第1章 质点运动学
质点力学内容总括：
1.1 基本要求
1．掌握位矢、位移、速度、加速度、角速度等描述质点运动和运动变化的物理量． 2．能借助于直角坐标系计算质点在平面内运动时的速度、加速度．
3．能计算质点做圆周运动时的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度． 4．理解伽利略相对性原理，理解伽利略坐标、速度变换．
1.2 重点难点
重点：1. 矢径r 及由此而派生的∆r 、v 、a ．
2. 圆周运动的角量描述及角线量关系．
难点：1. v 、a 、r 的计算．
2. 相对运动问题．
1.3 知识概要
运动学是研究物体位置随时间变化规律的力学内容．本章主要内容有： (1) 三个概念：参考系、坐标系、质点；
(2) 四个物理量：位置矢量、位移、速度、加速度；
(3) 四种运动：直线运动、曲线运动、斜抛运动、圆周运动． 1．质点 参照系
当物体的大小形状对研究物体的运动影响甚微可以忽略不计时，可把物体只看成是一个有质量的点——质点．质点是理想模型，与后面各章中出现的刚体、理想气体、点电荷、绝对黑体等一样，具有科学方法论的重大意义．解题中，要注意这些理想模型提出的依据、条件和它所解决的问题．
由运动的绝对性和运动描述的相对性及定量描述物体的运动状态及状态的变化，必须引入参照系和坐标系，应用最多的是笛卡尔直角坐标系．
物体的运动与时间和空间紧密相关不可分割．时刻指的是某一瞬时，它与物体的位置或某一状态相对应．时间是2个时刻之间的间隔，它与物体的某一运动过程相联系． 2．运动的描述
（1）位置矢量（位矢、矢径）
位置矢量：是描写质点在该时刻位置的物理量．在直角坐标系中，可表示为
r =x i +y j +z k
运动方程：质点的位置和时间的函数关系，即
r (t ) =x (t )i +y (t )j +z (t )k 或 x =x (t )
y =y (t )z =z (t )
运动方程在运动学中地位很重要，因为只要知道运动方程，便可以求得轨道方程、速度和加速度等，也就是说，已知运动方程则质点的运动就会知道了．
（2）位移
∆r =r 2-r 1=(x 2-x 1)i +(y 2-y 1)j +(z 2-z 1)k 它与时间间隔∆t 相对应，是描写时间∆t 内质点位置变化的物理量． （3）速度
速度是描述质点位置变化快慢的物理量，即
d r dx dy dz v ==i +j +k
dt dt dt dt （4）加速度
加速度是描述质点运动速度变化快慢的物理量，可用公式表示为
d v dv x dv y dv z a ==i +j +k
dt dt dt dt
d 2r d 2x d 2y d 2z
=2=2i +2j +2k
dt dt dt dt
=a x i +a y j +a z k
3．圆周运动
（1）圆周运动的加速度
a =a n n +a ττ
v 2dv
其中a n =称为法向加速度，它是由速度方向变化引起的．a τ=称为切向加速度，
R dt
它是由速度大小变化引起的．
⎛v 2⎫⎛dv ⎫22
a =a n +a τ= R ⎪⎪+ dt ⎪
⎝⎭⎝⎭
（2）圆周运动的角量描述及角、线量关系 θ ——角位置
d θ
ω=——角速度
dt
d ωd 2θ
=2——角加速度 α=dt dt
2
2
角、线量关系：v =R ω a τ=R α a n =R ω2 4．相对运动
一个质点相对于两个相对作平动的参考系的速度间的关系为
v 绝对＝v 相对＋v 牵连
式中v 绝对是质点相对于绝对坐标系（定坐标系）的速度，叫绝对速度；v 相对是质点相对于动坐标系的速度，叫相对速度；v 牵连是动坐标系相对于定坐标系的平动速度叫做牵连速度．
加速度间的关系为
a 绝对＝a 相对＋a 牵连
式中是a 绝对绝对加速度；a 相对叫相对加速度；a 牵连是牵连加速度． 本章常用的公式还有： （1）匀变速运动
a =c (常矢量) v =v 0+a t
1 r =r 0+v 0+a t 2
2
如为匀变速直线运动 v =v 0+at
1
x =x 0+v 0t +at 2
2
2
v 2=v 0+2a (x -x 0)
（2）抛体运动
a x =0 a y =-g
v x =v 0cos θ v y =v 0sin θ⋅t -gt
1
x =v 0cos θ⋅t y =v 0s i n θ⋅t -gt 2
2
运动总时间 T =
2v 0s i n θ
g
