专题一 数学思想方法问题
强化突破
1．(2014·北京) 已知点A 为某封闭图形边界上一定点，动点P 从点A 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P 运动的时间为x ，线段AP 的长为y. 表示y 与x 的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是( A
)
2．(2013·长春) 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0，3) ，△OAB 沿x 轴向右3平移后得到△O′A′B′，点A 的对应点A′在直线y ＝x 上，则点B 与其对应点B′间的距离为( C )
4
9
A B ．3 C ．4 D ．5 4
3．(2013·南充) 如图1，点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 沿BE →ED →DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们运动的速度都是1 cm /s ，设P ，Q 出发t 秒时，△BPQ 的面积为y cm 2，已知y 与t 的函数关系的图象如图2
2(曲线OM 为抛物线的一部分) ，则下列结论：①AD ＝BE ＝5 cm ；②当0＜t ≤5时，y 2 ；
5229
③直线NH 的解析式为y ＋27；④若△ABE 与△QBP 相似，则t 54结论个数为( B
)
A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
4．如图，P 是矩形ABCD 内的任意一点，连接PA ，PB ，PC ，PD ，得到△PAB ，△PBC ，
△PCD ，△PDA ，设它们的面积分别是S 1，S 2，S 3，S 4，给出如下结论：①S 1＋S 2＝S 3＋S 4；②S 2＋S 4＝S 1＋S 3；③若S 3＝2S 1，则S 4＝2S 2；④若S 1＝S 2，则P 点在矩形的对角线上．其中正确的结论的序号是__②④__．
5．(2013·河南) 如图，抛物线的顶点为P(－2，2) ，与y 轴交于点A(0，3) ，若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P ′(2，－2) ，点A 的对应点为A′，则抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分) 的面积为__12__．
6．(2014·杭州) 复习课中，教师给出关于x 的函数y ＝2kx 2－(4k＋1)x －k ＋1(k是实数) ． 教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论(性质) 写到黑板上．
学生思考后，黑板上出现了一些结论，教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：
①存在函数，其图象经过(1，0) 点；
②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；
③当x ＞1时，不是y 随x 的增大而增大就是y 随x 的增大而减小；
④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数．
教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．
解：①真，将(1，0) 代入可得2k －(4k＋1) －k ＋1＝0，解得k ＝0；方程思想 ②假，反b 5
例：k ＝0时，只有两个交点；举反例 ③假，反例：k ＝1，－当x ＞1时，先减后
2a 44ac －b 224k 2＋1
增；举反例 ④真，当k ＝0时，函数无最大、最小值；k ≠0时，y 最＝，
4a 8k ∴当k ＞0时，有最小值，最小值为负；k ＜0时，有最大值，最大值为正．分类讨论
7．在长为10 m ，宽为8 m 的矩形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示，求小矩形花圃的长和宽．
⎧x ＝4⎪⎧2x ＋y ＝10，
解：设小矩形的长为x m ，宽为y m ，依题意得⎨解得⎨
⎪x ＋2y ＝8，y ＝2⎩⎩
8．如图1，在△ABC 中，已知∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，BD ＝2，DC ＝3，求AD 的长．
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，如图1，她分别以AB ，AC 为对称轴，画出△ABD ，△ACD 的轴对称图形，D 点的对称点为E ，F ，延长EB ，FC 相交于G 点，得到四边形AEGF 是正方形．设AD ＝x ，利用勾股定理，建立关于x 的方程模型，求出x 的值．
(1)请你帮小萍求出x 的值；
(2)参考小萍的思路，探究解答新问题：
如图2，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，AD ⊥BC 于D ，AD ＝4，请你按照小萍的方法通过画图，得到四边形AEGF ，求△BGC 的周长．(画图所用字母与图1中的字母对应
)
解：(1)在Rt △BCG 中，BG ＝x －2，CG ＝x －3，BC ＝5，由勾股定理得(x－2) 2＋(x－3) 2＝25，解得x 1＝6，x 2＝－1(舍去) ，故x ＝6
(2)图略．连接EF ，则△AEF 为等边三角形，EF ＝4，△EGF 为底角为30°的等腰三角4
形，可求EG ＝3，∴△BGC 的周长为BG ＋BC ＋GC ＝BG ＋BD ＋DC ＋GC ＝BG ＋EB ＋
3FC ＋GC ＝EG ＋GF ＝2EG 83
9．如图1，A ，B ，C ，D 为矩形的四个顶点，AD ＝4 cm ，AB ＝d cm ，动点E ，F 分别从点D ，B 出发，点E 以1 cm /s 的速度沿边DA 向点A 移动，点F 以1 cm /s 的速度沿边BC 向点C 移动，点F 移动到点C 时，两点同时停止移动，以EF 为边作正方形EFGH ，点F 出发x s 时，正方形EFGH 的面积为y cm 2. 已知y 与x 的函数图象是抛物线的一部分，如图2所示．请根据图中信息，解答下列问题：
(1)自变量x 的取值范围； (2)d＝，m ＝，n ＝；
(3)F出发多少秒时，正方形EFGH 的面积为16 cm 2?
