一、相似三角形中的动点问题
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．
2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．
（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；
（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．
3.如图1，在Rt△ABC中，
ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N． （1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？
4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x． （1）当x为何值时，PQ∥BC？
（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．
5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。 （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？ （2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
二、构造相似辅助线——双垂直模型
6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式．
7.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点
的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD
的长．
8.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB．
9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为（）
A.
B.
C. D.
10..已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。 求C、D两点的坐标。
三、构造相似辅助线——A、X字型 11.如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。 求证：
12.四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB。
求证：
13.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝b，CD＝a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：
(1)
当时，EF=；(2)当时，EF=；
(3)
当
时，EF=．当时，参照上述研
究结论，请你猜想用a、b和k表示EF的一般结论，并
给出证明．
14.已知：如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC。 求BN：NQ：QM．
15.证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的
．（注：重心是三角形三条中线
的交点）（2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．
四、相似类定值问题 16.如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F． 求证：．
17.已知：如图，梯形ABCD中，AB//DC，对角线AC、BD交于O，过O作EF//AB分别交AD、BC于E、F。
求证：．
18.如图，在△ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在△ABC上。
求证：．
19.已知，在△ABC中作内接菱形CDEF，设菱形的边长为a．求证：．
五、相似之共线线段的比例问题 20.（1）如图1，点
在平行四边形ABCD
的对角线
BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交
于点
．求证：
（2）如图2，图3，当点在
平行四边形ABCD的对角线
或
的延长线上时
，
是否仍然成
立？若成立，试给出证明；若
不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；
21.已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上
一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2
＝PE·PF ．
22.如图，已知ΔABC中，AD，BF分别为BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC延长线于H。求证： DE2
=EG•EH
23.已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.
求证：
24.已知，如图，锐角△ABC中，AD⊥BC于D，H
为垂心
（三角形三条高线的交点）；在AD上有一点P，且∠BPC为直角．求证：PD2＝AD·DH 。
六、相似之等积式类型综合
25.已知如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F。 求证：
26如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E. 求证：（1）△AED∽△CBM；（2）
27.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F. （1）求证：
