全预应力混凝土简支梁设计算例
一、设计资料
1. 桥梁跨径及桥宽
标准跨径：L k =30m （墩中心距），主梁全长：L =29.96m，计算跨径：L f =29.16m，桥面净宽：净9+2×1m 。 2. 设计荷载
公路—Ⅱ级车辆荷载，人群荷载3.5KN/m，结构重要性系数γ0=1. 1。
3. 材料性能参数 （1）混凝土
强度等级为C40，主要强度指标为： 强度标准值 f ck =26. 8MPa , f tk =2. 4MPa 强度设计值 f cd =18. 4MPa , f td =1. 65MPa 弹性模量 E c =3. 25⨯104MPa
⑵ 预应力钢筋采用1×7标准型_15.2_1860_II_GB/T 5224——1995钢绞线， 其强度 指标为：
抗拉强度标准值 f pk =1860MPa 抗拉强度设计值 f pd =1260MPa 弹性模量 E p =1. 95⨯10MPa 相对界限受压区高度 ξb =0. 4
⑶普通钢筋采用HRB335钢筋，其强度指标为： 抗拉强度标准值 f sk =335MPa 抗拉强度设计值 f sd =280MPa 弹性模量 E s =2. 0⨯10MPa 4. 主梁纵横截面布置 各部分截面尺寸
跨中截面毛截面几何性质为：截面面积A c =0.7018×10 mm ；截面重心至构件上缘的距离y cs =475.4
6
2
2
5
5
mm ； 截面重心至构件下缘的距离y cx =824.6 mm； 截面惯性矩J c =0.1548×1012 mm4
。
5. 内力计算
主梁内力计算的方法将在《桥梁工程》中进一步学习，在此仅列出内力计算的结果。 (1)恒载内力
按预应力混凝土分阶段受力的实际情况，恒载内力按下列三种情况分别计算： ①预制主梁（包括横隔梁） g 1=15. 3+1. 35=16. 66KN /m ②现浇混凝土板自重 g 2=2. 25KN /m
③后期恒载（包括桥面铺装、人行道及栏杆等） g 3=6. 27+0. 24=6. 51KN /m 恒载内力计算结果如表1所示。
表1 恒载内力计算结果
活载内力计算结果如表2所示。
表2 活载内力计算结果
注：车辆荷载按密集运行状态A 级车道荷载计算，冲击系数1+μ=1. 1188
。活载内力以2号梁为准。
(3)内力组合
①基本组合（用于承载能力极限状态计算）
M
d
=1. 2(M
G 1K
+M
G 2K
+M
G 3K
) +1. 4M
Q 1K
+1. 12M
Q 2K
V d =1. 2(V G 1K +V G 2K +V G 3K ) +1. 4V Q 1K +1. 12V Q 2K
②短期组合（用于正常使用极限状态计算） M
=(M
+M
+M
) +0. 7
M
Q 1K
s G 1K G 2K G 3K
1+u
+M
Q 2K
③长期组合（用于正常使用极限状态计算）
M
=(M
+M
+M
) +0. 4(
M
Q 1K
l G 1K G 2K G 3K
1+u
+M
Q 2K
)
内力组合结果如表3所示。
表3 内力组合计算结果
二、预应力钢筋数量的确定及布置
首先根据跨中截面正截面抗裂要求，确定预应力钢筋数量。为满足抗裂要求，所需的有效预加力为：
M
N
pe
s
≥0. 85(
W 1A +e p W )
M s 为荷载短期效应弯矩组合设计值，由表13.7.3查得M s =3891. 78KN ⋅m ，估算钢筋数量时，
可近似采用毛截面几何性质。
e p 为预应力钢筋重心至毛截面重心的距离，e p =y cx -a p 。
假设a p =150mm ，则e p =
824. 6-150=674. 6mm W =W x =J c y cx =0. 1548⨯10
3891. 78⨯10
N
pe
6
12
824. 6=0. 1878⨯10mm
93
6≥=4. 860⨯10N
1674. 6
0. 85(+) 69
0. 7018⨯100. 1878⨯10
S
9
拟采用φ15. 2钢绞线，单根钢绞线的公称截面面积A p 1=139mm , 抗拉强度标准值
f pk =1860MPa ，张拉控制应力取σcon =0. 75f pk =1395MPa ，预应力损失按张拉控制应力的20%
2
估算。
所需预应力钢绞线的根数为
n p =
N
pe
(1-20%)σcon A p 1
S
=
4. 860⨯10
6
(1-20%)⨯1395⨯139
=31. 3根，取32根。
采用4束8φ15. 2预应力钢绞线束，则预应力钢筋截面面积A p =32⨯139=4448mm 。采用HVM15-8型锚具，φ80金属波纹管成孔，预留孔道直径为85mm 。预应力筋束的布置。
预应力钢筋采用抛物线形式弯起，抛物线方程、弯起点距跨中的距离及曲线水平长度如表4。
表4 预应力钢筋弯起的抛物线方程、弯起点距跨中的距离及曲线水平长度
2
坐标。
注：表中曲线方程以截面底边为
坐标，以过弯起点的垂线为各计算截面预应力钢束的位置和倾角如表5所示。
表5 预应力钢束的位置和倾角
三、截面几何性质计算
截面几何性质应根据不同受力阶段分别计算。 1. 主梁混凝土浇筑，预应力钢筋张拉（阶段I ）
混凝土浇筑并达到设计强度后，进行预应力钢筋的张拉，此时管道尚未灌浆，因此，其截面几何性质应为扣除预应力筋预留孔道影响的净截面。该阶段顶板的宽度为1600mm 。
2. 灌浆封锚，吊装并现浇顶板600mm 的连接段（阶段2）
预应力筋束张拉完毕并进行管道灌浆，预应力筋束已经参与受力。再将主梁吊装就位，并现浇顶板600mm 的连接段，该段的自重荷载由上一阶段的截面承受，此时，截面几何性质应为计入预应力钢筋的换算截面性质，但该阶段顶板的宽度仍为1600mm 。
3. 桥面铺装等后期恒载及活荷载作用（阶段3）
该阶段主梁全截面参与工作，顶板的宽度为2200mm ，截面几何性质为计入预应力钢筋的换算截面性质。
各阶段几何性质计算结果如表6所示。
表6 各截面几何性质汇总表
四、承载能力极限状态计算
（一）跨中截面正截面承载力计算
跨中截面尺寸及配筋如图13.7.2所示。此时h p =h -a p =1300-140=1160mm ；b =180mm ； 上翼缘板的平均厚度为h f =150+⎢2⨯⨯410⨯80/(2200-180) ⎥=166mm ；上翼缘板的有效宽度取
'
⎡1⎤
⎣2⎦下列数值中的较小值：
b '
f ≤s =2200mm ；
b '
f ≤L f 3=291603=9720mm
b '
'
f ≤b +12h f =180+12⨯166=2172mm
综合上述计算结果，取b '
f =2172mm 首先判别T 梁类型
由于f '
'
cd b f h f =18. 4⨯2172⨯166=6. 634⨯106
N
f 6
pd A p =1260⨯4448=5. 604⨯10N
所以f ' '
cd b f h f >f pd A p , 说明该梁为第一类T 梁。 由力的平衡条件求混凝土受压区高度：
f '
cd b f x =f pd A p
得:x =
f pd A p ⨯4448'
f cd b '
=
1260f
18. 4⨯2172
=140. 2mm
且x =140. 2mm
说明x 轴位于受压翼缘内，且不是超筋梁，满足设计要求。
预应力钢束重心取矩得构件的抗弯承载力为： M
'
du
=f cd b f x (h o -
x 2
) =18. 4⨯2172⨯140. 2⨯(1160-
140. 22
) =6106. 8⨯106
N ⋅m m
=6106. 8KN ⋅m >γ0M
d
=5744. 48KN ⋅m
说明正截面抗弯强度满足要求。 （二）斜截面抗剪强度计算
由于变化点截面腹板宽度改变, 并且该位置剪力、弯矩均较大, 所以取变化点截面进行 计算。
1.复核主梁的截面尺寸
《公路桥规》规定,T 形截面梁当进行斜截面抗剪强度设计时, 其截面尺寸应满足
γ-3
0V d ≤0. 051⨯10
f cu , k bh o
的要求。
由于a p =331. 8mm ，所以h o =h -a p =1130-331. 8=968. 2mm 代入上式得： 0. 51⨯10-3
f cu , k bh o =0. 51⨯10
-3
40⨯180⨯968. 2=562. 131KN
由于预应力对结构的抗剪有利, 因此可考虑预应力的有利影响。即: V pb =0. 75⨯10-3f pd
∑A
pb
sin θp =0. 75⨯10
-3
⨯1260⨯4448⨯sin 2. 7302=200. 1KN
所以:γ0V d -V pb =637. 31-200. 1=437. 21KN
说明截面尺寸满足要求。
2. 验算是否需要进行斜截面抗剪强度的计算
f cu , k bh o =562. 131KN
