高中立体几何典型500题及解析(1)(1~50题)

高中立体几何典型500题及解析(一)

1、二面角α-l -β是直二面角，A ∈α，B ∈β，设直线AB 与α、β所成的角分别为∠1和∠2，则

（A ）∠1+∠2=900 （B ）∠1+∠2≥900 （C ）∠1+∠2≤900 （D ）∠1+∠2＜900 解析：C

分别作两条与二面角的交线垂直的线，则

∠1和∠2分别为直线AB 与平面α, β所成的角。根据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角

∴∠ABO >∠2∠ABO +∠1=90∴∠2+∠1≤90

2. 下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共．．面的一个图是

．

P P

S S

R R

P Q

R Q P

S S

R R

（A ）（B ）（C ）（D ） D

解析： A 项：PS 底面对应的中线，中线平行QS ，PQRS 是个梯形

B 项：

如图

C 项：是个平行四边形 D 项：是异面直线。

3. 有三个平面α，β，γ，下列命题中正确的是

（A ）若α，β，γ两两相交，则有三条交线（B ）若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ

（C ）若α⊥γ，β∩α=a ，β∩γ=b ，则a ⊥b （D ）若α∥β，β∩γ=∅，则α∩γ=∅ D

解析：A 项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。 B 项：如正方体的一个角，三个平面互相垂直，却两两相交。

C 项：如图

4. 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线

AB 与直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为

解析：BC 11

⊥平面AB 1∴B 1C 1⊥PB , ，如图：

点到定点B 的距离与到定

直线AB 的距离相等，建立坐标系画图时可以以点B 1B 的中点为原点建立坐标系。

5. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中与AD 1成600角的面对角线的条数是（A ）4条（B ）6条（C ）8条（D ）10条

解析：如图

有4条，共8条。

这样的直线有4条，另外，这样的

直线也

6. 设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足⋅=0，⋅=0，⋅=0，则△BCD 是

（A ）钝角三角形（B ）直角三角形（C ）锐角三角形（D ）不确定 C

解析：假设AB 为a

，AD 为b ，AC 为c ，且a >b

>c 则，

，，

则BD 为最长边，根据余弦定理

cos ∠DCB =

-22

>0∴∠DCB 最大角为锐

角。所以△BCD 是锐角三角形。

7. 设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题 ①若a ⊥b , a ⊥α, 则b //α

②若a //α, α⊥β, 则a ⊥β

（）

③a ⊥β, α⊥β, 则a //α ④若a ⊥b , a ⊥α, b ⊥β, 则α⊥β

其中正确的命题的个数是

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

（）

B 解析：注意①中b 可能在α上；③中a 可能在α上；④中b//α，或b ∈α均有α⊥β，

故只有一个正确命题

8. 如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底

面边长为，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为（） A ．90° C ．45°

B 解析：平移SC 到S 'B ，运用余弦定理可算得BE =S 'E =S 'B =

B ．60° D ．30°

9. 对于平面M 与平面N, 有下列条件: ①M 、N 都垂直于平面Q; ②M 、N 都平行于平面Q;

③ M 内不共线的三点到N 的距离相等; ④ l , M内的两条直线, 且l // M, m // N; ⑤ l , m是异面直线, 且l // M, m // M; l // N, m // N, 则可判定平面M 与平面N 平行的条件的个数是（） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

只有②、⑤能判定M//N，选B

10. 已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，A 1B ⊥CB 1，则A 1B 与AC 1 所成的角为

（A ）450 （B ）600 （C ）900 （D ）1200

A 1

C 解析：作CD ⊥AB 于D ，作C 1D 1⊥A 1B 1于D 1，连B 1D 、AD 1，易知ADB 1D 1是平行四边形，由三垂线定理得A 1B ⊥AC 1，选C 。

11. 正四面体棱长为1，其外接球的表面积为 A. π

π C. π

D.3π

解析：正四面体的中心到底面的距离为高的1/4。（可连成四个小棱锥得证

12. 设有如下三个命题：甲：相交直线l 、m 都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l 、m 中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时，

A ．乙是丙的充分而不必要条件 B ．乙是丙的必要而不充分条件

C ．乙是丙的充分且必要条件 D ．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件解析：当甲成立，即“相交直线l 、m 都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l 、m 中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交．”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l 、m 中至少有一条与平面β相交”也成立．选（C ）．

