数值分析学习感想
一个学期的数值分析，在老师的带领下，让我对这门课程有了深刻的理解和感悟。这门
课程是一个十分重视算法和原理的学科，同时它能够将人的思维引入数学思考的模式，在处
理问题的时候，可以合理适当的提出方案和假设。他的内容贴近实际，像数值分析，数值微
分，求解线性方程组的解等，使数学理论更加有实际意义。 数值分析在给我们的知识上，有很大一部分都对我有很大的帮助，让我的生活和学习有
了更加方便以及科学的方法。像第一章就讲的误差，在现实生活中，也许没有太过于注意误
差，所以对误差的看法有些轻视，但在学习了这一章之后，在老师的讲解下，了解到这些误
差看似小，实则影响很大，更如后面所讲的余项，那些差别总是让人很容易就出错，也许在
别的地方没有什么，但是在数学领域，一个小的误差，就很容易有不好的后果，而学习了数
值分析的内容，很容易就可以将误差锁定在一个很小的范围内，在这一范围内再逼近，得出
的近似值要准确的多，而在最开始的计算中，误差越小，对后面的影响越小， 这无疑是好的。 数值分析不只在知识上传授了我很多，在思想上也对我有很大的影响，他给了我很多数
学思想，很多思考的角度，在看待问题的方面上，多方位的去思考，并从别的例子上举一反
三。像其中所讲的插值法，在先学习了拉格朗日插值法后，对其理解透彻，了解了其中
的原理和思想，再学习之后的牛顿插值以及三次样条插值等等，都很容易的融会贯通，很容
易的就理解了其中所想，他们的中心思想并没有多大的变化，但是使用的方式却是不同的，
这不仅可以学习到其中心内容，还可以去学习他们的思考方式，每个不同的思考方式带来的
都是不同的算法。而在看待问题上，不同的思考方式总是可以快速的全方位的去看透彻问题，
从而知道如何去解决。
在不断的学习中，知识在不断的获取，能力在不断的提升，同时在老师的不懈讲解下，
我逐渐的发现数值分析所涵盖的知识面特别的广泛，而我所需要学习的地方也更加的多，自
己的不足也在不断的体现，我知道这只是我刚刚接触到了数学的那一角，在以后我还会接触
到更多，而这求知的欲望也在不停的驱赶我，学习的越多，对今后的生活才会有更大的帮助。 计算132
2013014923
张霖篇二：数值分析学习报告 数值分析学习心得报告 班级：11级软工一班 姓名： * * *
学号: 20117610***
指导老师：* * * 学习数值分析的心得体会 无意中的一次选择，让我接触了数值分析。 作为这学期的选修课，我从内心深处来讲，数值分析真的有点难。感觉它是在高等数学
和线性代数的基础上，又加深了探讨。虽然这节课很难，我学的不是很好，但我依然对它比
较感兴趣。下面就具体说说我的学习体会，让那些感兴趣的同学有个参考。 学习数值分析，我们首先得知道一个软件——matlab 。matrix laboratory ，即矩阵实验
室，是math work公司推出的一套高效率的数值计算和可视化软件。它是当今科学界最具影
响力、也是最具活力的软件，它起源于矩阵运算，并高速发展成计算机语言。它的优点是强
大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面、便捷的与其他程序和语
言接口。
根据上网搜集到的资料，你就会发现matlab 有许多优点： 首先，编程简单使用方便。到目前为止，我已经学过c 语言，机器语言，java 语言，这
三个语言相比，我感觉c 语言还是很简单的一种编程语言。只要入门就很好掌握，但是想学
精一门语言可不是那么容易的。惭愧的说，到目前为止，我依然处于入门阶段，只会编写小
的简单的程序，但是班里依然还是有学习好的。 c语言是简单且容易掌握的，但是，matlab 的矩阵和向量操作功能是其他语言无法比拟
的。在matlab 环境下，数组的操作与数的操作一样简单，基本数据单元是不需要指定维数的，
不需要说明数据类型的矩阵，而其数学表达式和运算规则与通常的习惯相同。 其次，函数库可任意扩充。众所周知，c 语音有着丰富的函数库，我们可以随时调用，
大大方便了程序员的操作。可是作为it 人士的你知道吗，由于matlab 语言库函数与用户文
件的形式相同，用户文件可以像库函数一样随意调用，所以用户可任意扩充库函数。这是不
是很方便呢？
接着，语言简单内涵丰富。数值分析所用的语言中，最重要的成分是函数，其一般形式
为：function[a,b,c??]=fun(d,e,f??)，你也发现了吧，这样的语音是不是很容易掌握呢！
fun 是自定义的函数名，只要不与库函数想重，并且符合字符串书写规则即可。 然后是丰富的工具箱。由于matlab 的开放性，许多领域的专家都为matlab 编写了各种
程序工具箱。这些工具箱提供了用户在特别应用领域所需的许多函数，这使得用户不必花大
量的时间编写程序就可以直接调用这些函数，达到事半功倍的效果。不过你得提前知道这些
工具箱，并且会使用。
最后，我们来说一下matlab 的运算。利用matlab 可以做向量与矩阵的运算，与普通加
减运算几乎相似。
矩阵乘法用 “ * ” 符号表示，当a 矩阵列数与b 矩阵的行数相等时，二者可以进行乘
法运算，否则是错误的。如果a 或b 是标量，则a*b返回标量a （或b ）乘上矩阵b （或a ）
的每一个元素所得的矩阵。
对n ×m 阶矩阵a 和p ×q 阶矩阵b ，a 和b 的kronecher 乘法运算可定义为： kronecker乘法的matlab 命令为c=kron(a,b)：例如，在matlab 中输入： a=[1 2; 3 4]; b=[1 3 2; 2 4 6]; c=kron(a,b) 则程序会给出相应的答案 c =
1 3 2 2 6 4 2 4 6 4 8 12 3 9 6 4 12 8 6 12 18 8 16 24 这就充分的考验了我们的实际动手能力，当然运用一般的计算方法能算出结果，但相对
来说没有用它来运算节省时间，其他算法又很不方便。 上面介绍了matlab 的特点与使用方法，接着我们要说它的程序设计，其实跟c 语言相比，
它们的程序设计都差不多。 大家都知道，matlab 与其它计算机语言一样，也有控制流语句。而控制流语句本身，可
使原本简单地在命令行中运行的一系列命令或函数，组合成为一个整体—程序，从而提高效
率。以下是具体的几个例子，看过之后，你会发现，matlab 的控制流语句跟其他计算机真的
很相似：
（1）for 循环for 循环的通用形式为：for v=expressionstatementsend其中expression
表达式是一个矩阵，因为matlab 中都是矩阵，矩阵的列被一个接一个的赋值到变量v ，然后
statements 语句运行。
（2）while 循环while 循环的通用形式为：while v=expressionstatementsend当
expression 的所有运算为非零值时，statements 语句组将被执行。如果判断条件是向量或
矩阵的话，可能需要all 或any 函数作为判断条件。
（3）if 和break 语句通用形式为：if 条件1，命令组1；elesif 条件2，命令组2；?? ；
