计算全距、平均差、方差和标准差
一、全距R（range）
全距是一组数据中的最大值（maximum）与该组数据中最小值（minimum）之差，又称极差。 R＝Xmax－Xmin
一般用于研究的预备阶段，用它检查数据的分布范围，以便确定如何进行统计分析 原始数据计算公式 三、四分位差(Quartile)
四分位差是第一个四分位数与第三个四分位数之差计算公式为 Q=Q3-Q1
四、方差与标准差
方差：又称为变异数、均方，是每个数据与该组数据平均数之差乘方后的均值，是表示一组数据离散程度的统计指标。 样本的方差用表示，总体的方差用表示。
标准差是方差的算术平方根。一般样本的标准差用S 表示，总体的标准差用表示。
标准差和方差是描述数据离散程度的最常用的差异量。
分组数据方差与标准差的计算公式
方差与标准差的性质
• 方差是对一组数据中各种变异的总和的测量,具有可加性和可分解性特点。
• 标准差是一组数据方差的算术平方根，它不可以进行代数计算，但有以下特性：
总体方差、标准差或者方差、标准才差的合成
• 方差具有可加性的特点。当已知几个小组数据的方差或标准差时，可以计算几个小组联合在一起的总的方差或标准差。
• 需要注意的是，只有在应用同一种观测手段，测量的是同一种特质，
只是样本不同的数据时，才能计算合成方差或标准差。
方差和标准差的优点：
方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好指标，其值越大，离散程度越大。
应用方差和标准差表示一组数据的离散程度，须注意必须是同一类数据（即同一种测量工具的测量结果），而且被比较样本的水平比较接近。
优点：
• 反应灵敏。每个数据发生变化，方差与标准差也随之变化 • 有一定计算公式的严密确定 • 容易计算
• 受抽样变动的影响小 • 简单明了
• 方差具有可加性（区分变异源，组间/组内）
五、差异系数（coefficient of variation）
差异系数指标准差与其算术平均数的百分比，它是没有单位的相对数。用CV表示。
何种情况下运用差异系数：
• 两个或两个以上样本所测特质不同，即所使用的观测工具不同，如何比较两者的离散程度？
• 即使使用同一种观测量具，但样本水平相差较大，如何比较其离散程度？
差异系数的作用
• 比较不同单位资料的差异程度
• 比较单位相同而平均数相差较大的两组资料的差异程度 • 可判断特殊差异情况
根据经验，一般CV值常在5％－35％之间。如果CV大于35％时，可怀疑所求得的平均数是否失去了意义；如果CV小于5％时，可怀疑平均数与标准差是否计算有误。
六、标准分数（standard score）
1、概念
标准分数，又称为基分数或Ｚ分数（Z－score），是以标准差为单位，反映一个原始分数在团体中所处位置。具体来说，Z分数表示原始分数在以平均数为中心时的相对位置。
• 标准分数从分数对平均数的相对地位、该组分数的离中趋势两个方面来表示原始分数的地位。
• Ｚ分数可以表明原始分数在团体中的相对位置，因此称为相对位置量数。
2、计算
把原始分数转换成Ｚ分数，就把单位不等距的和缺乏明确参照点的分数转换成以标准差为单位、以平均数为参照点的分数。
线性变换
标准分数带有小数和负值，为了克服标准分数出现的小数、负数和不易为人们所接受等缺点，常常是将其转换成正态标准分数。
例如：早期智力测验中运用智力商数表示智力测查的指标
这种表示智力的方法后来被离差智商取代：
标准分数的性质
• Ｚ分数无实际单位，是以平均数为参照点、以标准差为单位的相对量。 • 一组原始分数得到的Ｚ分数既有正值，也有负值，所有原始分数的Ｚ分数之和为零。
• 一组原始数据中，各个Ｚ分数的标准差为１。
标准分数的应用
• 用于比较几个分属性质不同的观测值在各自数据分布中相对位置的
• 表示标准测验分数。经过标准化的心理和教育测验，常常用标准分数表示测验结果。
标准分数的优点
• 可比性：标准分数以团体的平均数为基准，以标准差为单位，因而具有可比性。
• 可加性：标准分数使不同的原始分数具有相同的参照点，因而具有可加性。
• 明确性：标准分数较原始分数的意义更为明确。
• 合理性：标准分数保证了不同性质的分数在总分数中的权重相同，使分数更合理地反映事实。
七、百分位数与百分位差
把一个次数分布排序后，分为100个单位。百分位数就是次数分布中相对于某个特定百分点的原始分数，它表明在次数分布中特定个案百分比低于该分数。 百分位数用Pm表示
百分位差（距）
• 百分位差是指两个百分位数（percentile）之差。 • 常用的百分位距有两种：
P90－P10和P93－P7。
第三节数据的分布形状
一、正态分布
二、偏态系数（skewness SK）
• 当数据较多的出现在均值的一侧时，数据分布左右不对称，此时，数据分布称为偏态分布。
• 描述变量非对称分布的数字特征是偏态系数，也称为偏度。
• 偏态分布有正偏态分布和负偏态分布两种。当N>200以上时，计算的偏态系数才是可靠的。SK>0为正偏态，SK
• 如果偏态系数的绝对值大于1，则说明数据的分布与正态分布有明显
三、峰态系数（kurtosis Ku）
Ku以0.263为判断值，小于为高狭峰，大于为低阔峰
四、偏态系数与峰态系数的计算方法
1、皮尔逊偏态量数法 2、峰度、偏度检验法