13. 已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集．其中正确的是．

解析：（1）成立，如m 、n 都在平面内，则其对称轴符合条件；（2）成立，m 、n 在平面α的同一侧，且它们到α的距离相等，则平面α为所求，（4）成立，当m 、n 所在的平面与平面α垂直时，平面α内不存在到m 、n 距离相等的点

14. 空间三条直线互相平行, 由每两条平行线确定一个平面, 则可确定平面的个数为（）

A ．3

B ．1或2

C ．1或3

D ．2或3

解析：C 如三棱柱的三个侧面。

15．若a 、b 为异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是

A ．相交

B ．异面

C ．平行

（）

D．异面或相交

解析：D 如正方体的棱长。

16．在正方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，AC 与B 1D 所成的角的大小为

（） A ．

C ．

B ．

π 4π 2

π 3

D ．

解析：D B 1D 在平面AC 上的射影BD 与AC 垂直，根据三垂线定理可得。

17．如图，点P 、Q 、R 、S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是（）

解析：C A ，B 选项中的图形是平行四边形，而D 选项中可见图：

18．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A 、B 、C 为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC 等于（）

A ．45° B ．60°

．90° D ．120°

解析：B 如图

★右图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：行面

①AB 与CD 所在直线垂直；

②CD 与EF 所在直线平

③AB 与MN 所在直线成60°角； ④MN 与EF 所在直线异

其中正确命题的序号是（） A ．①③

B ．①④

C ．②③ D ．③④

解析：D

19．线段OA ，OB ，OC 不共面，∠AOB =∠BOC =∠COA =60，OA =1，OB =2，OC =3，则△ABC 是

A ．等边三角形 C ．锐角三角形

（）

B 非等边的等腰三角形 D ．钝角三角形

解析：B ．设 AC =x ，AB =y ，BC =z ，由余弦定理知：x =1+3-3=7，y =1+2-2=3，z =2+3-6=7。 ∴ △ABC 是不等边的等腰三角形，选（B ）．

20．若a ，b ，l 是两两异面的直线，a 与b 所成的角是是α，

则α的取值范围是

A ．[

（）

，l 与a 、l 与b 所成的角都3

π5π

6, 6

] B ．[

ππ, ] 32

C ．[

π5π

3, 6

] D ．[

ππ, ] 62

解析：D

解当l 与异面直线a ，b 所成角的平分线平行或重合时，a 取得最小值公垂线平行时，a 取得最大值

，当l 与a 、b 的6

，故选（D ）． 2

21. 小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为

1m 的

竹竿影长0.9m ，但当他马上测树高时, 因树靠近一幢建筑物, 影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所

示. 他测得留在地面部分的影子长2.7m, 留在墙壁部分的影高1.2m, 求树高的高度（太阳光线可看作为平行光线） _______. 4．2米

∴解析：树高为AB ，影长为BE ，CD 为树留在墙上的影高，

树影长BE=2.7+1.08=3.78米，树高AB=

CD 1.21

==, CE=1.08米，CE CE 0.9

BE=4.2米。 0.9

22．如图, 正四面体

A -BCD （空间四边形的

四条边长及两对角线的长都相等）中, E , F 分别是棱

AD , BC 的中点, 则

EF 和AC 所成的角的大小是________.

解析：设各棱长为2，则

AB 的中点为M

，cos ∠MFE =

π即θ=.

23．OX ，OY ，OZ 是空间交于同一点O 的互相垂直的三条直线，点P 到这三条直线的距离分别为3，4，7，则OP 长为_______.

解析：在长方体OXAY —ZBP C 中，OX 、OY 、OZ 是相交的三条互相垂直的三条直线。

又PZ ⊥OZ ，PY ⊥OY ，PX ⊥OX ，有 OX 2+OZ 2=49，OY 2=OX 2=9， OY 2+OZ 2=16，得 OX +OY +OZ =37，OP =37．

24．设直线a 上有6个点，直线b 上有9个点，则这15个点，能确定_____个不同的平面.

解析：当直线a ，b 共面时，可确定一个平面；当直线a ，b 异面时，直线a 与b 上9个点可确定9个不同平面，直线b 与a 上6个点可确定6个不同平面，所以一点可以确定15个不同的平面．

25. 在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点．求证：EF 和AD 为异面直线.

