方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）

☆ 内容提要☆

一、基本概念

1．方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组） 2．分类：

一次方程二次方程高次方程

整式方程

有理方程方程无理方程

分式方程

二、解方程的依据—等式性质 1．a=b←→a+c=b+c

2．a=b←→ac=bc (c≠0) 三、解法

1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→ 系数化成1→解。

2．元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法 ②加减法

四、一元二次方程

1．定义及一般形式：ax 2+bx +c =0(a ≠0) 2．解法：⑴直接开平方法（注意特征）

⑵配方法（注意步骤—推倒求根公式）

⑶公式法：x 1, 2

-b ±b 2-4ac 2=(b -4ac ≥0)

⑷因式分解法（特征：左边=0）

3．根的判别式：∆=b -4ac 4．根与系数顶的关系：x 1+x 2=-

b c , x 1⋅x 2= a a

逆定理：若x 1+x 2=m , x 1⋅x 2=n ，则以x 1, x 2为根的一元二次方程是：

x 2-mx +n =0。

5．常用等式：x 1+x 2=(x 1+x 2) -2x 1x 2 (x 1-x 2) =(x 1+x 2) -4x 1x 2 五、可化为一元二次方程的方程

1．分式方程 ⑴定义

⑵基本思想：分式方程整式方程

⑶基本解法：①去分母法②换元法（如，⑷验根及方法 2．无理方程 ⑴定义

⑵基本思想：

3x -62x +2

+=7） x +1x -2

无理方程

有理方程

⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法（例，2x 2-9+17=x 2）⑷验根及方法

3．简单的二元二次方程组

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。

六、列方程（组）解应用题㈠概述

列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：

⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。 ⑹答案。

综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。

㈡常用的相等关系

1．行程问题（匀速运动）基本关系：s=vt

⑴相遇问题(同时出发) ：相遇处 ←乙甲→

s 甲+s 乙=s AB ; t 甲=t 乙

⑵追及问题（同时出发）：

甲→ (乙→

乙→ （相遇处）

（相遇处）

而后在B 处追

s 甲=s AC +s 乙; t 甲(AB ) =t 乙(CB )

若甲出发t 小时后，乙才出发，

上甲，则

s 甲=s 乙; t 甲=t +t 乙

⑶水中航行：v 顺=船速+水速; v 逆=船速-水速

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2．配料问题：溶质=溶液³浓度溶液=溶质+溶剂 3．增长率问题：a n =a 1(1±r ) n -1

4．工程问题：基本关系：工作量=工作效率³工作时间（常把工作量看着单位“1”）。 5．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。㈢注意语言与解析式的互化如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、„„ 又如，一个三位数，百位数字为a ，十位数字为b ，个位数字为c ，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc 。

㈣注意从语言叙述中写出相等关系。

如，x 比y 大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x 与y 的差为3，则x-y=3。㈤注意单位换算如，“小时”“分钟”的换算;s 、v 、t 单位的一致等。

七、应用举例（略）

第六章一元一次不等式（组）

★重点★一元一次不等式的性质、解法 ☆ 内容提要☆

1．定义：a ＞b 、a ＜b 、a ≥b 、a ≤b 、a ≠b 。

2．一元一次不等式：ax ＞b 、ax ＜b 、ax ≥b 、ax ≤b 、ax ≠b(a≠0) 。 3．一元一次不等式组：

4．不等式的性质：⑴a>b←→a+c>b+c

⑵a>b←→ac>bc(c>0) ⑶a>b←→ac

⑷（传递性）a>b,b>c→a>c ⑸a>b,c>d→a+c>b+d.

5．一元一次不等式的解、解一元一次不等式

6．一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组（在数轴上表示解集） 7．应用举例（略）

第七章相似形

★重点★相似三角形的判定和性质 ☆内容提要☆

一、本章的两套定理

第一套（比例的有关性质）： b d

= 反比性质： a c

a d c a b c

=或= =⇔ad =bc ⇒更比性质： b d b a c d

（比例基本定理） a ±b c ±d

=合比性质： b d

a c m a +c + +m a

== =(b +d + +n ≠0) ⇒等比性质:= b d n b +d + +n b

涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分

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割等。

第二套：

平行线分线段

推论成比例定理

(骨干定理)

(基本定理)

定定

推论的

理推论

逆定理

相似基本定理 Rt △ 定理3 定理2 定理1

推论

注意：①定理中“对应”二字的含义;

②平行→相似（比例线段）→平行。二、相似三角形性质

1．对应线段„;2．对应周长„;3．对应面积„。三、相关作图

①作第四比例项; ②作比例中项。四、证（解）题规律、辅助线 1．“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。

2．找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。⑴

a m c m m

=, =(为中间比) b n d n n a m c m ' ⑵=, =' , n =n b n d n

a m c m ' m m ' ' '

⑶=, =' (m =m , n =n 或=' ) b n d n n n

3．添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

4．对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k; 对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k 。