《公路桥规》规定, 若γ0V d ≤0. 5⨯10-3α2f td bh o 则不需要进行斜截面抗剪强度计算, 仅需按构造要求配置箍筋。
由于 0. 5⨯10α2f td bh o =0. 5⨯10
-3
-3
⨯1. 25⨯1. 65⨯180⨯968. 2
=179. 73KN
3.箍筋设计
《公路桥规》规定, 主梁斜截面强度按下式计算:
γ0V d ≤V cs +V pb =0. 45⨯10
-3
α1α2α3bh 0(2+0. 6p ) f cu , k ρsV f sd , V +0. 75⨯10
-3
f pd ∑A pb sin θp
式
中:p为斜截面内受拉纵筋的配筋率 p =100ρ=100⨯
A p +A pb
bh o
=100⨯
4448180⨯968. 2
=2. 552
f sd , V 为箍筋的抗拉设计强度, 取f sd , V =280MPa V pb =200. 1KN
代入上式得:
637. 31=0. 45⨯10
-3
⨯1. 0⨯1. 25⨯1. 1⨯180⨯968. 2⨯
(2+0. 6⨯2. 552) 40⨯280ρsV +200. 1 解
得:ρsV =0. 0026>ρsV
min
=0. 0012，满足最小配箍率的要求。
2
设取φÅ8的单箍双肢箍筋, 则a sV =50. 3mm , n =2, 所以： s V =
A sV b ρsV
=
2⨯50. 3180⨯0. 0026
=215mm
取s V =200mm ， 由于s V =200mm 小于计要求。
验算斜截面抗剪强度
此时ρs V =
A sV bs V
=
2⨯50. 3180⨯200
-3
12
h =
12
⨯1300=650mm , 且小 于 400mm,所以满足设
=0. 00279
V du =V cs +V pb =0. 45⨯10α1α2α3bh 0(2+0. 6p ) f cu , k ρsV f sd , V +0. 75⨯10
-3
f pd ∑A pb sin θp
=0. 45⨯10
-3
⨯1. 0⨯1. 25⨯1. 1⨯180⨯968. 2⨯
(2+0. 6⨯2. 552) 40⨯280⨯0. 00279+200. 1
=450. 413+200. 1=650. 513KN >γ0V d =637. 31KN
说明斜截面抗剪强度满足要求。
距支点相当于一倍梁高范围内箍筋加密, 取s V =100mm 。
(三) 斜截面抗弯强度验算
由于钢束均锚于梁端, 数量上沿梁跨没有变化, 并且钢束的弯起缓和, 可以不进行该项强度的验算。
五、预应力损失计算
1．钢束与管道间摩擦引起的应力损失σl 1
σl 1=σcon [1-e
-(μθ+kx )
]
式中：σcon ——按《公路桥规》规定，σcon =0. 75f pk =0. 75⨯1860=1395MPa ；
μ——钢束与管道间的摩擦系数，μ=0. 25;
k ——管道每米局部偏差对摩擦的影响系数，k =0. 0015；
x ——张拉端至计算截面的管道长度在纵轴上的投影长，以m 计；
θ——张拉端至计算截面间曲线管道部分的切线夹角之和，以弧度计。 各控制截面摩阻应力损失σl 1的计算见表7。
表7 跨中（I —I ）截面各钢束摩擦损失值σl 1计算表
2． 锚具变形、钢丝回缩引起的应力损失σl 2 ①按《公路桥规》规定，σl 2可按平均值计算，即
σl 2=
∑∆L E
L
p
式中：∆L ——锚具变形量，两端同时张拉时，∆L =4mm ; L ——张拉端到锚固端之间的距离，L =14800mm 。
σl 2=
∑∆L E
L
p
=
414800
⨯10=52. 70MPa
5
②考虑反摩阻作用时钢束在各控制截面处的应力损失σl 2的计算
要进行考虑反摩阻作用时钢束在控制截面处的应力损失σl 2的计算，需首先确定反摩阻影响长度
L f 。
L f =
∑∆L ⋅E
∆σd
p
∆σd =
σ0-σl
L
式中：σ0——张拉端锚下控制张拉应力；
σl ——扣除沿途管道摩擦损失后锚固端预拉应力。
反摩阻影响长度L f 如表8所示。
表8 反摩阻影响长度计算表
当L f ≤L 时，离张拉端x 处由锚具变形、钢筋回缩和接缝压缩引起的考虑反摩阻后的预应力损失
∆σx 为：∆σx =∆σ⋅
L f -x L f
∆σ=2∆σd L f
当L f ≤x 时，表示该截面不受反摩阻的影响。
考虑反摩阻作用时钢束在各控制截面处的应力损失σl 2的计算列于表9。
表9 锚具变形损失计算表
由表9可以看出，考虑反摩阻计算的σl 2其分布规律比按平均值计算的σl 2更符合实际情况，因此，应力损失组合时以考虑反摩阻计算。
3． 分批张拉时混凝土弹性压缩引起的应力损失σl 4
设预应力钢束张拉的顺序为4→3→2→1。
σl 4=αEp ∑∆σ
pc
E p E c
1. 95⨯103. 25⨯10
54
式中：αEp ——预应力钢筋与混凝土弹性模量之比，αEp =
∆σ
==6；
pc
——计算截面先张拉的钢筋重心处，由后张拉的各批钢筋产生的混凝土法向应力；
N
N
pei e pi
∆σ
pc
=
pei
A
+
⋅e p
J
N
pei
——第i 束钢束的有效张拉力，为张拉控制应力减去摩擦损失和锚具变形损失后的张拉力，
N
pei
=(σcon -σl 1i -σl 2i ) a p 1，a p 1为一束预应力钢束的面积；
e pi ——第i 束钢束的重心到截面重心轴的距离； e p ——计算钢束的重心到截面重心轴的距离；
表10 混凝土弹性压缩损失计算表
12
4. 钢筋松驰引起的预应力损失σl 5
σl 5=ψ⋅ξ⋅(0. 52
σ
pe
f pk
-0. 26) ⋅σ
pe
式中：ψ——超张拉系数，取ψ=1.0；
ξ——钢筋松弛系数，取ξ=0.3；
σ
pe
——传力锚固时的钢筋应力，σ
pe
=σcon -σl 1-σl 2-σl 4。
钢筋松弛损失的计算结果见表11。
表11 钢筋松弛损失的计算结果表
5． 混凝土收缩、徐变引起的应力损失σl 6 取跨中截面进行计算。计算公式为：
σl 6=
0. 9E p εcs (t , t 0) +αEp σ
1+15ρρN p A
N p e p J
2
2
[
pc φ(t , t 0
)
]
ps
σ
pc
=+-
M Gk e p
J e ps A J
2
ρps =1+
e ps i
2
=1+
式中：σ
pc
——构件受拉区全部纵向钢筋截面重心处，由预加力N p （扣除相应的应力损失）
和结构自重
N
M Gk
产生的混凝土法向应力，
p
=(σcon -σl 1-σl 2-σl 4) A p ；
ρ——构件受拉区全部纵向钢筋配筋率, 不考虑普通钢筋时, ρ=
A p A
；
εcs (t , t ) ——预应力筋传力锚固龄期为t 0，计算龄期为t 时的混凝土收缩应变；
φ(t , t ) ——加载龄期为t 0，计算龄期为t 时混凝土徐变系数；
设预应力筋传力锚固龄期和加载龄期均为28天，计算时间为t =∞，该桥位于一般地区, 年平均相对湿度为75%,构件的理论厚度由跨中截面计算，可得:h =
2A c u
≈
2⨯0. 723⨯10
6. 402
3
=226mm , 由此查表可得: εcs (t , t 0) =0.215⨯10
-3
, φ(t , t ) =1.633。
混凝土收缩、徐变损失计算如表12所示。
表12 混凝土收缩、徐变损失计算表
6．预应力损失组合及有效预应力的确定如表13所示
表13 预应力损失组合表
六、正常使用极限状态计算
（一）全预应力混凝土构件抗裂性验算
1．正截面抗裂性验算
正截面抗裂性验算以跨中截面受拉边缘的正应力控制。在荷载短期效应组合作用下应满足：
σst -0. 85σ
pc
≤0
式中：σst ——荷载短期效应组合作用下截面受拉边的应力，
σst =
M G 1k J n 1
⋅y n 1x +
M G 2k J n 2
⋅y n 2x +
M G 3k +0. 7M Q 1k /(1+μ) +M Q 2k
J 0
⋅y 0x
J n 1、y n 1x 、J n 2、y n 2x 、J 0、y 0x 分别为阶段1、阶段2、阶段3的截面惯性矩和截
面重心至受拉边缘的距离，可由表13.7.6查取；
弯矩设计值M G 1k 、M G 2k 、M G 3k 、M Q 1k 、M Q 2k 可由表13.7.1和表13.7.2查取；
1+μ=1. 1188。
代入上式可得
σst =
1770. 76⨯100. 12885⨯10
612
⨯789. 8+
239. 15⨯100. 14654⨯10
612
⨯743. 8+
691. 94+0. 7⨯1676. 59/1. 1188+140. 94
0. 16496⨯10
12
⨯10⨯803. 6