else 命令组k ；endbreak%中断执行，用在循环语句内表示跳出循环。 对于数值分析这节课，我的理解是：只要学习并掌握好matlab ，你就已经成功了。因此
说，matlab 是数学分析的基础。另外，自我感觉这是一个很好的软件，其语言简便，实用性
强。但是作为一个做新手，想要学习好这门语言，还是比较困难的。在平常的上机课中，虽
然我没有问过老师，但是我向那些学习不错的学生还是交流了许多，比如说，张**，贾**，
还有那个皮肤白白的女生。跟他们交流，我确实学到不少有用的东西。但是，毕竟没有他们
学得好，总之，在我接触这门语言的这些天，除了会画几个简单的三维图形，其他的还是有
待提高。在这个软件中，虽然有help ，但大家不要以为有了这个就万事大吉了，反而，从另
一个方面也对我们大学生提出了两个要求——充实的课外基础和良好的英语基础。在现代，
几乎所有好的软件都是来自国外，假如你不会外语，想学好是非常难的，即使高考中的英语
比重降低了，但我们依旧得学好。这样我们才能走得更远。 其实想要学习好一们语言，不能只靠老师，靠朋友，关键是自己。每个人内心深处都是
有抵触意识的，不可能把老师的所有都学到。其实，我发现学习数值分析这门课，不光是学
习一种语言，一些知识，更重要的是学习一种方法，一种学习软件的方法，还有学习的态度。 在最后，我想说的是，谢谢郭老师的辛勤付出，我们每个学生都会看在眼里记在心里的，
谢谢您。篇三：数值分析学习总结感想 数值分析学习感想
摘要:数值分析主要介绍现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本原理，研究并解决
数值问题的近似解，是数学理论与计算机和实际问题的有机结合。随着科学技术迅速发展，
运用数学方法解决工程技术领域中的实际问题，已经得到普遍重视。 作为这学期的考试课，在我最初接触这门课时，我感到了很困难，因为无论是高数还是
线性代数我都放下了很久，而我感觉数值分析是在高等数学和线性代数的基础上，又加深了
探讨。虽然这节课很难，但是在老师不断地引导和讲授下，我逐渐对其产生了兴趣。在老师
的反复讲解下，我发现我被它吸引了，因为它不仅是单纯的学科，还教会了我许多做人生活
的道理。
首先，数值分析这门课程是一个十分重视算法和原理的学科，同时它能够将人的思维引
入数学思考的模式，在处理问题的时候，可以合理适当的提出方案和假设。他的内容贴近实
际，像数值分析，数值微分，求解线性方程组的解等，使数学理论更加有实际意义。 数值分析在给我们的知识上，有很大一部分都对我有很大的帮助，让我的生活和学习有
了更加方便以及科学的方法。像第一章就讲的误差，在现实生活中，也许没有太过于注意误
差，所以对误差的看法有些轻视，但在学习了这一章之后，在老师的讲解下，了解到这些误
差看似小，实则影响很大，更如后面所讲的余项，那些差别总是让人很容易就出错，也许在
别的地方没有什么，但是在数学领域，一个小的误差，就会有很大的差别，而学习了数值分
析的内容，很容易就可以将误差锁定在一个很小的范围内，在这一范围内再逼近，得出的近
似值要准确的多，而在最开始的计算中，误差越小，对后面的影响越小， 这无疑是好的。 数值分析中，“以点带面”的思想也深深影响了我。这里的“点”是根本，是主线。在第
二章学习插值法的时候是以拉格朗日插值、牛顿插值为主线，然后逐渐展开介绍艾尔米特插
值、分段低次插值和三次样条插值。在学习中只要将研究拉格朗日插值和牛顿插值的基本原
理、基本方法理解透彻，其他的插值方法就基本掌握了。第四章处理数值积分和数值微分的
基本方法是逼近法，只要将函数逼近的基本思想理解好，掌握起来就会得心应手；第六第七
章是以迭代法为主线来求解线性方程组和非线性方程组的。在学习过程组只要将迭代法的相
关原理掌 握好，便能掌握第六第七章。总的来数，数值分析所涉及到数学中很多学科的知识，内
容比较复杂，因此在学习过程中一定要将基本原理、基本算法理解透，然后再逐步推广。同
样在生活中每件事情都有它的主线，只要抓住这条主线再难的事情也会迎刃而解。 还比如“等价转化”的思想，这里的“等价”不是完全意义上的“等价”，是指在转化前
后转化的主体主要特征值没有变。插值法的思想就是抓住已知函数或者已知点的几个主要特
征，用另一个具备主要特征的简单函数来代替原函数或拟合已知数据点。实际生活中也有很
多类似情况，已知事件或者面临的情况往往是复杂的，常常不能直接用数学方法直接研究，
我们可以做的就是抓住已经事件的主要特征转化为数学模型来建立。 在不断的学习中，知识在不断的获取，能力在不断的提升，同时在老师的耐心讲解下，
我逐渐的发现数值分析所涵盖的知识面特别的广泛，而我所需要学习的地方也更加的多，自
己的不足也在不断的体现，我知道这只是我刚刚接触到了数学的那一角，在以后我还会接触
到更多，而这求知的欲望也在不停的驱赶我，学习的越多，对今后的生活才会有更大的帮助。 希望在将来，通过反复的实践能加深我的理解，在明年的这个时候我能有更多的感悟。
同时，因为十五周的学习时间太短加上我的基础薄弱，我决定明年继续来旁听老师的课程，
达到进一步学习，加深理解的目的。 数值分析课程论文： 数值分析学习心得感悟 姓名：崔俊毅
学号：2015210211 专业：防灾减灾专硕 院系：土木工程学院篇四：数值分析学习报告 数值分析学习心得报告 班级：姓名：
学号:
************ *** *********** 学习数值分析的心得体会 数值分析是一门利用计算机求解数学问题数值解的课程, 有很强的理论性和实践性, 无意
中的一次选择，让我接触了数值分析。随着科学技术的发展，提出了大量复杂的数值计算问
题，在建立电子计算机成为数值计算的主要工具以后，它以数字计算机求解数学问题的理论
和方法为研究对象。有可靠的理论分析，要有数值实验，并对计算的结果进行误差分析。数
值分析的主要内容包括插值法，函数逼近，曲线拟和，数值积分，数值微分，解线性方程组
的直接方法，解线性方程组的迭代法，非线性方程求根，常微分方程的数值解法。 作为这学期的选修课，我从内心深处来讲，数值分析真的有点难。感觉它是在高等数学
和线性代数的基础上，又加深了探讨。虽然这节课很难，我学的不是很好，但我依然对它比
较感兴趣。下面就具体说说我的学习体会，让那些感兴趣的同学有个参考。 学习数值分析，我们首先得知道一个软件——matlab 。matrix laboratory ，即矩阵实验
室，是math work公司推出的一套高效率的数值计算和可视化软件。它是当今科学界最具影
响力、也是最具活力的软件，它起源于矩阵运算，并高速发展成计算机语言。它的优点是强
大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面、便捷的与其他程序和语
言接口。
根据上网搜集到的资料，你就会发现matlab 有许多优点： 首先，编程简单使用方便。到目前为止，我已经学过c 语言，机器语言，java 语言，这
三个语言相比，我感觉c 语言还是很简单的一种编程语言。只要入门就很好掌握，但是想学
精一门语言可不是那么容易的。惭愧的说，到目前为止，我依然处于入门阶段，只会编写小
的简单的程序，但是班里依然还是有学习好的。c 语言是简单且容易掌握的，但是，matlab
