“新十字军”东征
黄明建
历史上，十字军东征是11世纪至13世纪由罗马天主教会主导下的系列战争，因其规模之大、历时之久、生灵涂炭之惨烈而闻名于世。
又不知是何年何月何方神圣在玩代数时，发现了“十字交叉法”，其便捷高效的演算技巧迷倒了芸芸众生。很快，这种演算技法在医药等与稀溶液配制密切相关的行业传播开来，后继者更是数以亿计，一支以“十字交叉”为标志的应用大军就这样悄然兴起，并屡战屡捷，声威大振。
“新十字军”军规
“新十字军”不同于当今美国的西点军校，军规只有一条：只要知道“十字交叉法”原理的人就能成为其战士，但只有在复杂情况下能灵活运用“十字交叉法”的人才能成为将军。
什么是十字交叉法？请看一例。
王军医为救护伤员急需5kg生理盐水（即0.9g/100mLNaCl溶液，其密度约等于常温下纯水的密度，为讨论方便，下面将生理盐水的浓度近似看作质量分数），可他手边没有现成的，只有20%NaCl溶液和0.5%NaCl溶液，应如何配制？
富有经验的王军医还真不含糊，在纸上画个十字叉，答案立马就出来了。我们一起来看看，他画的是一个什么样的十字叉。
这样画个“十字叉”得出的结果可靠吗？
我们可以用常规的计算方法验算一下。设配制0.9% NaCl溶液需20%NaCl溶
20 0.9 0.5 0.4
19.1
液Mg和0.5%NaCl溶液Ng。根据溶液混合前后质量相等的关系，得方程：
20%M + 0.5%N =（M + N）× 0.9%
M N 即 ＝ （0.9－0.5）
（20－0.9） ＝ 0.4 19.1
验算结果与上面完全相符。并且我们可以看到验算中的步骤在十字叉中的影子——（20－0.9）和（0.9－0.5）。这是偶然巧合还是必然的结果？
决非偶然！我们不妨再建立一个相关问题的数学模型来进行分析。
且慢！王军医说先得给大伙儿打个预防针——开始创建这类模型会感觉有点抽象，看似有点难。其实，只要你有耐心参与，就会发现其妙无穷。并且，你将完全有希望成为新十字军的将军！
【问题】有一定数目的黑色立方体A和白色立方体B，当它们按特定比例组合后，各自的一些物理量的总量不会改变，但组合后对应物理量（如质量、体积等）的单位平均值会发生变化。这与它们的组合比例会有什么规律性的联系吗？
讨论1 已知x是单个立方体A的质量（单位为克，下同），y是单个立方体B的质量；z是A、B两种立方体按一定数目比例组合后平均每个立方体的质量。．．．．．．
求A、B两种立方体组合的数目比例是多少？
【推断】设A与B的组合中，A与B的数目比例为M∶N，依题意得方程：
即 M·x + N·y ＝z（M + N） M N
＝ （z －y） （x －z）
讨论2 已知x是单个立方体A的体积（单位为nm3，下同），y是单个立方体B的体积；z是A、B两种立方体按一定数目比例组合后，平均每个立方体的．．．．．．
体积。求A、B两种立方体组合的数目比例是多少？
【推断】设A与B的组合中，A与B的数目比例为M∶N，依题意得方程：
即 M N M·x + N·y ＝z（M + N） ＝ （z －y）
（x －z）
讨论3 已知x是立方体A的密度（单位为g/cm3，下同），y是立方体B的密度；z是A、B两种立方体按一定体积比例组合后的混合体密度。求A、B两种．．．．
立方体组合的体积比例是多少？（假定两种立方体的组合是均匀有序的紧密排列，立方体间的空隙可以忽略不计）
【推断】设A与B的组合中，A与B的体积比例为M∶N，依题意得方程：
即 M·x + N·y ＝z（M + N） M N
＝ （z －y） （x －z） 你发现什么了吗？无论是前面配制生理盐水时溶液的质量比，还是后来讨论
A、B立方体的个数比或体积比，虽然问题不同，但它们的计量关系式都像一个模子里搕出来的：
M·x + N·y ＝z（M + N）
结论如出一辙，并且都能用“十字交叉法”解决。
M N （z －y） （x －z） ＝
现在我们来归纳一下，什么类型的问题适用“十字交叉法”解决呢？
（1）必须是二元组分或相当于二元组分（如A、B组合），并且二元组分的同一物理量（变量）具有确定的平均值。如上面讨论的物质密度、溶液浓度等等；
（2）在二元组分中，各组分的变量所对应的函数（如质量、体积、物质的量等）具有简单的加合关系。
简单的说，只要符合下面关系式的二元组分的计量问题，都可以用十字交叉法解决。
M·x + N·y ＝z（M + N）
但是，若不能完全符合上式要求，就不能使用“十字交叉法”。这也是“新十字军”军规的另一种注解。
比方说，浓硫酸的稀释。已知98%硫酸的相对密度为1.836，70.0%硫酸的相对密度为1.61，10.0%硫酸的相对密度约为1.06。欲用98%硫酸与10%硫酸混合配制70%硫酸，能否用“十字交叉法”来确定这两种溶液的混合比例呢？
答案是——可以用“十字交叉法”确定它们混合的质量比，但不能用“十字交叉法”确定它们的体积比。
因为浓硫酸与稀硫酸在稀释前后的质量存在加合关系，但两种溶液在稀释前后的体积不存在加合关系。我们可以肯定，用M g98%硫酸与N g10%硫酸混合后，所得溶液的总质量一定为（M + N）g；但是用M体积98%硫酸与N体积10%硫酸混匀，所得溶液的总体积将一定小于（M + N）。
有兴趣的话，我们可以用“十字交叉法”试着做一下（注意：平均值总是放在十字叉的中心）。
经过验算，98%硫酸与10%硫酸若按15∶7的质量比混合，所得溶液质量分数正好是70%；若按275∶113的体积比混合，所得溶液质量分数实际为81.2%，显然偏差太大。
对于刚刚加盟十字军的新兵来说，使用“十字交叉法”总有一个适应过程，但只要经历一段时间练习，自然就熟能生巧了。
对于将军而言，他们总会根据战场上的实际情况，灵活应变，采取不同的战术策略。下面就让我们来共同观摩几例。
“新十字军”的经典战例
降伏氖妖
话说300年前，自从老帅道尔顿率军东征，发现了原子王国，后继者蜂涌而至，攻城夺寨，战果累累。
百年后，新帅汤姆孙更是骁勇善战、才智过人，通过阴极射线一举攻破了最坚固的原子王国城堡，彻底瓦解了其御林军——电子。为了扩大战果，汤姆孙人不解甲、马不卸鞍，率军乘胜东进，试图通过阳极射线再下一城，不料遭遇到劲敌——氖（Ne）的强力阻击。原以为氖只是孤军一支，相对原子质量为20.18，不足为惧。不料一交战，发现氖似乎会分身术，突然由一变二（其中一种相对原子质量变为20，另一种相对原子质量变为22），打了汤姆孙个措手不及。在汤姆孙看来，各种元素的原子只有一种，氖——怎么会突然冒出来两种？他怎么都不相信这是真实的。究竟是敌方的诈术还是另有伏兵？不把这氖的分身法术破解掉，这城是攻不下来的。就在这紧要关头，汤姆孙麾下飙出一名悍将阿斯顿（Francis
