数学证明题

1. (10分)如图,E 、F 分别为线段AC 上的两个点,且DE ⊥AC 于点E ,BF ⊥AC 于点F ,若AB=CD,AE=CF,BD交AC 于点M.

(1)试猜想DE 与BF 的关系, 并证明你的结论. (2)求证MB=MD.

第25题图

2、(8分) 如图,在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F ,△ABC

2

面积是28cm ,AB =16cm ,AC =12cm ,求DE 的长.

(第19题)

3.(2014•濮阳二模)在四边形ABCD 中,AC=AB,DC=DB,∠CAB=60°,∠CDB=120°,E 是AC 上一点,F 是AB 延长线上一点,且CE=BF.

思考验证:

(1)求证:DE=DF; (2)在图1中,若G 在AB 上且∠EDG=60°,试猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系并证明; 归纳结论:

(3)若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α,∠CDB=180°﹣α,G 在AB 上,∠EDG 满足什么条件时,(2)中结论仍然成立?(只写结果不要证明) 探究应用: (4)运用(1)(2)(3)解答中所积累的经验和知识,完成下题:如图2,在四边形ABCD 中,∠ABC=90°,∠CAB=∠CAD=30°,E 在AB 上,DE ⊥AB ,且∠DCE=60°,若AE=3,求BE 的长.

4.等边△ABC 中,点P 在△ABC 内,点Q 在△ABC 外,且∠ABP=∠ACQ ,BP=CQ,问 △APQ 是什么形状的三角形?试说明你的结论.

5、(9分)如图,△ABD 、△AEC 都是等边三角形,求证:BE=DC .

6、(9分)如图,一艘轮船从点A 向正北方向航行,每小时航行15海里,小岛P 在轮船的北偏西15°,3小时后轮船航行到点B ,小岛P 此时在轮船的北偏西30°方向,在小岛P 的周围20海里范围内有暗礁,如果轮船不改变方向继续向前航行,是否会有触礁危险?请说明理由。

C

北 B `

D

A E

B

7.如图22,在∠AOB 的两边OA , OB 上分别取OM =ON ,OD =OE ,DN 和EM 相交于点C . 求证:点C 在∠AOB 的平分线上。

M A

O

E

N

B

8. (1)如图23(1),以△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形

ACFG ,连结EG ,试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系,并说明理由。

(2)园林小路,曲径通幽,如图23(2)所示,小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米,内圈的所有三角形的面积之和 是b 平方米,这条小路一共占地多少平方米?

F

(图1)

1、解: (1)DE=BF

证明:∵ DE⊥AC BF⊥AC ∴∠DEC=∠BFA=90° ∵AE=CF

∴AE+EF=CF+EF 即AF=CE

在 Rt△ABF 和Rt △CDE 中 Rt △ABF ≌Rt △CDE(HL) ∴BF=DE

(2)证明: 在△DEM 和△BFM 中

∠DEM=∠BFM

∠DME=∠BMF DEM ≌△BFM(AAS) MB=MD

2、解:∵AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ∠AOB=∠AOC ∴DE=DF------------------------------------3分

又∵S ∆ABD +S ∆ADC =S ∆ABC ∴△A0B ≌△AOC (SAS )-----7分 即:

11

AB ∙DE +AC ∙DF =28---5分 ∴AB=AC-------------------822

又∵AB =16cm ,AC =12cm

11

⨯16∙DE +⨯12∙DF =28 2211

∴⨯16∙DE +⨯12∙DE =28---7分 22

解得:DE=2cm--------------------------------8分\

3

(4)运用(1)(2)(3)解答中所积累的经验和知识,完成下题:如图2,在四边形A BCD 中,∠ABC=90°,∠CAB=∠CAD=30°,E 在AB 上,DE ⊥AB ,且∠DCE=60°,若AE=3,求BE 的长.

1)证明:∵∠A+∠C+∠CDB+∠ABD=360°,∠A=60°,∠CDB=120°, ∴∠C+∠ABD=180°, ∵∠ABD+∠DBF=180°, ∴∠C=∠DBF ,

在△DEC 和△DFB 中,

∴△DEC ≌△DFB , ∴DE=DF. (2

证明:连接DA ,

在△ACD 和△ABD 中

∴△ACD ≌△ABD , ∴∠CDA=∠BDA=60°,

∵∠EDG=∠EDA+∠ADG=∠ADG+∠GDB=60°,∴∠CDE=∠ADG ,∠EDA=∠GDB , ∵∠BDF=∠CDE ,

∴∠GDB+∠BDF=60°, 在△DGF 和△DEG 中

∴△DGF ≌△DEG , ∴FG=EG, ∵CE=BF,

∴CE+BG=EG.

(3)解:∠EDG=(180°﹣α),

(4)解:过C 作CM ⊥AD 交AD 的延长线于M ,在△AMC 和△ABC 中

∴△AMC ≌△ABC , ∴AM=AB.CM=BC,

)解:CE+BG=EG,

由(1)

DM+BE=DE,

∵AE=3,∠AED=90°,∠DAB=60°, ∴AD=6,

由勾股定理得:DE=3,

∴DM=AM﹣AD=AB﹣6=BE+3﹣6=BE﹣3, ∴BE ﹣3+BE=3, 即BE=(3

+3).

