第十二部分：解三角函数方程
【正弦方程题型解法设计】
【题型一】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第一象限角时：
；
（2）、当
为第二象限角时：
。
【题型二】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第三象限角时：
；
（2）、当
为第四象限角时：
。
【题型三】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第一象限角时：
；
（2）、当
为第二象限角时：
。
【题型四】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第三象限角时：
；
（2）、当
为第四象限角时：
。
【题型五】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第一象限角时：
；
（2）、当
为第二象限角时：
。
【题型六】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第三象限角时：
；
（2）、当
为第四象限角时：
。
【题型七】：解方程：
；
【解法设计】：
。
【题型八】：解方程：
；
【解法设计】：
。
【题型九】：解方程：
；
【解法设计】：
。
【余弦方程题型解法设计】
【题型一】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第一象限角时：
；
（2）、当
为第四象限角时：
。
【题型二】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第二象限角时：
；
（2）、当
为第三象限角时：
。
【题型三】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第一象限角时：
；
（2）、当
为第四象限角时：
。
【题型四】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第二象限角时：
；
（2）、当
为第三象限角时：
。
【题型五】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第一象限角时：
；
（2）、当
为第四象限角时：
。
【题型六】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第二象限角时：
；
（2）、当
为第三象限角时：
。
【题型七】：解方程：
；
【解法设计】：
。
【题型八】：解方程：
；
【解法设计】：
。
【题型九】：解方程：
；
【解法设计】：
。
【正切方程题型解法设计】
【题型一】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第一象限角时：
；
（2）、当
为第三象限角时：
。
【题型二】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第二象限角时：
；
（2）、当
为第四象限角时：
。
【题型三】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第一象限角时：
；
（2）、当
为第三象限角时：
。
【题型四】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第二象限角时：
；
（2）、当
为第四象限角时：
。
【题型五】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第一象限角时：
；
（2）、当
为第三象限角时：
。
【题型六】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第二象限角时：
；
（2）、当
为第四象限角时：
。
【题型七】：解方程：
；
【解法设计】：
。
【解三角函数方程的相关例题】
【例题一】：【2016年高考数学江苏卷第9题】定义在区间
上的函数
的图像与
的图像的交点个数是
。
【本题解析】：联立函数
和函数
构成一个方程组：
联立函数
和函数
构成一个方程组：
，
；
或者
，
。
【本题答案】：
个
【例题二】：【2016年高考文科数学上海卷第8题】方程
在区间
上的解为 。
【本题解析】：根据余弦函数二倍角公式得到：
；
或者
，
或者
，
或者
。
【本题答案】：
或者
【例题三】：【2016年高考文科数学天津卷第8题】已知函数
，
。若
在区间
内没有零点，则
的取值范围是（ ）
A、
B、
C、
D、
【本题解析】：根据三角函数的半角公式得到：
；
根据三角函数的辅助角公式得到：
。
函数零点：
；
在区间
内没有零点
或者
或者
；
当
时：
或者
；当
时：
或者
；
所以：
。
【本题答案】：
【例题四】：【2014年高考数学江苏卷】已知函数
与
（
），它们的图像有一个横坐标为
的交点，则
的值是 。
【本题解析】：
交点的坐标为
点；
点在函数
上
；
分类讨论：
（1）、当
为第一象限角时：
，
没有解；
（2）、当
为第二象限角时：
，
。
【本题答案】：
【例题五】：【2014年高考文科数学江西卷】已知函数
为奇函数，且
，其中
，
。
（Ⅰ）求
，
的值；
【本题解析】：（Ⅰ）
无解；或者
；
为偶函数，
为奇函数
为奇函数
。
【本题答案】：（Ⅰ）
，
；
【解三角函数方程的跟踪训练】
【跟踪训练一】：【2013年高考理科数学上海卷】已知函数
，其中常数
。
（Ⅱ）令
,将函数
的图像向左平移
个单位,再向上平移1个单位，得到函数
的图像，区间
(
且
)满足：
在
上至少含有
个零点,在所有满足上述条件的
中,求
的最小值。
【本题解析】：
【跟踪训练二】：解下面方程。
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
【本题解析】：
【跟踪训练参考答案】
【跟踪训练一】：【2013年高考理科数学上海卷】已知函数
，其中常数
。
（Ⅱ）令
,将函数
的图像向左平移
个单位,再向上平移1个单位，得到函数
的图像，区间
(
且
)满足：
在
上至少含有
个零点,在所有满足上述条件的
中,求
的最小值。
【本题解析】：（Ⅱ）
的图像向左平移
个单位得到：
的图像向上平移1个单位得到：
。
且
且
；
；
。
【本题答案】（Ⅱ）
【跟踪训练二】：解下面方程。
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
【本题解析】：；（Ⅰ）
；
（1）当
为第三象限角时：
；
（2）当
为第四象限角时：
。
（Ⅱ）
（1）当
为第一象限角时：
；
（2）当
为第二象限角时：
。
（Ⅲ）
（1）当
为第二象限角时：
；
（2）当