William Aston 1877－1945），他临危受命后，迅速调整战术，并发明了一种新式利器——质谱仪，准确的探测到敌情和实力，氖原子确实有两种：一种是
另一种是2220Ne，Ne，并且测得它们的原子个数比约为10∶1，这才弄清楚当初所测氖的相对原子质量为什么是20.18，为最终赢得整个战役胜利立了头功。这是科学史上首次通过实验确认了同位素的存在。1922年，瑞典皇家科学院为了表彰阿斯顿在同位素和质谱仪研究中的卓越功勋，特授予他诺贝尔化学奖。
阿斯顿的发现为后来研究元素及其相对原子质量开辟了一条便捷的新途径。 从理论上讲，如果知道一种元素有两种同位素（如今叫做核素），并了解它们的相对原子质量及其平均值，我们就能用“十字交叉法”来推测其原子个数比。
例如，氯的同位素包含两种核素——37Cl和35Cl，其平均相对原子质量为35.5（也就是氯元素的相对原子质量）。据此，可运用“十字交叉法”做近似推测：
即：37Cl和353537Cl： 35.5 0.5 1.5 Cl： 35 Cl的原子个数比为1∶3。而实际测定值为75.77∶24.23，非常接近。上面计算的微小出入是因为代入的数据是核素的质量数（近似相对原子质量）而没有用它们实际的相对原子质量（36.96590和34.96885）。
人造空气
18世纪，法国有位老将拉瓦锡曾利用质量守恒定律将当时流行的燃素学说送进了化学历史博物馆，同时还在世界上第一次定量的测定出空气中氮气与氧气的体积比约为4∶1。后来有个老拉的粉丝想仿效着做一瓶“人造空气“，不料这人太粗心，混合氮气和氧气前忘了测各自的体积，只是测得混合后的气体在标准状况下的密度为1.357g/L。怎么办？他这混合气体能跟空气中氮气和氧气的比例一样吗？好在他知道混合气体的平均摩尔质量可以通过密度计算出来（注：物质的摩尔质量在数值上等于它们的相对分子量）：
M(混) = ρ(混)·Vm = 1.357g·L1×22.4L·mol－－1 = 30.4g·mol－1
再用十字交叉法一比划，结果还真出来了
O2 32 N2
28
30.4 2.4 1.6 解得：V(N2)︰V(O2) = n(N2)︰n(O2) = 1.6︰2.4 = 2︰3
只是不太妙，这“空气”里氧气的浓度也太高了。人要真的长时间呆在这种空气里，氧倒是不缺了，只怕身体里的毛病会多出来。
扩军备战
到了20世纪70年代末，“新十字军”进行了一次人类历史上最大规模的扩军。原因是中国因“文化大革命”中断了十年的高考得以恢复。各地纷纷悬榜招贤，其中有这样一段榜文：
榜前人头攒动，读过后脸露悦色者少，皆摇头称“怪”。
数日后，人群中钻出个毛头小子（下面简称“毛头”），只见他走到榜前，刷、刷几下，画出个十字叉，答案就出来了：
B (C3H8) 2/9 A (C3H4) 1/9 1/5 4/45 1/45
V(C3H4)︰V(C3H8) = n(C3H4)︰n(C3H8) = (1/45) ︰(4/45) = 1︰4
众人一验算，还真是这结果。于是有人拉着毛头想知道其中的奥妙。
这毛头还真不含糊，清清嗓子就讲开了。
“你们都看到了，我用的就是十字交叉法。这十字交叉法的精髓是什么？不是力克而是巧取，重在用心！许多难题，一用上十字交叉法就能出奇制胜。别看这十字交叉法好像简单，它就像围棋，虽只有黑、白两色，但在白起黑落之间，那是处处玄机，变幻无穷。”（这小子的开场白架子拉得不小，倒也说得在理。）
“就说刚才这题，难在哪里？所给信息模糊！连A、B是什么物质都没说，就要人找出它们的体积比，这不是强人所难吗？”毛头说到这里双手一摊，装出一副无可奈何的样子，引来周围一片会意的笑声。
“对于这类问题，我们就要针锋相对，要让题目中模糊的信息变得清晰起来，怎么做？” （他总算言归正传了）毛头顿了顿，接着说“大家看——
（1）A、B既属于常温下的气态烃，按通常情况，其分子中所含碳原子数就应≤4；
（2）A、B按任意比混合，其碳、氢质量比都在9︰1和9︰2之间，这就是两个极值，它们应该分别是纯A、纯B分子中碳与氢的组成比例。由此推断：对应碳、氢质量比为9︰1的只能是C3H4。”
“为什么？”有人插嘴问。
“因为碳的相对原子质量为12，9与12的最小公倍数为36，故该分子中至少含有3个碳原子，这就推出了C3H4；如果是C6H8，也符合9︰1的碳氢组成比，但分子中的碳原子数就会大于4，也就在常温不是气态了。”
“哦”，众人点头称是。
见大家没异议，毛头接着说“同样的道理，对应碳、氢质量比为9︰2的只能是C3H8。再结合‘B的相对分子质量大于A’，就可知A为C3H4，B为C3H8。
我们还可以换个角度看，把1/9看作C3H4中单位质量的碳对应的氢原子数，把2/9看作是C3H8中单位质量的碳对应的氢原子数。又因为这两种烃分子中含碳原子数相同，所以（毛头边说边写出了下面的算式）—— 1/9∶2/9 = 36×1/9∶36×2/9 = 1molC3H4所含氢原子数∶1molC3H8所含氢原子数
以同样的方式，刚才‘十字叉’中的1/5也可以看作混合烃中单位质量的碳对．．．
应的氢原子数——如果乘上36，这就是A、B按一定体积比混合后每摩尔混合烃．．．．．．所含氢原子数，是、
B平均值！所以，我才能用这个‘十字叉’来．．．．．．．．A．
．．组合的一个．．．．．．．．．
推知A (C3H4)与B(C3H8)的体积比。”
A (C3H4) 1/9 1/5 B (C3H8) 2/9 4/45 1/45 V(C3H4)︰V(C3H8) = 1︰4
“哦——，原来如此！”大伙儿终于明白了。
“欸，大哥——，你这题我也会。”一个声音从人群中传出，有点嘶哑，显然跟眼前的气氛不太协调。
大伙儿回头一看，乐了。原来又钻出个平头小子（下面简称“平头”），上身穿一件皱巴巴的汗衫，下身的蓝布裤有一条裤腿卷着，嘴角边还黏着黑芝麻粒。
“你也会？前两天怎么没见你人影儿呢？”有人打趣地说。
“那又怎样”，平头挤到前面不服气地说“我这也有道题，大哥你要能解出来，我才算服你了”（看来是个攻擂的来了）。