的矩阵和向量操作功能是其他语言无法比拟的。在matlab 环境下，数组的操作与数的操作一
样简单，基本数据单元是不需要指定维数的，不需要说明数据类型的矩阵，而其数学表达式
和运 算规则与通常的习惯相同。 其次，函数库可任意扩充。众所周知，c 语音有着丰富的函数库，我们可以随时调用，
大大方便了程序员的操作。可是作为it 人士的你知道吗，由于matlab 语言库函数与用户文
件的形式相同，用户文件可以像库函数一样随意调用，所以用户可任意扩充库函数。这是不
是很方便呢？
接着，语言简单内涵丰富。数值分析所用的语言中，最重要的成分是函数，其一般形式
为：function[a,b,c??]=fun(d,e,f??)，你也发现了吧，这样的语音是不是很容易掌握呢！
fun 是自定义的函数名，只要不与库函数想重，并且符合字符串书写规则即可。 然后是丰富的工具箱。由于matlab 的开放性，许多领域的专家都为matlab 编写了各种
程序工具箱。这些工具箱提供了用户在特别应用领域所需的许多函数，这使得用户不必花大
量的时间编写程序就可以直接调用这些函数，达到事半功倍的效果。不过你得提前知道这些
工具箱，并且会使用。
最后，我们来说一下matlab 的运算。利用matlab 可以做向量与矩阵的运算，与普通加
减运算几乎相似。
矩阵乘法用 “ * ” 符号表示，当a 矩阵列数与b 矩阵的行数相等时，二者可以进行乘
法运算，否则是错误的。如果a 或b 是标量，则a*b返回标量a （或b ）乘上矩阵b （或a ）
的每一个元素所得的矩阵。
对n ×m 阶矩阵a 和p ×q 阶矩阵b ，a 和b 的kronecher 乘法运算可定义为： kronecker乘法的matlab 命令为c=kron(a,b)：例如，在matlab 中输入： a=[1 2; 3
4]; b=[1 3 2; 2 4 6]; c=kron(a,b) 则程序会给出相应的答案 c = 1 3 2 2 6 4 2 4 6 4 8 12 3 9 6 4 12 8 6 12 18 8 16 24 这就充分的考验了我们的实际动手能力，当然运用一般的计算方法能算出结果，但相对
来说没有用它来运算节省时间，其他算法又很不方便。 上面介绍了matlab 的特点与使用方法，接着我们要说它的程序设计，其实跟c 语言相比，
它们的程序设计都差不多。 大家都知道，matlab 与其它计算机语言一样，也有控制流语句。而控制流语句本身，可
使原本简单地在命令行中运行的一系列命令或函数，组合成为一个整体—程序，从而提高效
率。以下是具体的几个例子，看过之后，你会发现，matlab 的控制流语句跟其他计算机真的
很相似：
（1）for 循环for 循环的通用形式为：for v=expressionstatementsend其中expression
表达式是一个矩阵，因为matlab 中都是矩阵，矩阵的列被一个接一个的赋值到变量v ，然后
statements 语句运行。
（2）while 循环while 循环的通用形式为：while v=expressionstatementsend当
expression 的所有运算为非零值时，statements 语句组将被执行。如果判断条件是向量或
矩阵的话，可能需要all 或any 函数作为判断条件。
（3）if 和break 语句通用形式为：if 条件1，命令组1；elesif 条件2，命令组2；?? ；
else 命令组k ；endbreak%中断执行，用在循环语句内表示跳出循环。 对于数值分析这节课，我的理解是：只要学习并掌握好matlab ，你就已经成功了。因此
说，matlab 是数学分析的基础。另外，自我感觉这是一个很好的软件，其语言简便，实用性
强。但是作为一个做新手，想要学习好这门语言， 还是比较困难的。在平常的上机课中，虽然我没有问过老师，但是我向那些学习不错的
学生还是交流了许多，跟他们交流，我确实学到不少有用的东西。但是，毕竟没有他们学得
好，总之，在我接触这门语言的这些天，除了会画几个简单的三维图形，其他的还是有待提
高。在这个软件中，虽然有help ，但大家不要以为有了这个就万事大吉了，反而，从另一个
方面也对我们大学生提出了两个要求——充实的课外基础和良好的英语基础。在现代，几乎
所有好的软件都是来自国外，假如你不会外语，想学好是非常难的，即使高考中的英语比重
降低了，但我们依旧得学好。这样我们才能走得更远。 其实想要学习好一们语言，不能只靠老师，靠朋友，关键是自己。每个人内心深处都是
有抵触意识的，不可能把老师的所有都学到。其实，我发现学习数值分析这门课，不光是学
习一种语言，一些知识，更重要的是学习一种方法，一种学习软件的方法，还有学习的态度。 数值分析是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，是数
学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。在科学研究和工程
技术中有许多问题可归结为求解方程组的问题。本文主要讨论了插值法求函数，解线性方程
组的求解方法，非线性方程组的解法及微分方程的解法，并通过在电流回路和单晶硅提拉过
程中分析应用。进一步体现了数值分析的广泛应用，实际上由于误差的存在，一些问题只能
求得近似解。对于良态方程组，只要求解方法稳定，即可得到比较满意的计算结果。但对于
病态方程组，即使使用稳定性好的算法求解也未必理想，还需进一步的研究。总之，数值分
析可以通过计算方法进行一种比较完善的构造，使之更普遍化，能够有举一反三的思想，能
够解决一些实际中难解的问题，应用到各个领域。 在最后，我想说的是，谢谢老师的辛勤付出，我们每个学生都会看在眼里记在心里的，
谢谢您。篇五：数值分析期末总结论文, 程序界面 数值计算方法论文
论文名称：数值计算方法期末总结 学 号：
姓 名：完成时间： 摘要：数值计算方法是数学的一个重要分支，以用计算机求解数学问题的理论和方法为
研究对象。本文是我对本学期数值分析这门课程中所学到的内容以及所作的工作的总结。通
过一学期的学习，我深入学习了线性方程组的解法，非线性方程的求根方法，矩阵特征值与
特征向量的计算，函数的插值方法，最佳平方逼近，数值积分与数值微分，常微分方程初值
问题的数值解法。通过陶老师课堂上的讲解和课下的上机训练，对以上各个章节的算法有了
更深刻的体会。 最后做了程序的演示界面，使得程序看起来清晰明了，便于查看与修改。通
过本学期的学习。
关键词：数值计算方法、演示界面
第一章 前言
随着电子计算机的普及与发展，科学计算已成为现代科学的重要组成部分，因而数值计
算方法的内容也愈来愈广泛和丰富。通过本学期的学习，主要掌握了一些数值方法的基本原
理、具体算法，并通过编程在计算机上来实现这些算法。
第二章 基本概念
2.1算法
算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成的完整的解题步骤。 算法可以使用框图、
算法语言、数学语言、自然语言来进行描述。具有的特征：正确性、有穷性、适用范围广、
运算工作量少、使用资源少、逻辑结构简单、便于实现、计算结果可靠。