2v 0s i n 2θ
最大水平射程 S =
g 22v 0s i n θ
上升最大高度 H =
2g
（3）匀变速圆周运动
12
=2α(θ-θ0) θ=θ0+ωt +αt 2 ω=ω+αt ω2-ω0
2
注意问题：
1．对r 、v 、a 要注意它们的3个特性
（1）矢量性；（2）瞬时性；（3）相对性 2．运动学的两类问题
（1）已知运动学方程r (t ) =x (t )i +y (t )j +z (t )k ，求速度v =v (t )、加速度a =a (t ) ．求
解这类问题通常采用求导的方法．
（2）已知加速度a 和初始条件r 0、v 0求运动方程r =r (t )．求解这类问题通常采用积分的方法．
3．要注意位移与路程的区别．
位移是矢量，仅与质点的始、末位置有关，而与中间的具体路径无关．路程是标量，是质点所经路径的实际长度，它不仅与质点的初、末位置有关，而且还与中间通过的具体路径有关．仅在运动方向不变时，位置在量值上与路程相等． 4．注意区分∆r 与∆r （如图所示），∆v 与∆v ．
初学者易犯的错误是把速度的大小v =d r dt 与dr dt
等同起来；把加速度的大小a =d v dt 与dt 等同起来．其
图1.1
实两者并不相同．要弄清此种问题，关键是区分∆r 与∆r 及∆v 与∆v ．
1.4例题选解
例1.1 一个质点在x 轴上作直线运动，运动方程为x =2t 3+4t 2+8，式中x 的单位为米，t 的单位为秒，求(1)任意时刻的速度和加速度；(2)在t =2s和t =3s时刻，物体的位置，速度和加速度；(3) 在t =2s到t =3s时间内，物体的平均速度和平均加速度。 解：(1)由速度和加速度的定义式，可求得
d x d 2t 3+4t 2+8v ===6t 2+8t m ⋅s -1
d t d t d v d 6t 2+8t a ===12t +8 m ⋅s -2
d t d t
(2) t =2s时
x =2⨯2+4⨯2+8=40m
2-1
v =6⨯2+8⨯2=40m ⋅s
-2
a =12⨯2+8=32m ⋅s t =3s时
32
x =2⨯3+4⨯3+8=90m v
=6⨯3+8⨯3=78m ⋅s
2
-1
3
2
()
()
a =12⨯3+8=44m ⋅s (3)=
-2
∆x 98-40==58m ⋅s -1 ∆t 3-2∆v 78-40 ===38m ⋅s -2
∆t 3-2
（考察知识点：已知位矢，求速度加速度）
)A 、例1.2 质点沿X 轴运动，其加速度a =A (1-Bt （B 均为正常数）．x 0=0，t =0时，
（1）v =v (t )；（2）x =x (t )． v =v 0，v 0与X 轴同向，试求：
解：（1）由a =两边积分
v v 0
d v
则 d v =a d t =A (1-Bt )d t d t
t 0
⎰d v =⎰A (1-Bt )d t
B ⎫⎛
求得 v =v 0+At 1-t ⎪
2⎭⎝
（2）由 v =
⎡d x ⎛B ⎫⎤
则 dx =vdt =⎢v 0+At 1-t ⎪⎥dt d t ⎝2⎭⎦⎣
两边积分
⎰
x
t ⎛1⎫
dx =⎰ v 0+At -ABt 2⎪dt
02⎝⎭
求得 x =v 0t +
121
At -ABt 3 26
（考察知识点：已知加速度，求速度、位矢）
例1.3 设某质点沿x 轴运动，在t =0时的速度为v 0，其加速度与速度的大小成正比而方向相反，比例系数为k (k >0)，试求速度随时间变化的关系式。 解：由题意及加速度的定义式，可知
d v v d v d v
=⎰-k d t 得 ln =-kt 所以 a =-kv = 可得 =-k d t 积分 ⎰v v 0d t v v 00
v
t
v =v 0e -kt
因而速度的方向保持不变，但速度的大小随时间增大而减小，直到速度等于零为止。
这种变量代换的方法在某些题中仍可用到，请读者注意．
（考察知识点：已知加速度，求速度、位矢-----变量代换）
例1.4 质点做圆周运动．R =2m ，路程与t 的关系为s =4t 2-2t (SI )．求⑴t =2s 时质点的线速度v 、角速度ω、角加速度α；⑵t 为何值时，a n =a τ，该时刻总加速度是
多少？
解： v =
ds
=8t -2 dt v 1
ω==(8t -2)
R R d ω8α==
dt R
⑴ 将t =2s 代入可得 v =14m ⋅s -1 ω=7r a ⋅d s -1 α=4r a ⋅d s -2