毛头笑了笑，接过平头递过来的纸条，旁边人也凑了上来，上面写的是—— 原来这是一道连数字都没有的计算题，看来难度小不了。毛头仔细地读过后，就把题目传给了周围的人，引发了一阵热议，就是没人想出好办法。那平头得意地环顾着四周。
过了好一会儿，还是毛头先开口：“大家听说过隐形飞机吗？”
“听说过，二战时德国研制的Go-229战斗轰炸机就是这类型”，有人应着，“欸——，隐形飞机与这有关吗？”
“既没关系，又有关系。”毛头说。
“怎么讲？”有人不解地问。
“说‘没关系’，是因为这道题确实与飞机无关。说‘有关系’，是这道题与‘隐形’有关”。毛头瞟了平头一眼，不紧不慢地说“隐形飞机的‘隐形’是相对于雷达而不是相对于人眼来说的；在人眼可视的范围内，隐形飞机是没法‘隐形’的。”（听得出，这是一语双关。）
平头默默地退到了一边，他知道毛头已经成竹在胸。
“我们初看这题，就像雷达面对一架隐形飞机，什么信号也没有，不知从何下手。好在我们用的是自己的眼睛而不是机械的雷达。”毛头风趣的语言吸引着所有在场的人。“‘隐形’并非真的看不到，这道题就隐藏了一种物质和两个量的关系。”
“这道题还隐藏了一种物质？”有人流露出惊讶。
“对！铜粉在空气中加热生成什么？氧化铜。硝酸铜加热后生成的固体物质是什么？也只有氧化铜。”
毛头边说边写出了下面的两个化学方程式：
2Cu + O2 == 2CuO 2Cu(NO3)2 == 2CuO + 4NO2↑+ O2↑ △ △
“也就是说，加热前的固体是铜和硝酸铜的混合物，加热后只有氧化铜一种固体物质！”听众中有人默默地点着头，似有所悟。
“我们再来看看题目中隐藏了哪两个相关量。
（1）铜、硝酸铜、氧化铜的摩尔质量，依次为64g·mol1、188g·mol1、80g·mol1； －－－
（2）相同物质的量的上述三种物质所含铜的物质的量之比为1∶1∶1。
这可以告诉我们什么？可以告诉我们——
反应前，铜和硝酸铜的物质的量之和与反应后生成的氧化铜的物质的量相等。
n(Cu) ＋ n[Cu(NO3)2] ＝ n(CuO)
结合题目信息， m(Cu) ＋ m[Cu(NO3)2] ＝ m(CuO)
我们又可以推出下面的关系式：
m(Cu) ＋ m[Cu(NO3)2] m(CuO) ＝ n(Cu) ＋ n[Cu(NO3)2] n(CuO)
这个关系式把一个天大的秘密浮现在我们眼前，是什么？
它表明加热前铜和硝酸铜混合物的平均摩尔质量就等于氧化铜的摩尔质量！ 接下来，我们要做的就是将相关数据代入‘十字叉’中：
64 80 188 16 得： n(Cu)︰n[Cu(NO3)2] =108︰16 = 27︰4
铜与硝酸铜的物质的量之比为27︰4，这就是我们最后要揭开的谜底。” 毛头讲得激情飞扬，就像为大家解析一桩大案的来龙去脉，逐层拨开罩在案情上的重重迷雾，最后让真相大白于天下。众人连呼“过瘾！”就在他准备离去的时候，一个梳着两根小辫子的女生走到跟前。
“你能再帮我讲讲这道题吗？”她细声地说，眼里透着几分羞涩。
毛头看着她清秀的脸庞，两只大眼睛里充满了期待，于是接过了她的小本子，上面是这样一道题：
108
毛头问：“你知道平衡混合气中PCl3和Cl2的物质的量之比是多少吗？” 女生摇摇头。
毛头又指着题目问：“你再看看这密闭容器中先充进去的是什么物质？” “五氯化磷”，女生看着题目缓缓地说，突然醒悟道“哦——，我明白了，生成的PCl3和Cl2的物质的量之比是1︰1。”
“接着说下去。”
“不会。”女生又茫然地摇了摇头。
“既然知道平衡混合物中PCl3和Cl2的物质的量之比是1︰1，你能确定它俩
的平均相对分子量吗？”毛头追问道。
女生皱着眉头沉思片刻，突然眼中闪出喜悦的目光，看着毛头抿嘴一笑，说：“这回我是真明白了。”接着她飞快地在纸上写出了下面的计算过程：
n（PCl3）︰n（Cl2）= 1︰1
(PCl3,Cl2) 104.25 －M(PCl5) = 208.5(g·mol1) －M(PCl3,Cl2) = 104.25(g·mol1) (PCl5) 208.5 149 44.75 59.5 解得： n(PCl5)︰n(PCl3,Cl2) = 44.75︰59.5 ≈3︰4 (0.7521)
N（PCl5）︰n（PCl3）︰n（Cl2）= 3︰2︰2
φ(PCl3) = 2 / (3+2+2) ×100% = 28.6%
看着她写完答案，毛头点着头笑了。
“你太棒了，谢谢你！”女生感激地说。
这时，夜幕已经降临，路灯下映着两个长长的身影。
奔赴前线
20世纪末，能源危机、环境污染、食品安全以及多种矿产资源日益匮乏使人类陷入前所未有的困境。因此，各种能源的开发技术以及新型材料的研制被纷纷推向科技前沿。阵容庞大的“新十字军”自然责无旁贷，也纷纷向前沿开拔。
【背景资料】海湾战争就是因石油而起的战争。人们对石油的热衷是因为石油既可以作燃料又是重要的有机化工原料。石油中最主要的烃是烷烃（另外还有较多环烷烃、芳香烃等），以石油为原料炼制的汽油、煤油、柴油等都是烃的混合
物。因此，对烃类混合物的组成和性质讨论就成为十字交叉法的重要内容之一。
【例1】有标准状况下CH4和C4H8组成的混合气体2.24L，在足量的O2中完全燃烧后，待冷却，再通入过量的澄清石灰水，生成沉淀20g，求CH4和C4H8的体积比。
－
【解析】2.24L混合气体的物质的量为： V/Vm = 2.24L / 22.4L·mol1 = 0.1mol
其中含碳原子 n(C) = n(CaCO3) = m(CaCO3) / M(CaCO3) = 20g/100g·mol1 = 0.2mol
－
即混合气体平均组成为C2Hx
CH4 C4H8
1
2
4
1 2
解得： V(C3H4)︰V(C3H8) = n(CH4)︰n(C4H8) = 2︰1
【例2】常温常压下，使16mLH2、CH4、C2H2的混合气体在足量O2中完全燃烧后，恢复至原状态，气体总体积比原来缩小了26mL，求原混合气体中CH4的体积。
【解析】该题只告知了H2、CH4、C2H2混合气体的总体积，并不知道提供的O2有多少，所以解决问题的突破口应该在燃烧后的体积差方面。相关反应如下： H 2(g) +1/2 O2(g) == 1/2H2O(l) △V 0.5 0 1
－1.5
