4x 1． 设f (x )=x ，求和4+2⎛1⎫f ⎪+2007⎝⎭⎛2⎫f ⎪+ +2007⎝⎭⎛2006⎫f ⎪． 2007⎝⎭
2．在一个有限的实数列中，任意7个连续项之和都是负数，而任意连续11项之和都是正数，试问这样的数列最多有多少项？证明你的结论．
3．已知f (x ) =x 2+px +q ，求证f (1) , f (2), f (3)中至少有一个不小于．
4．已知ab ≠0，解函数方程af (x ) +bf (-x ) =c (1+x ) ．
5．设f (x )=ax 2+bx +c ，a , b , c 为实数，如果对于所有适合-1≤x ≤1的x 值，都有-1≤f (x )≤1成立，则对这些x 的值有-4≤2ax +b ≤4．
6．证明n 3+n 2+n -1对任何正整数n 都是整数，并且用3除时余2．
7．已知a , b 为非零的不共线向量，设条件M ：b ⊥a -b ；条件N ：321212()
对一切x ∈R 不等式a -xb ≥a -b 恒成立．则M 成立是N 成立的什么条
件？证明你的结论．
8．设多项式f (x )=a 0x n +a 1x n -1+ +a n -1x +a n 的系数都是整数，并
且有一个奇数α及一个偶数β使得f (α)及f (β)都是奇数，求证方程f (x )=0没有整数根．
9．设P (x ) =a k x k +a k -1x k -1+ a 1x +a 0，式中各系数a j (j =0,1, , k ) 都是整数．今设有4个不同的整数x 1, x 2, x 3, x 4使p (x i )(i =1,2,3,4) 都等于2．试证明对于任何整数x , p (x ) 必不等于1，3，5，7，9 中的任何一个．
10．已知数列{a n }满足a 1=a 2=1, a n +2=a n +1+a n ，求数列的通项．
11．用任意的方式，给平面上的每一个点染上黑色或白色．求证：
一定存在一个边长为1或的正三角形，它的三个顶点是同色的．
12．已知凸四边形ABCD ，求证这个凸四边形一定可以被AB , BC , CD , DA 为直径的半圆共同覆盖．
13．在 ABC 中，设AB >AC ，过A 作 ABC 的外接圆的切线l ，又
F ．以A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于D ，交直线l 于E 、证
明：DE 、DF 通过 ABC 内心和一个旁心．
14．设H 是锐角△ABC 的垂心, 由A 向以BC 为直径的圆作切线
AP , AQ , 切点分别为P , Q . 求证:P , H , Q 三点共线..
15．在等边 ABC 所在的平面上找这样的一点P ，使 PAB , PBC , PAC 都是等腰三角形，那么具有这样性质的点有几个．
16．过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A 、B ．所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间．在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ =∠PBC ．求证：∠DBQ =∠PAC ．
17．将平面上每一个点都以红、蓝两色之一着色，证明，存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为2007，并且每一个三角形的三个顶点同色．
18．在坐标平面上顶点坐标均为整数的点叫做整点多边形，求证，整点凸五边形内必有整点．
19．如图, 菱形ABCD 的内切圆O 与各边
分别切于E , F , G , H , 在弧EF 与弧GH 上分别
作⊙O 的切线交AB 于M , 交BC 于N , 交CD 于
P , 交DA 于Q . 求证MQ
//NP .