解析：假设EF 和AD 在同一平面α内，„（2分），则A ，B ，E ，F ∈α；„„（4分）又A ，E ∈AB ，∴AB ⊂α，∴B ∈α，„„（6分）同理C ∈α„„（8分）故A ，B ，C ，D ∈α，这与ABCD 是空间四边形矛盾。∴EF 和AD 为异面直线．

26. 在空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是AB ，AD 的中点，F ，G 分别是CB ，CD 的中点，若AC + BD = a ，AC ⋅BD =b，求EG 2+FH 2. 解析：四边形EFGH 是平行四边形，„„„„（4分）

EG 2+FH 2=2(EF 2+FG 2) =

(AC 2+BD 2) =(a 2-2b ) 22

27. 如图，在三角形⊿ABC 中，∠ACB=90º，

AC=b,BC=a,P是⊿A BC 所在平面外一点，PB ⊥AB ，M 是PA 的中点，AB ⊥MC ，求异面直MC 与PB 间的距离.

解析：作MN//AB交PB 于点N ．（2分）∵PB ⊥AB ，∴PB ⊥MN 。（4分）又AB ⊥MC ，∴MN ⊥MC ．（8分）MN 即为异面直线MC 与PB 的公垂线段，（10分）其长度就是MC 与PB 之间的距离，则得MN=

1 2

28. 已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中, A1A=AB， E 、F 分别是BD 1和AD 中点.

（1）求异面直线CD 1、EF 所成的角；（2）证明EF 是异面直线AD 和BD 1的公垂线.

（1）解析：∵在平行四边形BAD 1C 1中，E 也是AC 1的中点，∴EF //C 1D ，（2分）

∴两相交直线D 1C 与CD 1所成的角即异面直线CD 1与EF

D A 1A=AB，长方体的侧面ABB 1A 1, CDDC 11都是正方形，∴D 1C ⊥CD 1

∴异面直线CD 1、EF 所成的角为90°. （7分）

（2）证：设AB=AA1=a , ∵D 1F=a 2+AD =BF , ∴EF ⊥BD 1. （9分）

由平行四边形BAD 1C 1，知E 也是AC 1的中点，且点E 是长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的对称中心，（12分）∴EA=ED，∴EF ⊥AD ，又EF ⊥BD 1，∴EF 是异面直线BD 1与AD 的公垂线. （14分）

29. ⊿ABC 是边长为2的正三角形，在⊿ABC 所在平面外有一点P ，

PB=PC=

3，PA=，延长BP 至D ，使

E 是BC 的中点，求AE 和CD 所成角的大小和这两条直线间的距离.

解析：分别连接PE 和CD ，可证PE//CD，（2分）则

∠PEA 即是AE 和CD 所成角．（4分）在R t⊿PBE 中，

3+-

=1． PB=，BE=1，∴

PE=。在⊿AEP 中，

cos ∠

AEP =222

∴∠AEP=60º，即AE 和CD 所成角是60º．（7分）

∵AE ⊥BC ，PE ⊥BC ，PE//DC，∴CD ⊥BC ，∴CE 为异面直线AE 和CD 的公垂线段，（12分）它们之间的距离为1．（14分）

30. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，M ，N 分别是正方体的棱A 1A , AB ，BC ，CC 1, C 1D 1, D 1A 1的中点，试证：E ，F ，G ，H ，M ，N 六点共面．

解析：∵EN//MF，∴E N 与MF 共面α，（2分）又∵EF//MH，∴EF 和MH 共面β．（4分）∵不共线的三点E ，F ，M 确定一个平面，（6分）∴平面α与β重合，∴点H ∈α。（8分）同理点G ∈α．（10分）故E ，F ，G ，H ，M ，N 六点共面．

31. 三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有

或2条 D

解析：分类：1）当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线； 2）当三个平面交于一条

直线时，有一条交线，故选D

32．两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是

A ．4个

（） D ．1条

A ．1条 B ．2条 C ．3条

C ．6个

（） D ．8个

B ．5个

解析：C 如四棱锥的四个侧面，C 4

=6个。

33. ．在空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点如果

EF 与HG 交于点M ，则（）

A ．M 一定在直线AC 上 B ．M 一定在直线BD 上

C ．M 可能在AC 上，也可能在BD 上 D ．M 不在AC 上，也不在BD 上

解析：∵平面ABC ∩平面ACD=AC，先证M ∈平面ABC ，M ∈平面ACD ，从而M ∈AC

34. ．用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是 . 解析：6条

35. 已知：a ⊂α, b ⊂α, a ⋂b =A , P ∈b , PQ //a .