5．对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。

五、应用举例（略）

第八章函数及其图象

★重点★正、反比例函数，一次、二次函数的图象和性质。 ☆ 内容提要☆

一、平面直角坐标系 1．各象限内点的坐标的特点 2．坐标轴上点的坐标的特点

3．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点

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4．坐标平面内点与有序实数对的对应关系

二、函数

1．表示方法：⑴解析法; ⑵列表法; ⑶图象法。

2．确定自变量取值范围的原则：⑴使代数式有意义; ⑵使实际问题有意义。

3．画函数图象：⑴列表; ⑵描点; ⑶连线。

三、几种特殊函数（定义→图象→性质） 1．正比例函数

⑴定义：y=kx(k≠0) 或y/x=k。 ⑵图象：直线（过原点） ⑶性质：①k>0，„②k

⑴定义：y=kx+b(k≠0)

⑵图象：直线过点（0,b ）—与y 轴的交点和（-b/k,0）—与x 轴的交点。

⑶性质：①k>0,„②k

⑴定义：y =ax +bx +c (a ≠0)(一般式) y =a (x -h ) +k (a ≠0)(顶点式)

特殊地，y =ax (a ≠0), y =ax +k (a ≠0) 都是二次函数。

⑵图象：抛物线（用描点法画出：先确定顶点、对称轴、开口方向，再对称地描点）。

y =ax 2+bx +c (a ≠0) 用配方法变为y =a (x -h ) 2+k (a ≠0) ，则顶点为（h,k ）;

对称轴为直线x=h;a>0时，开口向上;a

⑶性质：a>0时，在对称轴左侧„，右侧„;a

=kx -1或xy=k(k≠0) 。 x

⑵图象：双曲线（两支）—用描点法画出。

⑶性质：①k>0时，图象位于„，y 随x „; ②k

四、重要解题方法

1．用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）。对求二次函数

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的解析式，要合理选用一般式或顶点式，并应充分运用抛物线关于对称轴对称的特点，寻找新的点的坐标。如下图：

2．利用图象一次（正比例）函数、反比例函数、二次函数中的k 、b;a 、b 、c 的符号。

六、应用举例（略）

第九章解直角三角形

★重点★解直角三角形 ☆ 内容提要☆ 一、三角函数

1．定义：在Rt △ABC 中，∠C=Rt∠，则sinA= ;cosA= ;tgA= ;ctgA= . 2．

3．互余两角的三角函数关系：sin(90°-α)=cosα; „ 4．三角函数值随角度变化的关系 5．查三角函数表二、解直角三角形

1．定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 2．依据：①边的关系：a +b =c

②角的关系：A+B=90°

③边角关系：三角函数的定义。

注意：尽量避免使用中间数据和除法。

三、对实际问题的处理

1．俯、仰角： 2．方位角、象限角： 3．坡度： h i=h/l=tgα

4．在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。四、应用举例（略）

第十章圆

★重点★①圆的重要性质; ②直线与圆、圆与圆的位置关系; ③与圆有关的角的定理; ④

与圆有关的比例线段定理。

☆ 内容提要☆

一、圆的基本性质

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1．圆的定义（两种）

2．有关概念：弦、直径; 弧、等弧、优弧、劣弧、半圆; 弦心距; 等圆、同圆、同心圆。 3．“三点定圆”定理 4．垂径定理及其推论 5．“等对等”定理及其推论

5．与圆有关的角：⑴圆心角定义（等对等定理）

⑵圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系） ⑶弦切角定义（弦切角定理）

二、直线和圆的位置关系 1. 三种位置及判定与性质：

直线与圆相离 d=R 直线与圆相切直线与圆相交

2. 切线的性质（重点） 3. 切线的判定定理（重点）。圆的切线的判定有⑴„⑵„4．切线长定理

三、圆换圆的位置关系

1. 五种位置关系及判定与性质：(重点：相切) d>R+r 外离 d=R+r 外切 R-r

相切（交）两圆连心线的性质定理

3. 两圆的公切线：⑴定义⑵性质

四、与圆有关的比例线段 1. 相交弦定理 2. 切割线定理

五、与和正多边形

1. 圆的内接、外切多边形（三角形、四边形）

2. 三角形的外接圆、内切圆及性质 3. 圆的外切四边形、内接四边形的性质 4. 正多边形及计算

中心角：α360︒

n =

=2α(右图) 内角的一半：β=

(n -2) 180︒n ⨯1

(右图) （解Rt △OAM 可求出相关元素, S n 、P n 等）六、一组计算公式

1. 圆周长公式 2. 圆面积公式

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3. 扇形面积公式 4. 弧长公式

5. 弓形面积的计算方法

6. 圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算

七、点的轨迹

六条基本轨迹

八、有关作图

1. 作三角形的外接圆、内切圆 2. 平分已知弧

3. 作已知两线段的比例中项 4. 等分圆周：4、8;6、3等分

九、基本图形

十、重要辅助线 1. 作半径

2. 见弦往往作弦心距

3. 见直径往往作直径上的圆周角 4. 切点圆心莫忘连

5. 两圆相切公切线（连心线） 6. 两圆相交公共弦

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例题讲解

（2）当点E 在线段BC 上运动时，△BEF 和△CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由．

（3）设BE ＝x ，△DEF 的面积为y ，请你求出y 和x 之间的函数关系式，并求出当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？ A D

B C x

E 图10

【例２】如图二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0) 与坐标轴交于点A B C 且OA ＝1 OB ＝OC ＝3 ．（1）求此二次函数的解析式．（2）写出顶点坐标和对称轴方程．

（3）点M N 在y ＝ax ＋bx ＋c 的图像上(点N 在点M 的右边) 且MN∥x 轴求以MN 为直径且与x 轴相切的圆的半径．

（2）求函数y 1，y 2的表达式；

（3）在同一直角坐标系内，问函数y 1的图象与y 2的图象是否有交点？请说明理由．

（1）求点A 的坐标;

（2）以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中, 有菱形、等腰梯形、直角梯形, 请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;

（3）设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S, 点P 的横坐标为x,

当

4+≤S ≤6+, 求x 的取值范围.