CH 4(g) + 2O2(g) == CO2(g) + 2H2O(l) △V 1 2 1
－2
2(g) + 5/2O2(g) == CO2(g) + 2H2O(l) △V C2H
5/2 2 1 0 －1.5
由十字交叉法： （H, CH）
1.5 222
13/8
3/8
2 1/8 CH4
解得： n(H2, C2H2)︰n(CH4) = 3︰1 ； 故CH4的体积：
16mL/(3+1) = 4mL 【例3】25℃和101kPa时，乙烷、乙炔和丙烯组成的混合烃32mL，与过量
氧气混合并完全燃烧，除去水蒸气，恢复到原来的温度和压强，气体总体积缩小了72mL，求原混合烃中乙炔的体积分数（2011四川高考题）
【解析】依据该题信息，在解法上可类比于上一题。因为单位体积乙烷、丙烯完全燃烧后，都是缩小5/2体积；只有单位体积乙炔完全燃烧后是缩小3/2体积。
11 / 14
所以可以将乙烷和丙烯组合在一起，用十字交叉法解：
C2H2
3/2
72/32
1/4
(C2H6 ,C3H6) 5/2
3/4
解得乙炔在原混合烃中的体积分数正好是1/4。
另一种解法：先写出烃类完全燃烧的化学方程式 CnHm＋(n+ m/4)O
2
nCO2＋m/2H2O △V(缩小)
1 n+ m/4 n (1+ m/4) 32 72 得方程 1/32 ＝(1+ m/4)/72
解得： m ＝ 5 （即混合烃分子中平均含氢原子数为5）
由于每摩尔乙烷和丙烯均含有6摩氢原子，每摩乙炔含2摩氢原子，每摩混合烃含5摩氢原子，则由十字交叉法计算乙炔的体积分数：
C2H2
2
5
(C2H6 ,C3H6) 6 3
故乙炔在混合烃中的体积分数为1/(1+3) = 1/4
1
【背景资料】氮的氧化物也是一个热门话题。它不仅在传统化工产业中是生产硝酸的重要原料，N2O4在现代航天运载火箭的燃料中还担当着氧化剂的角色，NO则被称作现代医药中的明星分子。令人感觉滑稽的是，氮的氧化物同时又是当今造成环境污染的罪魁祸首之一。
在中学，氮的氧化物可利用铜与硝酸反应制得。例如：
Cu + 4HNO3(浓) == Cu(NO3)2 + 2NO2↑+ 2H2O
3Cu + 8HNO3(稀) == 3Cu(NO3)2 + 2NO↑+ 4H2O
（注：Cu与稀硝酸的反应相对较慢，制NO时通常需适当加热）
由于我们在实际生活中遇到的问题大多比书本上的习题复杂的多，一些内在的矛盾盘根错节，有时如果我们过于纠缠具体细节将很难理清头绪，所谓“清官难断家务事”就是这个道理。这就要靠智慧。
出于对能力培养方面的考虑，于是有了下面这道颇具挑战性的试题。
12 / 14
【解析】这道题的难点是不明确浓硝酸的具体量，也不知道几种氮的氧化物的比例。如果解题思路陷入探寻各物质具体量的变化上，问题将很难得到解决。“宜粗不宜细”应是解答这道题的最佳策略。我们可以首先关注以下信息：
① 因0.03molCu完全溶解，故反应中转移的电子为0.06mol（电子守恒）。 ② 平均每摩混合气体得电子0.06/0.05 = 1.2mol。
又因每生成1molNO2只得1mol电子，每摩NO得电子3mol，每摩N2O4得电子2mol。既已知生成1mol混合气体实际得电子1.2mol，故上述氮氧化物的混合气体中必有较多的NO2。
设混合气中含NO2xmol，含NO y mol，含N2O4 z mol。因为N2O4适宜在硝酸
浓度始终较大的情况下生成，而NO适宜在硝酸浓度明显变小的情况下生成。所以，为便于确定其取值范围，可作如下两种极限假定：
（1）N2O4量极少，几乎忽略不计，
【背景资料】晶体的组成、结构与性质，是目前研发新型材料关注的一个重心。随着现代科技的进步，人们发现：许多晶体中结构粒子的组成偏离传统理论中的“整比性”已经成为一个普遍现象。这种因晶体缺陷等原因所产生的现象又激发了科学家们对晶体结构影响晶体材料性能的创造灵感。例如，一氧化镍就是一种非整比化合物，其微观结构与氯化钠晶体类似。它在电池和半导体材料方面都有应用；它对加速CO及一些有机物的氧化有催化作用；它对改善玻璃的特殊光学性质和调配陶瓷釉料等方面也有应用。
近年，这些非整比化合物的相关知识已渗入高考试题中。1999年的全国高考化学卷中就有体现：
【解析】尽管氧化镍晶体中镍离子与氧离子的个数比不是1︰1，但整个晶体显电中性却是一个重要事实。所以，可认为镍离子（Ni2+、Ni3+）所带的平均电荷
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NO2 NO NO2 N2O4
1 3 1 2
1.8 0.2 0.8 0.2
x︰y = 9︰1
－
46 + 1×30)/10 = 44.4(g·mol1)
（2）NO量极少，几乎忽略不计
x︰y = 4︰1
46 + 1×92)/5 = 55.2(g·mol1)
－
即： 44.4＜55.2
数应为2/0.97。这样，我们就可以采用十字交叉法解决问题。
【背景资料】调节溶液的pH是电镀工艺、医药生产、工业污水处理等方面的一个重要环节，也是新十字军征战的目标之一。2001年江西高考就有下面这道题。
【解析】（1）加水稀释。使pH=1的盐酸pH再升高1，即原盐酸是混合后溶液中c(H+)10倍，而水中c(H+)又远小于稀释后溶液中的c(H+)，故可设为0。则
（2）加碱中和。仍使pH=1的盐酸pH再升高1，加入的是相同浓度的NaOH溶液，即NaOH溶液中c(OH－)是混合后溶液中c(H+)的10倍，因可与H+中和，故设为－10。
【注】使用十字交叉法，左上排数据应为过量试剂相对混合液中离子浓度的倍数，左下排数据是不足量试剂相对混合液中离子浓度的倍数；当有酸或碱过量时，中间数据总是以1作为基数，当酸碱恰好完全中和时，中间数据以0作基数。该题中盐酸为过量试剂，NaOH为不足量试剂。
所以，当取盐酸体积均为11时，加水体积为99；加NaOH溶液体积为9。故选C。
注：本文源自本人所著的《趣谈化学》·知识出版社2013年12月出版发行。
14 / 14
Ni3+ Ni2+
3
2/0.97
2
6/97 91/97
得： n（Ni3+）︰n（Ni2+）= (6/97) ︰(91/97) = 6
︰91
HCl H2O
1
1 9
HCl NaOH
1
－10
11
9
“新十字军”东征
黄明建