20．平面上有6个点，任何3点都是一个不等边三角形的顶点，则这些三角形中有一个的最短边又是另一个三角形的最长边．
21．在正方体的8个顶点处分别放上8个不同的正整数，如果他们的和等于55，那么必定能找到一个侧面正方形，其相对顶点所放的数都是奇数．
22．设d 是异于2，5，13的任一整数．求证在集合{2,5,13, d }中可以找到两个不同元素a , b ，使得ab -1不是完全平方数．
23．设有2n -1(n ≥1)个茶杯，开始时，杯口都朝上，现把茶杯随意翻转，规定每次翻转偶数只（翻动过的还可以再翻动），证明，无论翻动多少次，都不可能使杯口都朝下．
24．有100盏电灯，排成一横行，从左到右，我们给电灯编上号码1，2，„，99，100．每盏灯由一个拉线开关控制着．最初，电灯全是关着的．另外有100个学生，第一个学生走过来，把凡是号码为1的倍数的电灯的开关拉了一下；接着第2个学生走过来，把凡是号码为2的倍数的电灯的开关拉了一下；第3个学生走过来，把凡是号码为3的倍数的电灯的开关拉了一下，如此等等，最后那个学生走过来，把编号能被100整除的电灯的开关拉了一下，这样过去之后，问哪些灯是亮的？
25．证明对任意正整数n ，分数21n +4不可约． 14n +3
26．记a 1, a 2, , a 24π的前24位数字为π=3.[***********]46264，
为该24个数字的任一排列，求证(a 1-a 2)(a 3-a 4) (a 23-a 24)必为偶数．
27．用ϕ(n )表示n 的约数个数，请对ϕ(1)+ϕ(2)+ +ϕ(2007)的奇偶
性作出证明．
28设p 与q 为正整数，满足
被1979整除．
29．用两种颜色给数轴染色，每一个点上只染一种颜色．求证，存在同色两点，它们的距离为1或为2．
30．有n 个同学围坐在圆周上(n ≥4)，若每个学生的两旁都是一男一女，求证n 是4的倍数．
31．如果从数1，2， , 14中按由小到大的顺序取出a 1，a 2，a 3，使同时满足 a 2-a 1≥3, a 3-a 2≥3, 那么，所有符合上述要求的不同取
法有多少种？
32．证明：在任意6个人中，总可以找到3个人互相认识，或互相不认识，并且这种情况至少出现两个．
33．在一次乒乓球循环赛中，n 名选手中没有全胜的，证明，一定可以从中找到3名选手A , B , C ，使得A 胜B ，B 胜C ，C 胜A ．
34．甲乙两队各出7名队员按事先安排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，依次类推，直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获胜利，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数有多少？
35．设有2n ⨯2n 的正方形方格棋盘，在其中任意的3n 个方格中放一枚棋子，求证，可以选出n 行n 列，使得3n 枚棋子都在这n 行和n 列中．
36．凸n 边形（n ≥4）玫瑰园的n 个顶点各栽有1棵红玫瑰，每p 1111 求证p 可=1-+- -+q 2313181319
两棵红玫瑰之间都有一条直小路相通，这些直小路没有出现“三线共点”的情况——它们把花园分割成许多不重叠的区域（三角形、四边形，„），每块区域都栽有一棵白玫瑰或黑玫瑰．
⑴ 求出玫瑰园里玫瑰总棵数f (n ) 的表达式．
⑵ 花园里能否恰有99棵玫瑰？说明理由．
37．李明夫妇最近参加了一次集会，同时出席的还有三对夫妻．一见面，大家互相握手，当然夫妻之间不握手，也没有人与同一个人握两次手．握手完毕后，李明统计了包括妻子在内的7个人握手的次数，发现恰好数字互不相同．请问，李明的妻子握了几次手?
