最大公因数与最小公倍数
考点分析
最大公因数和最小公倍数的性质。
（1）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互质数。
（2）两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的公因数，
（3）两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
典型例题
例1、有三根铁丝，一根长18米，一根长24米，一根长30米。现在要把它们截成同样长的小段。每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？
例2、一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正方形？
例3、用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？
例4、公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？
例5、某厂加工一种零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个；第二道工序每个工人每小时可完成12个；第三道工序每个工人每小时可完成5个。要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少安排几个工人最合理？
例6、有一批机器零件。每12个放一盒，就多出11个；每18个放一盒，就少1个；每15个放一盒，就有7盒各多2个。这些零件总数在300至400之间。这批零件共有多少个？
例7、公路上一排电线杆，共25根。每相邻两根间的距离原来都是45米，现在要改成60米，可以有几根不需要移动？
例8、两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？
【模拟试题】
1、24的因数共有多少个？36的因数共有多少个？24和36的公因数是哪几个？其中最大的一个是？
2、一个长方形的面积是323平方厘米，这个长方形的长和宽各是多少厘米？（长和宽都是素数）
3、两个自然数的乘积是420，它们的最大公因数是12，求它们的最小公倍数。
4、两个自然数相乘的积是960，它们的最大公因数是8，这两个数各是多少？
5、两个数的最小公倍数是126，最大公因数是6，已知两个数中的一个数是18，求另一个数。
6、有一种长51厘米，宽39厘米的水泥板，用这种水泥板铺成一块正方形地，至少需要多少块水泥板？
7、有三根铁丝长度分别为120厘米、90厘米、150厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根无剩余，每段最长多少厘米？一共可以截成多少段？
8、有两个不同的自然数，它们的和是48，它们的最大公因数是6，求这两个数。
9、同学们参加野餐活动准备了若干个碗，如果每人分得3个碗或4个碗或5个碗，都正好分完，这些碗最少有多少个？
10、有A 、B 两个两位数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90，则A 、B 两个自然数的和是多少？
11、有一个长方体的木头，长3.25米，宽1.75米，厚0.75米。如果把这块木头截成许多相等的小立方体，并使每个小立方体尽可能大，小立方体的棱长及个数各是多少？
12、 有一个两位数，除50余2，除63余3，除73余1。求这个两位数是 多少？
最大公因数和最小公倍数练习题
一. 填空题。
1. a 和b 都是自然数，如果a ÷b =10，a 和b 的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
2. 甲=2⨯3⨯5，乙=2⨯3⨯7，甲和乙的最大公因数是（ ）×（ ）＝（ ），甲和乙的最小公倍数是（ ）×（ ）×（ ）×（ ）＝（ ）。
3. 所有自然数的公因数为（ ）。
4. 如果m 和n 是互质数，那么它们的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
5. 在4、9、10和16这四个数中，（ ）和（ ）是互质数，（ ）和（ ）是互质数，（ ）和（ ）是互质数。
6. 用一个数去除15和30，正好都能整除，这个数最大是（ ）。子
*7. 两个连续自然数的和是21，这两个数的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
*8. 两个相邻奇数的和是16，它们的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 **9. 某数除以3、5、7时都余1，这个数最小是（ ）。
10. 根据下面的要求写出互质的两个数。
（1）两个质数（ ）和（ ）。
（2）连续两个自然数（ ）和（ ）。
（3）1和任何自然数（ ）和（ ）。
（4）两个合数（ ）和（ ）。
（5）奇数和奇数（ ）和（ ）。
（6）奇数和偶数（ ）和（ ）。
二. 判断题。
1. 互质的两个数必定都是质数。（ ）
2. 两个不同的奇数一定是互质数。（ ）
3. 最小的质数是所有偶数的最大公约数。（ ）
4. 有公约数1的两个数，一定是互质数。（ ）
5. a是质数，b 也是质数，a ⨯b =m ，m 一定是质数。（ ）
三. 直接说出每组数的最大公约数和最小公倍数。