.
（2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？
并说明理由.
28.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：．
29.如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H。
求证：（1）DG2
＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH
七、 相似基本模型应用 30.△ABC和
△
DEF
是两个等腰直角三角形，∠
A=
∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．
（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；
（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．
31.如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q． （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）； （2）求BP：PQ：QR．
32.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：
答案：1.答案：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4 ∴AB=5 又∵AD=AB，AD=5t ∴t=1，此时CE=3， ∴DE=3+3-5=1
（2）
如图当点D在点E左侧，即：0≦t≦时，
DE=3t+3-5t=3-2t． 若△DEG与△ACB相似，有两种情况：
①△DEG∽△ACB，此时，
即：，求得：t=；
②△DEG∽△BCA，此时，
即：，求得：t=；
如图，当点D在点E右侧，即：
t>时，
DE=5t-(3t+3)=2t-3． 若△DEG与△ACB相似，有两种情况：
③△DEG∽△ACB，此时
，
即：，求得：t=；
④△DEG∽△BCA，此时，
即：，求得：t=．
综上，t的值为或或或．
3.答案：解：（1）证明：∵AD=CD
∴∠A=∠ACD ∵DE平分CDB交边BC于点E ∴∠CDE=∠BDE ∵∠CDB为△CDB的一个外角 ∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠ACD ∵∠CDB=∠CDE+∠BDE=2∠CDE ∴∠ACD=∠CDE ∴DE∥AC （2）①∠NCE=∠MBE ∵EM⊥BD，EN⊥CD， ∴△BME∽△CNE，如图
∵∠NCE=∠MBE
∴BD=CD
又∵∠NCE+∠ACD=∠MBE+∠A=90° ∴∠ACD=∠A ∴AD=CD
∴AD=BD=
AB
∵在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8
∴AB=10 ∴AD=5
②∠NCE=∠MEB ∵EM⊥BD，EN⊥CD， ∴△BME∽△ENC，如图
∵∠NCE=∠MEB
∴EM∥CD ∴CD⊥AB ∵在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8
∴AB=10
∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB
∴△ACD∽△ABC
∴
∴
综上：AD=5或时，△BME与△CNE相似．
4.答案：解（1）由题意：AP=4x，CQ=3x，AQ=30-3x
，
当PQ∥BC时，，即：
解得：
（2）能，
AP=cm或AP=20cm
①△APQ∽△CBQ
，则
，即
解得：或（舍）
此时：AP=
cm
②△APQ∽△CQB
，则，即
解得：（符合题意）
此时：AP=cm
故AP=
cm或20cm时，△APQ与△CQB能相似．
5.答案：解：设运动时间为t，则DQ=t，AQ=6-t，AP=2t，
BP=12-2t．
（1）若△QAP为等腰直角三角形，则AQ=AP，即：6-t=2t，t=2（符合题意） ∴t=2时，△QAP为等腰直角三角形． （2）∠B=∠QAP=90°
①当△QAP∽△ABC时，
，即：
，
解得：
（符合题意）；
②当△PAQ∽△ABC
时，，即：， 解得：
（符合题意）．
∴ 当
或
时，以点Q、A、P为顶点的三角形与
△ABC相似．
6.答案：解：分两种情况
第一种情况，图象经过第一、三象限
过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C，过点B作BD⊥AC 则由上可知：
＝90°
由双垂直模型知：△OCA∽△ADB
∴
∵A（2，1）
，
＝45°
∴OC＝2，AC＝1，AO＝AB ∴AD＝OC＝2，BD＝AC＝1 ∴D点坐标为（2，3） ∴B点坐标为（1，3） ∴此时正比例函数表达式为：y＝3x
第二种情况，图象经过第二、四象限
过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平
行于x轴的直线交y轴于点C，过点B作BD⊥AC 则由上可知：
＝90°
由双垂直模型知：△OCA∽△ADB
∴
∵A（2，1）
，
＝45°
∴OC＝1，AC＝2，AO＝AB
∴AD＝OC＝1，BD＝AC＝2 ∴D点坐标为（3，1） ∴B点坐标为（3，﹣1）
∴此时正比例函数表达式为：y
＝x
7.答案：解：情形一：
情形二：
情形三：
8.答案：证明：方法一：
连接PC，过点P作PD⊥AC于D，则PD//BC 根据折叠可知MN⊥CP ∵∠2+∠PCN=90°，∠PCN+∠CNM=90° ∴∠2=∠CNM ∵∠CDP=∠NCM=90° ∴△PDC∽MCN ∴MC：CN=PD：DC ∵PD=DA ∴MC：CN=DA：DC ∵PD//BC ∴DA：DC=PA：PB ∴MC：CN=PA：PB
方法二：如图，