求证:PQ ⊂α..(12分)

本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法.

解析：∵PQ ∥a , ∴PQ 与a 确定一个平面β, ∴直线a ⊂β, 点P ∈β.

p ∈b , b ⊂α, ∴p ∈α

又 a ⊂α

∴α与β重合

∴PQ ⊂α

36. 已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线。（12分）

本题主要考查用平面公理和推论证明共线问题的方法解析：∵A 、B 、C 是不在同一直线上的三点 ∴过A 、B 、C 有一个平面β

又 AB ⋂α=P , 且AB ⊂β

同理可证:Q ∈l , R ∈l

∴点P 既在β内又在α内, 设α⋂β=l , 则p ∈l .

∴P , Q , R 三点共线.

37. 已知：平面α⋂平面β=a , b ⊂α, b ⋂a =A , c ⊂β且c //a ,

求证：b 、c 是异面直线

解析：反证法：若b 与c 不是异面直线，则b ∥c 或b 与c 相交 (1) 若b //c . a //c , ∴a //b 这与a ⋂b =A 矛盾(2) 若b , c 相交于B , 则B ∈β, 又a ⋂b =A , ∴A ∈β ∴AB ⊂β, 即b ⊂β这与b ⋂β=A 矛盾∴b , c 是异面直线.

38. 在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，EF=，求AD 与BC 所成角的大小

（本题考查中位线法求异面二直线所成角）

解析：取BD 中点M ，连结EM 、MF ，则

AD =1, MF //BC 且MF =BC =1, 22

EM 2+MF 2-EF 21+1-31

在∆MEF 中, EF =, 由余弦定理得cos ∠EMF ===-

2⋅EM ⋅MF 22

∴∠EMF =120EM //AD , 且EM =

∴异面直线AD , BC 所成角的大小为60

39. 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，求异

面直线CM 与D 1N 所成角的正弦值.(14分) （本题考查平移法，补形法等求异面二直线所成角）

解析：取DD 1中点G ，连结BG ，MG ，MB ，GC 得矩形MBCG ，记MC ∩BG=0 则BG 和MC 所成的角为异面直线CM 与D 1N 所成的角.

MC 2=MA 2+AC 2=(a ) 2(设正方体的棱长为a )

BC =a ∴cos ∠BOC =

∴sin ∠BOC =

而CM 与D 1N 所成角的正弦值为45

40. 如图，P 是正角形ABC 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 和PC 的中点，且PA=PB=PC=AB=a。

（1）求证：MN 是AB 和PC 的公垂线

（2）求异面二直线AB 和PC 之间的距离

解析：（1）连结AN ，BN ，∵△APC 与△BPC 是全等的正三角形，又N 是PC 的中点 ∴AN=BN

又∵M 是AB 的中点，∴MN ⊥AB 同理可证MN ⊥PC

又∵MN ∩AB=M，MN ∩PC=N ∴MN 是AB 和PC 的公垂线。

（2）在等腰在角形ANB 中， AN =BN =a , AB =a , ∴MN =AN 2-(1AB ) 2=2a

即异面二直线AB 和PC 之间的距离为

2a . 2

41空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的平面 [ ]

A ．可能有3个，也可能有2个 B．可能有4个，也可能有3个 C ．可能有3个，也可能有1个 D．可能有4个，也可能有1个

解析：分类，第一类，四点共面，则有一个平面，第二类，四点不共面，因为没有任何三点共线，则任何三点都确定一个平面，共有4个。. 42. 下列命题中正确的个数是 [ ] ①三角形是平面图形 ②四边形是平面图形

③四边相等的四边形是平面图形 ④矩形一定是平面图形 A ．1个 B ．2个 C．3个 D．4个

解析：命题①是正确的，因为三角形的三个顶点不共线，所以这三点确定平面。

命题②是错误，因平面四边形中的一个顶点在平面的上、下方向稍作运动，就形成了空间四边形。命题③也是错误，它是上一个命题中比较特殊的四边形。

命题④是正确的，因为矩形必须是平行四边形，有一组对边平行，则确定了一个平面。 43. 如果一条直线上有一个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多有____1个。