38．设n 是正整数，我们说集合{1, 2, , 2n }的一个排列(x 1, x 2, , x 2n )具有性质p ，是指在{1, 2, , 2n -1}当中至少有一个i ，使得|x i -x i +1|=n ，求证对于任何n ，具有性质p 的排列比不具有性质p 的排列的个数多．
39．运动会连续开了n 天（n >1），一共发了m 枚奖章．第一天发1枚以及剩下m -1枚的，第二天发2枚以及发后剩下的 ，以后每天均按此规律发奖章．在最后一天即第n 天发了剩下的n 枚奖章，问运动会开了多少天，一共发了多少枚奖章？
40．有17位科学家，每一个和其他人都通信，在他们的书信中一共讨论3个题目，而每两个科学家仅仅讨论一个题目，证明，至少有3个科学家，他们互相讨论同一题目．
1717
4x 1． 设f (x )=x ，求和4+2⎛1⎫f ⎪+2007⎝⎭⎛2⎫f ⎪+ +2007⎝⎭⎛2006⎫f ⎪． 2007⎝⎭
2．在一个有限的实数列中，任意7个连续项之和都是负数，而任意连续11项之和都是正数，试问这样的数列最多有多少项？证明你的结论．
3．已知f (x ) =x 2+px +q ，求证f (1) , f (2), f (3)中至少有一个不小于．
4．已知ab ≠0，解函数方程af (x ) +bf (-x ) =c (1+x ) ．
5．设f (x )=ax 2+bx +c ，a , b , c 为实数，如果对于所有适合-1≤x ≤1的x 值，都有-1≤f (x )≤1成立，则对这些x 的值有-4≤2ax +b ≤4．
6．证明n 3+n 2+n -1对任何正整数n 都是整数，并且用3除时余2．
7．已知a , b 为非零的不共线向量，设条件M ：b ⊥a -b ；条件N ：321212()
对一切x ∈R 不等式a -xb ≥a -b 恒成立．则M 成立是N 成立的什么条
件？证明你的结论．
8．设多项式f (x )=a 0x n +a 1x n -1+ +a n -1x +a n 的系数都是整数，并
且有一个奇数α及一个偶数β使得f (α)及f (β)都是奇数，求证方程f (x )=0没有整数根．
9．设P (x ) =a k x k +a k -1x k -1+ a 1x +a 0，式中各系数a j (j =0,1, , k ) 都是整数．今设有4个不同的整数x 1, x 2, x 3, x 4使p (x i )(i =1,2,3,4) 都等于2．试证明对于任何整数x , p (x ) 必不等于1，3，5，7，9 中的任何一个．
10．已知数列{a n }满足a 1=a 2=1, a n +2=a n +1+a n ，求数列的通项．
11．用任意的方式，给平面上的每一个点染上黑色或白色．求证：
一定存在一个边长为1或的正三角形，它的三个顶点是同色的．
12．已知凸四边形ABCD ，求证这个凸四边形一定可以被AB , BC , CD , DA 为直径的半圆共同覆盖．
13．在 ABC 中，设AB >AC ，过A 作 ABC 的外接圆的切线l ，又
F ．以A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于D ，交直线l 于E 、证
明：DE 、DF 通过 ABC 内心和一个旁心．
14．设H 是锐角△ABC 的垂心, 由A 向以BC 为直径的圆作切线
AP , AQ , 切点分别为P , Q . 求证:P , H , Q 三点共线..
15．在等边 ABC 所在的平面上找这样的一点P ，使 PAB , PBC , PAC 都是等腰三角形，那么具有这样性质的点有几个．
16．过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A 、B ．所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间．在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ =∠PBC ．求证：∠DBQ =∠PAC ．
17．将平面上每一个点都以红、蓝两色之一着色，证明，存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为2007，并且每一个三角形的三个顶点同色．
18．在坐标平面上顶点坐标均为整数的点叫做整点多边形，求证，整点凸五边形内必有整点．
19．如图, 菱形ABCD 的内切圆O 与各边
分别切于E , F , G , H , 在弧EF 与弧GH 上分别
作⊙O 的切线交AB 于M , 交BC 于N , 交CD 于
P , 交DA 于Q . 求证MQ
//NP .
