二面角与法向量所成的角
摘要：二面角的大小与二面角的两半平面的法向量所成的角相等还是互补？这一问题一直困扰着许多的教师和学生，书中一直沿用观察法解决这一问题，同时也存在着观察的误差，本文用观察法为基础，以全新的角度解决这一问题。 关键词：观察法 二面角 法向量 相等与互补 正文：
第一部分：概述 （一）二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的部分所组成 的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每 β
l
个半平面叫做二面角的面，棱为l , 两个面分别为α
、β的二面角记为α—l —β。
（二）二面角的平面角： 一个平面垂直于二面角α—l —β的棱l
平面的交线分别是两条射线OA,OB,O ∠AOB 叫做二面角α—l —β的平面角， 显然取值范围：[0, π]。
由二面角的定义，
我们不难得到二面角的作图办法：定义法，垂面法，三垂线法等等。
定义：
（如下图）其中（Ⅰ）表示二面角内角，（Ⅱ）表示二面角外角。 外角与内角之和为2π。
α
β
l
（三）平面的法向量： 如果一条直线l 与一个平面α垂直，
那么这条直线的方向向量a 与平面α也垂直，这条直线l 叫平面α的法线，这个向量a 叫平面α的法向量, 记作α⊥α 对于平面法向量的求解，主要把握住两个概念:
一是垂直(只需要与平面内两个不共线向量垂直即可，原因可以用平面向量的基本定理和向量的运算来解释，也可以用线面垂直的判定定理来解释) ； 二是法向量只是方向向量（两个方程不可能解任意含有三个未知数的方程，由于只是方向向量，所以可以令其中一个非零未知数为任意非零常数即可）。 （三）法向量相对于二面角的方向
如左图，其中
（1） n 1,n 3, 都是平面α的法向量，n 2,n 4都是平
面β的法向量；
（2） n 1 n2的方向都向二面角角内，n 3 n4的方
向都向二面角角外。
第二部分：研究必要性 实例一：
（2009年高考全国卷2）18，如图，四棱 锥
S-ABCD 中，底面ABCD 是矩形SD ⊥ 底面ABCD ，AD =
DC =SD =2,点M
在侧棱SC 上∠ABM =60o C
（Ⅰ）证明：M 是侧棱SC 的中点；
A （Ⅱ）求二面角S-AM-B 的大小。
1实例二：
A1（2008年高考全国卷2）19，如图，正四棱 柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB =4，点E 在
CC 1上且C 1E =3EC ，
C （Ⅰ）证明：A 1C 平面BED ；
（Ⅱ）求二面角A 1-DE-B 的大小。
A 从这两个例子我们不难发现：
第一个例子的二面角的大小显然是一个钝角，第二个例子就不太容易判断是锐角还是钝角，因此，书中一直提倡用观察法去判断二面角的大小是钝角还是锐角，难免存在一些因视角问题而产生的错误，而很多老师和学生常常对于这一问题上往往忽视它的重要性，但是我们更应该认识到数学是一门艺术，更是一门科学，要求的是简洁性与准确性，所以，研究这一性质是非常重要的。 第三部分：探究过程
我们先来观察平面的法向量相对于二面角的内角与外角的关系，
（ （
（
（4）
过空间中任意一点作一个平面γ垂直于二面角α—l —β的棱l 且与两个半平面的交线分别是两条射线OA,OB,O 为垂足，则∠AOB 二面角α—l —β的平面角，在平面γ内任取一点P 分别作PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足分别为E ，F ，显然直线PE ，PF 分别叫做平面α，β的法线，当然n 1,n 2分别叫做平面α，
β的法向量，
观察：法向量的方向 （1）同时向内，（2）同时向外，（3）（4）一个向内，一个向外
发现：（1）（2）法向量所成的角与二面角的大小互补;
（3）（4）法向量所成的角与二面角的大小相等。
结论：
当法向量的方向都向二面角内或二面角外（简称：同向）时，法向量所成的角与二面角的大小互补；
当法向量的方向一个向内，另一个向外时（简称：异向）时，法向量所成的角与二面角的大小相等；
第四部分：解决问题