6
=21．24MPa
σ
pc
为截面下边缘的有效预压应力：
N
p
σ
pc
=
A n
peII
+
N p e pn J n
y nx
6
N p =σA P =1121. 78⨯4448=4. 990⨯10N
e pn =y pn =649. 8mm
代入上式可得 σ
=
4. 990⨯10
66
pc
0. 5891⨯10
pc
+
4. 990⨯10⨯649. 80. 12885⨯10
12
6
⨯789. 8=28. 35MPa
σst -0. 85σ
=21. 24-0. 85⨯28. 35=-2. 86≤0
计算结果表明，正截面抗裂性满足要求。 2. 斜截面抗裂性验算
斜截面抗裂验算以主拉应力控制，一般取变化点截面计算其上梗肋、形心轴、下梗肋处在荷载短期效应组合作用下的主拉应力，应满足σtp ≤0. 6f tk 的要求。 σtp 为荷载短期效应组合作用下的主拉应力:
σcx
2
σtp =
-(
σcx
2
) +τ
22
M G 3k +0. 7M Q 1k /(1+μ) +M Q 2k
J 0S 0-
σcx =±σ
pc
M G 1k J n 1V G 2k bJ n 2
y n 1
M G 2k J n 2
y n 2 y 0
τ=
V G 1k bJ n 1
S n 1+S n 2+
V G 3k +0. 7V Q 1k /(1+μ) +V Q 2k
bJ 0
σ
pe
A pe sin θp bJ n 1
S n 1
上述公式中车辆荷载和人群荷载产生的内力值，按最大剪力布置荷载，即取最大剪力对应的弯矩值，其数值由表13.7.1～表13.7.3查取。变化点截面几何性质由表13.7.6查取。
各计算点的位置示意图。各计算点的部分断面几何性质按表14取值，表中A 1为图中阴影部分的面积，S 1为阴影部分对截面形心轴的面积矩，y x 1为阴影部分的形心到截面形心轴的距离，d 为计算点到截面形心轴的距离。
表14 计算点几何性质
变截面处的有效预压力 N P =σ
pe , II
A p =1107. 83⨯4448=4. 928⨯10N ；e pn =y pn =450. 6mm
6
预应力筋弯起角度分别为θp 1=5. 0645，θp 2=4. 5209，θp 3=θp 4=0. 6677，平均弯起角度为：θp =2. 7302。
将以上数值代入上式，分别计算上梗肋、形心轴、下梗肋处的主拉应力。 上梗肋处
σ
pc
=
4. 928⨯10
66
0. 5891⨯10
-
612
4. 928⨯10⨯450. 60. 1326⨯10
⨯287. 6+
12
612
6
⨯287. 6=3. 55MPa
σcx =3. 55+
+
941. 09⨯100. 1326⨯10
127. 10⨯100. 1432⨯10
⨯319. 5
367. 74+0. 7⨯1042. 85/1. 1188+64. 72
0. 1611⨯10
3
9
12
6
⨯10⨯260. 5=7. 63MPa
τ=
+-
166. 26⨯10⨯0. 1221⨯10
180⨯0. 1326⨯10
12
+
22. 46⨯10⨯0. 1313⨯10
180⨯0. 1432⨯10
3
12
39
9
64. 97+0. 7⨯226. 72/1. 1188+14. 07
180⨯0. 1611⨯10
12
⨯10⨯0. 1517⨯10
9
1107. 83⨯4448⨯sin 2. 7302⨯0. 1221⨯10
12
180⨯0. 1326⨯10
=0.92MPa
σtp =
7. 632
-(
7. 632
) +0. 92
22
=-0. 11MPa
形心轴处
σ
=
4. 928⨯10
66
pc
0. 5891⨯10
+
612
4. 928⨯10⨯450. 60. 1326⨯10
127. 10⨯100. 1432⨯10
9
6
12
⨯27. 0=8. 82MPa
σcx =8. 82-
941. 09⨯100. 1326⨯10
3
612
⨯27. 0-⨯59. 0=8. 57MPa
3
9
τ=
166. 26⨯10⨯0. 1295⨯10
180⨯0. 1326⨯10
12
+
22. 46⨯10⨯0. 1401⨯10
180⨯0. 1432⨯10
3
12
9
+-
64. 97+0. 7⨯226. 72/1. 1188+14. 07
180⨯0. 1611⨯10
12
⨯10⨯0. 1578⨯10
9
1107. 83⨯4448⨯sin 2. 7302⨯0. 1295⨯10
12
180⨯0. 1326⨯10
=0.95MPa
σtp =
下梗肋处
8. 572
-(
8. 572
) +0. 95
22
=-0. 10MPa
σ
pc
=
4. 928⨯100. 5891⨯10
66
+
4. 928⨯10⨯450. 60. 1326⨯10
612
6
12
⨯432. 4=15. 61MPa
σcx =15. 61-
-
941. 09⨯100. 1326⨯10
⨯432. 4-
127. 10⨯100. 1432⨯10
612
⨯400. 5
367. 74+0. 7⨯1042. 85/1. 1188+64. 72
0. 1611⨯10
3
9
12
6
⨯10⨯459. 5=9. 09MPa
τ=
166. 26⨯10⨯0. 1155⨯10
180⨯0. 1326⨯10
12
+
22. 46⨯10⨯0. 1237⨯10
180⨯0. 1432⨯10
3
12
12
39
9
+-
64. 97+0. 7⨯226. 72/1. 1188+14. 07
180⨯0. 1611⨯10
1107. 83⨯4448⨯sin 2. 7302
⨯10⨯0. 1358⨯10
9
⨯0. 1155⨯10
12
180⨯0. 1326⨯10
=0.81MPa
σtp =
9. 092
-(
9. 092
) +0. 81
22
=-0. 07MPa
主应力的计算结果表明，上梗肋处主拉应力最大，即σtp , max =-0. 11MPa 小于规范规定的限制值0. 7f tk =0. 7⨯2. 4=1. 68MPa ，说明斜截面抗裂性满足要求。
(二) 主梁变形(挠度) 计算
1. 使用阶段的挠度计算
使用阶段的挠度值，按短期荷载效应组合计算，并应考虑长期影响系数ηθ，对C40混
凝土，ηθ=1.60，刚度B 0=0. 95E c J 0。
预应力混凝土简支梁的挠度计算可忽略支点附近截面尺寸及配筋的变化，近似按等截面计算。截面刚度按跨中尺寸及配筋情况确定，即取
B 0=0. 95E c J 0=0. 95⨯3. 25⨯10⨯0. 1650⨯10
4
12
=0. 5093⨯10
16
N ⋅mm
2
荷载短期效应组合作用下的挠度值，可简化为按等效均布荷载作用情况计算：
f s =
548⨯M s L B 0
2
式中：M s =3891. 78⨯106N ⋅mm ，L =29160mm 则 f s =
548
⨯
3891. 78⨯10⨯29160
0. 5093⨯10
16
62
=67. 6mm
自重产生的挠度值按等效均布荷载作用情况计算：
f G =
548⨯M Gk L B 0
2
M Gk =M G 1k +M G 2k +M G 3k
=(1770. 76+239. 15+691. 94) ⨯10=2701. 85⨯10N ⋅mm
66
f G =
548
⨯
2701. 85⨯10⨯29160
0. 5093⨯10
16
62
=47. 0mm
消除自重产生的挠度，并考虑挠度长期影响系数后，使用阶段挠度值为
f l =ηθ(f s -f G ) =1. 60⨯(67. 6-47. 0) =32. 96mm
L 600
=
29160600
=48. 6mm
说明使用阶段的挠度值满足要求。
2. 验算是否需要设置预拱度 由预加力产生的反拱度
预加力引起的反拱度近似按等截面梁计算，截面刚度按跨中截面净截面确定，即取
B 0=0. 95E c J 0=0. 95⨯3. 25⨯10⨯0. 1288⨯10
4
12
=0. 3979⨯10
16
N ⋅mm
2
反拱长期增长系数采用ηθ=2.0。 预加力引起的跨中挠度为
f p =-ηθ⎰l
M 1M B 0
P
dx
式中：M 1——所求变形点作用竖向单位力P=1引起的弯矩图；
M
P
——预加力引起的弯矩图。
对等截面梁其变形值可用图乘法确定，在预加力作用下，跨中的反拱可按下式计算
f p =-ηθ
2ωML /2⋅M
B 0
p
ωML /2——跨中截面作用单位力P=1时，所产生的M 1图在半跨范围内的面积：
12
l 2
l 4
l
2
ωML /2=
M
⨯⨯=
16
p
——半跨范围M 1图重心（距支点L 处）所对应的预加力引起的弯矩图的纵坐标