2
v 12d v ()a ==8t -2=8 n ⑵ a τ= R R d t
当a n =a τ时，
1
(8t -2)2=8 求得 t =0. 75s R
由于a n =a τ=8，
2
+a τ2=11. 3m ⋅s -2 可知 a =a n
（考察知识点：圆周运动）
例1.5 如图(a)所示，一辆汽车的蓬布只能盖到A 处，乘车者坐到车尾B 处，AB 连线与竖直方向夹角ϕ=30 ．当汽车以速度v 1=6km /h 行驶时，恰遇下雨，C 点刚好不被雨淋着．为使乘车者也不被淋着，汽车速度至少应为v 2=18km /h ．求雨点相对于地
面的速度v ．
解： 此题为相对运动问题，解题关键在于不管汽车速度是v 1还是v 2，雨点对地面速度大小和方向始终保持不变．设车速为v 1时雨点相对于车的速度
'，其方向对车来说竖直向下（AC 方向）为v 1．如
图(b)所示．由速度合成定理：
' v =v 1+v 1
例题1.5(a)图
'，其方向与v 1'方向夹角为ϕ，则由速度合成当车以v 2速度行驶时，雨点对车速度设为v 2
定理
' v =v 2+v 2
由矢量图可看到
tg ϕ
=
v 2-v 1v -v 1
=2
22'v 1v -v 1
v 2v 1
例题1.5（b ）图
求得 v =
v 2-v 12
tg ϕ
2
+v 12=21. 6km /h
又 s i n α=
v 1
=0. 2778
v
所以 α=16 7' 方向如图示．
（考察知识点：相对运动）
1.5 同步练习
选择题
1.1 某质点的运动方程为x =2cos 5. 0t ．（x 以分米计，t 以秒计）它在πs 时的速度v 和加速度a 为（ ）
（A ）v =1dm ⋅s -1, a =0 （B ）v =0, a =0. 5dm ⋅s -2 （C ）v =-1dm ⋅s -1, a =0 （D ）v =0, a =-0. 5dm ⋅s -2 （考察知识点：已知位矢，求速度加速度）
1.2 质点作直线运动，加速度为ω2A sin ωt ．已知t =0时，质点的初状态为x 0=0，
v 0=-ωA ，则该质点的运动方程为（ ）
（A ）x =-A sin ωt （B ）x =A sin ωt （C ）x =-A cos ωt （D ）x =A cos ωt （考察知识点：已知加速度，求速度、位矢）
1.3 一个质点作直线运动，某时刻的瞬时速度v =2m ⋅s -1，瞬时加速度a =-2m ⋅s -2，则1秒钟后质点的速度大小为（ ）
（A ）等于零 （B ）等于-2m ⋅s -1 （C ）等于2m ⋅s -1 （D ）不能确定 （考察知识点：速度、加速度概念）
dv
式中k 为正常数．当t =0时，初速度为v 0．则=-kv 2t ，
dt
速度v 与时间t 的函数关系为（ ）
11
（A ）v =kt 2-v 0 （B ）v =-kt 2+v 0
22
1.4 某物体的运动规律为
1kt 211kt 21
+ （D ）=-+ （C ）=
v 2v 0v 2v 0
（考察知识点：变量代换，微积分应用）
1.5 沿直线运动的物体，其速度与时间成反比，则其加速度大小与速度大小的关系是（ ）
（A ）与速度成正比 （B ）与速度平方成正比 （C ）与速度成反比 （D ）与速度平方成反比 （考察知识点：速度、加速度定义）
1.6 某人骑自行车以速率v 向西行驶，今有风以相同速率从北偏东30 方向吹来，则人感到风从哪个方向吹来？（ ）
（A ）北偏东30 （B ）南偏东30 （C ）北偏西30 （D ） 西偏东30 （考察知识点：相对运动）
1.7 一飞机相对空气的速度为200km ⋅h -1，风速为56km ⋅h -1，方向从西向东．地面雷达测得飞机的速度大小是192km ⋅h -1，方向是（ ）
（A ）南偏西16. 3 （B ）北偏东16. 3 （C ）西偏东16. 3 （D ）正南或正北 （考察知识点：相对运动）
1.8 飞轮绕定轴作匀速转动时，飞轮边缘上任一点的（ ） （A ）切向加速度为零，法向加速度不为零； （B ）切向加速度不为零，法向加速度为零； （C ）切向加速度和法向加速度均为零； （D ）切向加速度和法向加速度均不为零． （考察知识点：圆周运动）
1
1.9 一质点沿半径为R 的圆周按规律s =v 0t -bt 2运动，v 0、b 都是常量．则当加
2
速度达到b 时，质点已沿圆周运行了多少圈？（ ）