过M作MD⊥AB于D，过N作NE⊥AB于E
由双垂直模型，可以推知△PMD∽NPE，
则
，
根据等比性质可知，而MD=DA，
NE=EB，PM=CM，PN=CN，∴MC：CN=PA：PB
9.答案：A
解题思路：如图
过点D作AB的平行线交BC的延长线于点M，交x轴于点N，则∠M=∠DNA=90°，
由于折叠，可以得到△ABC≌△ADC， 又由B（1，3）
∴BC=DC=1，AB=AD=MN=3，∠CDA=∠B=90° ∴ ∠1+∠2=90° ∵ ∠DNA=90° ∴ ∠3+∠2=90° ∴ ∠1=∠3 ∴ △DMC∽△AND，
∴
设CM=x，则DN=3x，AN=1＋x，DM＝
∴3x＋＝3
∴x＝
∴，则。答案为A
10.答案：解：
过点C作x轴的平行线交y轴于G，过点D作y轴的平行线交x轴于F，交GC的延长线于E。 ∵直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点 ∴A（1,0），B（0,2） ∴OA=1，OB=2，AB=
∵AB：BC=1:2 ∴BC=AD=
∵∠ABO+∠CBG=90°，∠ABO+∠BAO=90°
∴∠CBG=∠BAO 又∵∠CGB=∠BOA=90° ∴△OAB∽△GBC
∴
∴GB=2，GC=4
∴GO=4
∴C（4,4） 同理可得△ADF∽△BAO，得
∴DF=2，AF=4∴OF=5
11.答案：证明：（方法一）如图
延长AE到M使得EM=AE，连接CM ∵BE=CE，∠AEB=∠MEC ∴ △BEA≌△CEM ∴CM=AB，∠1=∠B ∴AB∥CM ∴∠M=∠MAD，∠MCF=∠ADF
∴△MCF∽△ADF
∴
∵CM=AB，AD=AC
∴
（方法二）
过D作DG∥BC交AE于G
D（5,2）∴
则△ABE∽△ADG，△CEF∽△DGF
∴，
∵AD=AC，BE=CE
∴
12.答案：证明：
过点D作DF∥AB交AC的延长线于点F，则∠2=∠3 ∵AC平分∠DAB
∴∠1=∠2 ∴∠1=∠3 ∴AD=DF
∵∠DEF=∠BEA，∠2=∠3 ∴△BEA∽△DEF
∴
∵AD=DF
∴
∵AC为AB、AD的比例中项 ∴
即
又∵∠1=∠2 ∴△ACD∽△ABC
∴
∴
∴
13.答案：解：
证明：
过点E作PQ∥BC分别交BA延长线和DC于点P和点
Q ∵AB∥CD，PQ∥BC ∴四边形PQCB和四边形EQCF是平行四边形
∴PB＝EF＝CQ
，
又∵AB＝b，CD＝a
∴AP＝PB-AB＝EF-b，DQ＝DC-QC＝a-EF
∴
∴
14.答案：解：
连接MF
∵M是AC的中点，EF＝FC
∴MF∥AE且MF
＝
AE
∴△BEN∽△BFM
∴BN：BM＝
BE：BF＝NE：MF∵BE＝EF∴BN：BM＝NE：MF＝1:2∴BN：NM＝1:1设NE＝x，则MF＝2x，AE＝
4x∴AN＝3x∵MF∥AE∴△NAQ∽△MFQ∴NQ：QM＝AN：MF＝3:2∵BN：NM＝1:1，NQ：QM＝3:2∴BN：NQ：QM＝5:3:2
15.答案：证明：（1）
如图1，AD、BE为△ABC的中线，且AD、BE交于点O 过点C作CF∥BE，交AD的延长线于点F ∵CF∥BE且E为AC中点 ∴∠AEO＝∠ACF，∠OBD＝∠FCD，AC＝2AE ∵∠EAO＝∠CAF ∴△AEO∽△ACF
∴
∵D为BC的中点，∠ODB＝∠FDC
∴△BOD≌△CFD ∴BO＝CF
∴
∴
同理，可证另外两条中线
∴
三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的
（2）
如图2，AD为△ABC的角平分线
过点C作AB的平行线CE交AD的延长线于E
则∠BAD=∠E ∵AD为△ABC的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD ∴∠E=∠CAD ∴AC＝CE ∵CE∥AB ∴△BAD∽△CED
∴ ∴ 16.答案：证明：
如图，作DP∥AB，DQ∥AC
则四边形MDPB和四边形NDQC均为平行四边形且
△DPQ是等边三角形
∴BP+CQ＝MN，DP＝DQ＝PQ ∵M、N分别是边AB，AC的中点
∴MN＝
BC＝PQ
∵DP∥AB，DQ∥AC ∴△CDP∽△CFB，△BDQ∽△BEC
∴，
∴
∵DP＝DQ＝PQ
＝BC＝AB
∴AB（）＝
∴
17.答案：证明：∵EF//AB，AB//DC ∴EF//DC
∴△AOE∽△ACD，△DOE∽△DBA
∴
，
∴
∴
18.答案：证明：∵EF∥CD，EH∥AB ∴
，
∵，
∴△AFE∽△ADC，△CEH∽△CAB
∴，
∵EF＝EH
∴ ∴
19.答案：证明：∵EF∥AC，DE∥BC ∴，
∵
，
∴△BFE∽△BCA，△AED∽△ABC
∴，
∴
∵EF＝DE＝a
∴
20.答案：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DRP=∠S，∠RDB=∠DBS
∴△DRP∽△BSP
∴
同理由AB∥CD可证△PTD∽△PQB
∴
∴
∴
（2）证明：成立，理由如下： 在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠PRD=∠S，∠RDP=∠DBS ∴△DRP∽△BSP
∴
同理由AB∥CD可证△PTD∽△PQB
∴
∴
∴
21.答案：证明:
∵AB＝AC，AD是中线， ∴AD⊥BC,BP=CP
∴∠1=∠2 又∵∠ABC=∠ACB ∴∠3=∠4 ∵CF∥AB ∴∠3=∠F,∠4=∠F 又∵∠EPC=∠CPF ∴△EPC∽△CPF
∴
∴BP2＝PE·PF
即证所求
22.答案：证明：∵DE⊥AB ∴＝90° ∵
＝90° ∴
∵
∴△ADE∽△DBE
∴ ∴DE2= ∵BF⊥AC ∴
＝90°
∵＝90°且
∴
∵
∴△BEG∽△HEA
∴
∴
＝∴DE2=EG•EH
23.答案：证明：
∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AB∥CD，AD∥BC
∴∠1=∠2，∠G=∠H，∠5=∠6 ∴△PAH∽△PCG
∴
又∵∠3=∠4
∴△APE∽△CPF
∴ ∴