解析：如果有两个，则直线就在平面内，那么直线上的所有点都在这个平面内，这就与已知有一个点不在平面上矛盾，所以这条直线与这个平面的公共点最多有一个。

44. 空间一条直线及不在这条直线上的两个点，如果连结这两点的直线与已知直线_______，则它们在同一平面内。答案：相交或平行解析：根据推论2，推论3确定平面的条件。

45. 三角形、四边形、正六边形、圆，其中一定是平面图形的有________3个。

解析：三角形的三个顶点不在一条直线上，故可确定一个平面，三角形在这个平面内；圆上任取三点一定不在一条直线上，这三点即确定一个平面，也确定了这个圆所在的平面，所以圆是平面图形；而正六边形内接于圆，故正六边形也是平面图形；而四边形就不一定是平面图形了，它的四个顶点可以不在同一平面内。

46. 三条平行直线可以确定平面_________个。答案：1个或3个

解析：分类、一类三线共面，即确定一个平面，另一类三线不共面，每两条确定一个，可确定3个。

47. 画出满足下列条件的图形。 (1)α∩β=1，a (2)α∩β=a，b

α，b

β，a ∩b=A

β，b ∥a

解析：如图1-8-甲，1-8-乙

48. 经过平面α外两点A ，B 和平面α垂直的平面有几个？解析：一个或无数多个。

当A ，B 不垂直于平面α时，只有一个。当A ，B 垂直于平面α时，有无数多个。

49. 设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB ＝122，CD ＝4 2，且四边形EFGH 的面积为12 ，求AB 和CD 所成的角. 解析：由三角形中位线的性质知，HG ∥AB ，HE ∥CD ，∴ ∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角.

∵ EFGH是平行四边形，HG ＝

AB＝62， 2

HE ＝

，CD ＝23， 2

∴ SEFGH ＝HG ·HE ·sin ∠EHG ＝126 sin∠EHG, ∴ 12 6sin ∠EHG ＝12.

∴ sin∠EHG ＝

, 故∠EHG ＝45°. 2

∴ AB和CD 所成的角为45°

注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。 50. 点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=

AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角。2

F D

（如图）

解析：设G 是AC 中点，连接DG 、FG 。因D 、F 分别是AB 、

CD 中点，故EG ∥BC 且EG= BC ，FG ∥AD ，且FG=AD ，由异

面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线

AD 、BC 所成角，即∠EGF 为所求。由BC=AD知EG=GF=AD ，

又EF=AD，由余弦定理可得cos ∠EGF=0，即∠EGF=90°。

注：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。

高中立体几何典型500题及解析(一)

1、二面角α-l -β是直二面角，A ∈α，B ∈β，设直线AB 与α、β所成的角分别为∠1和∠2，则

（A ）∠1+∠2=900 （B ）∠1+∠2≥900 （C ）∠1+∠2≤900 （D ）∠1+∠2＜900 解析：C

分别作两条与二面角的交线垂直的线，则

∠1和∠2分别为直线AB 与平面α, β所成的角。根据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角

∴∠ABO >∠2∠ABO +∠1=90∴∠2+∠1≤90

2. 下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共．．面的一个图是

．

P P

S S

R R

P Q

R Q P

S S

R R

（A ）（B ）（C ）（D ） D

解析： A 项：PS 底面对应的中线，中线平行QS ，PQRS 是个梯形

B 项：

如图

C 项：是个平行四边形 D 项：是异面直线。

3. 有三个平面α，β，γ，下列命题中正确的是

（A ）若α，β，γ两两相交，则有三条交线（B ）若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ

（C ）若α⊥γ，β∩α=a ，β∩γ=b ，则a ⊥b （D ）若α∥β，β∩γ=∅，则α∩γ=∅ D

解析：A 项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。 B 项：如正方体的一个角，三个平面互相垂直，却两两相交。

C 项：如图

4. 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线

AB 与直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为

解析：BC 11

⊥平面AB 1∴B 1C 1⊥PB , ，如图：

点到定点B 的距离与到定

直线AB 的距离相等，建立坐标系画图时可以以点B 1B 的中点为原点建立坐标系。

5. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中与AD 1成600角的面对角线的条数是（A ）4条（B ）6条（C ）8条（D ）10条