22v 0v 0v 0v 0
（A ） （B ） （C ） （D ）
4πbR 2πbR 2πbR 4πbR
（考察知识点：相对运动） 填空题
1.10 质点沿X 轴运动，其速率v 与X 关系如图所示，过曲线上任一点p 分别做v 的平行线和曲线的法线，它们分别与X 轴相交于a 点和b 点（x a 、x b 为已知），则质点运动的加速度为____________．
1.11 一个质点p 从0点出发以匀速率1cm ⋅s -1做顺时针的圆周运动，圆的半径为1m ，如图所示，当它走过2/3圆周时，走过的路程为__________，这段时间内平均数度大小为__________，方向为__________．
（考察知识点：圆周运动）
1.12 一个质点的运动方程为x =6t -t 2(SI )，则在t 由0至4s 的时间间隔内，质点的位移大小为_________，在t 由0至4s 的时间间隔内质点走过的路程为________．
（考察知识点：第一类题型）
2
1.13 已知质点的矢径r =At i +B cos ωt j ，其中A 、B 均为常量，则质点的速度
v =__________，加速度a __________．
（考察知识点：第一类题型）
习题1.10图
O X
习题1.11图
（考察知识点：曲线运动）
1.14 一个物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道A 点处速度v 的大小为v ，其方向与水平方向夹角成30 ．则物体在A 点的切向加速度大小a t =__________，轨道的曲率半径ρ=____________．
（考察知识点：抛体运动）
1.15 质点沿一个圆周运动，运动方程为
习题1.14图
θ=t 3+4t -3(SI )，则t =2s 时，质点的角速度ω=___________，质点的角加速度
α=___________．
（考察知识点：圆周运动）
1.16 一质点沿半径R=3m的圆周运动切向加速度a τ=3m ⋅s -2。则t =2s 时，它的法向加数度a n =___________，2s 内质点经过的路程_____________，角位移____________．
（考察知识点：圆周运动） 计算题
1.17 一物体做直线运动，它的运动学方程为x =at +bt 2+ct 3(SI ) ，其中a 、b 、c 均为常量．求：
（1）t =1~2s 期间的位移，平均速度和平均加速度； （2）t =2s 时的速度和加速度．
（考察知识点：第一类题型）
1.18 质点沿X 轴运动，方程为：x =10t 2-5t (SI )，
求：（1）质点的速度、加速度公式，质点的初速度是多少？方向如何？ （2）质点在原点左方最远处的位置； （3）x =0时，质点的速度如何？
（考察知识点：第一类题型）
1.19 质点在X 轴上运动，速度v 与t 的关系式为v =4+3t 2(SI )，当t =2s 时，质点在原点左边24m 处，
求：（1）质点加速度和位置公式； （2）初速度为多少?
（3）初位置在何处?
（考察知识点：运动的描述）
1.20 质点的运动方程为：x =2t , y =19-2t 2，式中x 、y 以米计，t 以秒计，计算： （1）计算出图示质点的运动轨道；
（2）写出t =1s 、t =2s 时刻质点的位置矢量，并计算这1s 内质点的平均速度； （3）计算2s 末质点的速度和加速度；
（4）t 为何值时，位置矢量和速度矢量恰好垂直，此时x 、y 各为多少．
（考察知识点：运动描述）
1.21 物体以初速v 0=20m /s 抛出，抛射角θ=60°，求：
（1）物体开始运动1.5s 后在什么位置，运动方向与水平夹角θ
为多少； （2）抛出后经多少时间v 与水平夹角θ＝45°，这时抛物体的
高度为多少．
（考察知识点：抛体运动）
习题1.22图
1.22 如图所示，质点P 在水平面内沿一半径为R =2 m 的圆轨道转动。转动的角速度ω与时间t 的函数关系为ω=kt 2（k 为常量）。已知t ＝2 s 时，质点P 的速度值为32 m/s．试求t ＝1 s时，质点P 的速度与加速度的大小．
（考察知识点：圆周运动）
1.23 一艘行驶的船，关闭发动机时（t =0）的速度为v 0，其加速度为：a =-kv ，式中k 为正常数，求：
（1）船速v 与t 的关系式；
（2）船此后行走的路程x 与t 的关系式；
（3）船速v 与x 的关系式．
（考察知识点：第二类）