(2)(3)可知:

21、由△ABP ≌△ACQ 得AP =AQ ,再证∠PAQ =60°即可.

⎧AB =AC

因为△ABC 是等边三角形,在△ABP 和△ACQ 中,⎨∠ABP =∠ACQ

⎪BP =CQ ⎩

所以△ABP ≌△ACQ

所以AP =AQ ,∠BAP=∠CAQ 。所以△APQ 是等边三角形.

4. 证:∵在等边△ABD 中,有AD=AB,且∠DAB=600 在等边△AEC 中,有AC=AE,且∠EAC=600 ∴∠DAB=∠EAC

∵∠DAC=∠DAB+∠BAC , ∠BAE=∠EAC+∠BAC , ∴∠DAC=∠BAE ∴△DAC ≌△BAE CD=BE

4. 解:连接AP ,且做PD 垂直于AB 交AB 延长线于D 点 ∵∠PBC=30°∴∠PBA=150° 又∵∠A=15°

∴∠APB=15°(180-150-15) ∴PB=PA=45×3=45海里

∴PD=22.5海里(30度角所对的边等于斜边一半) 22.5大于20,所以不会触礁。

6.提示:OM =ON ,OE =OD ,∠MOE =∠NOD ,∴△MOE ≌△NOD ,∴∠OME =∠OND ,又DM =EN ,∠DCM =∠ECN ,∴△MDC ≌△NEC ,∴MC =NC ,易得△OMC ≌△ONC (SSS )∴∠MOC =∠NOC ,∴点C 在∠AOB 的平分线上.

7. (1)解:△ABC 与△AEG 面积相等

过点C 作CM ⊥AB 于M ,过点G 作GN ⊥EA 交EA 延长线于N ,则

∠A M C =∠ANG =90

四边形ABDE 和四边形ACFG 都是正方形 ∴∠BAE =∠CAG =90 ,AB =AE ,AC =AG ∴∠BAC +∠EAG =180

∴∠BAC =∠GAN ∴△ACM ≌△AGN

∴CM =GN

11

S △ABC =AB CM ,S △AEG =AE

22

F

∠EAG +∠GAN =180

∴S △ABC =S △AEG

(2)解:由(1)知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和

∴这条小路的面积为(a +2b ) 平方米.

1. (10分)如图,E 、F 分别为线段AC 上的两个点,且DE ⊥AC 于点E ,BF ⊥AC 于点F ,若AB=CD,AE=CF,BD交AC 于点M.

(1)试猜想DE 与BF 的关系, 并证明你的结论. (2)求证MB=MD.

第25题图

2、(8分) 如图,在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F ,△ABC

2

面积是28cm ,AB =16cm ,AC =12cm ,求DE 的长.

(第19题)

3.(2014•濮阳二模)在四边形ABCD 中,AC=AB,DC=DB,∠CAB=60°,∠CDB=120°,E 是AC 上一点,F 是AB 延长线上一点,且CE=BF.

思考验证:

(1)求证:DE=DF; (2)在图1中,若G 在AB 上且∠EDG=60°,试猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系并证明; 归纳结论:

(3)若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α,∠CDB=180°﹣α,G 在AB 上,∠EDG 满足什么条件时,(2)中结论仍然成立?(只写结果不要证明) 探究应用: (4)运用(1)(2)(3)解答中所积累的经验和知识,完成下题:如图2,在四边形ABCD 中,∠ABC=90°,∠CAB=∠CAD=30°,E 在AB 上,DE ⊥AB ,且∠DCE=60°,若AE=3,求BE 的长.

4.等边△ABC 中,点P 在△ABC 内,点Q 在△ABC 外,且∠ABP=∠ACQ ,BP=CQ,问 △APQ 是什么形状的三角形?试说明你的结论.

5、(9分)如图,△ABD 、△AEC 都是等边三角形,求证:BE=DC .

6、(9分)如图,一艘轮船从点A 向正北方向航行,每小时航行15海里,小岛P 在轮船的北偏西15°,3小时后轮船航行到点B ,小岛P 此时在轮船的北偏西30°方向,在小岛P 的周围20海里范围内有暗礁,如果轮船不改变方向继续向前航行,是否会有触礁危险?请说明理由。

C

北 B `

D

A E

B

7.如图22,在∠AOB 的两边OA , OB 上分别取OM =ON ,OD =OE ,DN 和EM 相交于点C . 求证:点C 在∠AOB 的平分线上。

M A

O

E

N

B

8. (1)如图23(1),以△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形

ACFG ,连结EG ,试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系,并说明理由。

(2)园林小路,曲径通幽,如图23(2)所示,小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米,内圈的所有三角形的面积之和 是b 平方米,这条小路一共占地多少平方米?