（1）分别求出利润y 1与y 2关于投资量x 的函数关系式；

（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？

【例5】如图，已知 A (-4,0) ，B (0,4) ，现以A 点为位似中心，相似比为9:4，将OB 向右侧放大，B 点的对应点为C ．

（1）求C 点坐标及直线BC 的解析式;

（2）一抛物线经过B 、C 两点，且顶点落在x 轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;

（3）现将直线BC 绕

P ，请找出抛物线上所有满足到直线AB

距离为P ．

【例6】如图，抛物线L 1:y =-x 2-2x +3交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于M 点. 抛物线L 1向

右平移2个单位后得到抛物线L 2，L 2交x 轴于C 、D 两点. （1）求抛物线L 2对应的函数表达式；

（3）若点P 是抛物线L 1上的一个动点（P 不与点A 、B 重合），那么点P 关于原点的对

称点

Q 是否在抛物线

L 2上，请说明理由.

解析过程及每步分值

【例7】如图，在矩形ABCD 中，AB =

9，AD =点P 是边BC 上的动点（点

（1）求∠CQP 的度数；（2）当x 取何值时，点R 落在矩形ABCD 的AB 边7

上？

27（3）①求y 与x 之间的函数关系式；

②当x 取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？

C P

（备用图1）

（备用图2）

解析过程及每步分值

BC =CD 3

∴CD =9，BC = Q C D ，∴∠CDB =30．

PQ ∥BD ，∴∠CQP =∠CDB =30 ．

P （2）如图1，由轴对称的性质可知，△RPQ ≌△CPQ ，

B ∴∠RPQ =∠CPQ ，RP =CP ．（图1）由（1）知∠CQP =30，∴∠RPQ =∠CPQ =60，

∴∠RPB =60 ，∴RP =

2BP CP =x ，∴PR =x ，PB =x ．

△RPB 中，根据题意得

：

112x ) =x ，

S △CPQ =⨯CP ⨯CQ =x

22解这个方程得：x =

（3在矩形ABCD 的内部或AB 边上时，

， 0

解：（1）如图，四边形A B C D 是矩形，

∴A B =C ，D A D

又AB =9，AD =

∠C =90，

△RPQ ≌△CPQ ，∴

当0

当R 在矩形

ABCD 的外部时（如图2），x 3

在Rt △PFB

中， ∠RPB =60，

∴PF =2BP =

x ) ，

RP =CP 又，∴S △ERF =ER ⨯FR =x -18x +

2∴RF =RP -PF =3x -

在Rt △ERF 中，

∠EFR =∠PFB =30 ，∴ER =-6．

，

-S ，

∴

当

x -．

2(0

综上所述，y 与x

y ．

2②矩形面积=9⨯

当0

≤函数

y x +18

y 2727

+=，解这个方程，得x =，因为27

所以x = 所以x =

综上所述，当x =△PQR 与矩形ABCD 重叠部分的面积等于矩形面积的．

y =

第四章兴趣练习

4.1 代数部分

1. 已知：抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．其中点A 在x

轴的负半轴上，点C 在y 轴的负半轴上，线段OA 、OC 的长（OA

x 2-5x +4=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x =1．

（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；

（3）若点D 是线段AB 上的一个动点（与点A 、B 不重合），过点D 作DE ∥BC 交AC

2. 已知，如图1，过点E (0，-1)作平行于x 轴的直线l ，抛物线y =

x 上的两点A 、B 的4

横坐标分别为-1和4，直线AB 交y 轴于点F ，过点A 、B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为点C 、D ，连接CF 、DF ．

（1）求点A 、B 、F 的坐标；（2）求证：CF ⊥DF ；

（3）点P 是抛物线y =

x 对称轴右侧图象上的一动点，过点P 作PQ ⊥PO 交x 轴4

于点Q ，是否存在点P 使得△OPQ 与△CDF 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

（图1）

备用图

（1）若点E 落在BC 边上，如图①，求点P 、C 、D 的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；

（2）若点E 落在矩形纸片OABC 的内部，如图②，设OP =x ，AD =y ，当x 为何值时，y 取得最大值？

图①

图②

5. 如图①，已知抛物线y =ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （－3，0），与y 轴交于点C ．

（1）求抛物线的解析式；

（3）如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．

图①

图②

二、动态几何

，AD =6厘米，DC =4厘米，BC 的6. 如图，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠A =90°

∶4，坡度i =3动点P 从A 出发以2厘米/秒的速度沿AB 方向向点B 运动，动点Q 从点B 出

发以3厘米/秒的速度沿B →C →D 方向向点D 运动，两个动点同时出发，当其中一个动

点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t 秒．（1）求边BC 的长；

（2）当t 为何值时，PC 与BQ 相互平分；

（3）连结PQ ，设△PBQ 的面积为y ，探求y 与t 的函数关系式，求t 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？