解：(3)设F 出发x 秒时，正方形EFGH 的面积为16 cm 2. 过点F 作FM ⊥AD 于M ，∵7
DE ＝BF ＝AM ＝x ，则EM ＝|4－2x|，在Rt △EFM 中，有32＋(4－2x) 2＝16，解得x ＝，
2故F 出发
4＋747
或s 时，正方形EFGH 的面积为16 cm 2 22
10．某同学从家里出发，骑自行车上学时，速度v(米/秒) 与时间t(秒) 的关系如图1，A(10，5) ，B(130，5) ，C(135，0) ．
(1)求该同学骑自行车上学途中的速度v 与时间t 的函数关系式；
(2)计算该同学从家到学校的路程；(提示：在OA 和BC 段的运动过程中的平均速度分别等于它们中点时刻的速度，路程＝平均速度×时间)
(3)如图2，直线x ＝t(0≤t ≤135) 与图1的图象相交于P ，Q ，用字母S 表示图中阴影部分面积，试求S 与t 的函数关系式；
(4)由(2)(3)，直接猜出在
t 时刻，该同学离开家所走过的路程与此时S 的数量关系．
⎧⎪2（0≤t ＜10）
解：(1)v＝⎨5（10≤t ＜130）
⎪⎩－t ＋135（130≤t ≤135）
1
(2)在0≤t ＜10时，所走路程为
0＋5
×10＝2
25(米) ；在10≤t ＜130时，所走路程为(130－10) ×5＝600(米) ；在130≤t ≤135时，所走路
5＋0程为×5＝12.5(米) ，∴该同学从家到学校的路程为25＋600＋12.5＝637.5(米) (3)如图
211111
①，当0≤t ＜10时，P 点的纵坐标为t ，∴P(tt) ，S OQ ·PQ ＝t 2；如图②，S ＝×10×5
[1**********]5
＋5×(t－10) ＝5t －25；如图③，S ＝(135＋120) ×5×(135－t) 2＝－－135) 2＋2222
⎧⎪1
即S ＋135t －8475. 综上可知，S ＝⎨5t －25（10≤t ＜130） (4)数值相等
2
1⎪⎩2＋135t －8475（130≤t ≤135）
2
2
12
t （0≤t ＜10）4
11．(2014·江西) 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a＞0) 的顶点为M ，直线y ＝m 与x 轴平行，且与抛物线交于点A ，B ，若三角形AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准碟形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶，点M 到线段AB 的距离称为碟高．
1(1)抛物线y ＝2对应的碟宽为__4__，抛物线y ＝4x 2对应的碟宽为，抛物线y ＝
2ax 2(a>0)对应的碟宽为__，抛物线y ＝a(x－2) 2＋3(a＞0) 对应的碟宽____；
5
(2)若抛物线y ＝ax 2－4ax －＞0) 对应的碟宽为6，且在x 轴上，求a 的值；
3
(3)将抛物线y n ＝a n x 2＋b n x ＋c n (an ＞0) 的对应准碟形记为F n (n＝1，2，3，…) ，定义F 1，1
F 2，…，F n 为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若F n 与F n －1且F n
2的碟顶是F n －1的碟宽的中点，现在将(2)中求得的抛物线记为y 1，其对应的准碟形记为F 1.
