抛物线测试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．抛物线y =2x 2的焦点坐标是 （ ） 1
C ．(0, ) D ． (0, 1)
484
2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点P (m , -3) 到焦点的距离为5，则抛物
线方程为 （ ） A．x 2=8y B．x 2=4y C ．x 2=-4y D ．x 2=-8y
A ．(1, 0) B．(1, 0)
3．抛物线y 2=12x 截直线y =2x +1所得弦长等于 （ ）
A ． B．2
C ．
2
D ．15
4．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3) ，则它的方程是 （ ）
4499
A. x 2=-y 或y 2=x B.y 2=-x 或x 2=y C.x 2=4y D.y 2=-9x
332322
⎧x =t 2
5．点P (1, 0) 到曲线⎨（其中参数t ∈R ）上的点的最短距离为
⎩y =2t
（ ）
A ．0 B ．1 C．2 D ．2
6．抛物线y 2=2px (p >0) 上有A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), C (x 3, y 3) 三点，F 是它的焦点，若
（ ） AF , BF , CF 成等差数列，则 A ．x 1, x 2, x 3成等差数列 B．x 1, x 3, x 2成等差数列
C ．y 1, y 2, y 3成等差数列 D．y 1, y 3, y 2成等差数列
7．若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线y 2=2x 的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则
+ 取得最小值时点P 的坐标是 （ ）
A ．（0，0）
B ．（1，1）
C ．（2，2）
1
D ．(, 1)
2
8．已知抛物线y 2=2px (p >0) 的焦点弦AB 的两端点为A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) , 则关系式
y 1y 2
1x 2的值一定等于 （ ）
B ．－4
2
A ．4 C ．p
2
D ．－p
9．过抛物线y =ax (a >0) 的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长
分别是p , q ，则
11
+= p q
2a
（ ）
A ．2a B ．1
2
C ．4a
D ．4
a
10．若AB 为抛物线y =2px (p>0)的动弦，且|AB|=a (a >2p)，则AB 的中点M 到y 轴的最近
距离是 （ ）
A．
a
2
B ．
p
2
C ．
a +p
2
D ．
a -p
2
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11、抛物线y 2=x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ______________． 12、直线x -y -1=0截抛物线y 2=8x ，所截得的弦中点的坐标是 13、抛物线y 2=2px (p >0) 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则此抛物线焦点与准
线的距离为
2
14、设F 为抛物线y =4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA +FB +FC =0，
FA +FB +FC =
则
15、对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；
（1）焦点在y 轴上； （2）焦点在x 轴上； （3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的通径的长为5； （5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．
2
其中适合抛物线y =10x 的条件是(要求填写合适条件的序号） ______． 三、解答题
16．（12分）已知点A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线y 2=2px 上，△ABC 的重
心与此抛物线的焦点F 重合（如图）
（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标； （2）求线段BC 中点M 的坐标； （3）求BC 所在直线的方程.
2
17．（12分）已知抛物线y =ax -1上恒有关于直线x +y =0对称的相异两点，求a 的取
值范围.
2
18．（12分）抛物线x =4y的焦点为F ，过点(0，－1) 作直线L 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF 为邻边作平行四边形FARB ，试求动点R 的轨迹方程.
2y =2px (p >0) 过点A （1，-2）. C C 19、（12分）已知抛物线的方程：
（I ）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；
（II ）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，
且直线OA 与l 的距离等于5？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.
20．（13分）已知抛物线y 2=4ax (0＜a ＜1＝的焦点为F ，以A(a +4,0)为圆心，｜AF ｜为半径
在x 轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M 和N ，设P 为线段MN 的中点． （1）求｜MF ｜+｜NF ｜的值；
（2）是否存在这样的a 值，使｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等差数列? 如存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.
21．（14分）如图, 直线y=
11
x 与抛物线y=x 2－4交于A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线28
与直线y=－5交于Q 点.
（1）求点Q 的坐标；
（2）当P 为抛物线上位于线段AB 下方
（含A 、B ）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.
参考答案
11．(, ±
18
2
) 12． 13． 15． （2），（5） 4
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．（12分）[解析]：（1）由点A （2，8）在抛物线y 2=2px 上，有82=2p ⋅2，
解得p=16. 所以抛物线方程为y 2=32x ，焦点F 的坐标为（8，0）.