历史上，十字军东征是11世纪至13世纪由罗马天主教会主导下的系列战争，因其规模之大、历时之久、生灵涂炭之惨烈而闻名于世。
又不知是何年何月何方神圣在玩代数时，发现了“十字交叉法”，其便捷高效的演算技巧迷倒了芸芸众生。很快，这种演算技法在医药等与稀溶液配制密切相关的行业传播开来，后继者更是数以亿计，一支以“十字交叉”为标志的应用大军就这样悄然兴起，并屡战屡捷，声威大振。
“新十字军”军规
“新十字军”不同于当今美国的西点军校，军规只有一条：只要知道“十字交叉法”原理的人就能成为其战士，但只有在复杂情况下能灵活运用“十字交叉法”的人才能成为将军。
什么是十字交叉法？请看一例。
王军医为救护伤员急需5kg生理盐水（即0.9g/100mLNaCl溶液，其密度约等于常温下纯水的密度，为讨论方便，下面将生理盐水的浓度近似看作质量分数），可他手边没有现成的，只有20%NaCl溶液和0.5%NaCl溶液，应如何配制？
富有经验的王军医还真不含糊，在纸上画个十字叉，答案立马就出来了。我们一起来看看，他画的是一个什么样的十字叉。
这样画个“十字叉”得出的结果可靠吗？
我们可以用常规的计算方法验算一下。设配制0.9% NaCl溶液需20%NaCl溶
20 0.9 0.5 0.4
19.1
液Mg和0.5%NaCl溶液Ng。根据溶液混合前后质量相等的关系，得方程：
20%M + 0.5%N =（M + N）× 0.9%
M N 即 ＝ （0.9－0.5）
（20－0.9） ＝ 0.4 19.1
验算结果与上面完全相符。并且我们可以看到验算中的步骤在十字叉中的影子——（20－0.9）和（0.9－0.5）。这是偶然巧合还是必然的结果？
决非偶然！我们不妨再建立一个相关问题的数学模型来进行分析。
且慢！王军医说先得给大伙儿打个预防针——开始创建这类模型会感觉有点抽象，看似有点难。其实，只要你有耐心参与，就会发现其妙无穷。并且，你将完全有希望成为新十字军的将军！
【问题】有一定数目的黑色立方体A和白色立方体B，当它们按特定比例组合后，各自的一些物理量的总量不会改变，但组合后对应物理量（如质量、体积等）的单位平均值会发生变化。这与它们的组合比例会有什么规律性的联系吗？
讨论1 已知x是单个立方体A的质量（单位为克，下同），y是单个立方体B的质量；z是A、B两种立方体按一定数目比例组合后平均每个立方体的质量。．．．．．．
求A、B两种立方体组合的数目比例是多少？
【推断】设A与B的组合中，A与B的数目比例为M∶N，依题意得方程：
即 M·x + N·y ＝z（M + N） M N
＝ （z －y） （x －z）
讨论2 已知x是单个立方体A的体积（单位为nm3，下同），y是单个立方体B的体积；z是A、B两种立方体按一定数目比例组合后，平均每个立方体的．．．．．．
体积。求A、B两种立方体组合的数目比例是多少？
【推断】设A与B的组合中，A与B的数目比例为M∶N，依题意得方程：
即 M N M·x + N·y ＝z（M + N） ＝ （z －y）
（x －z）
讨论3 已知x是立方体A的密度（单位为g/cm3，下同），y是立方体B的密度；z是A、B两种立方体按一定体积比例组合后的混合体密度。求A、B两种．．．．
立方体组合的体积比例是多少？（假定两种立方体的组合是均匀有序的紧密排列，立方体间的空隙可以忽略不计）
【推断】设A与B的组合中，A与B的体积比例为M∶N，依题意得方程：
即 M·x + N·y ＝z（M + N） M N
＝ （z －y） （x －z） 你发现什么了吗？无论是前面配制生理盐水时溶液的质量比，还是后来讨论
A、B立方体的个数比或体积比，虽然问题不同，但它们的计量关系式都像一个模子里搕出来的：
M·x + N·y ＝z（M + N）
结论如出一辙，并且都能用“十字交叉法”解决。
M N （z －y） （x －z） ＝
现在我们来归纳一下，什么类型的问题适用“十字交叉法”解决呢？
（1）必须是二元组分或相当于二元组分（如A、B组合），并且二元组分的同一物理量（变量）具有确定的平均值。如上面讨论的物质密度、溶液浓度等等；
（2）在二元组分中，各组分的变量所对应的函数（如质量、体积、物质的量等）具有简单的加合关系。
简单的说，只要符合下面关系式的二元组分的计量问题，都可以用十字交叉法解决。
M·x + N·y ＝z（M + N）
但是，若不能完全符合上式要求，就不能使用“十字交叉法”。这也是“新十字军”军规的另一种注解。
比方说，浓硫酸的稀释。已知98%硫酸的相对密度为1.836，70.0%硫酸的相对密度为1.61，10.0%硫酸的相对密度约为1.06。欲用98%硫酸与10%硫酸混合配制70%硫酸，能否用“十字交叉法”来确定这两种溶液的混合比例呢？
答案是——可以用“十字交叉法”确定它们混合的质量比，但不能用“十字交叉法”确定它们的体积比。
因为浓硫酸与稀硫酸在稀释前后的质量存在加合关系，但两种溶液在稀释前后的体积不存在加合关系。我们可以肯定，用M g98%硫酸与N g10%硫酸混合后，所得溶液的总质量一定为（M + N）g；但是用M体积98%硫酸与N体积10%硫酸混匀，所得溶液的总体积将一定小于（M + N）。
有兴趣的话，我们可以用“十字交叉法”试着做一下（注意：平均值总是放在十字叉的中心）。
经过验算，98%硫酸与10%硫酸若按15∶7的质量比混合，所得溶液质量分数正好是70%；若按275∶113的体积比混合，所得溶液质量分数实际为81.2%，显然偏差太大。
对于刚刚加盟十字军的新兵来说，使用“十字交叉法”总有一个适应过程，但只要经历一段时间练习，自然就熟能生巧了。
对于将军而言，他们总会根据战场上的实际情况，灵活应变，采取不同的战术策略。下面就让我们来共同观摩几例。
“新十字军”的经典战例
降伏氖妖
话说300年前，自从老帅道尔顿率军东征，发现了原子王国，后继者蜂涌而至，攻城夺寨，战果累累。
百年后，新帅汤姆孙更是骁勇善战、才智过人，通过阴极射线一举攻破了最坚固的原子王国城堡，彻底瓦解了其御林军——电子。为了扩大战果，汤姆孙人不解甲、马不卸鞍，率军乘胜东进，试图通过阳极射线再下一城，不料遭遇到劲敌——氖（Ne）的强力阻击。原以为氖只是孤军一支，相对原子质量为20.18，不足为惧。不料一交战，发现氖似乎会分身术，突然由一变二（其中一种相对原子质量变为20，另一种相对原子质量变为22），打了汤姆孙个措手不及。在汤姆孙看来，各种元素的原子只有一种，氖——怎么会突然冒出来两种？他怎么都不相信这是真实的。究竟是敌方的诈术还是另有伏兵？不把这氖的分身法术破解掉，这城是攻不下来的。就在这紧要关头，汤姆孙麾下飙出一名悍将阿斯顿（Francis