M
p
=N p e p
N
p
——有效预加力，近似取L 4截面的有效应力
N p =σ
A p =1107. 89⨯4448=4. 928⨯10N
6
pe , II
e p ——距支点L 3处的预应力钢束的偏心距，
e p =y x 0-a p
y x 0——L 3截面处换算截面重心到下边缘的距离，y x 0=805. 5mm a p ——由表13.7.4中的曲线方程求得，a p =177. 25mm
则M
p
=N p e p =4. 928⨯10⨯(805. 5-177. 25) =3. 096⨯10N ⋅mm
69
由预加力产生的反拱为
2⨯
f p =-2. 0⨯
29160
2
0. 3979⨯10⨯16
⨯2. 972⨯10
9
=-165. 4mm
将预加力引起的反拱与按荷载短期组合效应影响产生的长期挠度值相比较，可知
f p =165. 4mm >ηθf s =1. 6⨯67. 6=108. 2mm
由于预加力引起的长期反拱值大于按荷载短期组合效应影响产生的长期挠度值，所以不必设置预拱度。
七、持久状况应力验算
按持久状况设计的预应力混凝土受弯构件，尚应计算其使用阶段正截面的法向应力、受拉钢筋的拉应力及斜截面的主压应力。计算时荷载取其标准值，不计分项安全系数，汽车荷载应考虑冲击系数。
1．跨中截面混凝土法向正应力验算
σkc
N p e pn 1M ⎡N p M G 1k M G 2k
=⎢-+++
W ns 1W ns 1W ns 2
⎣A n 1
pe , II
G 3k
+M
Q 1k
+M
Q 2k
W 0s
⎤
⎥≤0. 5f ck ⎦
N p =σA p =1121. 78⨯4448=4. 990⨯10N
6
e pn 1=y pn 1=649. 8mm
σkc =
4. 990⨯100. 5891⨯10
66
-
4. 990⨯10⨯649. 8
0. 2526⨯10
9
6
+
1770. 8⨯100. 2526⨯10
69
+
239. 1⨯10
69
0. 2634⨯10
+691. 9+1676. 6+140. 9⨯106=11. 10MPa ≤0. 5f =0. 5⨯26. 8=13. 4MPa
ck 9
0. 3323⨯10
2. 跨中截面预应力钢筋拉应力验算 σ
p
=σ
pe ,
+αep σkt ≤0. 65f pk
σkt 为按荷载效应标准值M GK （对后张法构件不包括主梁自重）计算的预应力钢筋重
心处混凝土的法向应力， σkt =
M G 2k +M G 3k +M Q 1k +M Q 2k
W 0p
=
σ
=σ
239. 1+691. 94+1676. 6+140. 9
0. 2486⨯10
pe , II
9
⨯10
6
=11. 06MPa
p
+αep σkt =1121. 78+6⨯11. 06=1188. 13MPa
≤0. 65f pk =0. 65⨯1860=1209MPa
3．斜截面主应力验算
一般取变化点截面计算其上梗肋、形心轴、下梗肋处在标准值效应组合作用下的主压应力，应满足σcp ≤0. 6f ck 的要求。
σcp 为荷载标准值效应组合作用下的主压应力:
σcp =
σcxk =±σ
V G 1k bJ n 1
σcxk
2y n 1
+M
(
σcxk
2
) +τk
M
G 3k
22
pc
M
G 1k G 2k
J n 1
V G 2k bJ n 2
J n 2
y n 2
+M
Q 1k
+M
Q 2k
J 0
S 0-
y 0
τk =S n 1+S n 2+
V G 3k +V Q 1k +V Q 2k
bJ 0
σ
pe , II
A pe sin θp bJ n 1
S n 1
上梗肋处
σ
. 928⨯10
6928⨯106
⨯450. 6pc
=
40. 5891⨯10
6
-
4. 0. 1326⨯10
12
⨯287. 6=3. 55MPa
6σ106cxk =3. 55+
941. 09⨯0. 1326⨯10
12
⨯287. 6+
127. 10⨯100. 1432⨯10
12
⨯319. 5
+
367. 74+1042. 85+64. 72
0. 1611⨯10
⨯106
12
⨯260. 5=8. 26MPa
3
3τ. 26⨯10⨯0. 1221⨯10
9
. 1313⨯109
K =
166180⨯0. 1326⨯10
12
+
22. 46⨯10⨯0180⨯0. 1432⨯10
12
+64. 97+226. 72+14. 073
9
180⨯0. 1611⨯10
12
⨯10⨯0. 1517⨯10
-
1107. 83⨯4448⨯sin 2. 73020
⨯0. 1221⨯10
9
180⨯0. 1326⨯10
12
=1.36MPa
σ8. 262cp =
2
+(
8. 262
) +1. 36
2
=8. 48MPa
形心轴处
6σ
=
4. 928⨯10
4. 928⨯106
⨯450. 6pc
0. 5891⨯10
6
+
0. 1326⨯10
12
⨯27. 0=8. 82MPa
6
σ⨯27. 0-
127. 10⨯106cxk =8. 82-
941. 09⨯100. 1326⨯10
12
0. 1432⨯10
12
⨯59. 0=8. 57MPa
26⨯103
⨯0. 1295⨯10
9
22. 46⨯103
⨯0. 1401⨯109
τ
k =
166. 180⨯0. 1326⨯10
12
+
180⨯0. 1432⨯10
12
+64. 97+226. 72+14. 073
180⨯0. 1611⨯10
12
⨯10⨯0. 1578⨯10
9
-
1107. 83⨯4448⨯sin 2. 73020
⨯0. 1295⨯10
9
180⨯0. 1326⨯10
12
=1.41MPa
σ8. 57. 5722
cp =
2
+(
82
) +1. 41
=8. 80MPa
下梗肋处
6σ
pc
=
4. 928⨯10106
⨯450. 60. 5891⨯10
6
+
4. 928⨯0. 1326⨯10
12
⨯432. 4=15. 61MPa 66σ941. 09⨯10127. 10⨯10cxk =15. 61-
0. 1326⨯10
12
⨯432. 4-
0. 1432⨯10
12
⨯400. 5
-
367. 74+1042. 85+64. 72
0. 1611⨯10
12
⨯106
⨯459. 5=7. 97MPa
21
τk =
166. 26⨯10⨯0. 1155⨯10
180⨯0. 1326⨯10
12
39
+
22. 46⨯10⨯0. 1237⨯10
180⨯0. 1432⨯10
3
12
39
+-
64. 97+226. 72+14. 07180⨯0. 1611⨯10
12
⨯10⨯0. 1358⨯10
9
9
1107. 83⨯4448⨯sin 2. 7302⨯0. 1155⨯10
12
180⨯0. 1326⨯10
=1.21MPa
σcp =
7. 972
+(
7. 972
) +1. 21
22
=8. 15MPa
主压应力的计算结果表明，上梗肋处主压应力最大，为σcp , max =8. 80MPa 小于规范规定的限制值0. 6f ck =0. 6⨯26. 8=16. 08MPa ，说明斜截面抗裂性满足要求。
八、短暂状态应力验算
预应力混凝土结构按短暂状态设计时，应计算构件在制造、运输及安装等施工阶段，由预加力（扣除相应的应力损失）、构件自重及其它施工荷载引起的截面应力。对简支梁，以跨中截面上、下缘混凝土法向应力控制。
1．上缘混凝土应力
σ
t ct
=
N
p 1
A n 1
-
N
p 1
e pn 1
W ns 1
+
M
G 1k
W ns 1
6
≤0. 7f tk
式中：N p 1=σpe , I A p =1265. 19⨯4448=5. 628⨯10N
e pn 1=y pn 1=649. 8mm
代入上式得：
σct =
t
5. 628⨯10
66
0. 5891⨯10
-
5. 628⨯10⨯649. 8
0. 2526⨯10
9
6
+
1770. 76⨯100. 2526⨯10
69
=2. 08MPa >0
2．下缘混凝土应力
σcc =
t
N
p 1
A n 1
+
N p 1e pn 1W nx 1
-
M G 1k W nx 1
≤0. 75f ck
代入数值计算得：
σ
t cc
=
5. 628⨯100. 5891⨯10
66
+
5. 628⨯10⨯649. 8
0. 1631⨯10
9
6
-
1770. 76⨯100. 1631⨯10
9
6
=21. 12MPa
计算结果表明，在预加应力阶段，梁的上缘不出现拉应力，下缘混凝土的压应力满足规范要求。
22