24.答案：证明：如图，连接BH交AC于点E，
∵H为垂心
∴BE⊥AC ∴∠EBC+∠BCA=90°
∵AD⊥BC于D ∴∠DAC+∠BCA=90° ∴∠EBC=∠DAC
又∠BDH=∠ADC=90° ∴△BDH∽△ADC
∴
，
即
∵∠BPC
为直角，
AD⊥BC∴PD2＝
BD·DC∴PD2
＝
AD·DH
25.答案：证明：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为
BC的中点 ∴CE=EB=DE
∴∠B=∠BDE=∠FDA ∵∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90° ∴∠B=∠ACD ∴∠FDA=∠ACD
∵∠F=∠F
∴△FDA∽△FCD
∴
∵∠ADC=∠CDB=90°，∠B=∠ACD ∴△ACD∽△CBD
∴
∴
即
26.答案：证明：（1）∵∠ACB＝∠ADC＝90° ∴∠A＋∠ACD＝90°
∠BCM＋∠ACD＝90° ∴∠A＝∠BCM 同理可得：∠MDH＝∠MBD
∵∠CMB＝∠CDB＋∠MBD＝90°＋∠MBD ∠ADE＝∠ADC＋∠MDH＝90°＋∠MDH ∴∠ADE＝∠CMB ∴△AED∽△CBM
（2）由上问可知
：
，
即
故只需证明
即可
∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠ABC ∴△ACD∽△ABC
∴，即
∴
27.答案：（1）将结论写成比例的形式，，可以考虑证明△FDB∽△FCD（已经有一个公共角∠F） Rt△ACD中，E是AC的中点 ∴DE=AE ∴∠A=∠ADE ∵∠ADE=∠FDB ∴∠A=∠FDB 而∠A+∠ACD=90° ∠FCD+∠ACD=90° ∴∠A=∠FCD ∴∠FCD=∠FDB 而∠F=∠F ∴△FBD∽△FDC
∴
∴
（2）判断：GD与EF垂直
Rt△CDB
中，G是BC的中点，∴GD＝GB∴∠GDB=∠GBD而
∠GBD+∠FCD=90°又∵∠FCD=∠FDB（1的结论）∴∠GDB+∠FDB=90°∴GD⊥EF 28.答案：证明：由四边形ABCD、DEFG都是正方形可知，∠ADC=∠GDE=90°，则∠CDG=∠ADE=∠ADG+90° 在
和
中
∴
≌
则∠DAM=∠DCN 又∵∠ANM=∠CND ∴△ANM∽△CND
则
∴
29.答案：证明：找模型。
（1）△BCD、△BDG，△CDG构成母子型相似。∴△BDG∽△DCG
∴
∴DG2＝BG·CG
（2）分析：将等积式转化为比例式。
BG·CG＝
GF·GH
∵∠GFC=∠EFH，而∠EFH+∠H=90°，∠GFC+∠FCG=90°
∴∠H=∠FCG 而∠HGB=∠CGF=90° ∴△HBG∽△CFG
∴∴BG·CG＝GF·GH．
30.答案：（1）证明：∵∠MEB＋∠NEC＝180°－45°＝135°＝∠MEB＋∠EMB∴∠NEC＝∠EMB又∵∠B=∠C∴△BEM∽△CNE（2）△COE∽△EON证明：∵∠OEN=∠C＝45°，∠COE＝∠EON∴△COE∽△EON 31.
答案：解：（1）△BCP∽△BER，△CQP∽△DQR， △ABP∽△CQP，△DQR∽△ABP （2）∵AC∥DE ∴△BCP∽△BER
∴ ∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形 ∴AD=BC，AD=CE
∴BC=CE，即点C为BE的中点 ∴
又∵AC∥DE ∴△CQP∽△DQR
∴
∵点R为DE的中点 ∴DR=RE
∴
综上：BP：PQ：QR＝3：1：2
32.答案：证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB
∴△ADB∽△AED ∴
∴AD²＝AEAB
同理可证：AD²＝AFAC ∴AEAB＝AF
AC
一、相似三角形中的动点问题
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．
2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．
（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；
（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．
3.如图1，在Rt△ABC中，
ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N． （1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？
4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x． （1）当x为何值时，PQ∥BC？
（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．
5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。 （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？ （2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
二、构造相似辅助线——双垂直模型
6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式．
7.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点
的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD
的长．
8.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB．
9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为（）
A.
