初三数学几何综合练习题1
1. 关于x 的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−1=0有两个不想等的实数根。 （1）求m 的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m 的值，并求此时方程的根。
2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，过点A （－6，0）的直线l1与直线l2；y=2x相交于点B （m ，4）。 （1）求直线l1的表达式；
（2）过动点P(n,0)且垂于x 轴的直线与l1, l2的交点分别为C,D, 当点C 位于点D 上方时，写出n 的取值范围。
于点D ，过点D 作⨀O的切线，交BA 的延长线3. 如图，AB 为⨀O 的直径，F 为弦AC 的中点，连接OF 并延长交 AC于点E.
(1) 求证：AC ∥DE:
(2) 连接CD ，若OA ＝AE ＝a ，写出求四边形ACDE 面积的思路。
3. （1）证明：∵ED 与⨀O相切于D ∴OD⊥DE∵F 为弦AC 的中点∴OD⊥AC
∴AC∥DE
（2）解：①四边形DFAE 为直角梯形，上底为AF ，下底为DE ，高为DF ，有条件
比较容易在直角三角形DOE 中计算出DE 长为 a，DF=a/2，AF=2a，所以可以求出四边形DFAE 的面积为
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a2；
②在三角形CDF 中，DF⊥FC，且DF=a/2, FC=AF=2a，进而可以求解在三角形CDF 的面积为8a2；③四边形ACDE 就是由四边形DFAE 和三角形CDF 组成的，进而可以得到四边形ACDE 的面积就等于他们的面积和，为
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a（本题2
也可以通过证明四边形ACDE 为平行四边形，进而通过平行四边形面积公式求解，主要思路合理即可）。 4. 已知y 是x 的函数，自变量x 的取值范围x>0, 下表是y 与x 的几组对应值
小腾根据学校函数的经验，利用上述表格所反映出的y 与x 之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究。 下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点。根据描出的点，画出该函数的图象；
（2）根据画出的函数图象，写出：
①x ＝4对应的函数值y 约为； ②该函数的一条性质：。
4. （1）略；（2）2（2.1到1.8之间都正确）、该函数有最大值（其他正确性质都可以）。
5. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=mx2−2mx+m−1 m>0 与x 轴的交点为A,B. (1)求抛物线的顶点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点。
①当m ＝1时，求线段AB 上整点的个数；
②若抛物线在点A,B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m 的取值范围。
5. （1）解：将抛物线表达式变为顶点式y=m(x−1) 2−1，则抛物线顶点坐标为(1,-1)。
（2）解：①m=1时，抛物线表达式为y=x2−2x，因此A 、B 的坐标分别为(0,0)和(2,0)，则线段AB 上的整点有(0,0)，(1,0)，(2,0)共3个；②抛物线顶点为(1,-1)，则由线段AB 之间的部分及线段AB 所围成的区域的整点的纵坐标
只能为-1或者0，所以即要求AB 线段上（含AB 两点）必须有5个整点；又有抛物线表达式，令y=0 mx2−2mx+m−1=0，得到A 、B 两点坐标分别为 12≤
0 , (1+0) ，即5个整点是以(1,0)为中心向两侧分散，进而得到
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4
11
6. 在等边∆ABC中，
（1）如图1， P,Q是BC 边上两点，AP=AQ,∠BAP=20°, 求∠AQB的度数；
（2）点P,Q 是BC 边上的两个动点（不与点B,C 重合），点P 在点Q 的左侧，且AP=AQ，点Q 关于直线AC 的的对称点为M ，连接AM,PM. ①依题意将图2补全；
②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P 、Q 运动的过程中，始终有PA=PM。小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1:要证明
PA=PM
，只需证∆APM是等边三角形。
想法2：在BA 上取一点N ，使得BN=BP, 要证PA=PM，只需证∆ANP≅∆PCM
