第9讲 锐角的三角函数应用
知识要点
1. 仰角和俯角的认识
2. 认识坡度、坡角 如图坡度为i =
131
=，坡角为α，i =tan α
393
6m
A
3. 利用计算器可以求任意一个锐角的三角函数，已知一个锐角的三角函数也可用通过计算器求出这个角。
经典例题
例1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋离楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)? 参考数据：3≈1. 732
例2. 在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为10°，求东楼高(精确到0.1米) ．（参考数据tan10°≈0.176）
例3、上午10时，我军驻某海岛上的观察所A 发现海上有一艘敌军舰艇正从C 处向海岛驶来，当时的俯角α=5. 71︒，经过5分钟后，舰艇到达D 处，测得俯角β=7. 59︒。已知观察所A 距水面高度为80米，我军武器射程为100米，现在必须迅速计算出舰艇何时驶入我军火力射程之内，以便及时还击。 （参考数据tan5.71°≈0.1，tan7.59°≈0.133）
例4. 如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34方向上的B 处. 这时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远(精确到0.01海里)? （参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，sin34°≈0.559，cos34°≈0.829）
例5. 已知：如图，小明准备测量学校旗杆AB 的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC ＝20m ，斜坡坡面上的影长CD ＝8m ，太阳光线AD 与水平地面成26°角，斜坡CD 与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆AB 的高度(精确到0.1m) ． （参考数据：sin26°≈0.438，cos26°≈0.899，tan26°≈0.488）
例6．已知：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m 的河堤．大堤高5m ，坝顶宽4m ，迎
水坡和背水坡都是坡度为1∶1的等腰梯形．现要将大堤加高1m ，背水坡坡度改为1∶1.5．已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，完成工程需多少立方米的土石?
经典练习
1. 已知如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50m ．现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ，求山的高度及缆绳AC 的长(答案可带根号) ．
2、上午10点整，一渔轮在小岛O 的北偏东30°方向，距离等于10海里的A 处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O 的正东方向是什么时间？(精确到1分) ．
3、如图6-32，海岛A 的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B 处测得海岛A 位于北偏东60°，航行12海里到达点C 处，又测得海岛A 位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
4、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分) ，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC 为0.5米，求： ①横断面(等腰梯形)ABCD 的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
5．如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为3m ，冬天太阳光与水平面的夹角为30°．
(1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时两楼之间的距离BD 至少为多少米?(保留根号)
(2)由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离BD ＝21m ，若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高应建几层
?
6. 已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A 沿坡角为30°的山坡AB 行走400m ，到达一个景点B ，再由B 地沿山坡BC 行走320米到达山顶C ，如果在山顶C 处观测到景点B 的俯角为60°．求山高CD (精确到0.01米) ．
7．已知如图，在一次越野比赛中，运动员从营地A 出发，沿北偏东60°方向走了500m 到达B 点，然
后再沿北偏西30°方向走了500m ，到达目的地C 点． (1)求A 、C 两地之间的距离； (2)确定目的地C 在营地A 的什么方向
?
8．为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB ，在地面上事先划定以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形危险区，现在某工人站在离B 点3米远的D 处，从C 点测得树的顶端A 点的仰角为60°，树的底部B 点的俯角为30°。问：距离B 点8米远的保护物是否在危险区内？
A
C
︒
︒
D
综合练习
B
1. 已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起一根2m 长的竹竿，
测得竹竿影长为1m ，他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为2m ．问路灯高度为多少米?