实例二：(2)解：
（如右图）建立空间直角坐标系D-xyz ;
依题意得： A 1（2,0,4），D （0,0,0），E （0,2,1），B （2,2,0） A 1D =(-2,0, -4), A 1E =(-2,2, -3)
BD =(-2, -2,0), BE =(-2,0,1)
设平面A 1DE 与平面BDE 的法向量分别为： n 1=(x1,y 1,z 1), n 2=(x2,y 2,z 2) ，则
{{
A 1D ⋅n 1=0
A 1E ⋅n 1=0
BD ⋅n 2=0
BE ⋅n 2=0
{⇔{
⇔
-2x 1-4y 1=0-2x 1+2y 1-3z 1=0-2x 2-2y 2=0-2x 2+z 2=0
⇔
{
x 1=-2y 1z 1=2y 1
⇔
{
y 2=-x 2z 2=2x 2
令y 1=x2=1, 则n 1=(-2,1,2), n 2=(1, -1,2) ，
cos =
n 1×n 2， ==
n 1n 2n 1的方向向二面角外，n 2的所以二面角A 1-DE-B
的大小为方向向二面角内；是异向，所以角的大小相同）。
第五部分：教育意义
通过对本知识点的研究，深化对二面角的认识，准确把握二面角的大小与二面角两半平面的法向量所成的角相等（与互补）的关系，充分让学生体会数学的美，体现严格的逻辑性，准确性和简洁性，使之更加系统化，完整化，弥补了观察法所带来的严重不足；让学生充分认识到，我们的教育不是应试的教育，而是循序渐进的，完美的，科学的，理论联系实际的，不是猜出来，看出来的，而是有理有据的，不会让同学们在做这种题的时候心存怀疑，而是百分之百的准确化，轻轻的描一下平面的法向量，完全解决视觉所带来的不准确性。
当然，本文制作参考，如有不足，请给予批评指正。
参考资料：全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第二册（下B ） p46,p49
2008，2009年全国普通高等学校统一考试全国卷二
二面角与法向量所成的角
摘要：二面角的大小与二面角的两半平面的法向量所成的角相等还是互补？这一问题一直困扰着许多的教师和学生，书中一直沿用观察法解决这一问题，同时也存在着观察的误差，本文用观察法为基础，以全新的角度解决这一问题。 关键词：观察法 二面角 法向量 相等与互补 正文：
第一部分：概述 （一）二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的部分所组成 的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每 β
l
个半平面叫做二面角的面，棱为l , 两个面分别为α
、β的二面角记为α—l —β。
（二）二面角的平面角： 一个平面垂直于二面角α—l —β的棱l
平面的交线分别是两条射线OA,OB,O ∠AOB 叫做二面角α—l —β的平面角， 显然取值范围：[0, π]。
由二面角的定义，
我们不难得到二面角的作图办法：定义法，垂面法，三垂线法等等。
定义：
（如下图）其中（Ⅰ）表示二面角内角，（Ⅱ）表示二面角外角。 外角与内角之和为2π。
α
β
l
（三）平面的法向量： 如果一条直线l 与一个平面α垂直，
那么这条直线的方向向量a 与平面α也垂直，这条直线l 叫平面α的法线，这个向量a 叫平面α的法向量, 记作α⊥α 对于平面法向量的求解，主要把握住两个概念:
一是垂直(只需要与平面内两个不共线向量垂直即可，原因可以用平面向量的基本定理和向量的运算来解释，也可以用线面垂直的判定定理来解释) ； 二是法向量只是方向向量（两个方程不可能解任意含有三个未知数的方程，由于只是方向向量，所以可以令其中一个非零未知数为任意非零常数即可）。 （三）法向量相对于二面角的方向
如左图，其中
（1） n 1,n 3, 都是平面α的法向量，n 2,n 4都是平
面β的法向量；
（2） n 1 n2的方向都向二面角角内，n 3 n4的方
向都向二面角角外。
第二部分：研究必要性 实例一：
（2009年高考全国卷2）18，如图，四棱 锥
S-ABCD 中，底面ABCD 是矩形SD ⊥ 底面ABCD ，AD =