26和13（ ）
5和9（ ）
13、26和52
四. 求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。（三个数的只求最小公倍数）
45和60
27和72
42、105和56
13和6（ ） 4和6（ ） 29和87（ ） 30和15（ ） （ ） 2、3和7（ ） 36和60 76和80 24、36和48
**五. 动脑筋，想一想：
学校买来40支圆珠笔和50本练习本，平均奖给四年级三好学生，结果圆珠笔多4支，练习本多2本，四年级有多少名三好学生，他们各得到什么奖品？
【试题答案】
1、24的因数共有多少个？36的因数共有多少个？24和36的公因数是哪几个？其中最大的一个是？
答：24的因数共有8个，36的因数共有9个，24和36的公因数是1、2、3、4、6、12。其中最大的一个是12。
2、一个长方形的面积是323平方厘米，这个长方形的长和宽各是多少厘米？（长和宽都是素数）
答：长方形的长是19厘米，宽是17厘米。
3、两个自然数的乘积是420，它们的最大公因数是12，求它们的最小公倍数。
答：它们的最小公倍数是35。
4、两个自然数相乘的积是960，它们的最大公因数是8，这两个数各是多少？
答：这两个数分别是24和40。
5、两个数的最小公倍数是126，最大公因数是6，已知两个数中的一个数是18，求另一个数。
答：另一个数是42。
6、有一种长51厘米，宽39厘米的水泥板，用这种水泥板铺成一块正方形地，至少需要多少块水泥板？
答：至少需要221块水泥板。
7、有三根铁丝长度分别为120厘米、90厘米、150厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根无剩余，每段最长多少厘米？一共可以截成多少段？
答：每段最长30厘米，一共可以截成12段。
8、有两个不同的自然数，它们的和是48，它们的最大公因数是6，求这两个数。
答：这两个数是42和6或18和30。
9、同学们参加野餐活动准备了若干个碗，如果每人分得3个碗或4个碗或5个碗，都正好分完，这些碗最少有多少个？
答：这些碗最少有60个。
10、有A 、B 两个两位数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90，则A 、B 两个自然数的和是多少？
答：A 、B 两个自然数的和是48。
试题答案
一. 填空题。
1. a 和b 都是自然数，如果a ÷b =10，a 和b 的最大公约数是（b ），最小公倍数是（a ）。
2. 甲=2⨯3⨯5，乙=2⨯3⨯7，甲和乙的最大公约数是（2）×（3）＝（6），甲和乙的最小公倍数是（2）×（3）×（5）×（7）＝（210）。
3. 所有自然数的公约数为（1）。
4. 如果m 和n 是互质数，那么它们的最大公约数是（1），最小公倍数是（mn ）。
5. 在4、9、10和16这四个数中，（4）和（9）是互质数，（9）和（10）是互质数，（9）和（16）是互质数。
6. 用一个数去除15和30，正好都能整除，这个数最大是（15）。
*7. 两个连续自然数的和是21，这两个数的最大公约数是（1），最小公倍数是（110）。 *8. 两个相邻奇数的和是16，它们的最大公约数是（1），最小公倍数是（63）。
**9. 某数除以3、5、7时都余1，这个数最小是（106）。
10. 根据下面的要求写出互质的两个数。
（1）两个质数（2）和（3）。
（2）连续两个自然数（4）和（5）。
（3）1和任何自然数（1）和（9）。
（4）两个合数（9）和（16）。
（5）奇数和奇数（15）和（7）。
（6）奇数和偶数（7）和（4）。
二. 判断题。
1. 互质的两个数必定都是质数。（×）
2. 两个不同的奇数一定是互质数。（×）
3. 最小的质数是所有偶数的最大公约数。（√）
4. 有公约数1的两个数，一定是互质数。（×）
5. a是质数，b 也是质数，a ⨯b =m ，m 一定是质数。（×）
三. 直接说出每组数的最大公约数和最小公倍数。
26和13（13、26）
5和9（1、45） 13和6（1、78） 4和6（2、12） 30和15（15、30） 29和87（29、87）
13、26和52 （13、52）
2、3和7（1，42）
四. 求下面每组数的最大公约数和最小公倍数。（三个数的只求最小公倍数）
45和60
36和60
27和72
76和80 最大公约数15，最小公倍数180。 最大公约数是12，最小公倍数180。 最大公约数是9，最小公倍数216。 最大公约数是4，最小公倍数1520。
最小公倍数是840。
最小公倍数是144。 42、105和56 24、36和48
**五. 动脑筋，想一想：
学校买来40支圆珠笔和50本练习本，平均奖给四年级三好学生，结果圆珠笔多4支，练习本多2本，四年级有多少名三好学生，他们各得到什么奖品？
你是这样思考吗？
（1）圆珠笔多4支，也就是圆珠笔用了40-4=36（支）
（2）练习本多2本，也就是练习本用了50-2=48（本）
（3）36和48的公约数是2，3，4，6，12。
因为40÷2=20，2不满足条件
40÷3=13……1，3不满足条件
40÷4=10，4不满足条件
⎨⎧40÷6=6……4
⎩50÷6=8……2
⎧40÷12=3……4 ⎨，12满足条件
⎩50÷12=4……2
所以，四年级的三好学生人数是6人或12人。
（4）当三好学生人数为6人时，他们每人6支圆珠笔，8本练习本；
当三好学生人数为12人时，他们每人3支圆珠笔，4本练习本。 ，6满足条件