7. 已知：直线y =

x +1与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线y =x 2+bx +c 与直线交22

于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为（1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点P 在x 轴上移动，当△P AE 是直角三角形时，求点P 的坐标．

（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM -MC |的值最大，求出点M 的坐标．

8. 已知：抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴为x =-1，与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中A (-3， 0)、C (0，-2)．

（1）求这条抛物线的函数表达式．

4) ；矩形9. 如图1，已知抛物线经过坐标原点O 和x 轴上另一点E ，顶点M 的坐标为(2，ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD =2，AB =3．

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；

时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由； 2

②设以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为S ，试问S 是否存在最大值？若存在，求出这

①当t =

个最大值；若不存在，请说明理由．

图1

10. 已知抛物线：y 1=-

x +2x ． 2

（1）求抛物线y 1的顶点坐标．

（2）将抛物线y 1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y 2，求抛物线

y 2的解析式．

【提示：抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴是x =-

，顶点坐标是2a

⎛b 4ac -b 2⎫ -⎪】

4a ⎭⎝2a

11. 如图，已知抛物线C 1：y =a (x +2)-5的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A

在点B 的左边），点B 的横坐标是1．

（1）求P 点坐标及a 的值；（4分）

图1 图2

0) 、C (8，0) 、D (8，8) ．12. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B (4，抛

物线y =ax 2+bx 过A 、C 两点．

（1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；

点E ．

（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）如图2，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值．

图2

15. 如图，已知二次函数y =(x +m ) 2+k -m 2的图象与x 轴相交于两个不同的点

A (x 1，0) 、B (x 2，0) ，与y 轴的交点为C ．设△ABC 的外接圆的圆心为点P ．

（1）求⊙P 与y 轴的另一个交点D 的坐标；

（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径，且△ABC 的面积等于，求m 和k 的值．

16. 如图，点A 、B 坐标分别为（4，0）、（0，8），点C 是线段OB 上一动点，点E 在x 轴

E tt =(>0) 正半轴上，四边形OEDC 是矩形，且OE =2OC ．设O

重合部分的面积为S ．根据上述条件，回答下列问题：（1）当矩形OEDC 的顶点D 在直线AB 上时，求t 的值；（2）当t =4时，求S 的值；

（3）直接写出S 与t 的函数关系式；（不必写出解题过程）（4）若S =12，则t = ．

17. 直线y =-

，矩形OEDC 与△AOB

x +6与坐标轴分别交于A 、B 两点，动点P 、Q 同时从O 点出发，同时到4

运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →

达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA

B →A 运动．

（1）直接写出A 、B 两点的坐标；

（2）设点Q 的运动时间为t 秒，△OPQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当S =

时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第5

四个顶点M 的坐标．

图1

解答下列问题：

如图2，抛物线顶点坐标为点C （1，4），交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点B ．（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；

（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB =若存在，

求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由． y

O A

图2

ah ，即三角形面积等2

S △CAB ，8

19. 如图，在平面直角坐标系中，点A 、

（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P 的横坐标为m 用含m 的代数式表示线段PF 的长．，

（3）求△PBC 面积的最大值，并求此时点P 的坐标．

P 、Q 运动的时间为x 秒时，△APQ 与△ABC 重叠部分的面积为y 平方厘米（这里规定：．．．．

点和线段是面积为O 的三角形），解答下列问题：（1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是秒；

Q 从开始运动到停止的过程中，（2）点P 、当△APQ 是等边三角形时x 的值是秒；

（3）求y 与x 之间的函数关系式．

A ．设F 2的对称轴21. 定义一种变换：平移抛物线F 1得到抛物线F 2，使F 2经过F 1的顶点

分别交F 1，F 2于点D ，B ，点C 是点A 关于直线BD 的对称点．

0) ，（1）如图1，若F 1：y =x ，经过变换后，得到F 2：y =x +bx ，点C 的坐标为(2，

则①b 的值等于______________；

②四边形ABCD 为（）

A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形

（2）如图2，若F ：y =ax +c ，经过变换后，点B 的坐标为(2，c -1) ，求△ABD 的1

面积；

1227

x -x +

，经过变换后，AC =P 是直线AC 上的333

动点，求点P 到点D 的距离和到直线AD 的距离之和的最小值．

（3）如图3，若F 1：y =（图1）

（图3）

（图2）

22. 如图，已知直线y =-

x +1交坐标轴于A ，B 两点，以线段AB 为边向上作正方形2

ABCD ，过点A ，D ，C 的抛物线与直线另一个交点为E ．

（1）请直接写出点C , D 的坐标；（2）求抛物线的解析式；

（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB 下滑，直至顶点D 落在x 轴上

时停止．设正方形落在x 轴下方部分的面积为S ，求S 关于滑行时间t 的函数关

系式，并写出相应自变量t 的取值范围；

（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C , E 两点

间的抛物线弧所扫过的面积．

x +1

23. 如图，点A 、B 坐标分别为（4，0）、（0，8），点C 是线段OB 上一动点，点E 在x 轴

E tt =(>0) 正半轴上，四边形OEDC 是矩形，且OE =2OC ．设O

重合部分的面积为S ．根据上述条件，回答下列问题：（1）当矩形OEDC 的顶点D 在直线AB 上时，求t 的值；（2）当t =4时，求S 的值；

（3）直接写出S 与t 的函数关系式；（不必写出解题过程）（4）若S =12，则t = ．

，矩形OEDC 与△AOB

24. 如图所示，某校计划将一块形状为锐角三角形ABC 的空地进行生态环境改造．已知

（1）当FG 长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？

（2）当矩形EFGH 的边FG 为多少米时，△ABC 空地改造总投资最小？最小值为多少？

B C

E D F

25. 已知：t 1，t 2是方程t +2t -24=0的两个实数根，且t 1

x +bx +c 3

（2）设点P (x ，y ) 是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ 是以OA 为对角线的平行四边形，求