①求抛物线y 2的表达式；
②若F 1的碟高为h 1，F 2的碟高为h 2，……，F n 的碟高为h n ，则h n ＝__－，F n 的碟
宽右端点横坐标为__2＋－
__．
221
解：(2)由(1)可知，y ＝ax 2＋bx ＋c(a＞0) 对应的碟宽为，∴6，∴a ＝ (3)①由(2)
a a 31
知，y 1＝－2) 2－3，可求碟宽AB 的两端点坐标分别为A(－1，0) ，B(5，0) ，∵F 2的碟顶
3
专题一 数学思想方法问题
强化突破
1．(2014·北京) 已知点A 为某封闭图形边界上一定点，动点P 从点A 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P 运动的时间为x ，线段AP 的长为y. 表示y 与x 的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是( A
)
2．(2013·长春) 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0，3) ，△OAB 沿x 轴向右3平移后得到△O′A′B′，点A 的对应点A′在直线y ＝x 上，则点B 与其对应点B′间的距离为( C )
4
9
A B ．3 C ．4 D ．5 4
3．(2013·南充) 如图1，点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 沿BE →ED →DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们运动的速度都是1 cm /s ，设P ，Q 出发t 秒时，△BPQ 的面积为y cm 2，已知y 与t 的函数关系的图象如图2
2(曲线OM 为抛物线的一部分) ，则下列结论：①AD ＝BE ＝5 cm ；②当0＜t ≤5时，y 2 ；
5229
③直线NH 的解析式为y ＋27；④若△ABE 与△QBP 相似，则t 54结论个数为( B
)
A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
4．如图，P 是矩形ABCD 内的任意一点，连接PA ，PB ，PC ，PD ，得到△PAB ，△PBC ，
△PCD ，△PDA ，设它们的面积分别是S 1，S 2，S 3，S 4，给出如下结论：①S 1＋S 2＝S 3＋S 4；②S 2＋S 4＝S 1＋S 3；③若S 3＝2S 1，则S 4＝2S 2；④若S 1＝S 2，则P 点在矩形的对角线上．其中正确的结论的序号是__②④__．
5．(2013·河南) 如图，抛物线的顶点为P(－2，2) ，与y 轴交于点A(0，3) ，若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P ′(2，－2) ，点A 的对应点为A′，则抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分) 的面积为__12__．
6．(2014·杭州) 复习课中，教师给出关于x 的函数y ＝2kx 2－(4k＋1)x －k ＋1(k是实数) ． 教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论(性质) 写到黑板上．
学生思考后，黑板上出现了一些结论，教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：
①存在函数，其图象经过(1，0) 点；
②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；
③当x ＞1时，不是y 随x 的增大而增大就是y 随x 的增大而减小；
④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数．
教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．
解：①真，将(1，0) 代入可得2k －(4k＋1) －k ＋1＝0，解得k ＝0；方程思想 ②假，反b 5
例：k ＝0时，只有两个交点；举反例 ③假，反例：k ＝1，－当x ＞1时，先减后
2a 44ac －b 224k 2＋1
增；举反例 ④真，当k ＝0时，函数无最大、最小值；k ≠0时，y 最＝，
4a 8k ∴当k ＞0时，有最小值，最小值为负；k ＜0时，有最大值，最大值为正．分类讨论
7．在长为10 m ，宽为8 m 的矩形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示，求小矩形花圃的长和宽．
⎧x ＝4⎪⎧2x ＋y ＝10，
解：设小矩形的长为x m ，宽为y m ，依题意得⎨解得⎨
⎪x ＋2y ＝8，y ＝2⎩⎩
8．如图1，在△ABC 中，已知∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，BD ＝2，DC ＝3，求AD 的长．
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，如图1，她分别以AB ，AC 为对称轴，画出△ABD ，△ACD 的轴对称图形，D 点的对称点为E ，F ，延长EB ，FC 相交于G 点，得到四边形AEGF 是正方形．设AD ＝x ，利用勾股定理，建立关于x 的方程模型，求出x 的值．
(1)请你帮小萍求出x 的值；
(2)参考小萍的思路，探究解答新问题：
如图2，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，AD ⊥BC 于D ，AD ＝4，请你按照小萍的方法通过画图，得到四边形AEGF ，求△BGC 的周长．(画图所用字母与图1中的字母对应
)
解：(1)在Rt △BCG 中，BG ＝x －2，CG ＝x －3，BC ＝5，由勾股定理得(x－2) 2＋(x－3) 2＝25，解得x 1＝6，x 2＝－1(舍去) ，故x ＝6
(2)图略．连接EF ，则△AEF 为等边三角形，EF ＝4，△EGF 为底角为30°的等腰三角4
形，可求EG ＝3，∴△BGC 的周长为BG ＋BC ＋GC ＝BG ＋BD ＋DC ＋GC ＝BG ＋EB ＋
3FC ＋GC ＝EG ＋GF ＝2EG 83
9．如图1，A ，B ，C ，D 为矩形的四个顶点，AD ＝4 cm ，AB ＝d cm ，动点E ，F 分别从点D ，B 出发，点E 以1 cm /s 的速度沿边DA 向点A 移动，点F 以1 cm /s 的速度沿边BC 向点C 移动，点F 移动到点C 时，两点同时停止移动，以EF 为边作正方形EFGH ，点F 出发x s 时，正方形EFGH 的面积为y cm 2. 已知y 与x 的函数图象是抛物线的一部分，如图2所示．请根据图中信息，解答下列问题：
(1)自变量x 的取值范围； (2)d＝，m ＝，n ＝；
(3)F出发多少秒时，正方形EFGH 的面积为16 cm 2?