最大公因数与最小公倍数
考点分析
最大公因数和最小公倍数的性质。
（1）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互质数。
（2）两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的公因数，
（3）两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
典型例题
例1、有三根铁丝，一根长18米，一根长24米，一根长30米。现在要把它们截成同样长的小段。每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？
例2、一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正方形？
例3、用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？
例4、公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？
例5、某厂加工一种零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个；第二道工序每个工人每小时可完成12个；第三道工序每个工人每小时可完成5个。要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少安排几个工人最合理？
例6、有一批机器零件。每12个放一盒，就多出11个；每18个放一盒，就少1个；每15个放一盒，就有7盒各多2个。这些零件总数在300至400之间。这批零件共有多少个？
例7、公路上一排电线杆，共25根。每相邻两根间的距离原来都是45米，现在要改成60米，可以有几根不需要移动？
例8、两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？
【模拟试题】
1、24的因数共有多少个？36的因数共有多少个？24和36的公因数是哪几个？其中最大的一个是？
2、一个长方形的面积是323平方厘米，这个长方形的长和宽各是多少厘米？（长和宽都是素数）
3、两个自然数的乘积是420，它们的最大公因数是12，求它们的最小公倍数。
4、两个自然数相乘的积是960，它们的最大公因数是8，这两个数各是多少？
5、两个数的最小公倍数是126，最大公因数是6，已知两个数中的一个数是18，求另一个数。
6、有一种长51厘米，宽39厘米的水泥板，用这种水泥板铺成一块正方形地，至少需要多少块水泥板？
7、有三根铁丝长度分别为120厘米、90厘米、150厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根无剩余，每段最长多少厘米？一共可以截成多少段？
8、有两个不同的自然数，它们的和是48，它们的最大公因数是6，求这两个数。
9、同学们参加野餐活动准备了若干个碗，如果每人分得3个碗或4个碗或5个碗，都正好分完，这些碗最少有多少个？
10、有A 、B 两个两位数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90，则A 、B 两个自然数的和是多少？
11、有一个长方体的木头，长3.25米，宽1.75米，厚0.75米。如果把这块木头截成许多相等的小立方体，并使每个小立方体尽可能大，小立方体的棱长及个数各是多少？
12、 有一个两位数，除50余2，除63余3，除73余1。求这个两位数是 多少？
最大公因数和最小公倍数练习题
一. 填空题。
1. a 和b 都是自然数，如果a ÷b =10，a 和b 的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
2. 甲=2⨯3⨯5，乙=2⨯3⨯7，甲和乙的最大公因数是（ ）×（ ）＝（ ），甲和乙的最小公倍数是（ ）×（ ）×（ ）×（ ）＝（ ）。
3. 所有自然数的公因数为（ ）。
4. 如果m 和n 是互质数，那么它们的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
5. 在4、9、10和16这四个数中，（ ）和（ ）是互质数，（ ）和（ ）是互质数，（ ）和（ ）是互质数。
6. 用一个数去除15和30，正好都能整除，这个数最大是（ ）。子
*7. 两个连续自然数的和是21，这两个数的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
*8. 两个相邻奇数的和是16，它们的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 **9. 某数除以3、5、7时都余1，这个数最小是（ ）。
10. 根据下面的要求写出互质的两个数。
（1）两个质数（ ）和（ ）。
（2）连续两个自然数（ ）和（ ）。
（3）1和任何自然数（ ）和（ ）。
（4）两个合数（ ）和（ ）。
（5）奇数和奇数（ ）和（ ）。
（6）奇数和偶数（ ）和（ ）。
二. 判断题。
1. 互质的两个数必定都是质数。（ ）
2. 两个不同的奇数一定是互质数。（ ）
3. 最小的质数是所有偶数的最大公约数。（ ）
4. 有公约数1的两个数，一定是互质数。（ ）
5. a是质数，b 也是质数，a ⨯b =m ，m 一定是质数。（ ）
三. 直接说出每组数的最大公约数和最小公倍数。
