专题五 实践操作与方案设计问题
强化突破
1．(2013·遵义) 如图，在4×4正方形网格中，任取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是( A )
1111A B . C . D . 64312
2．如图，将正方形对折后展开(图④是连续两次对折后再展开) ，再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半，这样的图形有( B
)
A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
3．(2014·河北) 如图，将长为2，宽为1的矩形纸片分割成n 个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n ≠( A )
A ．2 B ．3 C ．4 D ．
5
4．(2014·黄冈) 如图，在一张长为8 cm 、宽为6 cm 的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5 cm 的等腰三角形(要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上) ，则剪下的等腰三角形的面积是
cm 2.
5．(2014·温州) 如图，在所给方格纸中，每个小正方形边长都是1，标号为①②③的三个三角形均为格点三角形(顶点在方格顶点处) ，请按要求将图甲、图乙中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为①②③的三个三角形分别对应全等．
(1)图甲中的格点正方形ABCD ； (2)图乙中的格点平行四边形ABCD.
解：(1)如图甲所示 (2)如图乙所示
6．(2013·茂名) 在信宜市某“三华李”种植基地有A ，B 两个品种的树苗出售，已知A 种比B 种每株多2元，买1株A 种树苗和2株B 种树苗共需20元．
(1)问A ，B 两种树苗每株分别是多少元？
(2)为扩大种植，某农户准备购买A ，B 两种树苗共360株，且A 种树苗数量不少于B 种数量的一半，请求出费用最省的购买方案．
解：(1)A 种树苗每株8元，B 种树苗每株6元 (2)设A 种树苗购买a 株，则B 种树苗1
购买(360－a) 株，共需要w 元，则a ≥(360－a) ，∴a ≥120，w ＝8a ＋6(360－a) ＝2a ＋2160，
2w 随a 的增大而增大，∴当a ＝120时，w 最小＝2400，∴B 种树苗为360－120＝240(棵) ，∴最省的购买方案是：A 种树苗购买120棵，B 种树苗购买240棵
7．(2014·宁波) 用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方式裁剪(裁剪后边角料不再利用) ： A 方法：剪6个侧面；B 方法：剪4个侧面和5个底面．
现有19张硬纸板，裁剪时x 张用A 方法，其余用B 方法．
(1)用x 的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；
(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 解：(1)∵裁剪时x 张用A 方法，∴裁剪时(19－x) 张用B 方法，∴侧面的个数为6x ＋4(193
－x) ＝2x ＋76，底面的个数为5(19－x) ＝95－5x (2)由题意得2x ＋76－5x) ，解得x
2
2×7＋76
＝7，∴盒子的个数为30
3
8．(2014·烟台) 山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A 型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%.
(1)今年A 型车每辆售价多少元？(用列方程的方法解答)
(2)该车行计划新进一批A 型车和新款B 型车共60辆，且B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
A ，B 两种型号车的进货和销售价格如下表：
解：(1)设今年A 型车每辆售价为x 元，则去年每辆售价为(x＋400) 元，由题意得
50000x ＋400
50000（1－20%）＝，解得x ＝1600，经检验，x ＝1600是方程的根，则今年A 型车每辆售
x 价为1600元
(2)设今年新进A 型车a 辆，则B 型车(60－x) 辆，获利y 元，由题意得y ＝(1600－1100)a ＋(2000－1400)(60－a) ，∴y ＝－100a ＋36000. ∵B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，∴60－a ≤2a ，∴a ≥20. ∵y ＝－100a ＋36000，∴k ＝－100＜0，∴y 随a 的增大而减小，∴a ＝20时，y 最大＝34000元，此时B 型车的数量为60－20＝40(辆) ，∴当新进A 型车20辆，B 型车40辆时，这批车获利最大
9．(2014·泉州) 如图，在锐角三角形纸片ABC 中，AC ＞BC ，点D ，E ，F 分别在边AB ，BC ，CA 上．
(1)已知DE ∥AC ，DF ∥BC.
①判断
四边形DECF 一定是什么形状？
②裁剪
当AC ＝24 cm ，BC ＝20 cm ，∠ACB ＝45°时，请你探索：如何剪四边形DECF ，能使它的面积最大，并证明你的结论；
(2)折叠
请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D ，E ，C ，F ，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．
解：(1)平行四边形 (2)设FC ＝x cm (0＜x ＜24) ，则AF ＝(24－x) cm . 过点F 作FH ⊥BC 于点H ，则FH ＝
2DF AF 5
x. ∵DF ∥BC ，∴△ADF ∽△ABC ，∴，∴DF ＝－x) ，∴S ▱DECF 2BC AC 6
525
＝DF·FH ＝－＝－2(x－12) 2＋602，∴当x ＝12时，四边形DECF 面积取得
62121
最大值2，此时FC ＝，即沿着三角形的中位线DF ，DE 剪四边形DECF ，能使它的
2面积最大 (3)先折∠ACB 的平分线(使CB 落在CA 上) ，压平，折线与AB 的交点为点D ；再折DC 的垂直平分线(使点C 与点D 重合) ，压平，折线与BC ，CA 的交点分别为点E ，F ，展平后四边形DECF 就是菱形．理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形
专题五 实践操作与方案设计问题
强化突破
1．(2013·遵义) 如图，在4×4正方形网格中，任取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是( A )
1111A B . C . D . 64312
2．如图，将正方形对折后展开(图④是连续两次对折后再展开) ，再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半，这样的图形有( B
)
A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
3．(2014·河北) 如图，将长为2，宽为1的矩形纸片分割成n 个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n ≠( A )
A ．2 B ．3 C ．4 D ．
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4．(2014·黄冈) 如图，在一张长为8 cm 、宽为6 cm 的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5 cm 的等腰三角形(要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上) ，则剪下的等腰三角形的面积是
cm 2.