第1章 质点运动学
质点力学内容总括：
1.1 基本要求
1．掌握位矢、位移、速度、加速度、角速度等描述质点运动和运动变化的物理量． 2．能借助于直角坐标系计算质点在平面内运动时的速度、加速度．
3．能计算质点做圆周运动时的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度． 4．理解伽利略相对性原理，理解伽利略坐标、速度变换．
1.2 重点难点
重点：1. 矢径r 及由此而派生的∆r 、v 、a ．
2. 圆周运动的角量描述及角线量关系．
难点：1. v 、a 、r 的计算．
2. 相对运动问题．
1.3 知识概要
运动学是研究物体位置随时间变化规律的力学内容．本章主要内容有： (1) 三个概念：参考系、坐标系、质点；
(2) 四个物理量：位置矢量、位移、速度、加速度；
(3) 四种运动：直线运动、曲线运动、斜抛运动、圆周运动． 1．质点 参照系
当物体的大小形状对研究物体的运动影响甚微可以忽略不计时，可把物体只看成是一个有质量的点——质点．质点是理想模型，与后面各章中出现的刚体、理想气体、点电荷、绝对黑体等一样，具有科学方法论的重大意义．解题中，要注意这些理想模型提出的依据、条件和它所解决的问题．
由运动的绝对性和运动描述的相对性及定量描述物体的运动状态及状态的变化，必须引入参照系和坐标系，应用最多的是笛卡尔直角坐标系．
物体的运动与时间和空间紧密相关不可分割．时刻指的是某一瞬时，它与物体的位置或某一状态相对应．时间是2个时刻之间的间隔，它与物体的某一运动过程相联系． 2．运动的描述
（1）位置矢量（位矢、矢径）
位置矢量：是描写质点在该时刻位置的物理量．在直角坐标系中，可表示为
r =x i +y j +z k
运动方程：质点的位置和时间的函数关系，即
r (t ) =x (t )i +y (t )j +z (t )k 或 x =x (t )
y =y (t )z =z (t )
运动方程在运动学中地位很重要，因为只要知道运动方程，便可以求得轨道方程、速度和加速度等，也就是说，已知运动方程则质点的运动就会知道了．
（2）位移
∆r =r 2-r 1=(x 2-x 1)i +(y 2-y 1)j +(z 2-z 1)k 它与时间间隔∆t 相对应，是描写时间∆t 内质点位置变化的物理量． （3）速度
速度是描述质点位置变化快慢的物理量，即
d r dx dy dz v ==i +j +k
dt dt dt dt （4）加速度
加速度是描述质点运动速度变化快慢的物理量，可用公式表示为
d v dv x dv y dv z a ==i +j +k
dt dt dt dt
d 2r d 2x d 2y d 2z
=2=2i +2j +2k
dt dt dt dt
=a x i +a y j +a z k
3．圆周运动
（1）圆周运动的加速度
a =a n n +a ττ
v 2dv
其中a n =称为法向加速度，它是由速度方向变化引起的．a τ=称为切向加速度，
R dt
它是由速度大小变化引起的．
⎛v 2⎫⎛dv ⎫22
a =a n +a τ= R ⎪⎪+ dt ⎪
⎝⎭⎝⎭
（2）圆周运动的角量描述及角、线量关系 θ ——角位置
d θ
ω=——角速度
dt
d ωd 2θ
=2——角加速度 α=dt dt
2
2
角、线量关系：v =R ω a τ=R α a n =R ω2 4．相对运动
一个质点相对于两个相对作平动的参考系的速度间的关系为
v 绝对＝v 相对＋v 牵连
式中v 绝对是质点相对于绝对坐标系（定坐标系）的速度，叫绝对速度；v 相对是质点相对于动坐标系的速度，叫相对速度；v 牵连是动坐标系相对于定坐标系的平动速度叫做牵连速度．
加速度间的关系为
a 绝对＝a 相对＋a 牵连
式中是a 绝对绝对加速度；a 相对叫相对加速度；a 牵连是牵连加速度． 本章常用的公式还有： （1）匀变速运动
a =c (常矢量) v =v 0+a t
1 r =r 0+v 0+a t 2
2
如为匀变速直线运动 v =v 0+at
1
x =x 0+v 0t +at 2
2
2
v 2=v 0+2a (x -x 0)
（2）抛体运动
a x =0 a y =-g
v x =v 0cos θ v y =v 0sin θ⋅t -gt
1
x =v 0cos θ⋅t y =v 0s i n θ⋅t -gt 2
2
运动总时间 T =
2v 0s i n θ
g