想法3:将线段BP 绕点 B顺时针旋转60°，得到线段BK ，要证PA=PM，只需证PA=CK,PM=CK„„. 请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）
6. （1）解：∵AP=AQ∴∠APQ=∠AQP∴∠APB=∠AQC又∵∠B=∠C=60°
∴∠BAP=∠CAQ=20°∴∠PAQ=∠BAC−∠BAP−∠CAQ=60°−20°−20°=20°
∴∠BAQ=∠BAP+∠PAQ=40°
又∵∠B=60°∴∠AQB=180°−∠B−∠BAQ=80°。
（2）①略；②利用想法1证明：连接AQ ，首先应该证明∆APB≅∆AQC，
得到∠BAP=∠CAQ，然后由∠CAQ=∠CAM得到∠CAM=∠BAP，进而得到∠PAM=60°; 接着利用∠MCA=∠QCA=∠PBA=60° AB=AC∠CAM=∠BAP，得到∆APB≅∆AMC， 从而得到AP=AM，进而得到PA=PM。（利用其他想法的线索证明也可以）
7. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（x1, y1) ，点Q 的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P, Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P,Q 的“相关矩形”。下图为点P ，Q 的“相关矩形”的示意图。
（1）已知点A 的坐标为（1，0），
①若点B 的坐标为（3，1）求点A ，B 的“相关矩形”的面积；
②点C 在直线x=3上，若点A,C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的表达式；
（2）⨀O的半径为 ，点M 的坐标为（m,3）。若在⨀O上存在一点N ，使得点M,N 的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围。
7. （1）解：①S=2×1=2；②C 的坐标可以为(3,2)或者(3,-2)，设AC 的表达式为y=kx+b, 将A 、C 分别代入AC 的表达式得到
0=k+b0=k+bk=1k=−1 或 ，解得 或 ， 2=3k+b−2=3k+bb=−1b=1
则直线AC 的表达式为y=x−1或y=−x+1。
（2）解：易得随着m 的变化，所有可能的点M 都在直线y=3上；
对于圆上任何一点N ，符合条件的M 和N 必须在k=1或者-1的直线上， 因此可以得到m 的范围为1≤m≤5或者−5≤m≤−1。
初三数学几何综合练习题1
1. 关于x 的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−1=0有两个不想等的实数根。 （1）求m 的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m 的值，并求此时方程的根。
2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，过点A （－6，0）的直线l1与直线l2；y=2x相交于点B （m ，4）。 （1）求直线l1的表达式；
（2）过动点P(n,0)且垂于x 轴的直线与l1, l2的交点分别为C,D, 当点C 位于点D 上方时，写出n 的取值范围。
于点D ，过点D 作⨀O的切线，交BA 的延长线3. 如图，AB 为⨀O 的直径，F 为弦AC 的中点，连接OF 并延长交 AC于点E.
(1) 求证：AC ∥DE:
(2) 连接CD ，若OA ＝AE ＝a ，写出求四边形ACDE 面积的思路。
3. （1）证明：∵ED 与⨀O相切于D ∴OD⊥DE∵F 为弦AC 的中点∴OD⊥AC
∴AC∥DE
（2）解：①四边形DFAE 为直角梯形，上底为AF ，下底为DE ，高为DF ，有条件
比较容易在直角三角形DOE 中计算出DE 长为 a，DF=a/2，AF=2a，所以可以求出四边形DFAE 的面积为
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a2；
②在三角形CDF 中，DF⊥FC，且DF=a/2, FC=AF=2a，进而可以求解在三角形CDF 的面积为8a2；③四边形ACDE 就是由四边形DFAE 和三角形CDF 组成的，进而可以得到四边形ACDE 的面积就等于他们的面积和，为
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a（本题2
也可以通过证明四边形ACDE 为平行四边形，进而通过平行四边形面积公式求解，主要思路合理即可）。 4. 已知y 是x 的函数，自变量x 的取值范围x>0, 下表是y 与x 的几组对应值
小腾根据学校函数的经验，利用上述表格所反映出的y 与x 之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究。 下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点。根据描出的点，画出该函数的图象；