OPAQ 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

OPAQ 的面积为24时，是否存在这样的点P ，使 OPAQ

（3）在（2）的条件下，当

为正方形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．

三、说理题

0) B (1，，0) C (0，-2) 三点． 26. 如图，抛物线经过A (4，，

（1）求出抛物线的解析式；

28. 如图1，已知：抛物线y =过B 、C 两点的直线是y =

x +bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，经2

x -2，连结AC ． 2

（1）B 、C 两点坐标分别为B （_____，_____）、C （_____，_____），抛物线的函数关系

式为______________；

（2）判断△ABC 的形状，并说明理由；

（3）若△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFC （顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上）？若能，求出在AB 边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．

⎛b 4ac -b 2⎫

[抛物线y =ax +bx +c 的顶点坐标是 -, ⎪]

4a ⎭⎝2a

图1

图2(备用)

（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；

，那么5

EF =2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若CO =1，CE =，Q 为AE 上一点且QF =

，再以CM 、CO 为边作矩形CMNO ．

S 四边形CFGH

，请问m 是否为定值？若是，请求出m 的值；若不是，请说明理

S 四边形CMNO

，抛物线3

y =mx 2+bx +c 经过C 、Q 两点，请求出此抛物线的解析式．

（4）在（3）的条件下，若抛物线y =mx 2+bx +c 与线段AB 交于点P ，试问在直线BC

B 、K 为顶点的三角形与△AEF 相似？若存在，上是否存在点K ，使得以P 、请求直线KP

与y 轴的交点T 的坐标；若不存在，请说明理由．

4.2 几何部分

经典难题（一）

1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二） E

A B

D O F

2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．

A D 求证：△PBC 是正三角形．（初二）

C B

3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、

CC 1、DD 1的中点．

A D

求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） D A A 1

B 2 2

4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC

的延长线交MN 于E 、F ．

求证：∠DEN ＝∠F ．

1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O

（1）求证：AH ＝2OM ；

（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）

2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB

及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）

3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：

设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN

于P 、Q ．

求证：AP ＝AQ ．（初二）

4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形

CBFG ，点P 是EF 的中点．

求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．

1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．

求证：CE ＝CF ．（初二）

2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．

求证：AE ＝AF ．（初二）

3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．

求证：PA ＝PF ．（初二）

4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于

B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）

经典难题（四）

1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．

求：∠APB 的度数．（初二）

2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）

3、Ptolemy （托勒密）定理：设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ²CD ＋AD ²BC ＝AC ²BD ．（初三）

4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）

经典难题（五）

1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，l ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：

≤l ＜2．

2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC

3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．

4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．

第五章复习提纲

初中数学总复习提纲

第一章实数

★重点★ 实数的有关概念及性质，实数的运算 ☆内容提要☆

一、重要概念

1．数的分类及概念数系表：

0 整数

(有限或无限循环性数)

分数

实数

(无限不循环小数)

说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）

2）有标准

整数分数

实数0 整数分数

2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x ≥0）常见的非负数有：

a 2

(a为一切实数) │a │

a (a≥0)

性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。 3．倒数： ①定义及表示法

②性质：A.a ≠1/a（a ≠±1）;B.1/a中，a ≠0;C.0＜a ＜1时1/a＞1;a

＞1时，1/a＜1;D. 积为1。 4．相反数： ①定义及表示法

②性质：A.a ≠0时，a ≠-a;B.a 与-a 在数轴上的位置;C. 和为0, 商

为-1。

5．数轴：①定义（“三要素”）

②作用：A. 直观地比较实数的大小;B. 明确体现绝对值意义;C. 建立点与实数的一一对应关系。

6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）

定义及表示：

奇数：2n-1

偶数：2n （n 为自然数）

7．绝对值：①定义（两种）：

代数定义： a(a≥0)

│a │ -a(a

几何定义：数a 的绝对值顶的几何意义是实数a 在数轴上所对应的点到原点的距离。

二、实数的运算

1．运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）

2．运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的] 分配律）

3．运算顺序：A. 高级运算到低级运算;B. （同级运算）从“左” 到“右”（如5÷

³5）;C.(有括号时) 由“小”到“中”到“大”。 5

三、应用举例（略）

附：典型例题

1．已知：a 、b 、x 在数轴上的位置如下图，求证：│x-a │+│x-b │ =b-a.