2.2 误差
计算机的计算结果通常是近似的，因此算法必有误差，并且应能估计误差。误差是指近
似值与真正值之差。绝对误差是指近似值与真正值之差或差的绝对值；相对误差：是指近似
值与真正值之比或比的绝对值。误差来源见表2.1 表
第三章 泛函分析
2.1泛函分析概要
泛函分析（functional analysis ）是研究“函数的函数”、函数空间和它们之间变换（映
射）的一门较新的数学分支，隶属分析数学。它以各种学科为具体背景，在集合的基础上，
把客观世界中的研究对象抽象为元素和空间。如：距离空间，赋范线性空间，内积空间。
2.2 范数
范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领 域，泛函是一个函数，其为矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。 这里以cn 空间为例，rn 空间类似。最常用的范数就是p-范数。若 ，那么
当p 取1，2，∞的时候分别是以下几种最简单的情形： 1-范数：║x ║1=│x1│+│x2│+?+│xn │ 2-范数：║x ║2=（│x1│2+│x2│2+?+│xn │2）1/2 ∞-范数：║x ║∞=max（│x1│，│x2│，? ，│xn │） 其中2-范数就是通常意义下的距离。 对于这些范数有以下不等式：║x ║∞ ≤ ║x ║2 ≤ ║x ║1 ≤ n1/2║x ║2 ≤ n║x
║∞
另外，若p 和q 是赫德尔（hölder）共轭指标，即1/p+1/q=1，那么有赫德尔
不等式：
|<x,y>| = ||xh*y| ≤ ║x ║p ║y ║q 当p=q=2时就是柯西-许瓦兹（cauchy-schwarz ）不等式 一般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相容性：
║xy ║≤║x ║║y ║。所以矩阵范数通常也称为相容范数。 如果║·║α是相容范数，且任何满足║·║β≤║·║α的范数║·║β都不是相容
范数，那么║·║α称为极小范数。对于n 阶实方阵（或复方阵）全体上的任何一个范数║·║，
总存在唯一的实数k>0，使得k ║·║是极小范数。 注：如果不考虑相容性，那么矩阵范数和向量范数就没有区别，因为mxn 矩阵全体和mn
维向量空间同构。引入相容性主要是为了保持矩阵作为线性算子的特征，这一点和算子范数
的相容性一致，并且可以得到mincowski 定理以外的信息。
第四章 算法总结
本学期讲解过的主要算法列举如下：线性方程组的解法（高斯消元法，列主消元法，
doolittle 分解法，追赶法，ldl 分解法，jacobi 分解法，seidel 迭代法）；非线性方程的求
根方法（二分法，简单迭代法，newton 迭代法，newton+下山因子，newton 迭代法2，newton
非线性方程）；矩阵特征值与特征向量的计算（householder 矩阵，反幂法，幂法，qr 分解）；
函数的插值方法（三次样条插值，lagrange 插值法，newton 差商插值法）；最佳平方逼近
（chebyshev 最小二乘法，曲线拟合最小二乘法）；数值积分与数值微分（simpson 求积分式
算法，romberg 算法，外推法）；常微分方程初值问题的数值解法（欧拉改进法、龙格库塔法
和修正的adams 法）。下面对主要算法进行分析。
4.1线性方程组的解法
本章学习了一些求解线性方程组的常用方法，其中gauss 消元法，列主元消元法，lu 分
解法，追赶法和ldl ’分解法都是解线性方程组的直接方法；而jacobi 迭代法和sor 法则是
解线性方程组的基本迭代法。求解线性方程组时，应该注意方程组的性态，对病态方程组使
用通常求解方程组的方法将导致错误。迭代求精法可用于求解某些病态方程。
4.1.1高斯列主元lu 分解法求解线性方程组 高斯消元法和lu 分解法是直接法求解线性方程组中的两种方法。其中高斯消元法的基本
思想是将线性方程组(1.1)通过消元，逐步化为同解的三角形方程组，然后用回代法解出n
个解。高斯列主元消元法则是在高斯消元法的基础上提 (k?1)(k?1)a?0akkkk出的先选主元再消元的方法，避免了时消元无法进行或者是当的绝 (k?1)a(i?k?1,k?2,ik对值与其下方的元素,n) 的绝对值之比很小时，引起计算机 上溢或产生很大的舍入误差而导致所求出的解失真的问题。lu 分解法是将矩阵a 用一个
下三角矩阵和一个上三角矩阵之积来表示，即a?lu ，然后由a?lu ，ax?b ，得lux?b ，将线性
方程组的求解化为对两个三角形方程组ly?b 和ux?y 的求解，由此可解出线性方程组（1.1）
的n 个解x1,x2,,xn 。这两种求解线性方程组的方法在处理单个线性方程组时没有差别，只
是方法的不同，但在处理系数矩阵a 相同，而右端项不同的一组线性方程组时，lu 分解法就
有明显的优势，因为它是将系数矩阵a 和右端项b 分开处理的，这样就可以只进行一次分解。
例如，求解线性方程组ax?bi,i?1,2,,m ，用高斯消元法求解的计算量 1313mnn?mn2
大约为3，而用lu 分解求解的计算量约为3，后者计算量显然小很多。但是lu 分解法同
样有可能由于ujj 的绝对值很小而引起计算机上溢或产生很大的舍入误差而导致所求出的解
失真。因此提出了结合高斯列主元消元的lu 分解法。 我们采用的计算方法是先将a 矩阵进行高斯列主元消元，然后再计算相应的l 矩阵和u
矩阵（u 矩阵就是经过n-1步消元后的a 矩阵）。但要注意，第k 步消元时会产生
mik(i?k?1,k?2,,n)，从而可以得到l 矩阵的第k 列元素，但在下一步消元前选取列主元时可
能会交换方程的位置，因此与方程位置对应的l 矩阵中的元素也要交换位置。
4.2非线性方程组的求根方法 本章学习的二分法简单迭代法、newton 迭代法等方法，代表着求解非线性方程所采用的
两类方法。大范围收敛方法的初值x0选取没有多少限制，只要在含根区间任选其一即可，二
分法就是这类方法。局部收敛法要求x0要充分靠近根x*才能保证收敛，以简单迭代法为基
础，newton 迭代法为代表的各类迭代法都属这类方法。
4.2.1newton迭代法
牛顿迭代法的构造过程是这样的：设x0是f(x)?0的一个近似根，将f(x)在 f(x0)f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)2?x0处作taylor 展开得2! ，若取其
x?x?f(x)/f(x0)，然后再对x1做f(x)100前两项来近似代替，得近似方程的根 f上述同样处理，继续下去，一般若(xk)?0，则可以构造出迭代格式 xk?1?xk?f(xk)
f(xk)
此格式称为牛顿迭代格式，用它来求解f(x)?0的方法称为牛顿迭代法。 牛顿迭代法的
几何意义是用f(x)在xk 处的切线与x 轴得交点作为下一个迭代点xk?1的。由于这一特点，
牛顿迭代法也常称为切线法。 牛顿迭代法虽然收敛很快，但它通常过于依赖初值x0的选取，如果x0选择不当，将导
致迭代发散或产生无限循环。