William Aston 1877－1945），他临危受命后，迅速调整战术，并发明了一种新式利器——质谱仪，准确的探测到敌情和实力，氖原子确实有两种：一种是
另一种是2220Ne，Ne，并且测得它们的原子个数比约为10∶1，这才弄清楚当初所测氖的相对原子质量为什么是20.18，为最终赢得整个战役胜利立了头功。这是科学史上首次通过实验确认了同位素的存在。1922年，瑞典皇家科学院为了表彰阿斯顿在同位素和质谱仪研究中的卓越功勋，特授予他诺贝尔化学奖。
阿斯顿的发现为后来研究元素及其相对原子质量开辟了一条便捷的新途径。 从理论上讲，如果知道一种元素有两种同位素（如今叫做核素），并了解它们的相对原子质量及其平均值，我们就能用“十字交叉法”来推测其原子个数比。
例如，氯的同位素包含两种核素——37Cl和35Cl，其平均相对原子质量为35.5（也就是氯元素的相对原子质量）。据此，可运用“十字交叉法”做近似推测：
即：37Cl和353537Cl： 35.5 0.5 1.5 Cl： 35 Cl的原子个数比为1∶3。而实际测定值为75.77∶24.23，非常接近。上面计算的微小出入是因为代入的数据是核素的质量数（近似相对原子质量）而没有用它们实际的相对原子质量（36.96590和34.96885）。
人造空气
18世纪，法国有位老将拉瓦锡曾利用质量守恒定律将当时流行的燃素学说送进了化学历史博物馆，同时还在世界上第一次定量的测定出空气中氮气与氧气的体积比约为4∶1。后来有个老拉的粉丝想仿效着做一瓶“人造空气“，不料这人太粗心，混合氮气和氧气前忘了测各自的体积，只是测得混合后的气体在标准状况下的密度为1.357g/L。怎么办？他这混合气体能跟空气中氮气和氧气的比例一样吗？好在他知道混合气体的平均摩尔质量可以通过密度计算出来（注：物质的摩尔质量在数值上等于它们的相对分子量）：
M(混) = ρ(混)·Vm = 1.357g·L1×22.4L·mol－－1 = 30.4g·mol－1
再用十字交叉法一比划，结果还真出来了
O2 32 N2
28
30.4 2.4 1.6 解得：V(N2)︰V(O2) = n(N2)︰n(O2) = 1.6︰2.4 = 2︰3
只是不太妙，这“空气”里氧气的浓度也太高了。人要真的长时间呆在这种空气里，氧倒是不缺了，只怕身体里的毛病会多出来。
扩军备战
到了20世纪70年代末，“新十字军”进行了一次人类历史上最大规模的扩军。原因是中国因“文化大革命”中断了十年的高考得以恢复。各地纷纷悬榜招贤，其中有这样一段榜文：
榜前人头攒动，读过后脸露悦色者少，皆摇头称“怪”。
数日后，人群中钻出个毛头小子（下面简称“毛头”），只见他走到榜前，刷、刷几下，画出个十字叉，答案就出来了：
B (C3H8) 2/9 A (C3H4) 1/9 1/5 4/45 1/45
V(C3H4)︰V(C3H8) = n(C3H4)︰n(C3H8) = (1/45) ︰(4/45) = 1︰4
众人一验算，还真是这结果。于是有人拉着毛头想知道其中的奥妙。
这毛头还真不含糊，清清嗓子就讲开了。
“你们都看到了，我用的就是十字交叉法。这十字交叉法的精髓是什么？不是力克而是巧取，重在用心！许多难题，一用上十字交叉法就能出奇制胜。别看这十字交叉法好像简单，它就像围棋，虽只有黑、白两色，但在白起黑落之间，那是处处玄机，变幻无穷。”（这小子的开场白架子拉得不小，倒也说得在理。）
“就说刚才这题，难在哪里？所给信息模糊！连A、B是什么物质都没说，就要人找出它们的体积比，这不是强人所难吗？”毛头说到这里双手一摊，装出一副无可奈何的样子，引来周围一片会意的笑声。
“对于这类问题，我们就要针锋相对，要让题目中模糊的信息变得清晰起来，怎么做？” （他总算言归正传了）毛头顿了顿，接着说“大家看——
（1）A、B既属于常温下的气态烃，按通常情况，其分子中所含碳原子数就应≤4；
（2）A、B按任意比混合，其碳、氢质量比都在9︰1和9︰2之间，这就是两个极值，它们应该分别是纯A、纯B分子中碳与氢的组成比例。由此推断：对应碳、氢质量比为9︰1的只能是C3H4。”
“为什么？”有人插嘴问。
“因为碳的相对原子质量为12，9与12的最小公倍数为36，故该分子中至少含有3个碳原子，这就推出了C3H4；如果是C6H8，也符合9︰1的碳氢组成比，但分子中的碳原子数就会大于4，也就在常温不是气态了。”
“哦”，众人点头称是。
见大家没异议，毛头接着说“同样的道理，对应碳、氢质量比为9︰2的只能是C3H8。再结合‘B的相对分子质量大于A’，就可知A为C3H4，B为C3H8。
我们还可以换个角度看，把1/9看作C3H4中单位质量的碳对应的氢原子数，把2/9看作是C3H8中单位质量的碳对应的氢原子数。又因为这两种烃分子中含碳原子数相同，所以（毛头边说边写出了下面的算式）—— 1/9∶2/9 = 36×1/9∶36×2/9 = 1molC3H4所含氢原子数∶1molC3H8所含氢原子数
以同样的方式，刚才‘十字叉’中的1/5也可以看作混合烃中单位质量的碳对．．．
应的氢原子数——如果乘上36，这就是A、B按一定体积比混合后每摩尔混合烃．．．．．．所含氢原子数，是、
B平均值！所以，我才能用这个‘十字叉’来．．．．．．．．A．
．．组合的一个．．．．．．．．．
推知A (C3H4)与B(C3H8)的体积比。”
A (C3H4) 1/9 1/5 B (C3H8) 2/9 4/45 1/45 V(C3H4)︰V(C3H8) = 1︰4
“哦——，原来如此！”大伙儿终于明白了。
“欸，大哥——，你这题我也会。”一个声音从人群中传出，有点嘶哑，显然跟眼前的气氛不太协调。
大伙儿回头一看，乐了。原来又钻出个平头小子（下面简称“平头”），上身穿一件皱巴巴的汗衫，下身的蓝布裤有一条裤腿卷着，嘴角边还黏着黑芝麻粒。
“你也会？前两天怎么没见你人影儿呢？”有人打趣地说。
“那又怎样”，平头挤到前面不服气地说“我这也有道题，大哥你要能解出来，我才算服你了”（看来是个攻擂的来了）。