26和13（ ）
5和9（ ）
13、26和52
四. 求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。（三个数的只求最小公倍数）
45和60
27和72
42、105和56
13和6（ ） 4和6（ ） 29和87（ ） 30和15（ ） （ ） 2、3和7（ ） 36和60 76和80 24、36和48
**五. 动脑筋，想一想：
学校买来40支圆珠笔和50本练习本，平均奖给四年级三好学生，结果圆珠笔多4支，练习本多2本，四年级有多少名三好学生，他们各得到什么奖品？
【试题答案】
1、24的因数共有多少个？36的因数共有多少个？24和36的公因数是哪几个？其中最大的一个是？
答：24的因数共有8个，36的因数共有9个，24和36的公因数是1、2、3、4、6、12。其中最大的一个是12。
2、一个长方形的面积是323平方厘米，这个长方形的长和宽各是多少厘米？（长和宽都是素数）
答：长方形的长是19厘米，宽是17厘米。
3、两个自然数的乘积是420，它们的最大公因数是12，求它们的最小公倍数。
答：它们的最小公倍数是35。
4、两个自然数相乘的积是960，它们的最大公因数是8，这两个数各是多少？
答：这两个数分别是24和40。
5、两个数的最小公倍数是126，最大公因数是6，已知两个数中的一个数是18，求另一个数。
答：另一个数是42。
6、有一种长51厘米，宽39厘米的水泥板，用这种水泥板铺成一块正方形地，至少需要多少块水泥板？
答：至少需要221块水泥板。
7、有三根铁丝长度分别为120厘米、90厘米、150厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根无剩余，每段最长多少厘米？一共可以截成多少段？
答：每段最长30厘米，一共可以截成12段。
8、有两个不同的自然数，它们的和是48，它们的最大公因数是6，求这两个数。
答：这两个数是42和6或18和30。
9、同学们参加野餐活动准备了若干个碗，如果每人分得3个碗或4个碗或5个碗，都正好分完，这些碗最少有多少个？
答：这些碗最少有60个。
10、有A 、B 两个两位数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90，则A 、B 两个自然数的和是多少？
答：A 、B 两个自然数的和是48。
试题答案
一. 填空题。
1. a 和b 都是自然数，如果a ÷b =10，a 和b 的最大公约数是（b ），最小公倍数是（a ）。
2. 甲=2⨯3⨯5，乙=2⨯3⨯7，甲和乙的最大公约数是（2）×（3）＝（6），甲和乙的最小公倍数是（2）×（3）×（5）×（7）＝（210）。
3. 所有自然数的公约数为（1）。
4. 如果m 和n 是互质数，那么它们的最大公约数是（1），最小公倍数是（mn ）。
5. 在4、9、10和16这四个数中，（4）和（9）是互质数，（9）和（10）是互质数，（9）和（16）是互质数。
6. 用一个数去除15和30，正好都能整除，这个数最大是（15）。
*7. 两个连续自然数的和是21，这两个数的最大公约数是（1），最小公倍数是（110）。 *8. 两个相邻奇数的和是16，它们的最大公约数是（1），最小公倍数是（63）。
**9. 某数除以3、5、7时都余1，这个数最小是（106）。
10. 根据下面的要求写出互质的两个数。
（1）两个质数（2）和（3）。
（2）连续两个自然数（4）和（5）。
（3）1和任何自然数（1）和（9）。
（4）两个合数（9）和（16）。
（5）奇数和奇数（15）和（7）。
（6）奇数和偶数（7）和（4）。
二. 判断题。
1. 互质的两个数必定都是质数。（×）
2. 两个不同的奇数一定是互质数。（×）
3. 最小的质数是所有偶数的最大公约数。（√）
4. 有公约数1的两个数，一定是互质数。（×）
5. a是质数，b 也是质数，a ⨯b =m ，m 一定是质数。（×）
三. 直接说出每组数的最大公约数和最小公倍数。
26和13（13、26）
5和9（1、45） 13和6（1、78） 4和6（2、12） 30和15（15、30） 29和87（29、87）
13、26和52 （13、52）
2、3和7（1，42）
四. 求下面每组数的最大公约数和最小公倍数。（三个数的只求最小公倍数）
45和60
36和60
27和72
76和80 最大公约数15，最小公倍数180。 最大公约数是12，最小公倍数180。 最大公约数是9，最小公倍数216。 最大公约数是4，最小公倍数1520。
最小公倍数是840。
最小公倍数是144。 42、105和56 24、36和48
**五. 动脑筋，想一想：
学校买来40支圆珠笔和50本练习本，平均奖给四年级三好学生，结果圆珠笔多4支，练习本多2本，四年级有多少名三好学生，他们各得到什么奖品？
你是这样思考吗？
（1）圆珠笔多4支，也就是圆珠笔用了40-4=36（支）
（2）练习本多2本，也就是练习本用了50-2=48（本）
（3）36和48的公约数是2，3，4，6，12。
因为40÷2=20，2不满足条件
40÷3=13……1，3不满足条件
40÷4=10，4不满足条件
⎨⎧40÷6=6……4
⎩50÷6=8……2
⎧40÷12=3……4 ⎨，12满足条件
⎩50÷12=4……2
所以，四年级的三好学生人数是6人或12人。
（4）当三好学生人数为6人时，他们每人6支圆珠笔，8本练习本；
当三好学生人数为12人时，他们每人3支圆珠笔，4本练习本。 ，6满足条件