数值分析学习感想
一个学期的数值分析，在老师的带领下，让我对这门课程有了深刻的理解和感悟。这门
课程是一个十分重视算法和原理的学科，同时它能够将人的思维引入数学思考的模式，在处
理问题的时候，可以合理适当的提出方案和假设。他的内容贴近实际，像数值分析，数值微
分，求解线性方程组的解等，使数学理论更加有实际意义。 数值分析在给我们的知识上，有很大一部分都对我有很大的帮助，让我的生活和学习有
了更加方便以及科学的方法。像第一章就讲的误差，在现实生活中，也许没有太过于注意误
差，所以对误差的看法有些轻视，但在学习了这一章之后，在老师的讲解下，了解到这些误
差看似小，实则影响很大，更如后面所讲的余项，那些差别总是让人很容易就出错，也许在
别的地方没有什么，但是在数学领域，一个小的误差，就很容易有不好的后果，而学习了数
值分析的内容，很容易就可以将误差锁定在一个很小的范围内，在这一范围内再逼近，得出
的近似值要准确的多，而在最开始的计算中，误差越小，对后面的影响越小， 这无疑是好的。 数值分析不只在知识上传授了我很多，在思想上也对我有很大的影响，他给了我很多数
学思想，很多思考的角度，在看待问题的方面上，多方位的去思考，并从别的例子上举一反
三。像其中所讲的插值法，在先学习了拉格朗日插值法后，对其理解透彻，了解了其中
的原理和思想，再学习之后的牛顿插值以及三次样条插值等等，都很容易的融会贯通，很容
易的就理解了其中所想，他们的中心思想并没有多大的变化，但是使用的方式却是不同的，
这不仅可以学习到其中心内容，还可以去学习他们的思考方式，每个不同的思考方式带来的
都是不同的算法。而在看待问题上，不同的思考方式总是可以快速的全方位的去看透彻问题，
从而知道如何去解决。
在不断的学习中，知识在不断的获取，能力在不断的提升，同时在老师的不懈讲解下，
我逐渐的发现数值分析所涵盖的知识面特别的广泛，而我所需要学习的地方也更加的多，自
己的不足也在不断的体现，我知道这只是我刚刚接触到了数学的那一角，在以后我还会接触
到更多，而这求知的欲望也在不停的驱赶我，学习的越多，对今后的生活才会有更大的帮助。 计算132
2013014923
张霖篇二：数值分析学习报告 数值分析学习心得报告 班级：11级软工一班 姓名： * * *
学号: 20117610***
指导老师：* * * 学习数值分析的心得体会 无意中的一次选择，让我接触了数值分析。 作为这学期的选修课，我从内心深处来讲，数值分析真的有点难。感觉它是在高等数学
和线性代数的基础上，又加深了探讨。虽然这节课很难，我学的不是很好，但我依然对它比
较感兴趣。下面就具体说说我的学习体会，让那些感兴趣的同学有个参考。 学习数值分析，我们首先得知道一个软件——matlab 。matrix laboratory ，即矩阵实验
室，是math work公司推出的一套高效率的数值计算和可视化软件。它是当今科学界最具影
响力、也是最具活力的软件，它起源于矩阵运算，并高速发展成计算机语言。它的优点是强
大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面、便捷的与其他程序和语
言接口。
根据上网搜集到的资料，你就会发现matlab 有许多优点： 首先，编程简单使用方便。到目前为止，我已经学过c 语言，机器语言，java 语言，这
三个语言相比，我感觉c 语言还是很简单的一种编程语言。只要入门就很好掌握，但是想学
精一门语言可不是那么容易的。惭愧的说，到目前为止，我依然处于入门阶段，只会编写小
的简单的程序，但是班里依然还是有学习好的。 c语言是简单且容易掌握的，但是，matlab 的矩阵和向量操作功能是其他语言无法比拟
的。在matlab 环境下，数组的操作与数的操作一样简单，基本数据单元是不需要指定维数的，
不需要说明数据类型的矩阵，而其数学表达式和运算规则与通常的习惯相同。 其次，函数库可任意扩充。众所周知，c 语音有着丰富的函数库，我们可以随时调用，
大大方便了程序员的操作。可是作为it 人士的你知道吗，由于matlab 语言库函数与用户文
件的形式相同，用户文件可以像库函数一样随意调用，所以用户可任意扩充库函数。这是不
是很方便呢？
接着，语言简单内涵丰富。数值分析所用的语言中，最重要的成分是函数，其一般形式
为：function[a,b,c??]=fun(d,e,f??)，你也发现了吧，这样的语音是不是很容易掌握呢！
fun 是自定义的函数名，只要不与库函数想重，并且符合字符串书写规则即可。 然后是丰富的工具箱。由于matlab 的开放性，许多领域的专家都为matlab 编写了各种
程序工具箱。这些工具箱提供了用户在特别应用领域所需的许多函数，这使得用户不必花大
量的时间编写程序就可以直接调用这些函数，达到事半功倍的效果。不过你得提前知道这些
工具箱，并且会使用。
最后，我们来说一下matlab 的运算。利用matlab 可以做向量与矩阵的运算，与普通加
减运算几乎相似。
矩阵乘法用 “ * ” 符号表示，当a 矩阵列数与b 矩阵的行数相等时，二者可以进行乘
法运算，否则是错误的。如果a 或b 是标量，则a*b返回标量a （或b ）乘上矩阵b （或a ）
的每一个元素所得的矩阵。
对n ×m 阶矩阵a 和p ×q 阶矩阵b ，a 和b 的kronecher 乘法运算可定义为： kronecker乘法的matlab 命令为c=kron(a,b)：例如，在matlab 中输入： a=[1 2; 3 4]; b=[1 3 2; 2 4 6]; c=kron(a,b) 则程序会给出相应的答案 c =
1 3 2 2 6 4 2 4 6 4 8 12 3 9 6 4 12 8 6 12 18 8 16 24 这就充分的考验了我们的实际动手能力，当然运用一般的计算方法能算出结果，但相对
来说没有用它来运算节省时间，其他算法又很不方便。 上面介绍了matlab 的特点与使用方法，接着我们要说它的程序设计，其实跟c 语言相比，
它们的程序设计都差不多。 大家都知道，matlab 与其它计算机语言一样，也有控制流语句。而控制流语句本身，可
使原本简单地在命令行中运行的一系列命令或函数，组合成为一个整体—程序，从而提高效
率。以下是具体的几个例子，看过之后，你会发现，matlab 的控制流语句跟其他计算机真的
很相似：
（1）for 循环for 循环的通用形式为：for v=expressionstatementsend其中expression
表达式是一个矩阵，因为matlab 中都是矩阵，矩阵的列被一个接一个的赋值到变量v ，然后
statements 语句运行。
（2）while 循环while 循环的通用形式为：while v=expressionstatementsend当
expression 的所有运算为非零值时，statements 语句组将被执行。如果判断条件是向量或
矩阵的话，可能需要all 或any 函数作为判断条件。
（3）if 和break 语句通用形式为：if 条件1，命令组1；elesif 条件2，命令组2；?? ；