全预应力混凝土简支梁设计算例
一、设计资料
1. 桥梁跨径及桥宽
标准跨径：L k =30m （墩中心距），主梁全长：L =29.96m，计算跨径：L f =29.16m，桥面净宽：净9+2×1m 。 2. 设计荷载
公路—Ⅱ级车辆荷载，人群荷载3.5KN/m，结构重要性系数γ0=1. 1。
3. 材料性能参数 （1）混凝土
强度等级为C40，主要强度指标为： 强度标准值 f ck =26. 8MPa , f tk =2. 4MPa 强度设计值 f cd =18. 4MPa , f td =1. 65MPa 弹性模量 E c =3. 25⨯104MPa
⑵ 预应力钢筋采用1×7标准型_15.2_1860_II_GB/T 5224——1995钢绞线， 其强度 指标为：
抗拉强度标准值 f pk =1860MPa 抗拉强度设计值 f pd =1260MPa 弹性模量 E p =1. 95⨯10MPa 相对界限受压区高度 ξb =0. 4
⑶普通钢筋采用HRB335钢筋，其强度指标为： 抗拉强度标准值 f sk =335MPa 抗拉强度设计值 f sd =280MPa 弹性模量 E s =2. 0⨯10MPa 4. 主梁纵横截面布置 各部分截面尺寸
跨中截面毛截面几何性质为：截面面积A c =0.7018×10 mm ；截面重心至构件上缘的距离y cs =475.4
6
2
2
5
5
mm ； 截面重心至构件下缘的距离y cx =824.6 mm； 截面惯性矩J c =0.1548×1012 mm4
。
5. 内力计算
主梁内力计算的方法将在《桥梁工程》中进一步学习，在此仅列出内力计算的结果。 (1)恒载内力
按预应力混凝土分阶段受力的实际情况，恒载内力按下列三种情况分别计算： ①预制主梁（包括横隔梁） g 1=15. 3+1. 35=16. 66KN /m ②现浇混凝土板自重 g 2=2. 25KN /m
③后期恒载（包括桥面铺装、人行道及栏杆等） g 3=6. 27+0. 24=6. 51KN /m 恒载内力计算结果如表1所示。
表1 恒载内力计算结果
活载内力计算结果如表2所示。
表2 活载内力计算结果
注：车辆荷载按密集运行状态A 级车道荷载计算，冲击系数1+μ=1. 1188
。活载内力以2号梁为准。
(3)内力组合
①基本组合（用于承载能力极限状态计算）
M
d
=1. 2(M
G 1K
+M
G 2K
+M
G 3K
) +1. 4M
Q 1K
+1. 12M
Q 2K
V d =1. 2(V G 1K +V G 2K +V G 3K ) +1. 4V Q 1K +1. 12V Q 2K
②短期组合（用于正常使用极限状态计算） M
=(M
+M
+M
) +0. 7
M
Q 1K
s G 1K G 2K G 3K
1+u
+M
Q 2K
③长期组合（用于正常使用极限状态计算）
M
=(M
+M
+M
) +0. 4(
M
Q 1K
l G 1K G 2K G 3K
1+u
+M
Q 2K
)
内力组合结果如表3所示。
表3 内力组合计算结果
二、预应力钢筋数量的确定及布置
首先根据跨中截面正截面抗裂要求，确定预应力钢筋数量。为满足抗裂要求，所需的有效预加力为：
M
N
pe
s
≥0. 85(
W 1A +e p W )
M s 为荷载短期效应弯矩组合设计值，由表13.7.3查得M s =3891. 78KN ⋅m ，估算钢筋数量时，
可近似采用毛截面几何性质。
e p 为预应力钢筋重心至毛截面重心的距离，e p =y cx -a p 。
假设a p =150mm ，则e p =
824. 6-150=674. 6mm W =W x =J c y cx =0. 1548⨯10
3891. 78⨯10
N
pe
6
12
824. 6=0. 1878⨯10mm
93
6≥=4. 860⨯10N
1674. 6
0. 85(+) 69
0. 7018⨯100. 1878⨯10
S
9
拟采用φ15. 2钢绞线，单根钢绞线的公称截面面积A p 1=139mm , 抗拉强度标准值
f pk =1860MPa ，张拉控制应力取σcon =0. 75f pk =1395MPa ，预应力损失按张拉控制应力的20%
2
估算。
所需预应力钢绞线的根数为
n p =
N
pe
(1-20%)σcon A p 1
S
=
4. 860⨯10
6
(1-20%)⨯1395⨯139
=31. 3根，取32根。
采用4束8φ15. 2预应力钢绞线束，则预应力钢筋截面面积A p =32⨯139=4448mm 。采用HVM15-8型锚具，φ80金属波纹管成孔，预留孔道直径为85mm 。预应力筋束的布置。
预应力钢筋采用抛物线形式弯起，抛物线方程、弯起点距跨中的距离及曲线水平长度如表4。
表4 预应力钢筋弯起的抛物线方程、弯起点距跨中的距离及曲线水平长度
2
坐标。
注：表中曲线方程以截面底边为
坐标，以过弯起点的垂线为各计算截面预应力钢束的位置和倾角如表5所示。
表5 预应力钢束的位置和倾角
三、截面几何性质计算
截面几何性质应根据不同受力阶段分别计算。 1. 主梁混凝土浇筑，预应力钢筋张拉（阶段I ）
混凝土浇筑并达到设计强度后，进行预应力钢筋的张拉，此时管道尚未灌浆，因此，其截面几何性质应为扣除预应力筋预留孔道影响的净截面。该阶段顶板的宽度为1600mm 。
2. 灌浆封锚，吊装并现浇顶板600mm 的连接段（阶段2）
预应力筋束张拉完毕并进行管道灌浆，预应力筋束已经参与受力。再将主梁吊装就位，并现浇顶板600mm 的连接段，该段的自重荷载由上一阶段的截面承受，此时，截面几何性质应为计入预应力钢筋的换算截面性质，但该阶段顶板的宽度仍为1600mm 。
3. 桥面铺装等后期恒载及活荷载作用（阶段3）
该阶段主梁全截面参与工作，顶板的宽度为2200mm ，截面几何性质为计入预应力钢筋的换算截面性质。
各阶段几何性质计算结果如表6所示。
表6 各截面几何性质汇总表
四、承载能力极限状态计算
（一）跨中截面正截面承载力计算
跨中截面尺寸及配筋如图13.7.2所示。此时h p =h -a p =1300-140=1160mm ；b =180mm ； 上翼缘板的平均厚度为h f =150+⎢2⨯⨯410⨯80/(2200-180) ⎥=166mm ；上翼缘板的有效宽度取
'
⎡1⎤
⎣2⎦下列数值中的较小值：
b '
f ≤s =2200mm ；
b '
f ≤L f 3=291603=9720mm
b '
'
f ≤b +12h f =180+12⨯166=2172mm
综合上述计算结果，取b '
f =2172mm 首先判别T 梁类型
由于f '
'
cd b f h f =18. 4⨯2172⨯166=6. 634⨯106
N
f 6
pd A p =1260⨯4448=5. 604⨯10N
所以f ' '
cd b f h f >f pd A p , 说明该梁为第一类T 梁。 由力的平衡条件求混凝土受压区高度：
f '
cd b f x =f pd A p
得:x =
f pd A p ⨯4448'
f cd b '
=
1260f
18. 4⨯2172
=140. 2mm
且x =140. 2mm
说明x 轴位于受压翼缘内，且不是超筋梁，满足设计要求。
预应力钢束重心取矩得构件的抗弯承载力为： M
'
du
=f cd b f x (h o -
x 2
) =18. 4⨯2172⨯140. 2⨯(1160-
140. 22
) =6106. 8⨯106
N ⋅m m
=6106. 8KN ⋅m >γ0M
d
=5744. 48KN ⋅m
说明正截面抗弯强度满足要求。 （二）斜截面抗剪强度计算
由于变化点截面腹板宽度改变, 并且该位置剪力、弯矩均较大, 所以取变化点截面进行 计算。
1.复核主梁的截面尺寸
《公路桥规》规定,T 形截面梁当进行斜截面抗剪强度设计时, 其截面尺寸应满足
γ-3
0V d ≤0. 051⨯10
f cu , k bh o
的要求。
由于a p =331. 8mm ，所以h o =h -a p =1130-331. 8=968. 2mm 代入上式得： 0. 51⨯10-3
f cu , k bh o =0. 51⨯10
-3
40⨯180⨯968. 2=562. 131KN
由于预应力对结构的抗剪有利, 因此可考虑预应力的有利影响。即: V pb =0. 75⨯10-3f pd
∑A
pb
sin θp =0. 75⨯10
-3
⨯1260⨯4448⨯sin 2. 7302=200. 1KN
所以:γ0V d -V pb =637. 31-200. 1=437. 21KN
说明截面尺寸满足要求。
2. 验算是否需要进行斜截面抗剪强度的计算
f cu , k bh o =562. 131KN