B.
C. D.
10..已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。 求C、D两点的坐标。
三、构造相似辅助线——A、X字型 11.如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。 求证：
12.四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB。
求证：
13.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝b，CD＝a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：
(1)
当时，EF=；(2)当时，EF=；
(3)
当
时，EF=．当时，参照上述研
究结论，请你猜想用a、b和k表示EF的一般结论，并
给出证明．
14.已知：如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC。 求BN：NQ：QM．
15.证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的
．（注：重心是三角形三条中线
的交点）（2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．
四、相似类定值问题 16.如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F． 求证：．
17.已知：如图，梯形ABCD中，AB//DC，对角线AC、BD交于O，过O作EF//AB分别交AD、BC于E、F。
求证：．
18.如图，在△ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在△ABC上。
求证：．
19.已知，在△ABC中作内接菱形CDEF，设菱形的边长为a．求证：．
五、相似之共线线段的比例问题 20.（1）如图1，点
在平行四边形ABCD
的对角线
BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交
于点
．求证：
（2）如图2，图3，当点在
平行四边形ABCD的对角线
或
的延长线上时
，
是否仍然成
立？若成立，试给出证明；若
不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；
21.已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上
一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2
＝PE·PF ．
22.如图，已知ΔABC中，AD，BF分别为BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC延长线于H。求证： DE2
=EG•EH
23.已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.
求证：
24.已知，如图，锐角△ABC中，AD⊥BC于D，H
为垂心
（三角形三条高线的交点）；在AD上有一点P，且∠BPC为直角．求证：PD2＝AD·DH 。
六、相似之等积式类型综合
25.已知如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F。 求证：
26如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E. 求证：（1）△AED∽△CBM；（2）
27.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F. （1）求证：
.
（2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？
并说明理由.
28.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：．
29.如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H。
求证：（1）DG2
＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH
七、 相似基本模型应用 30.△ABC和
△
DEF
是两个等腰直角三角形，∠
A=
∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．
（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；
（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．