2v 0s i n 2θ
最大水平射程 S =
g 22v 0s i n θ
上升最大高度 H =
2g
（3）匀变速圆周运动
12
=2α(θ-θ0) θ=θ0+ωt +αt 2 ω=ω+αt ω2-ω0
2
注意问题：
1．对r 、v 、a 要注意它们的3个特性
（1）矢量性；（2）瞬时性；（3）相对性 2．运动学的两类问题
（1）已知运动学方程r (t ) =x (t )i +y (t )j +z (t )k ，求速度v =v (t )、加速度a =a (t ) ．求
解这类问题通常采用求导的方法．
（2）已知加速度a 和初始条件r 0、v 0求运动方程r =r (t )．求解这类问题通常采用积分的方法．
3．要注意位移与路程的区别．
位移是矢量，仅与质点的始、末位置有关，而与中间的具体路径无关．路程是标量，是质点所经路径的实际长度，它不仅与质点的初、末位置有关，而且还与中间通过的具体路径有关．仅在运动方向不变时，位置在量值上与路程相等． 4．注意区分∆r 与∆r （如图所示），∆v 与∆v ．
初学者易犯的错误是把速度的大小v =d r dt 与dr dt
等同起来；把加速度的大小a =d v dt 与dt 等同起来．其
图1.1
实两者并不相同．要弄清此种问题，关键是区分∆r 与∆r 及∆v 与∆v ．
1.4例题选解
例1.1 一个质点在x 轴上作直线运动，运动方程为x =2t 3+4t 2+8，式中x 的单位为米，t 的单位为秒，求(1)任意时刻的速度和加速度；(2)在t =2s和t =3s时刻，物体的位置，速度和加速度；(3) 在t =2s到t =3s时间内，物体的平均速度和平均加速度。 解：(1)由速度和加速度的定义式，可求得
d x d 2t 3+4t 2+8v ===6t 2+8t m ⋅s -1
d t d t d v d 6t 2+8t a ===12t +8 m ⋅s -2
d t d t
(2) t =2s时
x =2⨯2+4⨯2+8=40m
2-1
v =6⨯2+8⨯2=40m ⋅s
-2
a =12⨯2+8=32m ⋅s t =3s时
32
x =2⨯3+4⨯3+8=90m v
=6⨯3+8⨯3=78m ⋅s
2
-1
3
2
()
()
a =12⨯3+8=44m ⋅s (3)=
-2
∆x 98-40==58m ⋅s -1 ∆t 3-2∆v 78-40 ===38m ⋅s -2
∆t 3-2
（考察知识点：已知位矢，求速度加速度）
)A 、例1.2 质点沿X 轴运动，其加速度a =A (1-Bt （B 均为正常数）．x 0=0，t =0时，
（1）v =v (t )；（2）x =x (t )． v =v 0，v 0与X 轴同向，试求：
解：（1）由a =两边积分
v v 0
d v
则 d v =a d t =A (1-Bt )d t d t
t 0
⎰d v =⎰A (1-Bt )d t
B ⎫⎛
求得 v =v 0+At 1-t ⎪
2⎭⎝
（2）由 v =
⎡d x ⎛B ⎫⎤
则 dx =vdt =⎢v 0+At 1-t ⎪⎥dt d t ⎝2⎭⎦⎣
两边积分
⎰
x
t ⎛1⎫
dx =⎰ v 0+At -ABt 2⎪dt
02⎝⎭
求得 x =v 0t +
121
At -ABt 3 26
（考察知识点：已知加速度，求速度、位矢）
例1.3 设某质点沿x 轴运动，在t =0时的速度为v 0，其加速度与速度的大小成正比而方向相反，比例系数为k (k >0)，试求速度随时间变化的关系式。 解：由题意及加速度的定义式，可知
d v v d v d v
=⎰-k d t 得 ln =-kt 所以 a =-kv = 可得 =-k d t 积分 ⎰v v 0d t v v 00
v
t
v =v 0e -kt
因而速度的方向保持不变，但速度的大小随时间增大而减小，直到速度等于零为止。
这种变量代换的方法在某些题中仍可用到，请读者注意．
（考察知识点：已知加速度，求速度、位矢-----变量代换）
例1.4 质点做圆周运动．R =2m ，路程与t 的关系为s =4t 2-2t (SI )．求⑴t =2s 时质点的线速度v 、角速度ω、角加速度α；⑵t 为何值时，a n =a τ，该时刻总加速度是
多少？
解： v =
ds
=8t -2 dt v 1
ω==(8t -2)
R R d ω8α==
dt R
⑴ 将t =2s 代入可得 v =14m ⋅s -1 ω=7r a ⋅d s -1 α=4r a ⋅d s -2