解：(3)设F 出发x 秒时，正方形EFGH 的面积为16 cm 2. 过点F 作FM ⊥AD 于M ，∵7
DE ＝BF ＝AM ＝x ，则EM ＝|4－2x|，在Rt △EFM 中，有32＋(4－2x) 2＝16，解得x ＝，
2故F 出发
4＋747
或s 时，正方形EFGH 的面积为16 cm 2 22
10．某同学从家里出发，骑自行车上学时，速度v(米/秒) 与时间t(秒) 的关系如图1，A(10，5) ，B(130，5) ，C(135，0) ．
(1)求该同学骑自行车上学途中的速度v 与时间t 的函数关系式；
(2)计算该同学从家到学校的路程；(提示：在OA 和BC 段的运动过程中的平均速度分别等于它们中点时刻的速度，路程＝平均速度×时间)
(3)如图2，直线x ＝t(0≤t ≤135) 与图1的图象相交于P ，Q ，用字母S 表示图中阴影部分面积，试求S 与t 的函数关系式；
(4)由(2)(3)，直接猜出在
t 时刻，该同学离开家所走过的路程与此时S 的数量关系．
⎧⎪2（0≤t ＜10）
解：(1)v＝⎨5（10≤t ＜130）
⎪⎩－t ＋135（130≤t ≤135）
1
(2)在0≤t ＜10时，所走路程为
0＋5
×10＝2
25(米) ；在10≤t ＜130时，所走路程为(130－10) ×5＝600(米) ；在130≤t ≤135时，所走路
5＋0程为×5＝12.5(米) ，∴该同学从家到学校的路程为25＋600＋12.5＝637.5(米) (3)如图
211111
①，当0≤t ＜10时，P 点的纵坐标为t ，∴P(tt) ，S OQ ·PQ ＝t 2；如图②，S ＝×10×5
[1**********]5
＋5×(t－10) ＝5t －25；如图③，S ＝(135＋120) ×5×(135－t) 2＝－－135) 2＋2222
⎧⎪1
即S ＋135t －8475. 综上可知，S ＝⎨5t －25（10≤t ＜130） (4)数值相等
2
1⎪⎩2＋135t －8475（130≤t ≤135）
2
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12
t （0≤t ＜10）4
11．(2014·江西) 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a＞0) 的顶点为M ，直线y ＝m 与x 轴平行，且与抛物线交于点A ，B ，若三角形AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准碟形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶，点M 到线段AB 的距离称为碟高．
1(1)抛物线y ＝2对应的碟宽为__4__，抛物线y ＝4x 2对应的碟宽为，抛物线y ＝
2ax 2(a>0)对应的碟宽为__，抛物线y ＝a(x－2) 2＋3(a＞0) 对应的碟宽____；
5
(2)若抛物线y ＝ax 2－4ax －＞0) 对应的碟宽为6，且在x 轴上，求a 的值；
3
(3)将抛物线y n ＝a n x 2＋b n x ＋c n (an ＞0) 的对应准碟形记为F n (n＝1，2，3，…) ，定义F 1，1
F 2，…，F n 为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若F n 与F n －1且F n
2的碟顶是F n －1的碟宽的中点，现在将(2)中求得的抛物线记为y 1，其对应的准碟形记为F 1.
①求抛物线y 2的表达式；
②若F 1的碟高为h 1，F 2的碟高为h 2，……，F n 的碟高为h n ，则h n ＝__－，F n 的碟
宽右端点横坐标为__2＋－
__．
221
解：(2)由(1)可知，y ＝ax 2＋bx ＋c(a＞0) 对应的碟宽为，∴6，∴a ＝ (3)①由(2)
a a 31
知，y 1＝－2) 2－3，可求碟宽AB 的两端点坐标分别为A(－1，0) ，B(5，0) ，∵F 2的碟顶
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