2．如下图，D 是△ABC
中BC 边的中点，∠BAD ＝90°，∠DAC ＝45°，求sin ∠ADB 。
3．已知：如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠D ＝60°，AD =5．AB ＝3，求BC 的长．
4. 如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 并延长，交射线DC 于点F, 将△
ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点B '处。
自主探究：
BE
=1时，如图（1），延长A B ', 交CD 于点M.CF 的长为_______; CE
BE
=________. (2)当点B '恰好落在对角线AC 上时，如图（2），此时CF 的长为_______,CE
(1)当拓展运用： （3）当
BE
=2时，求sin ∠DA B '的值。
CE
M M
F
备用图
F
巩固练习
1．如图所示，图①中，一栋旧楼房由于防火设施较差，想要在侧面墙外修建一外部楼梯，由地面到二楼，再从二楼到三楼，共两段(图②中AB 、BC 两段) ，其中CC ′＝BB ′＝3.2m ．结合图中所给的信息，求两段楼梯AB 与BC 的长度之和(结果保留到0.1m) ．(参考数据：sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82)
2. 已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M 之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，≈
1. 732)
3．如图，某一水库大坝的横断面是梯形ABCD ，坝顶宽CD ＝5米，斜坡AD ＝16米，坝高 6米，斜坡BC 的坡度i =1:3. 求斜坡AD 的坡角∠A （精确到1分）和坝底宽AB （精确到0.1米）。
A
第9讲 锐角的三角函数应用
知识要点
1. 仰角和俯角的认识
2. 认识坡度、坡角 如图坡度为i =
131
=，坡角为α，i =tan α
393
6m
A
3. 利用计算器可以求任意一个锐角的三角函数，已知一个锐角的三角函数也可用通过计算器求出这个角。
经典例题
例1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋离楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)? 参考数据：3≈1. 732
例2. 在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为10°，求东楼高(精确到0.1米) ．（参考数据tan10°≈0.176）
例3、上午10时，我军驻某海岛上的观察所A 发现海上有一艘敌军舰艇正从C 处向海岛驶来，当时的俯角α=5. 71︒，经过5分钟后，舰艇到达D 处，测得俯角β=7. 59︒。已知观察所A 距水面高度为80米，我军武器射程为100米，现在必须迅速计算出舰艇何时驶入我军火力射程之内，以便及时还击。 （参考数据tan5.71°≈0.1，tan7.59°≈0.133）
例4. 如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34方向上的B 处. 这时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远(精确到0.01海里)? （参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，sin34°≈0.559，cos34°≈0.829）
例5. 已知：如图，小明准备测量学校旗杆AB 的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC ＝20m ，斜坡坡面上的影长CD ＝8m ，太阳光线AD 与水平地面成26°角，斜坡CD 与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆AB 的高度(精确到0.1m) ． （参考数据：sin26°≈0.438，cos26°≈0.899，tan26°≈0.488）
例6．已知：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m 的河堤．大堤高5m ，坝顶宽4m ，迎
水坡和背水坡都是坡度为1∶1的等腰梯形．现要将大堤加高1m ，背水坡坡度改为1∶1.5．已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，完成工程需多少立方米的土石?
经典练习
1. 已知如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50m ．现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ，求山的高度及缆绳AC 的长(答案可带根号) ．
2、上午10点整，一渔轮在小岛O 的北偏东30°方向，距离等于10海里的A 处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O 的正东方向是什么时间？(精确到1分) ．
3、如图6-32，海岛A 的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B 处测得海岛A 位于北偏东60°，航行12海里到达点C 处，又测得海岛A 位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
4、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分) ，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC 为0.5米，求： ①横断面(等腰梯形)ABCD 的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
5．如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为3m ，冬天太阳光与水平面的夹角为30°．
(1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时两楼之间的距离BD 至少为多少米?(保留根号)
(2)由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离BD ＝21m ，若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高应建几层
?
6. 已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A 沿坡角为30°的山坡AB 行走400m ，到达一个景点B ，再由B 地沿山坡BC 行走320米到达山顶C ，如果在山顶C 处观测到景点B 的俯角为60°．求山高CD (精确到0.01米) ．
7．已知如图，在一次越野比赛中，运动员从营地A 出发，沿北偏东60°方向走了500m 到达B 点，然
后再沿北偏西30°方向走了500m ，到达目的地C 点． (1)求A 、C 两地之间的距离； (2)确定目的地C 在营地A 的什么方向
?
8．为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB ，在地面上事先划定以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形危险区，现在某工人站在离B 点3米远的D 处，从C 点测得树的顶端A 点的仰角为60°，树的底部B 点的俯角为30°。问：距离B 点8米远的保护物是否在危险区内？
A
C
︒
︒
D
综合练习
B
1. 已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起一根2m 长的竹竿，
测得竹竿影长为1m ，他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为2m ．问路灯高度为多少米?
2．如下图，D 是△ABC
中BC 边的中点，∠BAD ＝90°，∠DAC ＝45°，求sin ∠ADB 。
3．已知：如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠D ＝60°，AD =5．AB ＝3，求BC 的长．
4. 如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 并延长，交射线DC 于点F, 将△
ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点B '处。
自主探究：
BE
=1时，如图（1），延长A B ', 交CD 于点M.CF 的长为_______; CE
BE
=________. (2)当点B '恰好落在对角线AC 上时，如图（2），此时CF 的长为_______,CE
(1)当拓展运用： （3）当
BE
=2时，求sin ∠DA B '的值。
CE
M M
F
备用图
F
巩固练习
1．如图所示，图①中，一栋旧楼房由于防火设施较差，想要在侧面墙外修建一外部楼梯，由地面到二楼，再从二楼到三楼，共两段(图②中AB 、BC 两段) ，其中CC ′＝BB ′＝3.2m ．结合图中所给的信息，求两段楼梯AB 与BC 的长度之和(结果保留到0.1m) ．(参考数据：sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82)
2. 已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M 之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，≈
1. 732)
3．如图，某一水库大坝的横断面是梯形ABCD ，坝顶宽CD ＝5米，斜坡AD ＝16米，坝高 6米，斜坡BC 的坡度i =1:3. 求斜坡AD 的坡角∠A （精确到1分）和坝底宽AB （精确到0.1米）。
A