DC =SD =2,点M
在侧棱SC 上∠ABM =60o C
（Ⅰ）证明：M 是侧棱SC 的中点；
A （Ⅱ）求二面角S-AM-B 的大小。
1实例二：
A1（2008年高考全国卷2）19，如图，正四棱 柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB =4，点E 在
CC 1上且C 1E =3EC ，
C （Ⅰ）证明：A 1C 平面BED ；
（Ⅱ）求二面角A 1-DE-B 的大小。
A 从这两个例子我们不难发现：
第一个例子的二面角的大小显然是一个钝角，第二个例子就不太容易判断是锐角还是钝角，因此，书中一直提倡用观察法去判断二面角的大小是钝角还是锐角，难免存在一些因视角问题而产生的错误，而很多老师和学生常常对于这一问题上往往忽视它的重要性，但是我们更应该认识到数学是一门艺术，更是一门科学，要求的是简洁性与准确性，所以，研究这一性质是非常重要的。 第三部分：探究过程
我们先来观察平面的法向量相对于二面角的内角与外角的关系，
（ （
（
（4）
过空间中任意一点作一个平面γ垂直于二面角α—l —β的棱l 且与两个半平面的交线分别是两条射线OA,OB,O 为垂足，则∠AOB 二面角α—l —β的平面角，在平面γ内任取一点P 分别作PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足分别为E ，F ，显然直线PE ，PF 分别叫做平面α，β的法线，当然n 1,n 2分别叫做平面α，
β的法向量，
观察：法向量的方向 （1）同时向内，（2）同时向外，（3）（4）一个向内，一个向外
发现：（1）（2）法向量所成的角与二面角的大小互补;
（3）（4）法向量所成的角与二面角的大小相等。
结论：
当法向量的方向都向二面角内或二面角外（简称：同向）时，法向量所成的角与二面角的大小互补；
当法向量的方向一个向内，另一个向外时（简称：异向）时，法向量所成的角与二面角的大小相等；
第四部分：解决问题
实例二：(2)解：
（如右图）建立空间直角坐标系D-xyz ;
依题意得： A 1（2,0,4），D （0,0,0），E （0,2,1），B （2,2,0） A 1D =(-2,0, -4), A 1E =(-2,2, -3)
BD =(-2, -2,0), BE =(-2,0,1)
设平面A 1DE 与平面BDE 的法向量分别为： n 1=(x1,y 1,z 1), n 2=(x2,y 2,z 2) ，则
{{
A 1D ⋅n 1=0
A 1E ⋅n 1=0
BD ⋅n 2=0
BE ⋅n 2=0
{⇔{
⇔
-2x 1-4y 1=0-2x 1+2y 1-3z 1=0-2x 2-2y 2=0-2x 2+z 2=0
⇔
{
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⇔
{
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令y 1=x2=1, 则n 1=(-2,1,2), n 2=(1, -1,2) ，
cos =
n 1×n 2， ==
n 1n 2n 1的方向向二面角外，n 2的所以二面角A 1-DE-B
的大小为方向向二面角内；是异向，所以角的大小相同）。
第五部分：教育意义
通过对本知识点的研究，深化对二面角的认识，准确把握二面角的大小与二面角两半平面的法向量所成的角相等（与互补）的关系，充分让学生体会数学的美，体现严格的逻辑性，准确性和简洁性，使之更加系统化，完整化，弥补了观察法所带来的严重不足；让学生充分认识到，我们的教育不是应试的教育，而是循序渐进的，完美的，科学的，理论联系实际的，不是猜出来，看出来的，而是有理有据的，不会让同学们在做这种题的时候心存怀疑，而是百分之百的准确化，轻轻的描一下平面的法向量，完全解决视觉所带来的不准确性。
当然，本文制作参考，如有不足，请给予批评指正。
参考资料：全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第二册（下B ） p46,p49
2008，2009年全国普通高等学校统一考试全国卷二