（2）如图，由于F （8，0）是△ABC 的重心，M 是BC 的中点，所以F 是线段AM 的
AF
定比分点，且=2，设点M 的坐标为(x 0, y 0) ，则
FM
2+2x 08+2y 0
=8, =0，解得x 0=11, y 0=-4， 1+21+2
所以点M 的坐标为（11，－4）．
（3）由于线段BC 的中点M 不在x 轴上，所以BC 所在 的直线不垂直于x 轴. 设BC 所在直线的方程为： y +4=k (x -11)(k ≠0).
y +4=k (x -11), 消x 得2由⎧ky -32y -32(11k +4) =0， ⎨
2
⎩y =32x
所以y 1+y 2=32，由（2）的结论得y 1+y 2=-4，解得k =-4.
2
因此BC 所在直线的方程为：4x +y -40=0.
k
16．（12分）
2
[解析]：设在抛物线y=ax －1上关于直线x +y=0对称的相异两点为P(x ,y),Q(－y, －x ) ，则
2
⎧⎪y =ax -1①⎨2⎪⎩-x =ay -1 ②，由①－②得x +y=a (x +y)(x －y),∵P、Q 为相异两点，∴x +y≠0，又a ≠0，
∴x -y =解得a >
3
． 4
112222
, 即y =x -，代入②得a x －ax －a +1=0，其判别式△=a －4a (1－a ) ＞0，a a
x y +1
17．（12分）[解析]：设R(x ,y),∵F(0,1), ∴平行四边形FARB 的中心为C (, ) ，L:y=kx
22
2
－1, 代入抛物线方程得x －4k x +4=0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1+x 2=4k,x 1x 2=4，且
2
△=16k－16＞0，即|k|＞1 ①，
x 12+x 22(x 1+x 2) 2-2x 1x 2
∴y 1+y 2===4k 2-2，∵C为AB 的中点.
44
x x 2+x 2==2k 22
y +1y 2+y 22
==2k -122x =4k 2
⇒
y =4k 2-3
，消去k 得x =4(y+3),由① 得，x >4，故动点R 的轨迹方程为
x 2=4(y+3)(
18．
x >4) ．
19．（14分）[解析]：（1）F （a ,0）, 设M (x 1, y 1), N (x 2, y 2), P (x 0, y 0，由
y 2=4ax
(x -a -4) +y =16
2
2
⇒x 2+2(a -4) x +(a 2+8a ) =0， ∆>0, ∴x 1+x 2=2(4-a ) ，MF +NF =(x 1+a ) +(x 2+a ) =8
（2）假设存在a 值，使的
MF , PF , NF
成等差数列，即2PF =MF +NF ⇒PF =4
x 0=4-a
(x 0-a ) 2+y 0=16⇒(4-2a ) 2+y 0=16⇒y 0=16a -4a 2
y +y 22y 1+y 2+2y 1y 2
y 0=(1) =
24
4ax 1+4ax 2+24ax 14ax 2==a (x 1+x 2) +2a x 1x 2=2a (4-a ) +2a a 2+8a ⇒
4
2
2
2
222
2a (4-a ) +2a a 2+8a =16a -4a 2⇒a =1
⎧∆>0
⎪x +x >0
2⎪1
⎨x x >0⇒0
⎪y 2>0⎩0
∴假设不成立．即不存在a 值，使的
MF , PF , NF
成等差数列．
或解: PF =4 x 0=4-a ⇔x 0+a =4 知点P 在抛物线上. 矛盾. 1x
=-4=8220．（14分）【解】(1) 解方程组 得 1或2 1=-2y 2=412
=x -4
8
=
即A(－4, －2),B(8,4), 从而AB 的中点为M(2,1).由k AB ==
1
, 直线AB 的垂直平分线方程 2
1
(x －2). 令y=－5, 得x =5, ∴Q(5,－5) ． 2
12
(2) 直线OQ 的方程为x +y=0, 设P(x , x －4).∵点P 到直线OQ 的距离
8
y －1=
1
x +x 2-48d==1x 2+8x -32, OQ =52,∴SΔOPQ=1d =5x 2+8x -32.