31.如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q． （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）； （2）求BP：PQ：QR．
32.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：
答案：1.答案：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4 ∴AB=5 又∵AD=AB，AD=5t ∴t=1，此时CE=3， ∴DE=3+3-5=1
（2）
如图当点D在点E左侧，即：0≦t≦时，
DE=3t+3-5t=3-2t． 若△DEG与△ACB相似，有两种情况：
①△DEG∽△ACB，此时，
即：，求得：t=；
②△DEG∽△BCA，此时，
即：，求得：t=；
如图，当点D在点E右侧，即：
t>时，
DE=5t-(3t+3)=2t-3． 若△DEG与△ACB相似，有两种情况：
③△DEG∽△ACB，此时
，
即：，求得：t=；
④△DEG∽△BCA，此时，
即：，求得：t=．
综上，t的值为或或或．
3.答案：解：（1）证明：∵AD=CD
∴∠A=∠ACD ∵DE平分CDB交边BC于点E ∴∠CDE=∠BDE ∵∠CDB为△CDB的一个外角 ∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠ACD ∵∠CDB=∠CDE+∠BDE=2∠CDE ∴∠ACD=∠CDE ∴DE∥AC （2）①∠NCE=∠MBE ∵EM⊥BD，EN⊥CD， ∴△BME∽△CNE，如图
∵∠NCE=∠MBE
∴BD=CD
又∵∠NCE+∠ACD=∠MBE+∠A=90° ∴∠ACD=∠A ∴AD=CD
∴AD=BD=
AB
∵在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8
∴AB=10 ∴AD=5
②∠NCE=∠MEB ∵EM⊥BD，EN⊥CD， ∴△BME∽△ENC，如图
∵∠NCE=∠MEB
∴EM∥CD ∴CD⊥AB ∵在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8
∴AB=10
∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB
∴△ACD∽△ABC
∴
∴
综上：AD=5或时，△BME与△CNE相似．
4.答案：解（1）由题意：AP=4x，CQ=3x，AQ=30-3x
，
当PQ∥BC时，，即：
解得：
（2）能，
AP=cm或AP=20cm
①△APQ∽△CBQ
，则
，即
解得：或（舍）
此时：AP=
cm
②△APQ∽△CQB
，则，即
解得：（符合题意）
此时：AP=cm
故AP=
cm或20cm时，△APQ与△CQB能相似．
5.答案：解：设运动时间为t，则DQ=t，AQ=6-t，AP=2t，
BP=12-2t．
（1）若△QAP为等腰直角三角形，则AQ=AP，即：6-t=2t，t=2（符合题意） ∴t=2时，△QAP为等腰直角三角形． （2）∠B=∠QAP=90°
①当△QAP∽△ABC时，
，即：
，
解得：
（符合题意）；
②当△PAQ∽△ABC
时，，即：， 解得：
（符合题意）．
∴ 当
或
时，以点Q、A、P为顶点的三角形与
△ABC相似．
6.答案：解：分两种情况
第一种情况，图象经过第一、三象限
过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C，过点B作BD⊥AC 则由上可知：
＝90°
由双垂直模型知：△OCA∽△ADB
∴
∵A（2，1）
，
＝45°
∴OC＝2，AC＝1，AO＝AB ∴AD＝OC＝2，BD＝AC＝1 ∴D点坐标为（2，3） ∴B点坐标为（1，3） ∴此时正比例函数表达式为：y＝3x
第二种情况，图象经过第二、四象限
过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平
行于x轴的直线交y轴于点C，过点B作BD⊥AC 则由上可知：
＝90°
由双垂直模型知：△OCA∽△ADB
∴
∵A（2，1）
，
＝45°
∴OC＝1，AC＝2，AO＝AB
∴AD＝OC＝1，BD＝AC＝2 ∴D点坐标为（3，1） ∴B点坐标为（3，﹣1）
∴此时正比例函数表达式为：y
＝x
7.答案：解：情形一：
情形二：
情形三：
8.答案：证明：方法一：
连接PC，过点P作PD⊥AC于D，则PD//BC 根据折叠可知MN⊥CP ∵∠2+∠PCN=90°，∠PCN+∠CNM=90° ∴∠2=∠CNM ∵∠CDP=∠NCM=90° ∴△PDC∽MCN ∴MC：CN=PD：DC ∵PD=DA ∴MC：CN=DA：DC ∵PD//BC ∴DA：DC=PA：PB ∴MC：CN=PA：PB
方法二：如图，