计算全距、平均差、方差和标准差
一、全距R（range）
全距是一组数据中的最大值（maximum）与该组数据中最小值（minimum）之差，又称极差。 R＝Xmax－Xmin
一般用于研究的预备阶段，用它检查数据的分布范围，以便确定如何进行统计分析 原始数据计算公式 三、四分位差(Quartile)
四分位差是第一个四分位数与第三个四分位数之差计算公式为 Q=Q3-Q1
四、方差与标准差
方差：又称为变异数、均方，是每个数据与该组数据平均数之差乘方后的均值，是表示一组数据离散程度的统计指标。 样本的方差用表示，总体的方差用表示。
标准差是方差的算术平方根。一般样本的标准差用S 表示，总体的标准差用表示。
标准差和方差是描述数据离散程度的最常用的差异量。
分组数据方差与标准差的计算公式
方差与标准差的性质
• 方差是对一组数据中各种变异的总和的测量,具有可加性和可分解性特点。
• 标准差是一组数据方差的算术平方根，它不可以进行代数计算，但有以下特性：
总体方差、标准差或者方差、标准才差的合成
• 方差具有可加性的特点。当已知几个小组数据的方差或标准差时，可以计算几个小组联合在一起的总的方差或标准差。
• 需要注意的是，只有在应用同一种观测手段，测量的是同一种特质，
只是样本不同的数据时，才能计算合成方差或标准差。
方差和标准差的优点：
方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好指标，其值越大，离散程度越大。
应用方差和标准差表示一组数据的离散程度，须注意必须是同一类数据（即同一种测量工具的测量结果），而且被比较样本的水平比较接近。
优点：
• 反应灵敏。每个数据发生变化，方差与标准差也随之变化 • 有一定计算公式的严密确定 • 容易计算
• 受抽样变动的影响小 • 简单明了
• 方差具有可加性（区分变异源，组间/组内）
五、差异系数（coefficient of variation）
差异系数指标准差与其算术平均数的百分比，它是没有单位的相对数。用CV表示。
何种情况下运用差异系数：
• 两个或两个以上样本所测特质不同，即所使用的观测工具不同，如何比较两者的离散程度？
• 即使使用同一种观测量具，但样本水平相差较大，如何比较其离散程度？
差异系数的作用
• 比较不同单位资料的差异程度
• 比较单位相同而平均数相差较大的两组资料的差异程度 • 可判断特殊差异情况
根据经验，一般CV值常在5％－35％之间。如果CV大于35％时，可怀疑所求得的平均数是否失去了意义；如果CV小于5％时，可怀疑平均数与标准差是否计算有误。
六、标准分数（standard score）
1、概念
标准分数，又称为基分数或Ｚ分数（Z－score），是以标准差为单位，反映一个原始分数在团体中所处位置。具体来说，Z分数表示原始分数在以平均数为中心时的相对位置。
• 标准分数从分数对平均数的相对地位、该组分数的离中趋势两个方面来表示原始分数的地位。
• Ｚ分数可以表明原始分数在团体中的相对位置，因此称为相对位置量数。
2、计算
把原始分数转换成Ｚ分数，就把单位不等距的和缺乏明确参照点的分数转换成以标准差为单位、以平均数为参照点的分数。
线性变换
标准分数带有小数和负值，为了克服标准分数出现的小数、负数和不易为人们所接受等缺点，常常是将其转换成正态标准分数。
例如：早期智力测验中运用智力商数表示智力测查的指标
这种表示智力的方法后来被离差智商取代：
标准分数的性质
• Ｚ分数无实际单位，是以平均数为参照点、以标准差为单位的相对量。 • 一组原始分数得到的Ｚ分数既有正值，也有负值，所有原始分数的Ｚ分数之和为零。
• 一组原始数据中，各个Ｚ分数的标准差为１。
标准分数的应用
• 用于比较几个分属性质不同的观测值在各自数据分布中相对位置的
• 表示标准测验分数。经过标准化的心理和教育测验，常常用标准分数表示测验结果。
标准分数的优点
• 可比性：标准分数以团体的平均数为基准，以标准差为单位，因而具有可比性。
• 可加性：标准分数使不同的原始分数具有相同的参照点，因而具有可加性。
• 明确性：标准分数较原始分数的意义更为明确。
• 合理性：标准分数保证了不同性质的分数在总分数中的权重相同，使分数更合理地反映事实。
七、百分位数与百分位差
把一个次数分布排序后，分为100个单位。百分位数就是次数分布中相对于某个特定百分点的原始分数，它表明在次数分布中特定个案百分比低于该分数。 百分位数用Pm表示
百分位差（距）
• 百分位差是指两个百分位数（percentile）之差。 • 常用的百分位距有两种：
P90－P10和P93－P7。
第三节数据的分布形状
一、正态分布
二、偏态系数（skewness SK）
• 当数据较多的出现在均值的一侧时，数据分布左右不对称，此时，数据分布称为偏态分布。
• 描述变量非对称分布的数字特征是偏态系数，也称为偏度。
• 偏态分布有正偏态分布和负偏态分布两种。当N>200以上时，计算的偏态系数才是可靠的。SK>0为正偏态，SK
• 如果偏态系数的绝对值大于1，则说明数据的分布与正态分布有明显
三、峰态系数（kurtosis Ku）
Ku以0.263为判断值，小于为高狭峰，大于为低阔峰
四、偏态系数与峰态系数的计算方法
1、皮尔逊偏态量数法 2、峰度、偏度检验法