216822
∵P为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上, ∴－4≤x
4
2
∵函数y=x +8x －32在区间[－4,8] 上单调递增, ∴当x =8时, ΔOPQ的面积取到最大值30．
抛物线测试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．抛物线y =2x 2的焦点坐标是 （ ） 1
C ．(0, ) D ． (0, 1)
484
2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点P (m , -3) 到焦点的距离为5，则抛物
线方程为 （ ） A．x 2=8y B．x 2=4y C ．x 2=-4y D ．x 2=-8y
A ．(1, 0) B．(1, 0)
3．抛物线y 2=12x 截直线y =2x +1所得弦长等于 （ ）
A ． B．2
C ．
2
D ．15
4．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3) ，则它的方程是 （ ）
4499
A. x 2=-y 或y 2=x B.y 2=-x 或x 2=y C.x 2=4y D.y 2=-9x
332322
⎧x =t 2
5．点P (1, 0) 到曲线⎨（其中参数t ∈R ）上的点的最短距离为
⎩y =2t
（ ）
A ．0 B ．1 C．2 D ．2
6．抛物线y 2=2px (p >0) 上有A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), C (x 3, y 3) 三点，F 是它的焦点，若
（ ） AF , BF , CF 成等差数列，则 A ．x 1, x 2, x 3成等差数列 B．x 1, x 3, x 2成等差数列
C ．y 1, y 2, y 3成等差数列 D．y 1, y 3, y 2成等差数列
7．若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线y 2=2x 的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则
+ 取得最小值时点P 的坐标是 （ ）
A ．（0，0）
B ．（1，1）
C ．（2，2）
1
D ．(, 1)
2
8．已知抛物线y 2=2px (p >0) 的焦点弦AB 的两端点为A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) , 则关系式
y 1y 2
1x 2的值一定等于 （ ）
B ．－4
2
A ．4 C ．p
2
D ．－p
9．过抛物线y =ax (a >0) 的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长
分别是p , q ，则
11
+= p q
2a
（ ）
A ．2a B ．1
2
C ．4a
D ．4
a
10．若AB 为抛物线y =2px (p>0)的动弦，且|AB|=a (a >2p)，则AB 的中点M 到y 轴的最近
距离是 （ ）
A．
a
2
B ．
p
2
C ．
a +p
2
D ．
a -p
2
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11、抛物线y 2=x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ______________． 12、直线x -y -1=0截抛物线y 2=8x ，所截得的弦中点的坐标是 13、抛物线y 2=2px (p >0) 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则此抛物线焦点与准
线的距离为
2
14、设F 为抛物线y =4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA +FB +FC =0，
FA +FB +FC =
则
15、对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；
（1）焦点在y 轴上； （2）焦点在x 轴上； （3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的通径的长为5； （5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．
2
其中适合抛物线y =10x 的条件是(要求填写合适条件的序号） ______． 三、解答题
16．（12分）已知点A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线y 2=2px 上，△ABC 的重
心与此抛物线的焦点F 重合（如图）
（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标； （2）求线段BC 中点M 的坐标； （3）求BC 所在直线的方程.
2
17．（12分）已知抛物线y =ax -1上恒有关于直线x +y =0对称的相异两点，求a 的取
值范围.
2
18．（12分）抛物线x =4y的焦点为F ，过点(0，－1) 作直线L 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF 为邻边作平行四边形FARB ，试求动点R 的轨迹方程.
2y =2px (p >0) 过点A （1，-2）. C C 19、（12分）已知抛物线的方程：
（I ）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；
（II ）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，
且直线OA 与l 的距离等于5？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.
20．（13分）已知抛物线y 2=4ax (0＜a ＜1＝的焦点为F ，以A(a +4,0)为圆心，｜AF ｜为半径
在x 轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M 和N ，设P 为线段MN 的中点． （1）求｜MF ｜+｜NF ｜的值；
（2）是否存在这样的a 值，使｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等差数列? 如存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.
21．（14分）如图, 直线y=
11
x 与抛物线y=x 2－4交于A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线28
与直线y=－5交于Q 点.
（1）求点Q 的坐标；
（2）当P 为抛物线上位于线段AB 下方
（含A 、B ）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.
参考答案
11．(, ±
18
2
) 12． 13． 15． （2），（5） 4
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．（12分）[解析]：（1）由点A （2，8）在抛物线y 2=2px 上，有82=2p ⋅2，
解得p=16. 所以抛物线方程为y 2=32x ，焦点F 的坐标为（8，0）.