2
v 12d v ()a ==8t -2=8 n ⑵ a τ= R R d t
当a n =a τ时，
1
(8t -2)2=8 求得 t =0. 75s R
由于a n =a τ=8，
2
+a τ2=11. 3m ⋅s -2 可知 a =a n
（考察知识点：圆周运动）
例1.5 如图(a)所示，一辆汽车的蓬布只能盖到A 处，乘车者坐到车尾B 处，AB 连线与竖直方向夹角ϕ=30 ．当汽车以速度v 1=6km /h 行驶时，恰遇下雨，C 点刚好不被雨淋着．为使乘车者也不被淋着，汽车速度至少应为v 2=18km /h ．求雨点相对于地
面的速度v ．
解： 此题为相对运动问题，解题关键在于不管汽车速度是v 1还是v 2，雨点对地面速度大小和方向始终保持不变．设车速为v 1时雨点相对于车的速度
'，其方向对车来说竖直向下（AC 方向）为v 1．如
图(b)所示．由速度合成定理：
' v =v 1+v 1
例题1.5(a)图
'，其方向与v 1'方向夹角为ϕ，则由速度合成当车以v 2速度行驶时，雨点对车速度设为v 2
定理
' v =v 2+v 2
由矢量图可看到
tg ϕ
=
v 2-v 1v -v 1
=2
22'v 1v -v 1
v 2v 1
例题1.5（b ）图
求得 v =
v 2-v 12
tg ϕ
2
+v 12=21. 6km /h
又 s i n α=
v 1
=0. 2778
v
所以 α=16 7' 方向如图示．
（考察知识点：相对运动）
1.5 同步练习
选择题
1.1 某质点的运动方程为x =2cos 5. 0t ．（x 以分米计，t 以秒计）它在πs 时的速度v 和加速度a 为（ ）
（A ）v =1dm ⋅s -1, a =0 （B ）v =0, a =0. 5dm ⋅s -2 （C ）v =-1dm ⋅s -1, a =0 （D ）v =0, a =-0. 5dm ⋅s -2 （考察知识点：已知位矢，求速度加速度）
1.2 质点作直线运动，加速度为ω2A sin ωt ．已知t =0时，质点的初状态为x 0=0，
v 0=-ωA ，则该质点的运动方程为（ ）
（A ）x =-A sin ωt （B ）x =A sin ωt （C ）x =-A cos ωt （D ）x =A cos ωt （考察知识点：已知加速度，求速度、位矢）
1.3 一个质点作直线运动，某时刻的瞬时速度v =2m ⋅s -1，瞬时加速度a =-2m ⋅s -2，则1秒钟后质点的速度大小为（ ）
（A ）等于零 （B ）等于-2m ⋅s -1 （C ）等于2m ⋅s -1 （D ）不能确定 （考察知识点：速度、加速度概念）
dv
式中k 为正常数．当t =0时，初速度为v 0．则=-kv 2t ，
dt
速度v 与时间t 的函数关系为（ ）
11
（A ）v =kt 2-v 0 （B ）v =-kt 2+v 0
22
1.4 某物体的运动规律为
1kt 211kt 21
+ （D ）=-+ （C ）=
v 2v 0v 2v 0
（考察知识点：变量代换，微积分应用）
1.5 沿直线运动的物体，其速度与时间成反比，则其加速度大小与速度大小的关系是（ ）
（A ）与速度成正比 （B ）与速度平方成正比 （C ）与速度成反比 （D ）与速度平方成反比 （考察知识点：速度、加速度定义）
1.6 某人骑自行车以速率v 向西行驶，今有风以相同速率从北偏东30 方向吹来，则人感到风从哪个方向吹来？（ ）
（A ）北偏东30 （B ）南偏东30 （C ）北偏西30 （D ） 西偏东30 （考察知识点：相对运动）
1.7 一飞机相对空气的速度为200km ⋅h -1，风速为56km ⋅h -1，方向从西向东．地面雷达测得飞机的速度大小是192km ⋅h -1，方向是（ ）
（A ）南偏西16. 3 （B ）北偏东16. 3 （C ）西偏东16. 3 （D ）正南或正北 （考察知识点：相对运动）
1.8 飞轮绕定轴作匀速转动时，飞轮边缘上任一点的（ ） （A ）切向加速度为零，法向加速度不为零； （B ）切向加速度不为零，法向加速度为零； （C ）切向加速度和法向加速度均为零； （D ）切向加速度和法向加速度均不为零． （考察知识点：圆周运动）
1
1.9 一质点沿半径为R 的圆周按规律s =v 0t -bt 2运动，v 0、b 都是常量．则当加
2
速度达到b 时，质点已沿圆周运行了多少圈？（ ）