F

(图1)

1、解: (1)DE=BF

证明:∵ DE⊥AC BF⊥AC ∴∠DEC=∠BFA=90° ∵AE=CF

∴AE+EF=CF+EF 即AF=CE

在 Rt△ABF 和Rt △CDE 中 Rt △ABF ≌Rt △CDE(HL) ∴BF=DE

(2)证明: 在△DEM 和△BFM 中

∠DEM=∠BFM

∠DME=∠BMF DEM ≌△BFM(AAS) MB=MD

2、解:∵AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ∠AOB=∠AOC ∴DE=DF------------------------------------3分

又∵S ∆ABD +S ∆ADC =S ∆ABC ∴△A0B ≌△AOC (SAS )-----7分 即:

11

AB ∙DE +AC ∙DF =28---5分 ∴AB=AC-------------------822

又∵AB =16cm ,AC =12cm

11

⨯16∙DE +⨯12∙DF =28 2211

∴⨯16∙DE +⨯12∙DE =28---7分 22

解得:DE=2cm--------------------------------8分\

3

(4)运用(1)(2)(3)解答中所积累的经验和知识,完成下题:如图2,在四边形A BCD 中,∠ABC=90°,∠CAB=∠CAD=30°,E 在AB 上,DE ⊥AB ,且∠DCE=60°,若AE=3,求BE 的长.

1)证明:∵∠A+∠C+∠CDB+∠ABD=360°,∠A=60°,∠CDB=120°, ∴∠C+∠ABD=180°, ∵∠ABD+∠DBF=180°, ∴∠C=∠DBF ,

在△DEC 和△DFB 中,

∴△DEC ≌△DFB , ∴DE=DF. (2

证明:连接DA ,

在△ACD 和△ABD 中

∴△ACD ≌△ABD , ∴∠CDA=∠BDA=60°,

∵∠EDG=∠EDA+∠ADG=∠ADG+∠GDB=60°,∴∠CDE=∠ADG ,∠EDA=∠GDB , ∵∠BDF=∠CDE ,

∴∠GDB+∠BDF=60°, 在△DGF 和△DEG 中

∴△DGF ≌△DEG , ∴FG=EG, ∵CE=BF,

∴CE+BG=EG.

(3)解:∠EDG=(180°﹣α),

(4)解:过C 作CM ⊥AD 交AD 的延长线于M ,在△AMC 和△ABC 中

∴△AMC ≌△ABC , ∴AM=AB.CM=BC,

)解:CE+BG=EG,

由(1)

DM+BE=DE,

∵AE=3,∠AED=90°,∠DAB=60°, ∴AD=6,

由勾股定理得:DE=3,

∴DM=AM﹣AD=AB﹣6=BE+3﹣6=BE﹣3, ∴BE ﹣3+BE=3, 即BE=(3

+3).

(2)(3)可知:

21、由△ABP ≌△ACQ 得AP =AQ ,再证∠PAQ =60°即可.

⎧AB =AC

因为△ABC 是等边三角形,在△ABP 和△ACQ 中,⎨∠ABP =∠ACQ

⎪BP =CQ ⎩

所以△ABP ≌△ACQ

所以AP =AQ ,∠BAP=∠CAQ 。所以△APQ 是等边三角形.

4. 证:∵在等边△ABD 中,有AD=AB,且∠DAB=600 在等边△AEC 中,有AC=AE,且∠EAC=600 ∴∠DAB=∠EAC

∵∠DAC=∠DAB+∠BAC , ∠BAE=∠EAC+∠BAC , ∴∠DAC=∠BAE ∴△DAC ≌△BAE CD=BE

4. 解:连接AP ,且做PD 垂直于AB 交AB 延长线于D 点 ∵∠PBC=30°∴∠PBA=150° 又∵∠A=15°

∴∠APB=15°(180-150-15) ∴PB=PA=45×3=45海里

∴PD=22.5海里(30度角所对的边等于斜边一半) 22.5大于20,所以不会触礁。

6.提示:OM =ON ,OE =OD ,∠MOE =∠NOD ,∴△MOE ≌△NOD ,∴∠OME =∠OND ,又DM =EN ,∠DCM =∠ECN ,∴△MDC ≌△NEC ,∴MC =NC ,易得△OMC ≌△ONC (SSS )∴∠MOC =∠NOC ,∴点C 在∠AOB 的平分线上.

7. (1)解:△ABC 与△AEG 面积相等

过点C 作CM ⊥AB 于M ,过点G 作GN ⊥EA 交EA 延长线于N ,则

∠A M C =∠ANG =90

四边形ABDE 和四边形ACFG 都是正方形 ∴∠BAE =∠CAG =90 ,AB =AE ,AC =AG ∴∠BAC +∠EAG =180

∴∠BAC =∠GAN ∴△ACM ≌△AGN

∴CM =GN

11

S △ABC =AB CM ,S △AEG =AE

22

F

∠EAG +∠GAN =180

∴S △ABC =S △AEG

(2)解:由(1)知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和

∴这条小路的面积为(a +2b ) 平方米.


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