20．平面上有6个点，任何3点都是一个不等边三角形的顶点，则这些三角形中有一个的最短边又是另一个三角形的最长边．
21．在正方体的8个顶点处分别放上8个不同的正整数，如果他们的和等于55，那么必定能找到一个侧面正方形，其相对顶点所放的数都是奇数．
22．设d 是异于2，5，13的任一整数．求证在集合{2,5,13, d }中可以找到两个不同元素a , b ，使得ab -1不是完全平方数．
23．设有2n -1(n ≥1)个茶杯，开始时，杯口都朝上，现把茶杯随意翻转，规定每次翻转偶数只（翻动过的还可以再翻动），证明，无论翻动多少次，都不可能使杯口都朝下．
24．有100盏电灯，排成一横行，从左到右，我们给电灯编上号码1，2，„，99，100．每盏灯由一个拉线开关控制着．最初，电灯全是关着的．另外有100个学生，第一个学生走过来，把凡是号码为1的倍数的电灯的开关拉了一下；接着第2个学生走过来，把凡是号码为2的倍数的电灯的开关拉了一下；第3个学生走过来，把凡是号码为3的倍数的电灯的开关拉了一下，如此等等，最后那个学生走过来，把编号能被100整除的电灯的开关拉了一下，这样过去之后，问哪些灯是亮的？
25．证明对任意正整数n ，分数21n +4不可约． 14n +3
26．记a 1, a 2, , a 24π的前24位数字为π=3.[***********]46264，
为该24个数字的任一排列，求证(a 1-a 2)(a 3-a 4) (a 23-a 24)必为偶数．
27．用ϕ(n )表示n 的约数个数，请对ϕ(1)+ϕ(2)+ +ϕ(2007)的奇偶
性作出证明．
28设p 与q 为正整数，满足
被1979整除．
29．用两种颜色给数轴染色，每一个点上只染一种颜色．求证，存在同色两点，它们的距离为1或为2．
30．有n 个同学围坐在圆周上(n ≥4)，若每个学生的两旁都是一男一女，求证n 是4的倍数．
31．如果从数1，2， , 14中按由小到大的顺序取出a 1，a 2，a 3，使同时满足 a 2-a 1≥3, a 3-a 2≥3, 那么，所有符合上述要求的不同取
法有多少种？
32．证明：在任意6个人中，总可以找到3个人互相认识，或互相不认识，并且这种情况至少出现两个．
33．在一次乒乓球循环赛中，n 名选手中没有全胜的，证明，一定可以从中找到3名选手A , B , C ，使得A 胜B ，B 胜C ，C 胜A ．
34．甲乙两队各出7名队员按事先安排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，依次类推，直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获胜利，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数有多少？
35．设有2n ⨯2n 的正方形方格棋盘，在其中任意的3n 个方格中放一枚棋子，求证，可以选出n 行n 列，使得3n 枚棋子都在这n 行和n 列中．
36．凸n 边形（n ≥4）玫瑰园的n 个顶点各栽有1棵红玫瑰，每p 1111 求证p 可=1-+- -+q 2313181319
两棵红玫瑰之间都有一条直小路相通，这些直小路没有出现“三线共点”的情况——它们把花园分割成许多不重叠的区域（三角形、四边形，„），每块区域都栽有一棵白玫瑰或黑玫瑰．
⑴ 求出玫瑰园里玫瑰总棵数f (n ) 的表达式．
⑵ 花园里能否恰有99棵玫瑰？说明理由．
37．李明夫妇最近参加了一次集会，同时出席的还有三对夫妻．一见面，大家互相握手，当然夫妻之间不握手，也没有人与同一个人握两次手．握手完毕后，李明统计了包括妻子在内的7个人握手的次数，发现恰好数字互不相同．请问，李明的妻子握了几次手?
38．设n 是正整数，我们说集合{1, 2, , 2n }的一个排列(x 1, x 2, , x 2n )具有性质p ，是指在{1, 2, , 2n -1}当中至少有一个i ，使得|x i -x i +1|=n ，求证对于任何n ，具有性质p 的排列比不具有性质p 的排列的个数多．
39．运动会连续开了n 天（n >1），一共发了m 枚奖章．第一天发1枚以及剩下m -1枚的，第二天发2枚以及发后剩下的 ，以后每天均按此规律发奖章．在最后一天即第n 天发了剩下的n 枚奖章，问运动会开了多少天，一共发了多少枚奖章？
40．有17位科学家，每一个和其他人都通信，在他们的书信中一共讨论3个题目，而每两个科学家仅仅讨论一个题目，证明，至少有3个科学家，他们互相讨论同一题目．
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