《公路桥规》规定, 若γ0V d ≤0. 5⨯10-3α2f td bh o 则不需要进行斜截面抗剪强度计算, 仅需按构造要求配置箍筋。
由于 0. 5⨯10α2f td bh o =0. 5⨯10
-3
-3
⨯1. 25⨯1. 65⨯180⨯968. 2
=179. 73KN
3.箍筋设计
《公路桥规》规定, 主梁斜截面强度按下式计算:
γ0V d ≤V cs +V pb =0. 45⨯10
-3
α1α2α3bh 0(2+0. 6p ) f cu , k ρsV f sd , V +0. 75⨯10
-3
f pd ∑A pb sin θp
式
中:p为斜截面内受拉纵筋的配筋率 p =100ρ=100⨯
A p +A pb
bh o
=100⨯
4448180⨯968. 2
=2. 552
f sd , V 为箍筋的抗拉设计强度, 取f sd , V =280MPa V pb =200. 1KN
代入上式得:
637. 31=0. 45⨯10
-3
⨯1. 0⨯1. 25⨯1. 1⨯180⨯968. 2⨯
(2+0. 6⨯2. 552) 40⨯280ρsV +200. 1 解
得:ρsV =0. 0026>ρsV
min
=0. 0012，满足最小配箍率的要求。
2
设取φÅ8的单箍双肢箍筋, 则a sV =50. 3mm , n =2, 所以： s V =
A sV b ρsV
=
2⨯50. 3180⨯0. 0026
=215mm
取s V =200mm ， 由于s V =200mm 小于计要求。
验算斜截面抗剪强度
此时ρs V =
A sV bs V
=
2⨯50. 3180⨯200
-3
12
h =
12
⨯1300=650mm , 且小 于 400mm,所以满足设
=0. 00279
V du =V cs +V pb =0. 45⨯10α1α2α3bh 0(2+0. 6p ) f cu , k ρsV f sd , V +0. 75⨯10
-3
f pd ∑A pb sin θp
=0. 45⨯10
-3
⨯1. 0⨯1. 25⨯1. 1⨯180⨯968. 2⨯
(2+0. 6⨯2. 552) 40⨯280⨯0. 00279+200. 1
=450. 413+200. 1=650. 513KN >γ0V d =637. 31KN
说明斜截面抗剪强度满足要求。
距支点相当于一倍梁高范围内箍筋加密, 取s V =100mm 。
(三) 斜截面抗弯强度验算
由于钢束均锚于梁端, 数量上沿梁跨没有变化, 并且钢束的弯起缓和, 可以不进行该项强度的验算。
五、预应力损失计算
1．钢束与管道间摩擦引起的应力损失σl 1
σl 1=σcon [1-e
-(μθ+kx )
]
式中：σcon ——按《公路桥规》规定，σcon =0. 75f pk =0. 75⨯1860=1395MPa ；
μ——钢束与管道间的摩擦系数，μ=0. 25;
k ——管道每米局部偏差对摩擦的影响系数，k =0. 0015；
x ——张拉端至计算截面的管道长度在纵轴上的投影长，以m 计；
θ——张拉端至计算截面间曲线管道部分的切线夹角之和，以弧度计。 各控制截面摩阻应力损失σl 1的计算见表7。
表7 跨中（I —I ）截面各钢束摩擦损失值σl 1计算表
2． 锚具变形、钢丝回缩引起的应力损失σl 2 ①按《公路桥规》规定，σl 2可按平均值计算，即
σl 2=
∑∆L E
L
p
式中：∆L ——锚具变形量，两端同时张拉时，∆L =4mm ; L ——张拉端到锚固端之间的距离，L =14800mm 。
σl 2=
∑∆L E
L
p
=
414800
⨯10=52. 70MPa
5
②考虑反摩阻作用时钢束在各控制截面处的应力损失σl 2的计算
要进行考虑反摩阻作用时钢束在控制截面处的应力损失σl 2的计算，需首先确定反摩阻影响长度
L f 。
L f =
∑∆L ⋅E
∆σd
p
∆σd =
σ0-σl
L
式中：σ0——张拉端锚下控制张拉应力；
σl ——扣除沿途管道摩擦损失后锚固端预拉应力。
反摩阻影响长度L f 如表8所示。
表8 反摩阻影响长度计算表
当L f ≤L 时，离张拉端x 处由锚具变形、钢筋回缩和接缝压缩引起的考虑反摩阻后的预应力损失
∆σx 为：∆σx =∆σ⋅
L f -x L f
∆σ=2∆σd L f
当L f ≤x 时，表示该截面不受反摩阻的影响。
考虑反摩阻作用时钢束在各控制截面处的应力损失σl 2的计算列于表9。
表9 锚具变形损失计算表
由表9可以看出，考虑反摩阻计算的σl 2其分布规律比按平均值计算的σl 2更符合实际情况，因此，应力损失组合时以考虑反摩阻计算。
3． 分批张拉时混凝土弹性压缩引起的应力损失σl 4
设预应力钢束张拉的顺序为4→3→2→1。
σl 4=αEp ∑∆σ
pc
E p E c
1. 95⨯103. 25⨯10
54
式中：αEp ——预应力钢筋与混凝土弹性模量之比，αEp =
∆σ
==6；
pc
——计算截面先张拉的钢筋重心处，由后张拉的各批钢筋产生的混凝土法向应力；
N
N
pei e pi
∆σ
pc
=
pei
A
+
⋅e p
J
N
pei
——第i 束钢束的有效张拉力，为张拉控制应力减去摩擦损失和锚具变形损失后的张拉力，
N
pei
=(σcon -σl 1i -σl 2i ) a p 1，a p 1为一束预应力钢束的面积；
e pi ——第i 束钢束的重心到截面重心轴的距离； e p ——计算钢束的重心到截面重心轴的距离；
表10 混凝土弹性压缩损失计算表
12
4. 钢筋松驰引起的预应力损失σl 5
σl 5=ψ⋅ξ⋅(0. 52
σ
pe
f pk
-0. 26) ⋅σ
pe
式中：ψ——超张拉系数，取ψ=1.0；
ξ——钢筋松弛系数，取ξ=0.3；
σ
pe
——传力锚固时的钢筋应力，σ
pe
=σcon -σl 1-σl 2-σl 4。
钢筋松弛损失的计算结果见表11。
表11 钢筋松弛损失的计算结果表
5． 混凝土收缩、徐变引起的应力损失σl 6 取跨中截面进行计算。计算公式为：
σl 6=
0. 9E p εcs (t , t 0) +αEp σ
1+15ρρN p A
N p e p J
2
2
[
pc φ(t , t 0
)
]
ps
σ
pc
=+-
M Gk e p
J e ps A J
2
ρps =1+
e ps i
2
=1+
式中：σ
pc
——构件受拉区全部纵向钢筋截面重心处，由预加力N p （扣除相应的应力损失）
和结构自重
N
M Gk
产生的混凝土法向应力，
p
=(σcon -σl 1-σl 2-σl 4) A p ；
ρ——构件受拉区全部纵向钢筋配筋率, 不考虑普通钢筋时, ρ=
A p A
；
εcs (t , t ) ——预应力筋传力锚固龄期为t 0，计算龄期为t 时的混凝土收缩应变；
φ(t , t ) ——加载龄期为t 0，计算龄期为t 时混凝土徐变系数；
设预应力筋传力锚固龄期和加载龄期均为28天，计算时间为t =∞，该桥位于一般地区, 年平均相对湿度为75%,构件的理论厚度由跨中截面计算，可得:h =
2A c u
≈
2⨯0. 723⨯10
6. 402
3
=226mm , 由此查表可得: εcs (t , t 0) =0.215⨯10
-3
, φ(t , t ) =1.633。
混凝土收缩、徐变损失计算如表12所示。
表12 混凝土收缩、徐变损失计算表
6．预应力损失组合及有效预应力的确定如表13所示
表13 预应力损失组合表
六、正常使用极限状态计算
（一）全预应力混凝土构件抗裂性验算
1．正截面抗裂性验算
正截面抗裂性验算以跨中截面受拉边缘的正应力控制。在荷载短期效应组合作用下应满足：
σst -0. 85σ
pc
≤0
式中：σst ——荷载短期效应组合作用下截面受拉边的应力，
σst =
M G 1k J n 1
⋅y n 1x +
M G 2k J n 2
⋅y n 2x +
M G 3k +0. 7M Q 1k /(1+μ) +M Q 2k
J 0
⋅y 0x
J n 1、y n 1x 、J n 2、y n 2x 、J 0、y 0x 分别为阶段1、阶段2、阶段3的截面惯性矩和截
面重心至受拉边缘的距离，可由表13.7.6查取；
弯矩设计值M G 1k 、M G 2k 、M G 3k 、M Q 1k 、M Q 2k 可由表13.7.1和表13.7.2查取；
1+μ=1. 1188。
代入上式可得
σst =
1770. 76⨯100. 12885⨯10
612
⨯789. 8+
239. 15⨯100. 14654⨯10
612
⨯743. 8+
691. 94+0. 7⨯1676. 59/1. 1188+140. 94
0. 16496⨯10
12
⨯10⨯803. 6