（2）如图，由于F （8，0）是△ABC 的重心，M 是BC 的中点，所以F 是线段AM 的
AF
定比分点，且=2，设点M 的坐标为(x 0, y 0) ，则
FM
2+2x 08+2y 0
=8, =0，解得x 0=11, y 0=-4， 1+21+2
所以点M 的坐标为（11，－4）．
（3）由于线段BC 的中点M 不在x 轴上，所以BC 所在 的直线不垂直于x 轴. 设BC 所在直线的方程为： y +4=k (x -11)(k ≠0).
y +4=k (x -11), 消x 得2由⎧ky -32y -32(11k +4) =0， ⎨
2
⎩y =32x
所以y 1+y 2=32，由（2）的结论得y 1+y 2=-4，解得k =-4.
2
因此BC 所在直线的方程为：4x +y -40=0.
k
16．（12分）
2
[解析]：设在抛物线y=ax －1上关于直线x +y=0对称的相异两点为P(x ,y),Q(－y, －x ) ，则
2
⎧⎪y =ax -1①⎨2⎪⎩-x =ay -1 ②，由①－②得x +y=a (x +y)(x －y),∵P、Q 为相异两点，∴x +y≠0，又a ≠0，
∴x -y =解得a >
3
． 4
112222
, 即y =x -，代入②得a x －ax －a +1=0，其判别式△=a －4a (1－a ) ＞0，a a
x y +1
17．（12分）[解析]：设R(x ,y),∵F(0,1), ∴平行四边形FARB 的中心为C (, ) ，L:y=kx
22
2
－1, 代入抛物线方程得x －4k x +4=0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1+x 2=4k,x 1x 2=4，且
2
△=16k－16＞0，即|k|＞1 ①，
x 12+x 22(x 1+x 2) 2-2x 1x 2
∴y 1+y 2===4k 2-2，∵C为AB 的中点.
44
x x 2+x 2==2k 22
y +1y 2+y 22
==2k -122x =4k 2
⇒
y =4k 2-3
，消去k 得x =4(y+3),由① 得，x >4，故动点R 的轨迹方程为
x 2=4(y+3)(
18．
x >4) ．
19．（14分）[解析]：（1）F （a ,0）, 设M (x 1, y 1), N (x 2, y 2), P (x 0, y 0，由
y 2=4ax
(x -a -4) +y =16
2
2
⇒x 2+2(a -4) x +(a 2+8a ) =0， ∆>0, ∴x 1+x 2=2(4-a ) ，MF +NF =(x 1+a ) +(x 2+a ) =8
（2）假设存在a 值，使的
MF , PF , NF
成等差数列，即2PF =MF +NF ⇒PF =4
x 0=4-a
(x 0-a ) 2+y 0=16⇒(4-2a ) 2+y 0=16⇒y 0=16a -4a 2
y +y 22y 1+y 2+2y 1y 2
y 0=(1) =
24
4ax 1+4ax 2+24ax 14ax 2==a (x 1+x 2) +2a x 1x 2=2a (4-a ) +2a a 2+8a ⇒
4
2
2
2
222
2a (4-a ) +2a a 2+8a =16a -4a 2⇒a =1
⎧∆>0
⎪x +x >0
2⎪1
⎨x x >0⇒0
⎪y 2>0⎩0
∴假设不成立．即不存在a 值，使的
MF , PF , NF
成等差数列．
或解: PF =4 x 0=4-a ⇔x 0+a =4 知点P 在抛物线上. 矛盾. 1x
=-4=8220．（14分）【解】(1) 解方程组 得 1或2 1=-2y 2=412
=x -4
8
=
即A(－4, －2),B(8,4), 从而AB 的中点为M(2,1).由k AB ==
1
, 直线AB 的垂直平分线方程 2
1
(x －2). 令y=－5, 得x =5, ∴Q(5,－5) ． 2
12
(2) 直线OQ 的方程为x +y=0, 设P(x , x －4).∵点P 到直线OQ 的距离
8
y －1=
1
x +x 2-48d==1x 2+8x -32, OQ =52,∴SΔOPQ=1d =5x 2+8x -32.
216822
∵P为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上, ∴－4≤x
4
2
∵函数y=x +8x －32在区间[－4,8] 上单调递增, ∴当x =8时, ΔOPQ的面积取到最大值30．