（2）根据画出的函数图象，写出：
①x ＝4对应的函数值y 约为； ②该函数的一条性质：。
4. （1）略；（2）2（2.1到1.8之间都正确）、该函数有最大值（其他正确性质都可以）。
5. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=mx2−2mx+m−1 m>0 与x 轴的交点为A,B. (1)求抛物线的顶点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点。
①当m ＝1时，求线段AB 上整点的个数；
②若抛物线在点A,B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m 的取值范围。
5. （1）解：将抛物线表达式变为顶点式y=m(x−1) 2−1，则抛物线顶点坐标为(1,-1)。
（2）解：①m=1时，抛物线表达式为y=x2−2x，因此A 、B 的坐标分别为(0,0)和(2,0)，则线段AB 上的整点有(0,0)，(1,0)，(2,0)共3个；②抛物线顶点为(1,-1)，则由线段AB 之间的部分及线段AB 所围成的区域的整点的纵坐标
只能为-1或者0，所以即要求AB 线段上（含AB 两点）必须有5个整点；又有抛物线表达式，令y=0 mx2−2mx+m−1=0，得到A 、B 两点坐标分别为 12≤
0 , (1+0) ，即5个整点是以(1,0)为中心向两侧分散，进而得到
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6. 在等边∆ABC中，
（1）如图1， P,Q是BC 边上两点，AP=AQ,∠BAP=20°, 求∠AQB的度数；
（2）点P,Q 是BC 边上的两个动点（不与点B,C 重合），点P 在点Q 的左侧，且AP=AQ，点Q 关于直线AC 的的对称点为M ，连接AM,PM. ①依题意将图2补全；
②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P 、Q 运动的过程中，始终有PA=PM。小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1:要证明
PA=PM
，只需证∆APM是等边三角形。
想法2：在BA 上取一点N ，使得BN=BP, 要证PA=PM，只需证∆ANP≅∆PCM
想法3:将线段BP 绕点 B顺时针旋转60°，得到线段BK ，要证PA=PM，只需证PA=CK,PM=CK„„. 请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）
6. （1）解：∵AP=AQ∴∠APQ=∠AQP∴∠APB=∠AQC又∵∠B=∠C=60°
∴∠BAP=∠CAQ=20°∴∠PAQ=∠BAC−∠BAP−∠CAQ=60°−20°−20°=20°
∴∠BAQ=∠BAP+∠PAQ=40°
又∵∠B=60°∴∠AQB=180°−∠B−∠BAQ=80°。
（2）①略；②利用想法1证明：连接AQ ，首先应该证明∆APB≅∆AQC，
得到∠BAP=∠CAQ，然后由∠CAQ=∠CAM得到∠CAM=∠BAP，进而得到∠PAM=60°; 接着利用∠MCA=∠QCA=∠PBA=60° AB=AC∠CAM=∠BAP，得到∆APB≅∆AMC， 从而得到AP=AM，进而得到PA=PM。（利用其他想法的线索证明也可以）
7. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（x1, y1) ，点Q 的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P, Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P,Q 的“相关矩形”。下图为点P ，Q 的“相关矩形”的示意图。
（1）已知点A 的坐标为（1，0），
①若点B 的坐标为（3，1）求点A ，B 的“相关矩形”的面积；
②点C 在直线x=3上，若点A,C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的表达式；
（2）⨀O的半径为 ，点M 的坐标为（m,3）。若在⨀O上存在一点N ，使得点M,N 的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围。
7. （1）解：①S=2×1=2；②C 的坐标可以为(3,2)或者(3,-2)，设AC 的表达式为y=kx+b, 将A 、C 分别代入AC 的表达式得到
0=k+b0=k+bk=1k=−1 或 ，解得 或 ， 2=3k+b−2=3k+bb=−1b=1
则直线AC 的表达式为y=x−1或y=−x+1。
（2）解：易得随着m 的变化，所有可能的点M 都在直线y=3上；
对于圆上任何一点N ，符合条件的M 和N 必须在k=1或者-1的直线上， 因此可以得到m 的范围为1≤m≤5或者−5≤m≤−1。