毛头笑了笑，接过平头递过来的纸条，旁边人也凑了上来，上面写的是—— 原来这是一道连数字都没有的计算题，看来难度小不了。毛头仔细地读过后，就把题目传给了周围的人，引发了一阵热议，就是没人想出好办法。那平头得意地环顾着四周。
过了好一会儿，还是毛头先开口：“大家听说过隐形飞机吗？”
“听说过，二战时德国研制的Go-229战斗轰炸机就是这类型”，有人应着，“欸——，隐形飞机与这有关吗？”
“既没关系，又有关系。”毛头说。
“怎么讲？”有人不解地问。
“说‘没关系’，是因为这道题确实与飞机无关。说‘有关系’，是这道题与‘隐形’有关”。毛头瞟了平头一眼，不紧不慢地说“隐形飞机的‘隐形’是相对于雷达而不是相对于人眼来说的；在人眼可视的范围内，隐形飞机是没法‘隐形’的。”（听得出，这是一语双关。）
平头默默地退到了一边，他知道毛头已经成竹在胸。
“我们初看这题，就像雷达面对一架隐形飞机，什么信号也没有，不知从何下手。好在我们用的是自己的眼睛而不是机械的雷达。”毛头风趣的语言吸引着所有在场的人。“‘隐形’并非真的看不到，这道题就隐藏了一种物质和两个量的关系。”
“这道题还隐藏了一种物质？”有人流露出惊讶。
“对！铜粉在空气中加热生成什么？氧化铜。硝酸铜加热后生成的固体物质是什么？也只有氧化铜。”
毛头边说边写出了下面的两个化学方程式：
2Cu + O2 == 2CuO 2Cu(NO3)2 == 2CuO + 4NO2↑+ O2↑ △ △
“也就是说，加热前的固体是铜和硝酸铜的混合物，加热后只有氧化铜一种固体物质！”听众中有人默默地点着头，似有所悟。
“我们再来看看题目中隐藏了哪两个相关量。
（1）铜、硝酸铜、氧化铜的摩尔质量，依次为64g·mol1、188g·mol1、80g·mol1； －－－
（2）相同物质的量的上述三种物质所含铜的物质的量之比为1∶1∶1。
这可以告诉我们什么？可以告诉我们——
反应前，铜和硝酸铜的物质的量之和与反应后生成的氧化铜的物质的量相等。
n(Cu) ＋ n[Cu(NO3)2] ＝ n(CuO)
结合题目信息， m(Cu) ＋ m[Cu(NO3)2] ＝ m(CuO)
我们又可以推出下面的关系式：
m(Cu) ＋ m[Cu(NO3)2] m(CuO) ＝ n(Cu) ＋ n[Cu(NO3)2] n(CuO)
这个关系式把一个天大的秘密浮现在我们眼前，是什么？
它表明加热前铜和硝酸铜混合物的平均摩尔质量就等于氧化铜的摩尔质量！ 接下来，我们要做的就是将相关数据代入‘十字叉’中：
64 80 188 16 得： n(Cu)︰n[Cu(NO3)2] =108︰16 = 27︰4
铜与硝酸铜的物质的量之比为27︰4，这就是我们最后要揭开的谜底。” 毛头讲得激情飞扬，就像为大家解析一桩大案的来龙去脉，逐层拨开罩在案情上的重重迷雾，最后让真相大白于天下。众人连呼“过瘾！”就在他准备离去的时候，一个梳着两根小辫子的女生走到跟前。
“你能再帮我讲讲这道题吗？”她细声地说，眼里透着几分羞涩。
毛头看着她清秀的脸庞，两只大眼睛里充满了期待，于是接过了她的小本子，上面是这样一道题：
108
毛头问：“你知道平衡混合气中PCl3和Cl2的物质的量之比是多少吗？” 女生摇摇头。
毛头又指着题目问：“你再看看这密闭容器中先充进去的是什么物质？” “五氯化磷”，女生看着题目缓缓地说，突然醒悟道“哦——，我明白了，生成的PCl3和Cl2的物质的量之比是1︰1。”
“接着说下去。”
“不会。”女生又茫然地摇了摇头。
“既然知道平衡混合物中PCl3和Cl2的物质的量之比是1︰1，你能确定它俩
的平均相对分子量吗？”毛头追问道。
女生皱着眉头沉思片刻，突然眼中闪出喜悦的目光，看着毛头抿嘴一笑，说：“这回我是真明白了。”接着她飞快地在纸上写出了下面的计算过程：
n（PCl3）︰n（Cl2）= 1︰1
(PCl3,Cl2) 104.25 －M(PCl5) = 208.5(g·mol1) －M(PCl3,Cl2) = 104.25(g·mol1) (PCl5) 208.5 149 44.75 59.5 解得： n(PCl5)︰n(PCl3,Cl2) = 44.75︰59.5 ≈3︰4 (0.7521)
N（PCl5）︰n（PCl3）︰n（Cl2）= 3︰2︰2
φ(PCl3) = 2 / (3+2+2) ×100% = 28.6%
看着她写完答案，毛头点着头笑了。
“你太棒了，谢谢你！”女生感激地说。
这时，夜幕已经降临，路灯下映着两个长长的身影。
奔赴前线
20世纪末，能源危机、环境污染、食品安全以及多种矿产资源日益匮乏使人类陷入前所未有的困境。因此，各种能源的开发技术以及新型材料的研制被纷纷推向科技前沿。阵容庞大的“新十字军”自然责无旁贷，也纷纷向前沿开拔。
【背景资料】海湾战争就是因石油而起的战争。人们对石油的热衷是因为石油既可以作燃料又是重要的有机化工原料。石油中最主要的烃是烷烃（另外还有较多环烷烃、芳香烃等），以石油为原料炼制的汽油、煤油、柴油等都是烃的混合
物。因此，对烃类混合物的组成和性质讨论就成为十字交叉法的重要内容之一。
【例1】有标准状况下CH4和C4H8组成的混合气体2.24L，在足量的O2中完全燃烧后，待冷却，再通入过量的澄清石灰水，生成沉淀20g，求CH4和C4H8的体积比。
－
【解析】2.24L混合气体的物质的量为： V/Vm = 2.24L / 22.4L·mol1 = 0.1mol
其中含碳原子 n(C) = n(CaCO3) = m(CaCO3) / M(CaCO3) = 20g/100g·mol1 = 0.2mol
－
即混合气体平均组成为C2Hx
CH4 C4H8
1
2
4
1 2
解得： V(C3H4)︰V(C3H8) = n(CH4)︰n(C4H8) = 2︰1
【例2】常温常压下，使16mLH2、CH4、C2H2的混合气体在足量O2中完全燃烧后，恢复至原状态，气体总体积比原来缩小了26mL，求原混合气体中CH4的体积。
【解析】该题只告知了H2、CH4、C2H2混合气体的总体积，并不知道提供的O2有多少，所以解决问题的突破口应该在燃烧后的体积差方面。相关反应如下： H 2(g) +1/2 O2(g) == 1/2H2O(l) △V 0.5 0 1
－1.5
CH 4(g) + 2O2(g) == CO2(g) + 2H2O(l) △V 1 2 1