else 命令组k ；endbreak%中断执行，用在循环语句内表示跳出循环。 对于数值分析这节课，我的理解是：只要学习并掌握好matlab ，你就已经成功了。因此
说，matlab 是数学分析的基础。另外，自我感觉这是一个很好的软件，其语言简便，实用性
强。但是作为一个做新手，想要学习好这门语言，还是比较困难的。在平常的上机课中，虽
然我没有问过老师，但是我向那些学习不错的学生还是交流了许多，比如说，张**，贾**，
还有那个皮肤白白的女生。跟他们交流，我确实学到不少有用的东西。但是，毕竟没有他们
学得好，总之，在我接触这门语言的这些天，除了会画几个简单的三维图形，其他的还是有
待提高。在这个软件中，虽然有help ，但大家不要以为有了这个就万事大吉了，反而，从另
一个方面也对我们大学生提出了两个要求——充实的课外基础和良好的英语基础。在现代，
几乎所有好的软件都是来自国外，假如你不会外语，想学好是非常难的，即使高考中的英语
比重降低了，但我们依旧得学好。这样我们才能走得更远。 其实想要学习好一们语言，不能只靠老师，靠朋友，关键是自己。每个人内心深处都是
有抵触意识的，不可能把老师的所有都学到。其实，我发现学习数值分析这门课，不光是学
习一种语言，一些知识，更重要的是学习一种方法，一种学习软件的方法，还有学习的态度。 在最后，我想说的是，谢谢郭老师的辛勤付出，我们每个学生都会看在眼里记在心里的，
谢谢您。篇三：数值分析学习总结感想 数值分析学习感想
摘要:数值分析主要介绍现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本原理，研究并解决
数值问题的近似解，是数学理论与计算机和实际问题的有机结合。随着科学技术迅速发展，
运用数学方法解决工程技术领域中的实际问题，已经得到普遍重视。 作为这学期的考试课，在我最初接触这门课时，我感到了很困难，因为无论是高数还是
线性代数我都放下了很久，而我感觉数值分析是在高等数学和线性代数的基础上，又加深了
探讨。虽然这节课很难，但是在老师不断地引导和讲授下，我逐渐对其产生了兴趣。在老师
的反复讲解下，我发现我被它吸引了，因为它不仅是单纯的学科，还教会了我许多做人生活
的道理。
首先，数值分析这门课程是一个十分重视算法和原理的学科，同时它能够将人的思维引
入数学思考的模式，在处理问题的时候，可以合理适当的提出方案和假设。他的内容贴近实
际，像数值分析，数值微分，求解线性方程组的解等，使数学理论更加有实际意义。 数值分析在给我们的知识上，有很大一部分都对我有很大的帮助，让我的生活和学习有
了更加方便以及科学的方法。像第一章就讲的误差，在现实生活中，也许没有太过于注意误
差，所以对误差的看法有些轻视，但在学习了这一章之后，在老师的讲解下，了解到这些误
差看似小，实则影响很大，更如后面所讲的余项，那些差别总是让人很容易就出错，也许在
别的地方没有什么，但是在数学领域，一个小的误差，就会有很大的差别，而学习了数值分
析的内容，很容易就可以将误差锁定在一个很小的范围内，在这一范围内再逼近，得出的近
似值要准确的多，而在最开始的计算中，误差越小，对后面的影响越小， 这无疑是好的。 数值分析中，“以点带面”的思想也深深影响了我。这里的“点”是根本，是主线。在第
二章学习插值法的时候是以拉格朗日插值、牛顿插值为主线，然后逐渐展开介绍艾尔米特插
值、分段低次插值和三次样条插值。在学习中只要将研究拉格朗日插值和牛顿插值的基本原
理、基本方法理解透彻，其他的插值方法就基本掌握了。第四章处理数值积分和数值微分的
基本方法是逼近法，只要将函数逼近的基本思想理解好，掌握起来就会得心应手；第六第七
章是以迭代法为主线来求解线性方程组和非线性方程组的。在学习过程组只要将迭代法的相
关原理掌 握好，便能掌握第六第七章。总的来数，数值分析所涉及到数学中很多学科的知识，内
容比较复杂，因此在学习过程中一定要将基本原理、基本算法理解透，然后再逐步推广。同
样在生活中每件事情都有它的主线，只要抓住这条主线再难的事情也会迎刃而解。 还比如“等价转化”的思想，这里的“等价”不是完全意义上的“等价”，是指在转化前
后转化的主体主要特征值没有变。插值法的思想就是抓住已知函数或者已知点的几个主要特
征，用另一个具备主要特征的简单函数来代替原函数或拟合已知数据点。实际生活中也有很
多类似情况，已知事件或者面临的情况往往是复杂的，常常不能直接用数学方法直接研究，
我们可以做的就是抓住已经事件的主要特征转化为数学模型来建立。 在不断的学习中，知识在不断的获取，能力在不断的提升，同时在老师的耐心讲解下，
我逐渐的发现数值分析所涵盖的知识面特别的广泛，而我所需要学习的地方也更加的多，自
己的不足也在不断的体现，我知道这只是我刚刚接触到了数学的那一角，在以后我还会接触
到更多，而这求知的欲望也在不停的驱赶我，学习的越多，对今后的生活才会有更大的帮助。 希望在将来，通过反复的实践能加深我的理解，在明年的这个时候我能有更多的感悟。
同时，因为十五周的学习时间太短加上我的基础薄弱，我决定明年继续来旁听老师的课程，
达到进一步学习，加深理解的目的。 数值分析课程论文： 数值分析学习心得感悟 姓名：崔俊毅
学号：2015210211 专业：防灾减灾专硕 院系：土木工程学院篇四：数值分析学习报告 数值分析学习心得报告 班级：姓名：
学号:
************ *** *********** 学习数值分析的心得体会 数值分析是一门利用计算机求解数学问题数值解的课程, 有很强的理论性和实践性, 无意
中的一次选择，让我接触了数值分析。随着科学技术的发展，提出了大量复杂的数值计算问
题，在建立电子计算机成为数值计算的主要工具以后，它以数字计算机求解数学问题的理论
和方法为研究对象。有可靠的理论分析，要有数值实验，并对计算的结果进行误差分析。数
值分析的主要内容包括插值法，函数逼近，曲线拟和，数值积分，数值微分，解线性方程组
的直接方法，解线性方程组的迭代法，非线性方程求根，常微分方程的数值解法。 作为这学期的选修课，我从内心深处来讲，数值分析真的有点难。感觉它是在高等数学
和线性代数的基础上，又加深了探讨。虽然这节课很难，我学的不是很好，但我依然对它比
较感兴趣。下面就具体说说我的学习体会，让那些感兴趣的同学有个参考。 学习数值分析，我们首先得知道一个软件——matlab 。matrix laboratory ，即矩阵实验
室，是math work公司推出的一套高效率的数值计算和可视化软件。它是当今科学界最具影
响力、也是最具活力的软件，它起源于矩阵运算，并高速发展成计算机语言。它的优点是强
大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面、便捷的与其他程序和语
言接口。
根据上网搜集到的资料，你就会发现matlab 有许多优点： 首先，编程简单使用方便。到目前为止，我已经学过c 语言，机器语言，java 语言，这
三个语言相比，我感觉c 语言还是很简单的一种编程语言。只要入门就很好掌握，但是想学
精一门语言可不是那么容易的。惭愧的说，到目前为止，我依然处于入门阶段，只会编写小
的简单的程序，但是班里依然还是有学习好的。c 语言是简单且容易掌握的，但是，matlab