为第四象限角时：
。
第十二部分：解三角函数方程
【正弦方程题型解法设计】
【题型一】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第一象限角时：
；
（2）、当
为第二象限角时：
。
【题型二】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第三象限角时：
；
（2）、当
为第四象限角时：
。
【题型三】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第一象限角时：
；
（2）、当
为第二象限角时：
。
【题型四】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第三象限角时：
；
（2）、当
为第四象限角时：
。
【题型五】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第一象限角时：
；
（2）、当
为第二象限角时：
。
【题型六】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第三象限角时：
；
（2）、当
为第四象限角时：
。
【题型七】：解方程：
；
【解法设计】：
。
【题型八】：解方程：
；
【解法设计】：
。
【题型九】：解方程：
；
【解法设计】：
。
【余弦方程题型解法设计】
【题型一】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第一象限角时：
；
（2）、当
为第四象限角时：
。
【题型二】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第二象限角时：
；
（2）、当
为第三象限角时：
。
【题型三】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第一象限角时：
；
（2）、当
为第四象限角时：
。
【题型四】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第二象限角时：
；
（2）、当
为第三象限角时：
。
【题型五】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第一象限角时：
；
（2）、当
为第四象限角时：
。
【题型六】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第二象限角时：
；
（2）、当
为第三象限角时：
。
【题型七】：解方程：
；
【解法设计】：
。
【题型八】：解方程：
；
【解法设计】：
。
【题型九】：解方程：
；
【解法设计】：
。
【正切方程题型解法设计】
【题型一】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第一象限角时：
；
（2）、当
为第三象限角时：
。
【题型二】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第二象限角时：
；
（2）、当
为第四象限角时：
。
【题型三】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第一象限角时：
；
（2）、当
为第三象限角时：
。
【题型四】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第二象限角时：
；
（2）、当
为第四象限角时：
。
【题型五】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第一象限角时：
；
（2）、当
为第三象限角时：
。
【题型六】：解方程：
；
【解法设计】：分类讨论：
（1）、当
为第二象限角时：
；
（2）、当
为第四象限角时：
。
【题型七】：解方程：
；
【解法设计】：
。
【解三角函数方程的相关例题】
【例题一】：【2016年高考数学江苏卷第9题】定义在区间
上的函数
的图像与
的图像的交点个数是
。
【本题解析】：联立函数
和函数
构成一个方程组：
联立函数
和函数
构成一个方程组：
，
；
或者
，
。
【本题答案】：
个
【例题二】：【2016年高考文科数学上海卷第8题】方程
在区间
上的解为 。
【本题解析】：根据余弦函数二倍角公式得到：
；
或者
，
或者
，
或者
。
【本题答案】：
或者
【例题三】：【2016年高考文科数学天津卷第8题】已知函数
，
。若
在区间
内没有零点，则
的取值范围是（ ）
A、
B、
C、
D、
【本题解析】：根据三角函数的半角公式得到：
；
根据三角函数的辅助角公式得到：
。
函数零点：
；
在区间
内没有零点
或者
或者
；
当
时：
或者
；当
时：
或者
；
所以：
。
【本题答案】：
【例题四】：【2014年高考数学江苏卷】已知函数
与
（
），它们的图像有一个横坐标为
的交点，则
的值是 。
【本题解析】：
交点的坐标为
点；
点在函数
上
；
分类讨论：
（1）、当
为第一象限角时：
，
没有解；
（2）、当
为第二象限角时：
，
。
【本题答案】：
【例题五】：【2014年高考文科数学江西卷】已知函数
为奇函数，且
，其中
，
。
（Ⅰ）求
，
的值；
【本题解析】：（Ⅰ）
无解；或者
；
为偶函数，
为奇函数
为奇函数
。
【本题答案】：（Ⅰ）
，
；
【解三角函数方程的跟踪训练】
【跟踪训练一】：【2013年高考理科数学上海卷】已知函数
，其中常数
。
（Ⅱ）令
,将函数
的图像向左平移
个单位,再向上平移1个单位，得到函数
的图像，区间
(
且
)满足：
在
上至少含有
个零点,在所有满足上述条件的
中,求
的最小值。
【本题解析】：
【跟踪训练二】：解下面方程。
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
【本题解析】：
【跟踪训练参考答案】
【跟踪训练一】：【2013年高考理科数学上海卷】已知函数
，其中常数
。
（Ⅱ）令
,将函数
的图像向左平移
个单位,再向上平移1个单位，得到函数
的图像，区间
(
且
)满足：
在
上至少含有
个零点,在所有满足上述条件的
中,求
的最小值。
【本题解析】：（Ⅱ）
的图像向左平移
个单位得到：
的图像向上平移1个单位得到：
。
且
且
；
；
。
【本题答案】（Ⅱ）
【跟踪训练二】：解下面方程。
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
【本题解析】：；（Ⅰ）
；
（1）当
为第三象限角时：
；
（2）当
为第四象限角时：
。
（Ⅱ）
（1）当
为第一象限角时：
；
（2）当
为第二象限角时：
。
（Ⅲ）
（1）当
为第二象限角时：
；
（2）当
为第四象限角时：
。