6
=21．24MPa
σ
pc
为截面下边缘的有效预压应力：
N
p
σ
pc
=
A n
peII
+
N p e pn J n
y nx
6
N p =σA P =1121. 78⨯4448=4. 990⨯10N
e pn =y pn =649. 8mm
代入上式可得 σ
=
4. 990⨯10
66
pc
0. 5891⨯10
pc
+
4. 990⨯10⨯649. 80. 12885⨯10
12
6
⨯789. 8=28. 35MPa
σst -0. 85σ
=21. 24-0. 85⨯28. 35=-2. 86≤0
计算结果表明，正截面抗裂性满足要求。 2. 斜截面抗裂性验算
斜截面抗裂验算以主拉应力控制，一般取变化点截面计算其上梗肋、形心轴、下梗肋处在荷载短期效应组合作用下的主拉应力，应满足σtp ≤0. 6f tk 的要求。 σtp 为荷载短期效应组合作用下的主拉应力:
σcx
2
σtp =
-(
σcx
2
) +τ
22
M G 3k +0. 7M Q 1k /(1+μ) +M Q 2k
J 0S 0-
σcx =±σ
pc
M G 1k J n 1V G 2k bJ n 2
y n 1
M G 2k J n 2
y n 2 y 0
τ=
V G 1k bJ n 1
S n 1+S n 2+
V G 3k +0. 7V Q 1k /(1+μ) +V Q 2k
bJ 0
σ
pe
A pe sin θp bJ n 1
S n 1
上述公式中车辆荷载和人群荷载产生的内力值，按最大剪力布置荷载，即取最大剪力对应的弯矩值，其数值由表13.7.1～表13.7.3查取。变化点截面几何性质由表13.7.6查取。
各计算点的位置示意图。各计算点的部分断面几何性质按表14取值，表中A 1为图中阴影部分的面积，S 1为阴影部分对截面形心轴的面积矩，y x 1为阴影部分的形心到截面形心轴的距离，d 为计算点到截面形心轴的距离。
表14 计算点几何性质
变截面处的有效预压力 N P =σ
pe , II
A p =1107. 83⨯4448=4. 928⨯10N ；e pn =y pn =450. 6mm
6
预应力筋弯起角度分别为θp 1=5. 0645，θp 2=4. 5209，θp 3=θp 4=0. 6677，平均弯起角度为：θp =2. 7302。
将以上数值代入上式，分别计算上梗肋、形心轴、下梗肋处的主拉应力。 上梗肋处
σ
pc
=
4. 928⨯10
66
0. 5891⨯10
-
612
4. 928⨯10⨯450. 60. 1326⨯10
⨯287. 6+
12
612
6
⨯287. 6=3. 55MPa
σcx =3. 55+
+
941. 09⨯100. 1326⨯10
127. 10⨯100. 1432⨯10
⨯319. 5
367. 74+0. 7⨯1042. 85/1. 1188+64. 72
0. 1611⨯10
3
9
12
6
⨯10⨯260. 5=7. 63MPa
τ=
+-
166. 26⨯10⨯0. 1221⨯10
180⨯0. 1326⨯10
12
+
22. 46⨯10⨯0. 1313⨯10
180⨯0. 1432⨯10
3
12
39
9
64. 97+0. 7⨯226. 72/1. 1188+14. 07
180⨯0. 1611⨯10
12
⨯10⨯0. 1517⨯10
9
1107. 83⨯4448⨯sin 2. 7302⨯0. 1221⨯10
12
180⨯0. 1326⨯10
=0.92MPa
σtp =
7. 632
-(
7. 632
) +0. 92
22
=-0. 11MPa
形心轴处
σ
=
4. 928⨯10
66
pc
0. 5891⨯10
+
612
4. 928⨯10⨯450. 60. 1326⨯10
127. 10⨯100. 1432⨯10
9
6
12
⨯27. 0=8. 82MPa
σcx =8. 82-
941. 09⨯100. 1326⨯10
3
612
⨯27. 0-⨯59. 0=8. 57MPa
3
9
τ=
166. 26⨯10⨯0. 1295⨯10
180⨯0. 1326⨯10
12
+
22. 46⨯10⨯0. 1401⨯10
180⨯0. 1432⨯10
3
12
9
+-
64. 97+0. 7⨯226. 72/1. 1188+14. 07
180⨯0. 1611⨯10
12
⨯10⨯0. 1578⨯10
9
1107. 83⨯4448⨯sin 2. 7302⨯0. 1295⨯10
12
180⨯0. 1326⨯10
=0.95MPa
σtp =
下梗肋处
8. 572
-(
8. 572
) +0. 95
22
=-0. 10MPa
σ
pc
=
4. 928⨯100. 5891⨯10
66
+
4. 928⨯10⨯450. 60. 1326⨯10
612
6
12
⨯432. 4=15. 61MPa
σcx =15. 61-
-
941. 09⨯100. 1326⨯10
⨯432. 4-
127. 10⨯100. 1432⨯10
612
⨯400. 5
367. 74+0. 7⨯1042. 85/1. 1188+64. 72
0. 1611⨯10
3
9
12
6
⨯10⨯459. 5=9. 09MPa
τ=
166. 26⨯10⨯0. 1155⨯10
180⨯0. 1326⨯10
12
+
22. 46⨯10⨯0. 1237⨯10
180⨯0. 1432⨯10
3
12
12
39
9
+-
64. 97+0. 7⨯226. 72/1. 1188+14. 07
180⨯0. 1611⨯10
1107. 83⨯4448⨯sin 2. 7302
⨯10⨯0. 1358⨯10
9
⨯0. 1155⨯10
12
180⨯0. 1326⨯10
=0.81MPa
σtp =
9. 092
-(
9. 092
) +0. 81
22
=-0. 07MPa
主应力的计算结果表明，上梗肋处主拉应力最大，即σtp , max =-0. 11MPa 小于规范规定的限制值0. 7f tk =0. 7⨯2. 4=1. 68MPa ，说明斜截面抗裂性满足要求。
(二) 主梁变形(挠度) 计算
1. 使用阶段的挠度计算
使用阶段的挠度值，按短期荷载效应组合计算，并应考虑长期影响系数ηθ，对C40混
凝土，ηθ=1.60，刚度B 0=0. 95E c J 0。
预应力混凝土简支梁的挠度计算可忽略支点附近截面尺寸及配筋的变化，近似按等截面计算。截面刚度按跨中尺寸及配筋情况确定，即取
B 0=0. 95E c J 0=0. 95⨯3. 25⨯10⨯0. 1650⨯10
4
12
=0. 5093⨯10
16
N ⋅mm
2
荷载短期效应组合作用下的挠度值，可简化为按等效均布荷载作用情况计算：
f s =
548⨯M s L B 0
2
式中：M s =3891. 78⨯106N ⋅mm ，L =29160mm 则 f s =
548
⨯
3891. 78⨯10⨯29160
0. 5093⨯10
16
62
=67. 6mm
自重产生的挠度值按等效均布荷载作用情况计算：
f G =
548⨯M Gk L B 0
2
M Gk =M G 1k +M G 2k +M G 3k
=(1770. 76+239. 15+691. 94) ⨯10=2701. 85⨯10N ⋅mm
66
f G =
548
⨯
2701. 85⨯10⨯29160
0. 5093⨯10
16
62
=47. 0mm
消除自重产生的挠度，并考虑挠度长期影响系数后，使用阶段挠度值为
f l =ηθ(f s -f G ) =1. 60⨯(67. 6-47. 0) =32. 96mm
L 600
=
29160600
=48. 6mm
说明使用阶段的挠度值满足要求。
2. 验算是否需要设置预拱度 由预加力产生的反拱度
预加力引起的反拱度近似按等截面梁计算，截面刚度按跨中截面净截面确定，即取
B 0=0. 95E c J 0=0. 95⨯3. 25⨯10⨯0. 1288⨯10
4
12
=0. 3979⨯10
16
N ⋅mm
2
反拱长期增长系数采用ηθ=2.0。 预加力引起的跨中挠度为
f p =-ηθ⎰l
M 1M B 0
P
dx
式中：M 1——所求变形点作用竖向单位力P=1引起的弯矩图；
M
P
——预加力引起的弯矩图。
对等截面梁其变形值可用图乘法确定，在预加力作用下，跨中的反拱可按下式计算
f p =-ηθ
2ωML /2⋅M
B 0
p
ωML /2——跨中截面作用单位力P=1时，所产生的M 1图在半跨范围内的面积：
12
l 2
l 4
l
2
ωML /2=
M
⨯⨯=
16
p
——半跨范围M 1图重心（距支点L 处）所对应的预加力引起的弯矩图的纵坐标