－2
2(g) + 5/2O2(g) == CO2(g) + 2H2O(l) △V C2H
5/2 2 1 0 －1.5
由十字交叉法： （H, CH）
1.5 222
13/8
3/8
2 1/8 CH4
解得： n(H2, C2H2)︰n(CH4) = 3︰1 ； 故CH4的体积：
16mL/(3+1) = 4mL 【例3】25℃和101kPa时，乙烷、乙炔和丙烯组成的混合烃32mL，与过量
氧气混合并完全燃烧，除去水蒸气，恢复到原来的温度和压强，气体总体积缩小了72mL，求原混合烃中乙炔的体积分数（2011四川高考题）
【解析】依据该题信息，在解法上可类比于上一题。因为单位体积乙烷、丙烯完全燃烧后，都是缩小5/2体积；只有单位体积乙炔完全燃烧后是缩小3/2体积。
11 / 14
所以可以将乙烷和丙烯组合在一起，用十字交叉法解：
C2H2
3/2
72/32
1/4
(C2H6 ,C3H6) 5/2
3/4
解得乙炔在原混合烃中的体积分数正好是1/4。
另一种解法：先写出烃类完全燃烧的化学方程式 CnHm＋(n+ m/4)O
2
nCO2＋m/2H2O △V(缩小)
1 n+ m/4 n (1+ m/4) 32 72 得方程 1/32 ＝(1+ m/4)/72
解得： m ＝ 5 （即混合烃分子中平均含氢原子数为5）
由于每摩尔乙烷和丙烯均含有6摩氢原子，每摩乙炔含2摩氢原子，每摩混合烃含5摩氢原子，则由十字交叉法计算乙炔的体积分数：
C2H2
2
5
(C2H6 ,C3H6) 6 3
故乙炔在混合烃中的体积分数为1/(1+3) = 1/4
1
【背景资料】氮的氧化物也是一个热门话题。它不仅在传统化工产业中是生产硝酸的重要原料，N2O4在现代航天运载火箭的燃料中还担当着氧化剂的角色，NO则被称作现代医药中的明星分子。令人感觉滑稽的是，氮的氧化物同时又是当今造成环境污染的罪魁祸首之一。
在中学，氮的氧化物可利用铜与硝酸反应制得。例如：
Cu + 4HNO3(浓) == Cu(NO3)2 + 2NO2↑+ 2H2O
3Cu + 8HNO3(稀) == 3Cu(NO3)2 + 2NO↑+ 4H2O
（注：Cu与稀硝酸的反应相对较慢，制NO时通常需适当加热）
由于我们在实际生活中遇到的问题大多比书本上的习题复杂的多，一些内在的矛盾盘根错节，有时如果我们过于纠缠具体细节将很难理清头绪，所谓“清官难断家务事”就是这个道理。这就要靠智慧。
出于对能力培养方面的考虑，于是有了下面这道颇具挑战性的试题。
12 / 14
【解析】这道题的难点是不明确浓硝酸的具体量，也不知道几种氮的氧化物的比例。如果解题思路陷入探寻各物质具体量的变化上，问题将很难得到解决。“宜粗不宜细”应是解答这道题的最佳策略。我们可以首先关注以下信息：
① 因0.03molCu完全溶解，故反应中转移的电子为0.06mol（电子守恒）。 ② 平均每摩混合气体得电子0.06/0.05 = 1.2mol。
又因每生成1molNO2只得1mol电子，每摩NO得电子3mol，每摩N2O4得电子2mol。既已知生成1mol混合气体实际得电子1.2mol，故上述氮氧化物的混合气体中必有较多的NO2。
设混合气中含NO2xmol，含NO y mol，含N2O4 z mol。因为N2O4适宜在硝酸
浓度始终较大的情况下生成，而NO适宜在硝酸浓度明显变小的情况下生成。所以，为便于确定其取值范围，可作如下两种极限假定：
（1）N2O4量极少，几乎忽略不计，
【背景资料】晶体的组成、结构与性质，是目前研发新型材料关注的一个重心。随着现代科技的进步，人们发现：许多晶体中结构粒子的组成偏离传统理论中的“整比性”已经成为一个普遍现象。这种因晶体缺陷等原因所产生的现象又激发了科学家们对晶体结构影响晶体材料性能的创造灵感。例如，一氧化镍就是一种非整比化合物，其微观结构与氯化钠晶体类似。它在电池和半导体材料方面都有应用；它对加速CO及一些有机物的氧化有催化作用；它对改善玻璃的特殊光学性质和调配陶瓷釉料等方面也有应用。
近年，这些非整比化合物的相关知识已渗入高考试题中。1999年的全国高考化学卷中就有体现：
【解析】尽管氧化镍晶体中镍离子与氧离子的个数比不是1︰1，但整个晶体显电中性却是一个重要事实。所以，可认为镍离子（Ni2+、Ni3+）所带的平均电荷
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NO2 NO NO2 N2O4
1 3 1 2
1.8 0.2 0.8 0.2
x︰y = 9︰1
－
46 + 1×30)/10 = 44.4(g·mol1)
（2）NO量极少，几乎忽略不计
x︰y = 4︰1
46 + 1×92)/5 = 55.2(g·mol1)
－
即： 44.4＜55.2
数应为2/0.97。这样，我们就可以采用十字交叉法解决问题。
【背景资料】调节溶液的pH是电镀工艺、医药生产、工业污水处理等方面的一个重要环节，也是新十字军征战的目标之一。2001年江西高考就有下面这道题。
【解析】（1）加水稀释。使pH=1的盐酸pH再升高1，即原盐酸是混合后溶液中c(H+)10倍，而水中c(H+)又远小于稀释后溶液中的c(H+)，故可设为0。则
（2）加碱中和。仍使pH=1的盐酸pH再升高1，加入的是相同浓度的NaOH溶液，即NaOH溶液中c(OH－)是混合后溶液中c(H+)的10倍，因可与H+中和，故设为－10。
【注】使用十字交叉法，左上排数据应为过量试剂相对混合液中离子浓度的倍数，左下排数据是不足量试剂相对混合液中离子浓度的倍数；当有酸或碱过量时，中间数据总是以1作为基数，当酸碱恰好完全中和时，中间数据以0作基数。该题中盐酸为过量试剂，NaOH为不足量试剂。
所以，当取盐酸体积均为11时，加水体积为99；加NaOH溶液体积为9。故选C。
注：本文源自本人所著的《趣谈化学》·知识出版社2013年12月出版发行。
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Ni3+ Ni2+
3
2/0.97
2
6/97 91/97
得： n（Ni3+）︰n（Ni2+）= (6/97) ︰(91/97) = 6
︰91
HCl H2O
1
1 9
HCl NaOH
1
－10
11
9