过M作MD⊥AB于D，过N作NE⊥AB于E
由双垂直模型，可以推知△PMD∽NPE，
则
，
根据等比性质可知，而MD=DA，
NE=EB，PM=CM，PN=CN，∴MC：CN=PA：PB
9.答案：A
解题思路：如图
过点D作AB的平行线交BC的延长线于点M，交x轴于点N，则∠M=∠DNA=90°，
由于折叠，可以得到△ABC≌△ADC， 又由B（1，3）
∴BC=DC=1，AB=AD=MN=3，∠CDA=∠B=90° ∴ ∠1+∠2=90° ∵ ∠DNA=90° ∴ ∠3+∠2=90° ∴ ∠1=∠3 ∴ △DMC∽△AND，
∴
设CM=x，则DN=3x，AN=1＋x，DM＝
∴3x＋＝3
∴x＝
∴，则。答案为A
10.答案：解：
过点C作x轴的平行线交y轴于G，过点D作y轴的平行线交x轴于F，交GC的延长线于E。 ∵直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点 ∴A（1,0），B（0,2） ∴OA=1，OB=2，AB=
∵AB：BC=1:2 ∴BC=AD=
∵∠ABO+∠CBG=90°，∠ABO+∠BAO=90°
∴∠CBG=∠BAO 又∵∠CGB=∠BOA=90° ∴△OAB∽△GBC
∴
∴GB=2，GC=4
∴GO=4
∴C（4,4） 同理可得△ADF∽△BAO，得
∴DF=2，AF=4∴OF=5
11.答案：证明：（方法一）如图
延长AE到M使得EM=AE，连接CM ∵BE=CE，∠AEB=∠MEC ∴ △BEA≌△CEM ∴CM=AB，∠1=∠B ∴AB∥CM ∴∠M=∠MAD，∠MCF=∠ADF
∴△MCF∽△ADF
∴
∵CM=AB，AD=AC
∴
（方法二）
过D作DG∥BC交AE于G
D（5,2）∴
则△ABE∽△ADG，△CEF∽△DGF
∴，
∵AD=AC，BE=CE
∴
12.答案：证明：
过点D作DF∥AB交AC的延长线于点F，则∠2=∠3 ∵AC平分∠DAB
∴∠1=∠2 ∴∠1=∠3 ∴AD=DF
∵∠DEF=∠BEA，∠2=∠3 ∴△BEA∽△DEF
∴
∵AD=DF
∴
∵AC为AB、AD的比例中项 ∴
即
又∵∠1=∠2 ∴△ACD∽△ABC
∴
∴
∴
13.答案：解：
证明：
过点E作PQ∥BC分别交BA延长线和DC于点P和点
Q ∵AB∥CD，PQ∥BC ∴四边形PQCB和四边形EQCF是平行四边形
∴PB＝EF＝CQ
，
又∵AB＝b，CD＝a
∴AP＝PB-AB＝EF-b，DQ＝DC-QC＝a-EF
∴
∴
14.答案：解：
连接MF
∵M是AC的中点，EF＝FC
∴MF∥AE且MF
＝
AE
∴△BEN∽△BFM
∴BN：BM＝
BE：BF＝NE：MF∵BE＝EF∴BN：BM＝NE：MF＝1:2∴BN：NM＝1:1设NE＝x，则MF＝2x，AE＝
4x∴AN＝3x∵MF∥AE∴△NAQ∽△MFQ∴NQ：QM＝AN：MF＝3:2∵BN：NM＝1:1，NQ：QM＝3:2∴BN：NQ：QM＝5:3:2
15.答案：证明：（1）
如图1，AD、BE为△ABC的中线，且AD、BE交于点O 过点C作CF∥BE，交AD的延长线于点F ∵CF∥BE且E为AC中点 ∴∠AEO＝∠ACF，∠OBD＝∠FCD，AC＝2AE ∵∠EAO＝∠CAF ∴△AEO∽△ACF
∴
∵D为BC的中点，∠ODB＝∠FDC
∴△BOD≌△CFD ∴BO＝CF
∴
∴
同理，可证另外两条中线
∴
三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的
（2）
如图2，AD为△ABC的角平分线
过点C作AB的平行线CE交AD的延长线于E
则∠BAD=∠E ∵AD为△ABC的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD ∴∠E=∠CAD ∴AC＝CE ∵CE∥AB ∴△BAD∽△CED
∴ ∴ 16.答案：证明：
如图，作DP∥AB，DQ∥AC
则四边形MDPB和四边形NDQC均为平行四边形且
△DPQ是等边三角形
∴BP+CQ＝MN，DP＝DQ＝PQ ∵M、N分别是边AB，AC的中点
∴MN＝
BC＝PQ
∵DP∥AB，DQ∥AC ∴△CDP∽△CFB，△BDQ∽△BEC
∴，
∴
∵DP＝DQ＝PQ
＝BC＝AB
∴AB（）＝
∴
17.答案：证明：∵EF//AB，AB//DC ∴EF//DC
∴△AOE∽△ACD，△DOE∽△DBA
∴
，
∴
∴
18.答案：证明：∵EF∥CD，EH∥AB ∴
，
∵，
∴△AFE∽△ADC，△CEH∽△CAB
∴，
∵EF＝EH
∴ ∴
19.答案：证明：∵EF∥AC，DE∥BC ∴，
∵
，
∴△BFE∽△BCA，△AED∽△ABC
∴，
∴
∵EF＝DE＝a
∴
20.答案：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DRP=∠S，∠RDB=∠DBS
∴△DRP∽△BSP
∴
同理由AB∥CD可证△PTD∽△PQB
∴