M
p
=N p e p
N
p
——有效预加力，近似取L 4截面的有效应力
N p =σ
A p =1107. 89⨯4448=4. 928⨯10N
6
pe , II
e p ——距支点L 3处的预应力钢束的偏心距，
e p =y x 0-a p
y x 0——L 3截面处换算截面重心到下边缘的距离，y x 0=805. 5mm a p ——由表13.7.4中的曲线方程求得，a p =177. 25mm
则M
p
=N p e p =4. 928⨯10⨯(805. 5-177. 25) =3. 096⨯10N ⋅mm
69
由预加力产生的反拱为
2⨯
f p =-2. 0⨯
29160
2
0. 3979⨯10⨯16
⨯2. 972⨯10
9
=-165. 4mm
将预加力引起的反拱与按荷载短期组合效应影响产生的长期挠度值相比较，可知
f p =165. 4mm >ηθf s =1. 6⨯67. 6=108. 2mm
由于预加力引起的长期反拱值大于按荷载短期组合效应影响产生的长期挠度值，所以不必设置预拱度。
七、持久状况应力验算
按持久状况设计的预应力混凝土受弯构件，尚应计算其使用阶段正截面的法向应力、受拉钢筋的拉应力及斜截面的主压应力。计算时荷载取其标准值，不计分项安全系数，汽车荷载应考虑冲击系数。
1．跨中截面混凝土法向正应力验算
σkc
N p e pn 1M ⎡N p M G 1k M G 2k
=⎢-+++
W ns 1W ns 1W ns 2
⎣A n 1
pe , II
G 3k
+M
Q 1k
+M
Q 2k
W 0s
⎤
⎥≤0. 5f ck ⎦
N p =σA p =1121. 78⨯4448=4. 990⨯10N
6
e pn 1=y pn 1=649. 8mm
σkc =
4. 990⨯100. 5891⨯10
66
-
4. 990⨯10⨯649. 8
0. 2526⨯10
9
6
+
1770. 8⨯100. 2526⨯10
69
+
239. 1⨯10
69
0. 2634⨯10
+691. 9+1676. 6+140. 9⨯106=11. 10MPa ≤0. 5f =0. 5⨯26. 8=13. 4MPa
ck 9
0. 3323⨯10
2. 跨中截面预应力钢筋拉应力验算 σ
p
=σ
pe ,
+αep σkt ≤0. 65f pk
σkt 为按荷载效应标准值M GK （对后张法构件不包括主梁自重）计算的预应力钢筋重
心处混凝土的法向应力， σkt =
M G 2k +M G 3k +M Q 1k +M Q 2k
W 0p
=
σ
=σ
239. 1+691. 94+1676. 6+140. 9
0. 2486⨯10
pe , II
9
⨯10
6
=11. 06MPa
p
+αep σkt =1121. 78+6⨯11. 06=1188. 13MPa
≤0. 65f pk =0. 65⨯1860=1209MPa
3．斜截面主应力验算
一般取变化点截面计算其上梗肋、形心轴、下梗肋处在标准值效应组合作用下的主压应力，应满足σcp ≤0. 6f ck 的要求。
σcp 为荷载标准值效应组合作用下的主压应力:
σcp =
σcxk =±σ
V G 1k bJ n 1
σcxk
2y n 1
+M
(
σcxk
2
) +τk
M
G 3k
22
pc
M
G 1k G 2k
J n 1
V G 2k bJ n 2
J n 2
y n 2
+M
Q 1k
+M
Q 2k
J 0
S 0-
y 0
τk =S n 1+S n 2+
V G 3k +V Q 1k +V Q 2k
bJ 0
σ
pe , II
A pe sin θp bJ n 1
S n 1
上梗肋处
σ
. 928⨯10
6928⨯106
⨯450. 6pc
=
40. 5891⨯10
6
-
4. 0. 1326⨯10
12
⨯287. 6=3. 55MPa
6σ106cxk =3. 55+
941. 09⨯0. 1326⨯10
12
⨯287. 6+
127. 10⨯100. 1432⨯10
12
⨯319. 5
+
367. 74+1042. 85+64. 72
0. 1611⨯10
⨯106
12
⨯260. 5=8. 26MPa
3
3τ. 26⨯10⨯0. 1221⨯10
9
. 1313⨯109
K =
166180⨯0. 1326⨯10
12
+
22. 46⨯10⨯0180⨯0. 1432⨯10
12
+64. 97+226. 72+14. 073
9
180⨯0. 1611⨯10
12
⨯10⨯0. 1517⨯10
-
1107. 83⨯4448⨯sin 2. 73020
⨯0. 1221⨯10
9
180⨯0. 1326⨯10
12
=1.36MPa
σ8. 262cp =
2
+(
8. 262
) +1. 36
2
=8. 48MPa
形心轴处
6σ
=
4. 928⨯10
4. 928⨯106
⨯450. 6pc
0. 5891⨯10
6
+
0. 1326⨯10
12
⨯27. 0=8. 82MPa
6
σ⨯27. 0-
127. 10⨯106cxk =8. 82-
941. 09⨯100. 1326⨯10
12
0. 1432⨯10
12
⨯59. 0=8. 57MPa
26⨯103
⨯0. 1295⨯10
9
22. 46⨯103
⨯0. 1401⨯109
τ
k =
166. 180⨯0. 1326⨯10
12
+
180⨯0. 1432⨯10
12
+64. 97+226. 72+14. 073
180⨯0. 1611⨯10
12
⨯10⨯0. 1578⨯10
9
-
1107. 83⨯4448⨯sin 2. 73020
⨯0. 1295⨯10
9
180⨯0. 1326⨯10
12
=1.41MPa
σ8. 57. 5722
cp =
2
+(
82
) +1. 41
=8. 80MPa
下梗肋处
6σ
pc
=
4. 928⨯10106
⨯450. 60. 5891⨯10
6
+
4. 928⨯0. 1326⨯10
12
⨯432. 4=15. 61MPa 66σ941. 09⨯10127. 10⨯10cxk =15. 61-
0. 1326⨯10
12
⨯432. 4-
0. 1432⨯10
12
⨯400. 5
-
367. 74+1042. 85+64. 72
0. 1611⨯10
12
⨯106
⨯459. 5=7. 97MPa
21
τk =
166. 26⨯10⨯0. 1155⨯10
180⨯0. 1326⨯10
12
39
+
22. 46⨯10⨯0. 1237⨯10
180⨯0. 1432⨯10
3
12
39
+-
64. 97+226. 72+14. 07180⨯0. 1611⨯10
12
⨯10⨯0. 1358⨯10
9
9
1107. 83⨯4448⨯sin 2. 7302⨯0. 1155⨯10
12
180⨯0. 1326⨯10
=1.21MPa
σcp =
7. 972
+(
7. 972
) +1. 21
22
=8. 15MPa
主压应力的计算结果表明，上梗肋处主压应力最大，为σcp , max =8. 80MPa 小于规范规定的限制值0. 6f ck =0. 6⨯26. 8=16. 08MPa ，说明斜截面抗裂性满足要求。
八、短暂状态应力验算
预应力混凝土结构按短暂状态设计时，应计算构件在制造、运输及安装等施工阶段，由预加力（扣除相应的应力损失）、构件自重及其它施工荷载引起的截面应力。对简支梁，以跨中截面上、下缘混凝土法向应力控制。
1．上缘混凝土应力
σ
t ct
=
N
p 1
A n 1
-
N
p 1
e pn 1
W ns 1
+
M
G 1k
W ns 1
6
≤0. 7f tk
式中：N p 1=σpe , I A p =1265. 19⨯4448=5. 628⨯10N
e pn 1=y pn 1=649. 8mm
代入上式得：
σct =
t
5. 628⨯10
66
0. 5891⨯10
-
5. 628⨯10⨯649. 8
0. 2526⨯10
9
6
+
1770. 76⨯100. 2526⨯10
69
=2. 08MPa >0
2．下缘混凝土应力
σcc =
t
N
p 1
A n 1
+
N p 1e pn 1W nx 1
-
M G 1k W nx 1
≤0. 75f ck
代入数值计算得：
σ
t cc
=
5. 628⨯100. 5891⨯10
66
+
5. 628⨯10⨯649. 8
0. 1631⨯10
9
6
-
1770. 76⨯100. 1631⨯10
9
6
=21. 12MPa
计算结果表明，在预加应力阶段，梁的上缘不出现拉应力，下缘混凝土的压应力满足规范要求。
22