22v 0v 0v 0v 0
（A ） （B ） （C ） （D ）
4πbR 2πbR 2πbR 4πbR
（考察知识点：相对运动） 填空题
1.10 质点沿X 轴运动，其速率v 与X 关系如图所示，过曲线上任一点p 分别做v 的平行线和曲线的法线，它们分别与X 轴相交于a 点和b 点（x a 、x b 为已知），则质点运动的加速度为____________．
1.11 一个质点p 从0点出发以匀速率1cm ⋅s -1做顺时针的圆周运动，圆的半径为1m ，如图所示，当它走过2/3圆周时，走过的路程为__________，这段时间内平均数度大小为__________，方向为__________．
（考察知识点：圆周运动）
1.12 一个质点的运动方程为x =6t -t 2(SI )，则在t 由0至4s 的时间间隔内，质点的位移大小为_________，在t 由0至4s 的时间间隔内质点走过的路程为________．
（考察知识点：第一类题型）
2
1.13 已知质点的矢径r =At i +B cos ωt j ，其中A 、B 均为常量，则质点的速度
v =__________，加速度a __________．
（考察知识点：第一类题型）
习题1.10图
O X
习题1.11图
（考察知识点：曲线运动）
1.14 一个物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道A 点处速度v 的大小为v ，其方向与水平方向夹角成30 ．则物体在A 点的切向加速度大小a t =__________，轨道的曲率半径ρ=____________．
（考察知识点：抛体运动）
1.15 质点沿一个圆周运动，运动方程为
习题1.14图
θ=t 3+4t -3(SI )，则t =2s 时，质点的角速度ω=___________，质点的角加速度
α=___________．
（考察知识点：圆周运动）
1.16 一质点沿半径R=3m的圆周运动切向加速度a τ=3m ⋅s -2。则t =2s 时，它的法向加数度a n =___________，2s 内质点经过的路程_____________，角位移____________．
（考察知识点：圆周运动） 计算题
1.17 一物体做直线运动，它的运动学方程为x =at +bt 2+ct 3(SI ) ，其中a 、b 、c 均为常量．求：
（1）t =1~2s 期间的位移，平均速度和平均加速度； （2）t =2s 时的速度和加速度．
（考察知识点：第一类题型）
1.18 质点沿X 轴运动，方程为：x =10t 2-5t (SI )，
求：（1）质点的速度、加速度公式，质点的初速度是多少？方向如何？ （2）质点在原点左方最远处的位置； （3）x =0时，质点的速度如何？
（考察知识点：第一类题型）
1.19 质点在X 轴上运动，速度v 与t 的关系式为v =4+3t 2(SI )，当t =2s 时，质点在原点左边24m 处，
求：（1）质点加速度和位置公式； （2）初速度为多少?
（3）初位置在何处?
（考察知识点：运动的描述）
1.20 质点的运动方程为：x =2t , y =19-2t 2，式中x 、y 以米计，t 以秒计，计算： （1）计算出图示质点的运动轨道；
（2）写出t =1s 、t =2s 时刻质点的位置矢量，并计算这1s 内质点的平均速度； （3）计算2s 末质点的速度和加速度；
（4）t 为何值时，位置矢量和速度矢量恰好垂直，此时x 、y 各为多少．
（考察知识点：运动描述）
1.21 物体以初速v 0=20m /s 抛出，抛射角θ=60°，求：
（1）物体开始运动1.5s 后在什么位置，运动方向与水平夹角θ
为多少； （2）抛出后经多少时间v 与水平夹角θ＝45°，这时抛物体的
高度为多少．
（考察知识点：抛体运动）
习题1.22图
1.22 如图所示，质点P 在水平面内沿一半径为R =2 m 的圆轨道转动。转动的角速度ω与时间t 的函数关系为ω=kt 2（k 为常量）。已知t ＝2 s 时，质点P 的速度值为32 m/s．试求t ＝1 s时，质点P 的速度与加速度的大小．
（考察知识点：圆周运动）
1.23 一艘行驶的船，关闭发动机时（t =0）的速度为v 0，其加速度为：a =-kv ，式中k 为正常数，求：
（1）船速v 与t 的关系式；
（2）船此后行走的路程x 与t 的关系式；
（3）船速v 与x 的关系式．
（考察知识点：第二类）