∴
∴
（2）证明：成立，理由如下： 在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠PRD=∠S，∠RDP=∠DBS ∴△DRP∽△BSP
∴
同理由AB∥CD可证△PTD∽△PQB
∴
∴
∴
21.答案：证明:
∵AB＝AC，AD是中线， ∴AD⊥BC,BP=CP
∴∠1=∠2 又∵∠ABC=∠ACB ∴∠3=∠4 ∵CF∥AB ∴∠3=∠F,∠4=∠F 又∵∠EPC=∠CPF ∴△EPC∽△CPF
∴
∴BP2＝PE·PF
即证所求
22.答案：证明：∵DE⊥AB ∴＝90° ∵
＝90° ∴
∵
∴△ADE∽△DBE
∴ ∴DE2= ∵BF⊥AC ∴
＝90°
∵＝90°且
∴
∵
∴△BEG∽△HEA
∴
∴
＝∴DE2=EG•EH
23.答案：证明：
∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AB∥CD，AD∥BC
∴∠1=∠2，∠G=∠H，∠5=∠6 ∴△PAH∽△PCG
∴
又∵∠3=∠4
∴△APE∽△CPF
∴ ∴
24.答案：证明：如图，连接BH交AC于点E，
∵H为垂心
∴BE⊥AC ∴∠EBC+∠BCA=90°
∵AD⊥BC于D ∴∠DAC+∠BCA=90° ∴∠EBC=∠DAC
又∠BDH=∠ADC=90° ∴△BDH∽△ADC
∴
，
即
∵∠BPC
为直角，
AD⊥BC∴PD2＝
BD·DC∴PD2
＝
AD·DH
25.答案：证明：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为
BC的中点 ∴CE=EB=DE
∴∠B=∠BDE=∠FDA ∵∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90° ∴∠B=∠ACD ∴∠FDA=∠ACD
∵∠F=∠F
∴△FDA∽△FCD
∴
∵∠ADC=∠CDB=90°，∠B=∠ACD ∴△ACD∽△CBD
∴
∴
即
26.答案：证明：（1）∵∠ACB＝∠ADC＝90° ∴∠A＋∠ACD＝90°
∠BCM＋∠ACD＝90° ∴∠A＝∠BCM 同理可得：∠MDH＝∠MBD
∵∠CMB＝∠CDB＋∠MBD＝90°＋∠MBD ∠ADE＝∠ADC＋∠MDH＝90°＋∠MDH ∴∠ADE＝∠CMB ∴△AED∽△CBM
（2）由上问可知
：
，
即
故只需证明
即可
∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠ABC ∴△ACD∽△ABC
∴，即
∴
27.答案：（1）将结论写成比例的形式，，可以考虑证明△FDB∽△FCD（已经有一个公共角∠F） Rt△ACD中，E是AC的中点 ∴DE=AE ∴∠A=∠ADE ∵∠ADE=∠FDB ∴∠A=∠FDB 而∠A+∠ACD=90° ∠FCD+∠ACD=90° ∴∠A=∠FCD ∴∠FCD=∠FDB 而∠F=∠F ∴△FBD∽△FDC
∴
∴
（2）判断：GD与EF垂直
Rt△CDB
中，G是BC的中点，∴GD＝GB∴∠GDB=∠GBD而
∠GBD+∠FCD=90°又∵∠FCD=∠FDB（1的结论）∴∠GDB+∠FDB=90°∴GD⊥EF 28.答案：证明：由四边形ABCD、DEFG都是正方形可知，∠ADC=∠GDE=90°，则∠CDG=∠ADE=∠ADG+90° 在
和
中
∴
≌
则∠DAM=∠DCN 又∵∠ANM=∠CND ∴△ANM∽△CND
则
∴
29.答案：证明：找模型。
（1）△BCD、△BDG，△CDG构成母子型相似。∴△BDG∽△DCG
∴
∴DG2＝BG·CG
（2）分析：将等积式转化为比例式。
BG·CG＝
GF·GH
∵∠GFC=∠EFH，而∠EFH+∠H=90°，∠GFC+∠FCG=90°
∴∠H=∠FCG 而∠HGB=∠CGF=90° ∴△HBG∽△CFG
∴∴BG·CG＝GF·GH．
30.答案：（1）证明：∵∠MEB＋∠NEC＝180°－45°＝135°＝∠MEB＋∠EMB∴∠NEC＝∠EMB又∵∠B=∠C∴△BEM∽△CNE（2）△COE∽△EON证明：∵∠OEN=∠C＝45°，∠COE＝∠EON∴△COE∽△EON 31.
答案：解：（1）△BCP∽△BER，△CQP∽△DQR， △ABP∽△CQP，△DQR∽△ABP （2）∵AC∥DE ∴△BCP∽△BER
∴ ∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形 ∴AD=BC，AD=CE
∴BC=CE，即点C为BE的中点 ∴
又∵AC∥DE ∴△CQP∽△DQR
∴
∵点R为DE的中点 ∴DR=RE
∴
综上：BP：PQ：QR＝3：1：2
32.答案：证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB
∴△ADB∽△AED ∴
∴AD²＝AEAB
同理可证：AD²＝AFAC ∴AEAB＝AF
AC