5．(2014·温州) 如图，在所给方格纸中，每个小正方形边长都是1，标号为①②③的三个三角形均为格点三角形(顶点在方格顶点处) ，请按要求将图甲、图乙中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为①②③的三个三角形分别对应全等．
(1)图甲中的格点正方形ABCD ； (2)图乙中的格点平行四边形ABCD.
解：(1)如图甲所示 (2)如图乙所示
6．(2013·茂名) 在信宜市某“三华李”种植基地有A ，B 两个品种的树苗出售，已知A 种比B 种每株多2元，买1株A 种树苗和2株B 种树苗共需20元．
(1)问A ，B 两种树苗每株分别是多少元？
(2)为扩大种植，某农户准备购买A ，B 两种树苗共360株，且A 种树苗数量不少于B 种数量的一半，请求出费用最省的购买方案．
解：(1)A 种树苗每株8元，B 种树苗每株6元 (2)设A 种树苗购买a 株，则B 种树苗1
购买(360－a) 株，共需要w 元，则a ≥(360－a) ，∴a ≥120，w ＝8a ＋6(360－a) ＝2a ＋2160，
2w 随a 的增大而增大，∴当a ＝120时，w 最小＝2400，∴B 种树苗为360－120＝240(棵) ，∴最省的购买方案是：A 种树苗购买120棵，B 种树苗购买240棵
7．(2014·宁波) 用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方式裁剪(裁剪后边角料不再利用) ： A 方法：剪6个侧面；B 方法：剪4个侧面和5个底面．
现有19张硬纸板，裁剪时x 张用A 方法，其余用B 方法．
(1)用x 的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；
(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 解：(1)∵裁剪时x 张用A 方法，∴裁剪时(19－x) 张用B 方法，∴侧面的个数为6x ＋4(193
－x) ＝2x ＋76，底面的个数为5(19－x) ＝95－5x (2)由题意得2x ＋76－5x) ，解得x
2
2×7＋76
＝7，∴盒子的个数为30
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8．(2014·烟台) 山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A 型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%.
(1)今年A 型车每辆售价多少元？(用列方程的方法解答)
(2)该车行计划新进一批A 型车和新款B 型车共60辆，且B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
A ，B 两种型号车的进货和销售价格如下表：
解：(1)设今年A 型车每辆售价为x 元，则去年每辆售价为(x＋400) 元，由题意得
50000x ＋400
50000（1－20%）＝，解得x ＝1600，经检验，x ＝1600是方程的根，则今年A 型车每辆售
x 价为1600元
(2)设今年新进A 型车a 辆，则B 型车(60－x) 辆，获利y 元，由题意得y ＝(1600－1100)a ＋(2000－1400)(60－a) ，∴y ＝－100a ＋36000. ∵B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，∴60－a ≤2a ，∴a ≥20. ∵y ＝－100a ＋36000，∴k ＝－100＜0，∴y 随a 的增大而减小，∴a ＝20时，y 最大＝34000元，此时B 型车的数量为60－20＝40(辆) ，∴当新进A 型车20辆，B 型车40辆时，这批车获利最大
9．(2014·泉州) 如图，在锐角三角形纸片ABC 中，AC ＞BC ，点D ，E ，F 分别在边AB ，BC ，CA 上．
(1)已知DE ∥AC ，DF ∥BC.
①判断
四边形DECF 一定是什么形状？
②裁剪
当AC ＝24 cm ，BC ＝20 cm ，∠ACB ＝45°时，请你探索：如何剪四边形DECF ，能使它的面积最大，并证明你的结论；
(2)折叠
请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D ，E ，C ，F ，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．
解：(1)平行四边形 (2)设FC ＝x cm (0＜x ＜24) ，则AF ＝(24－x) cm . 过点F 作FH ⊥BC 于点H ，则FH ＝
2DF AF 5
x. ∵DF ∥BC ，∴△ADF ∽△ABC ，∴，∴DF ＝－x) ，∴S ▱DECF 2BC AC 6
525
＝DF·FH ＝－＝－2(x－12) 2＋602，∴当x ＝12时，四边形DECF 面积取得
62121
最大值2，此时FC ＝，即沿着三角形的中位线DF ，DE 剪四边形DECF ，能使它的
2面积最大 (3)先折∠ACB 的平分线(使CB 落在CA 上) ，压平，折线与AB 的交点为点D ；再折DC 的垂直平分线(使点C 与点D 重合) ，压平，折线与BC ，CA 的交点分别为点E ，F ，展平后四边形DECF 就是菱形．理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形