2.已知：a-b=-2且ab

第二章代数式

★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算 ☆内容提要☆

一、重要概念

分类：单项式

有理式代数式无理式

1. 代数式与有理式

用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。整式和分式统称为有理式。

2. 整式和分式

含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。 3. 单项式与多项式

没有加减运算的整式叫做单项式。（数字与字母的积—包括单独的一个数或字母）几个单项式的和，叫做多项式。

x 2 =x,x 2=│x │等。

4. 系数与指数

区别与联系：①从位置上看; ②从表示的意义上看 5. 同类项及其合并

条件：①字母相同; ②相同字母的指数相同合并依据：乘法分配律 6. 根式

表示方根的代数式叫做根式。

含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。

注意：①从外形上判断; ②区别：3、7是根式，但不是无理式（是无理数）。 7. 算术平方根

⑴正数a 的正的平方根（a [a≥0—与“平方根”的区别]）; ⑵算术平方根与绝对值

① 联系：都是非负数，a 2=│a │

②区别：│a │中，a 为一切实数; a 中，a 为非负数。

8. 同类二次根式、最简二次根式、分母有理化

化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式; ②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。

把分母中的根号划去叫做分母有理化。 9. 指数

n ⑴ a ·a …a (a —幂，乘方运算)

n 个

① a ＞0时，a ＞0; ②a ＜0时，a ＞0（n 是偶数），a ＜0（n 是奇数） ⑵零指数：a =1（a ≠0）负整指数：a

p 0

=1/a （a ≠0,p 是正整数）

二、运算定律、性质、法则

1．分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则 2．分式的性质

b bm =（m ≠0） a am b -b b

=⑵符号法则：-=

a a -a

⑴基本性质：

⑶繁分式：①定义; ②化简方法（两种）

3．整式运算法则（去括号、添括号法则） 4．幂的运算性质：①a ²a =a

m +n

; ②a ÷a =a

m n m -n

; ③(a m ) n =a

; ④

a n a n

(ab ) =a b ; ⑤() =n

b b

技巧：()

b a

-p

a =() p b

5．乘法法则：⑴单³单; ⑵单³多; ⑶多³多。 6．乘法公式：（正、逆用）(a ±b ) 2=a 2±2ab +b 2 （a+b）（a-b ）=a -b (a±b) (a 2 ab +b 2) =a ±b

7．除法法则：⑴单÷单; ⑵多÷单。 8．因式分解：⑴定义; ⑵方法：A. 提公因式法;B. 公式法;C. 十字相乘法;D. 分组分解法;E. 求根公式法。

9．算术根的性质：

a 2＝a ; (a ) 2=a (a ≥0) ; ab =a ⋅(a≥0,b ≥

0);

a a

(a≥0,b ＞0)(正用、逆用) =

b b

10．根式运算法则：⑴加法法则（合并同类二次根式）; ⑵乘、除法法则; ⑶分母有理

化：A.

;B.

b ab 1

;C. . =

a a m a -n b

11．科学记数法：a ⨯10（1≤a ＜10,n 是整数＝三、应用举例（略）四、数式综合运算（略）

第三章统计初步

★重点★

☆ 内容提要☆

一、重要概念

1. 总体：考察对象的全体。

2. 个体：总体中每一个考察对象。 3. 样本：从总体中抽出的一部分个体。 4. 样本容量：样本中个体的数目。

5. 众数：一组数据中，出现次数最多的数据。

6. 中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数据的平均数）

二、计算方法

1. 样本平均数：⑴x =

1' (x 1+x 2+ +x n ) ; ⑵若x 1' =x 1-a ，x 2=x 2-a ，„，n

' x n =x n -a , 则x =x ' +a (a—常数，x 1，x 2，„，x n 接近较整的常数a); ⑶加权平均数：

x =

x 1f 1+x 2f 2+ +x k f k

(f 1+f 2+ +f k =n ) ; ⑷平均数是刻划数据的集中趋势（集

中位置）的特征数。通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确。

[(x 1-x ) 2+(x 2-x ) 2+ +(x n -x ) 2]; ⑵若n

21' 2' 2' 22' ' ' '

x 1=x 1-a , x 2=x 2-a , „, x n =x n -a , 则s =[(x 1+x 2+ +x n ) -n x ]（a

2．样本方差：⑴s =

—接近x 1、x 2、„、x n 的平均数的较“整”的常数）; 若x 1、x 2、„、x n 较“小”较“整”，则s =

21222

[(x 1+x 2+ +x n ) -n x ]; ⑶样本方差是刻划数据的离散程度（波动大小）n

的特征数，当样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总体方差。

3．样本标准差：s =

s 2

三、应用举例（略）

第四章直线形

★重点★相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质。 ☆ 内容提要☆

一、直线、相交线、平行线

1．线段、射线、直线三者的区别与联系从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。 2．线段的中点及表示

3．直线、线段的基本性质（用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”） 4．两点间的距离（三个距离：点-点; 点-线; 线-线）

5．角（平角、周角、直角、锐角、钝角） 6．互为余角、互为补角及表示方法 7．角的平分线及其表示

8．垂线及基本性质（利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”） 9．对顶角及性质

10．平行线及判定与性质（互逆）（二者的区别与联系）

11．常用定理：①同平行于一条直线的两条直线平行（传递性）; ②同垂直于一条直线的两条直线平行。

12．定义、命题、命题的组成 13．公理、定理 14．逆命题

二、三角形分类：⑴按边分;

⑵按角分

1．定义（包括内、外角）

等边等角

大边大角

小边小角

3．三角形的主要线段

讨论：①定义②³³线的交点—三角形的³心③性质 ① 高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线

⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形

4．特殊三角形（直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）的判定与性质

5．全等三角形

⑴一般三角形全等的判定（SAS 、ASA 、AAS 、SSS ） ⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②专用方法 6．三角形的面积

⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。 7．重要辅助线

⑴中点配中点构成中位线; ⑵加倍中线; ⑶添加辅助平行线 8．证明方法

⑴直接证法：综合法、分析法

三、四边形分类表：

1．一般性质（角） ⑴内角和：360°

⑵顺次连结各边中点得平行四边形。

推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。

推论2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。 ⑶外角和：360° 2．特殊四边形

⑴研究它们的一般方法:

称积角性

线轴中

对心

称

对

称

⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形; 梯形、等腰梯形的定义、性质和判定 ⑶判定步骤：四边形→平行四边形→矩形→正方形

┗→菱形──↑

⑷对角线的纽带作用：

3．对称图形

⑴轴对称（定义及性质）; ⑵中心对称（定义及性质） 4．有关定理：①平行线等分线段定理及其推论1、2

②三角形、梯形的中位线定理 ③平行线间的距离处处相等。（如，找下图中面积相等的三角形）

6．作图：任意等分线段。

四、应用举例（略）

第五章方程（组）

★重点★一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法; 方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）

☆ 内容提要☆

一、基本概念

1．方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组） 2．分类：

一次方程二次方程高次方程

整式方程

有理方程方程无理方程

分式方程

二、解方程的依据—等式性质 1．a=b←→a+c=b+c

2．a=b←→ac=bc (c≠0) 三、解法

1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→ 系数化成1→解。

2．元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法 ②加减法

四、一元二次方程

1．定义及一般形式：ax 2+bx +c =0(a ≠0) 2．解法：⑴直接开平方法（注意特征）

⑵配方法（注意步骤—推倒求根公式）

⑶公式法：x 1, 2

-b ±b 2-4ac 2=(b -4ac ≥0)

⑷因式分解法（特征：左边=0）

3．根的判别式：∆=b -4ac 4．根与系数顶的关系：x 1+x 2=-

b c , x 1⋅x 2= a a

逆定理：若x 1+x 2=m , x 1⋅x 2=n ，则以x 1, x 2为根的一元二次方程是：

x 2-mx +n =0。

5．常用等式：x 1+x 2=(x 1+x 2) -2x 1x 2 (x 1-x 2) =(x 1+x 2) -4x 1x 2 五、可化为一元二次方程的方程

1．分式方程 ⑴定义

⑵基本思想：分式方程整式方程

⑶基本解法：①去分母法②换元法（如，⑷验根及方法 2．无理方程 ⑴定义

⑵基本思想：

3x -62x +2

+=7） x +1x -2

无理方程

有理方程

⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法（例，2x 2-9+17=x 2）⑷验根及方法

3．简单的二元二次方程组

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。

六、列方程（组）解应用题㈠概述

列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：

⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。 ⑹答案。

㈡常用的相等关系

1．行程问题（匀速运动）基本关系：s=vt

⑴相遇问题(同时出发) ：相遇处 ←乙甲→

s 甲+s 乙=s AB ; t 甲=t 乙

⑵追及问题（同时出发）：

甲→ (乙→

乙→ （相遇处）

（相遇处）

而后在B 处追

s 甲=s AC +s 乙; t 甲(AB ) =t 乙(CB )

若甲出发t 小时后，乙才出发，

上甲，则

s 甲=s 乙; t 甲=t +t 乙

⑶水中航行：v 顺=船速+水速; v 逆=船速-水速

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2．配料问题：溶质=溶液³浓度溶液=溶质+溶剂 3．增长率问题：a n =a 1(1±r ) n -1

㈣注意从语言叙述中写出相等关系。

如，x 比y 大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x 与y 的差为3，则x-y=3。㈤注意单位换算如，“小时”“分钟”的换算;s 、v 、t 单位的一致等。

七、应用举例（略）

第六章一元一次不等式（组）

★重点★一元一次不等式的性质、解法 ☆ 内容提要☆

1．定义：a ＞b 、a ＜b 、a ≥b 、a ≤b 、a ≠b 。

2．一元一次不等式：ax ＞b 、ax ＜b 、ax ≥b 、ax ≤b 、ax ≠b(a≠0) 。 3．一元一次不等式组：

4．不等式的性质：⑴a>b←→a+c>b+c

⑵a>b←→ac>bc(c>0) ⑶a>b←→ac

⑷（传递性）a>b,b>c→a>c ⑸a>b,c>d→a+c>b+d.

5．一元一次不等式的解、解一元一次不等式

6．一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组（在数轴上表示解集） 7．应用举例（略）

第七章相似形

★重点★相似三角形的判定和性质 ☆内容提要☆

一、本章的两套定理

第一套（比例的有关性质）： b d

= 反比性质： a c

a d c a b c

=或= =⇔ad =bc ⇒更比性质： b d b a c d

（比例基本定理） a ±b c ±d

=合比性质： b d

a c m a +c + +m a

== =(b +d + +n ≠0) ⇒等比性质:= b d n b +d + +n b

涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分

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割等。

第二套：

平行线分线段

推论成比例定理

(骨干定理)

(基本定理)

定定

推论的

理推论

逆定理

相似基本定理 Rt △ 定理3 定理2 定理1

推论

注意：①定理中“对应”二字的含义;

②平行→相似（比例线段）→平行。二、相似三角形性质

1．对应线段„;2．对应周长„;3．对应面积„。三、相关作图

①作第四比例项; ②作比例中项。四、证（解）题规律、辅助线 1．“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。