的矩阵和向量操作功能是其他语言无法比拟的。在matlab 环境下，数组的操作与数的操作一
样简单，基本数据单元是不需要指定维数的，不需要说明数据类型的矩阵，而其数学表达式
和运 算规则与通常的习惯相同。 其次，函数库可任意扩充。众所周知，c 语音有着丰富的函数库，我们可以随时调用，
大大方便了程序员的操作。可是作为it 人士的你知道吗，由于matlab 语言库函数与用户文
件的形式相同，用户文件可以像库函数一样随意调用，所以用户可任意扩充库函数。这是不
是很方便呢？
接着，语言简单内涵丰富。数值分析所用的语言中，最重要的成分是函数，其一般形式
为：function[a,b,c??]=fun(d,e,f??)，你也发现了吧，这样的语音是不是很容易掌握呢！
fun 是自定义的函数名，只要不与库函数想重，并且符合字符串书写规则即可。 然后是丰富的工具箱。由于matlab 的开放性，许多领域的专家都为matlab 编写了各种
程序工具箱。这些工具箱提供了用户在特别应用领域所需的许多函数，这使得用户不必花大
量的时间编写程序就可以直接调用这些函数，达到事半功倍的效果。不过你得提前知道这些
工具箱，并且会使用。
最后，我们来说一下matlab 的运算。利用matlab 可以做向量与矩阵的运算，与普通加
减运算几乎相似。
矩阵乘法用 “ * ” 符号表示，当a 矩阵列数与b 矩阵的行数相等时，二者可以进行乘
法运算，否则是错误的。如果a 或b 是标量，则a*b返回标量a （或b ）乘上矩阵b （或a ）
的每一个元素所得的矩阵。
对n ×m 阶矩阵a 和p ×q 阶矩阵b ，a 和b 的kronecher 乘法运算可定义为： kronecker乘法的matlab 命令为c=kron(a,b)：例如，在matlab 中输入： a=[1 2; 3
4]; b=[1 3 2; 2 4 6]; c=kron(a,b) 则程序会给出相应的答案 c = 1 3 2 2 6 4 2 4 6 4 8 12 3 9 6 4 12 8 6 12 18 8 16 24 这就充分的考验了我们的实际动手能力，当然运用一般的计算方法能算出结果，但相对
来说没有用它来运算节省时间，其他算法又很不方便。 上面介绍了matlab 的特点与使用方法，接着我们要说它的程序设计，其实跟c 语言相比，
它们的程序设计都差不多。 大家都知道，matlab 与其它计算机语言一样，也有控制流语句。而控制流语句本身，可
使原本简单地在命令行中运行的一系列命令或函数，组合成为一个整体—程序，从而提高效
率。以下是具体的几个例子，看过之后，你会发现，matlab 的控制流语句跟其他计算机真的
很相似：
（1）for 循环for 循环的通用形式为：for v=expressionstatementsend其中expression
表达式是一个矩阵，因为matlab 中都是矩阵，矩阵的列被一个接一个的赋值到变量v ，然后
statements 语句运行。
（2）while 循环while 循环的通用形式为：while v=expressionstatementsend当
expression 的所有运算为非零值时，statements 语句组将被执行。如果判断条件是向量或
矩阵的话，可能需要all 或any 函数作为判断条件。
（3）if 和break 语句通用形式为：if 条件1，命令组1；elesif 条件2，命令组2；?? ；
else 命令组k ；endbreak%中断执行，用在循环语句内表示跳出循环。 对于数值分析这节课，我的理解是：只要学习并掌握好matlab ，你就已经成功了。因此
说，matlab 是数学分析的基础。另外，自我感觉这是一个很好的软件，其语言简便，实用性
强。但是作为一个做新手，想要学习好这门语言， 还是比较困难的。在平常的上机课中，虽然我没有问过老师，但是我向那些学习不错的
学生还是交流了许多，跟他们交流，我确实学到不少有用的东西。但是，毕竟没有他们学得
好，总之，在我接触这门语言的这些天，除了会画几个简单的三维图形，其他的还是有待提
高。在这个软件中，虽然有help ，但大家不要以为有了这个就万事大吉了，反而，从另一个
方面也对我们大学生提出了两个要求——充实的课外基础和良好的英语基础。在现代，几乎
所有好的软件都是来自国外，假如你不会外语，想学好是非常难的，即使高考中的英语比重
降低了，但我们依旧得学好。这样我们才能走得更远。 其实想要学习好一们语言，不能只靠老师，靠朋友，关键是自己。每个人内心深处都是
有抵触意识的，不可能把老师的所有都学到。其实，我发现学习数值分析这门课，不光是学
习一种语言，一些知识，更重要的是学习一种方法，一种学习软件的方法，还有学习的态度。 数值分析是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，是数
学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。在科学研究和工程
技术中有许多问题可归结为求解方程组的问题。本文主要讨论了插值法求函数，解线性方程
组的求解方法，非线性方程组的解法及微分方程的解法，并通过在电流回路和单晶硅提拉过
程中分析应用。进一步体现了数值分析的广泛应用，实际上由于误差的存在，一些问题只能
求得近似解。对于良态方程组，只要求解方法稳定，即可得到比较满意的计算结果。但对于
病态方程组，即使使用稳定性好的算法求解也未必理想，还需进一步的研究。总之，数值分
析可以通过计算方法进行一种比较完善的构造，使之更普遍化，能够有举一反三的思想，能
够解决一些实际中难解的问题，应用到各个领域。 在最后，我想说的是，谢谢老师的辛勤付出，我们每个学生都会看在眼里记在心里的，
谢谢您。篇五：数值分析期末总结论文, 程序界面 数值计算方法论文
论文名称：数值计算方法期末总结 学 号：
姓 名：完成时间： 摘要：数值计算方法是数学的一个重要分支，以用计算机求解数学问题的理论和方法为
研究对象。本文是我对本学期数值分析这门课程中所学到的内容以及所作的工作的总结。通
过一学期的学习，我深入学习了线性方程组的解法，非线性方程的求根方法，矩阵特征值与
特征向量的计算，函数的插值方法，最佳平方逼近，数值积分与数值微分，常微分方程初值
问题的数值解法。通过陶老师课堂上的讲解和课下的上机训练，对以上各个章节的算法有了
更深刻的体会。 最后做了程序的演示界面，使得程序看起来清晰明了，便于查看与修改。通
过本学期的学习。
关键词：数值计算方法、演示界面
第一章 前言
随着电子计算机的普及与发展，科学计算已成为现代科学的重要组成部分，因而数值计
算方法的内容也愈来愈广泛和丰富。通过本学期的学习，主要掌握了一些数值方法的基本原
理、具体算法，并通过编程在计算机上来实现这些算法。
第二章 基本概念
2.1算法
算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成的完整的解题步骤。 算法可以使用框图、
算法语言、数学语言、自然语言来进行描述。具有的特征：正确性、有穷性、适用范围广、
运算工作量少、使用资源少、逻辑结构简单、便于实现、计算结果可靠。