2．找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。⑴

a m c m m

=, =(为中间比) b n d n n a m c m ' ⑵=, =' , n =n b n d n

a m c m ' m m ' ' '

⑶=, =' (m =m , n =n 或=' ) b n d n n n

3．添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

4．对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k; 对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k 。

5．对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。

五、应用举例（略）

第八章函数及其图象

★重点★正、反比例函数，一次、二次函数的图象和性质。 ☆ 内容提要☆

一、平面直角坐标系 1．各象限内点的坐标的特点 2．坐标轴上点的坐标的特点

3．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点

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4．坐标平面内点与有序实数对的对应关系

二、函数

1．表示方法：⑴解析法; ⑵列表法; ⑶图象法。

2．确定自变量取值范围的原则：⑴使代数式有意义; ⑵使实际问题有意义。

3．画函数图象：⑴列表; ⑵描点; ⑶连线。

三、几种特殊函数（定义→图象→性质） 1．正比例函数

⑴定义：y=kx(k≠0) 或y/x=k。 ⑵图象：直线（过原点） ⑶性质：①k>0，„②k

⑴定义：y=kx+b(k≠0)

⑵图象：直线过点（0,b ）—与y 轴的交点和（-b/k,0）—与x 轴的交点。

⑶性质：①k>0,„②k

⑴定义：y =ax +bx +c (a ≠0)(一般式) y =a (x -h ) +k (a ≠0)(顶点式)

特殊地，y =ax (a ≠0), y =ax +k (a ≠0) 都是二次函数。

⑵图象：抛物线（用描点法画出：先确定顶点、对称轴、开口方向，再对称地描点）。

y =ax 2+bx +c (a ≠0) 用配方法变为y =a (x -h ) 2+k (a ≠0) ，则顶点为（h,k ）;

对称轴为直线x=h;a>0时，开口向上;a

⑶性质：a>0时，在对称轴左侧„，右侧„;a

=kx -1或xy=k(k≠0) 。 x

⑵图象：双曲线（两支）—用描点法画出。

⑶性质：①k>0时，图象位于„，y 随x „; ②k

四、重要解题方法

1．用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）。对求二次函数

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的解析式，要合理选用一般式或顶点式，并应充分运用抛物线关于对称轴对称的特点，寻找新的点的坐标。如下图：

2．利用图象一次（正比例）函数、反比例函数、二次函数中的k 、b;a 、b 、c 的符号。

六、应用举例（略）

第九章解直角三角形

★重点★解直角三角形 ☆ 内容提要☆ 一、三角函数

1．定义：在Rt △ABC 中，∠C=Rt∠，则sinA= ;cosA= ;tgA= ;ctgA= . 2．

3．互余两角的三角函数关系：sin(90°-α)=cosα; „ 4．三角函数值随角度变化的关系 5．查三角函数表二、解直角三角形

1．定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 2．依据：①边的关系：a +b =c

②角的关系：A+B=90°

③边角关系：三角函数的定义。

注意：尽量避免使用中间数据和除法。

三、对实际问题的处理

1．俯、仰角： 2．方位角、象限角： 3．坡度： h i=h/l=tgα

4．在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。四、应用举例（略）

第十章圆

★重点★①圆的重要性质; ②直线与圆、圆与圆的位置关系; ③与圆有关的角的定理; ④

与圆有关的比例线段定理。

☆ 内容提要☆

一、圆的基本性质

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1．圆的定义（两种）

5．与圆有关的角：⑴圆心角定义（等对等定理）

⑵圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系） ⑶弦切角定义（弦切角定理）

二、直线和圆的位置关系 1. 三种位置及判定与性质：

直线与圆相离 d=R 直线与圆相切直线与圆相交

2. 切线的性质（重点） 3. 切线的判定定理（重点）。圆的切线的判定有⑴„⑵„4．切线长定理

三、圆换圆的位置关系

1. 五种位置关系及判定与性质：(重点：相切) d>R+r 外离 d=R+r 外切 R-r

相切（交）两圆连心线的性质定理

3. 两圆的公切线：⑴定义⑵性质

四、与圆有关的比例线段 1. 相交弦定理 2. 切割线定理

五、与和正多边形

1. 圆的内接、外切多边形（三角形、四边形）

2. 三角形的外接圆、内切圆及性质 3. 圆的外切四边形、内接四边形的性质 4. 正多边形及计算

中心角：α360︒

n =

=2α(右图) 内角的一半：β=

(n -2) 180︒n ⨯1

(右图) （解Rt △OAM 可求出相关元素, S n 、P n 等）六、一组计算公式

1. 圆周长公式 2. 圆面积公式

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3. 扇形面积公式 4. 弧长公式

5. 弓形面积的计算方法

6. 圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算

七、点的轨迹

六条基本轨迹

八、有关作图

1. 作三角形的外接圆、内切圆 2. 平分已知弧

3. 作已知两线段的比例中项 4. 等分圆周：4、8;6、3等分

九、基本图形

十、重要辅助线 1. 作半径

2. 见弦往往作弦心距

3. 见直径往往作直径上的圆周角 4. 切点圆心莫忘连

5. 两圆相切公切线（连心线） 6. 两圆相交公共弦

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初中数学基础知识及经典题型

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