2.2 误差
计算机的计算结果通常是近似的，因此算法必有误差，并且应能估计误差。误差是指近
似值与真正值之差。绝对误差是指近似值与真正值之差或差的绝对值；相对误差：是指近似
值与真正值之比或比的绝对值。误差来源见表2.1 表
第三章 泛函分析
2.1泛函分析概要
泛函分析（functional analysis ）是研究“函数的函数”、函数空间和它们之间变换（映
射）的一门较新的数学分支，隶属分析数学。它以各种学科为具体背景，在集合的基础上，
把客观世界中的研究对象抽象为元素和空间。如：距离空间，赋范线性空间，内积空间。
2.2 范数
范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领 域，泛函是一个函数，其为矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。 这里以cn 空间为例，rn 空间类似。最常用的范数就是p-范数。若 ，那么
当p 取1，2，∞的时候分别是以下几种最简单的情形： 1-范数：║x ║1=│x1│+│x2│+?+│xn │ 2-范数：║x ║2=（│x1│2+│x2│2+?+│xn │2）1/2 ∞-范数：║x ║∞=max（│x1│，│x2│，? ，│xn │） 其中2-范数就是通常意义下的距离。 对于这些范数有以下不等式：║x ║∞ ≤ ║x ║2 ≤ ║x ║1 ≤ n1/2║x ║2 ≤ n║x
║∞
另外，若p 和q 是赫德尔（hölder）共轭指标，即1/p+1/q=1，那么有赫德尔
不等式：
|<x,y>| = ||xh*y| ≤ ║x ║p ║y ║q 当p=q=2时就是柯西-许瓦兹（cauchy-schwarz ）不等式 一般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相容性：
║xy ║≤║x ║║y ║。所以矩阵范数通常也称为相容范数。 如果║·║α是相容范数，且任何满足║·║β≤║·║α的范数║·║β都不是相容
范数，那么║·║α称为极小范数。对于n 阶实方阵（或复方阵）全体上的任何一个范数║·║，
总存在唯一的实数k>0，使得k ║·║是极小范数。 注：如果不考虑相容性，那么矩阵范数和向量范数就没有区别，因为mxn 矩阵全体和mn
维向量空间同构。引入相容性主要是为了保持矩阵作为线性算子的特征，这一点和算子范数
的相容性一致，并且可以得到mincowski 定理以外的信息。
第四章 算法总结
本学期讲解过的主要算法列举如下：线性方程组的解法（高斯消元法，列主消元法，
doolittle 分解法，追赶法，ldl 分解法，jacobi 分解法，seidel 迭代法）；非线性方程的求
根方法（二分法，简单迭代法，newton 迭代法，newton+下山因子，newton 迭代法2，newton
非线性方程）；矩阵特征值与特征向量的计算（householder 矩阵，反幂法，幂法，qr 分解）；
函数的插值方法（三次样条插值，lagrange 插值法，newton 差商插值法）；最佳平方逼近
（chebyshev 最小二乘法，曲线拟合最小二乘法）；数值积分与数值微分（simpson 求积分式
算法，romberg 算法，外推法）；常微分方程初值问题的数值解法（欧拉改进法、龙格库塔法
和修正的adams 法）。下面对主要算法进行分析。
4.1线性方程组的解法
本章学习了一些求解线性方程组的常用方法，其中gauss 消元法，列主元消元法，lu 分
解法，追赶法和ldl ’分解法都是解线性方程组的直接方法；而jacobi 迭代法和sor 法则是
解线性方程组的基本迭代法。求解线性方程组时，应该注意方程组的性态，对病态方程组使
用通常求解方程组的方法将导致错误。迭代求精法可用于求解某些病态方程。
4.1.1高斯列主元lu 分解法求解线性方程组 高斯消元法和lu 分解法是直接法求解线性方程组中的两种方法。其中高斯消元法的基本
思想是将线性方程组(1.1)通过消元，逐步化为同解的三角形方程组，然后用回代法解出n
个解。高斯列主元消元法则是在高斯消元法的基础上提 (k?1)(k?1)a?0akkkk出的先选主元再消元的方法，避免了时消元无法进行或者是当的绝 (k?1)a(i?k?1,k?2,ik对值与其下方的元素,n) 的绝对值之比很小时，引起计算机 上溢或产生很大的舍入误差而导致所求出的解失真的问题。lu 分解法是将矩阵a 用一个
下三角矩阵和一个上三角矩阵之积来表示，即a?lu ，然后由a?lu ，ax?b ，得lux?b ，将线性
方程组的求解化为对两个三角形方程组ly?b 和ux?y 的求解，由此可解出线性方程组（1.1）
的n 个解x1,x2,,xn 。这两种求解线性方程组的方法在处理单个线性方程组时没有差别，只
是方法的不同，但在处理系数矩阵a 相同，而右端项不同的一组线性方程组时，lu 分解法就
有明显的优势，因为它是将系数矩阵a 和右端项b 分开处理的，这样就可以只进行一次分解。
例如，求解线性方程组ax?bi,i?1,2,,m ，用高斯消元法求解的计算量 1313mnn?mn2
大约为3，而用lu 分解求解的计算量约为3，后者计算量显然小很多。但是lu 分解法同
样有可能由于ujj 的绝对值很小而引起计算机上溢或产生很大的舍入误差而导致所求出的解
失真。因此提出了结合高斯列主元消元的lu 分解法。 我们采用的计算方法是先将a 矩阵进行高斯列主元消元，然后再计算相应的l 矩阵和u
矩阵（u 矩阵就是经过n-1步消元后的a 矩阵）。但要注意，第k 步消元时会产生
mik(i?k?1,k?2,,n)，从而可以得到l 矩阵的第k 列元素，但在下一步消元前选取列主元时可
能会交换方程的位置，因此与方程位置对应的l 矩阵中的元素也要交换位置。
4.2非线性方程组的求根方法 本章学习的二分法简单迭代法、newton 迭代法等方法，代表着求解非线性方程所采用的
两类方法。大范围收敛方法的初值x0选取没有多少限制，只要在含根区间任选其一即可，二
分法就是这类方法。局部收敛法要求x0要充分靠近根x*才能保证收敛，以简单迭代法为基
础，newton 迭代法为代表的各类迭代法都属这类方法。
4.2.1newton迭代法
牛顿迭代法的构造过程是这样的：设x0是f(x)?0的一个近似根，将f(x)在 f(x0)f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)2?x0处作taylor 展开得2! ，若取其
x?x?f(x)/f(x0)，然后再对x1做f(x)100前两项来近似代替，得近似方程的根 f上述同样处理，继续下去，一般若(xk)?0，则可以构造出迭代格式 xk?1?xk?f(xk)
f(xk)
此格式称为牛顿迭代格式，用它来求解f(x)?0的方法称为牛顿迭代法。 牛顿迭代法的
几何意义是用f(x)在xk 处的切线与x 轴得交点作为下一个迭代点xk?1的。由于这一特点，
牛顿迭代法也常称为切线法。 牛顿迭代法虽然收敛很快，但它通常过于依赖初值x0的选取，如果x0选择不当，将导
致迭代发散或产生无限循环。