解析：如图

有4条，共8条。

这样的直线有4条，另外，这样的

直线也

6. 设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足⋅=0，⋅=0，⋅=0，则△BCD 是

（A ）钝角三角形（B ）直角三角形（C ）锐角三角形（D ）不确定 C

解析：假设AB 为a

，AD 为b ，AC 为c ，且a >b

>c 则，

，，

则BD 为最长边，根据余弦定理

cos ∠DCB =

-22

>0∴∠DCB 最大角为锐

角。所以△BCD 是锐角三角形。

7. 设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题 ①若a ⊥b , a ⊥α, 则b //α

②若a //α, α⊥β, 则a ⊥β

（）

③a ⊥β, α⊥β, 则a //α ④若a ⊥b , a ⊥α, b ⊥β, 则α⊥β

其中正确的命题的个数是

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

（）

B 解析：注意①中b 可能在α上；③中a 可能在α上；④中b//α，或b ∈α均有α⊥β，

故只有一个正确命题

8. 如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底

面边长为，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为（） A ．90° C ．45°

B 解析：平移SC 到S 'B ，运用余弦定理可算得BE =S 'E =S 'B =

B ．60° D ．30°

9. 对于平面M 与平面N, 有下列条件: ①M 、N 都垂直于平面Q; ②M 、N 都平行于平面Q;

B ．2

C ．3

D ．4

只有②、⑤能判定M//N，选B

10. 已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，A 1B ⊥CB 1，则A 1B 与AC 1 所成的角为

（A ）450 （B ）600 （C ）900 （D ）1200

A 1

C 解析：作CD ⊥AB 于D ，作C 1D 1⊥A 1B 1于D 1，连B 1D 、AD 1，易知ADB 1D 1是平行四边形，由三垂线定理得A 1B ⊥AC 1，选C 。

11. 正四面体棱长为1，其外接球的表面积为 A. π

π C. π

D.3π

解析：正四面体的中心到底面的距离为高的1/4。（可连成四个小棱锥得证

A ．乙是丙的充分而不必要条件 B ．乙是丙的必要而不充分条件

14. 空间三条直线互相平行, 由每两条平行线确定一个平面, 则可确定平面的个数为（）

A ．3

B ．1或2

C ．1或3

D ．2或3

解析：C 如三棱柱的三个侧面。

15．若a 、b 为异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是

A ．相交

B ．异面

C ．平行

（）

D．异面或相交

解析：D 如正方体的棱长。

16．在正方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，AC 与B 1D 所成的角的大小为

（） A ．

C ．

B ．

π 4π 2

π 3

D ．

解析：D B 1D 在平面AC 上的射影BD 与AC 垂直，根据三垂线定理可得。

17．如图，点P 、Q 、R 、S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是（）

解析：C A ，B 选项中的图形是平行四边形，而D 选项中可见图：

18．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A 、B 、C 为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC 等于（）

A ．45° B ．60°

．90° D ．120°

解析：B 如图

★右图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：行面

①AB 与CD 所在直线垂直；

②CD 与EF 所在直线平

③AB 与MN 所在直线成60°角； ④MN 与EF 所在直线异

其中正确命题的序号是（） A ．①③

B ．①④

C ．②③ D ．③④

解析：D

19．线段OA ，OB ，OC 不共面，∠AOB =∠BOC =∠COA =60，OA =1，OB =2，OC =3，则△ABC 是

A ．等边三角形 C ．锐角三角形

（）

B 非等边的等腰三角形 D ．钝角三角形

解析：B ．设 AC =x ，AB =y ，BC =z ，由余弦定理知：x =1+3-3=7，y =1+2-2=3，z =2+3-6=7。 ∴ △ABC 是不等边的等腰三角形，选（B ）．

20．若a ，b ，l 是两两异面的直线，a 与b 所成的角是是α，

则α的取值范围是

A ．[

（）

，l 与a 、l 与b 所成的角都3

π5π

6, 6

] B ．[

ππ, ] 32

C ．[

π5π

3, 6

] D ．[

ππ, ] 62

解析：D

解当l 与异面直线a ，b 所成角的平分线平行或重合时，a 取得最小值公垂线平行时，a 取得最大值

，当l 与a 、b 的6

，故选（D ）． 2

21. 小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为

1m 的

竹竿影长0.9m ，但当他马上测树高时, 因树靠近一幢建筑物, 影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所

示. 他测得留在地面部分的影子长2.7m, 留在墙壁部分的影高1.2m, 求树高的高度（太阳光线可看作为平行光线） _______. 4．2米

∴解析：树高为AB ，影长为BE ，CD 为树留在墙上的影高，

树影长BE=2.7+1.08=3.78米，树高AB=

CD 1.21

==, CE=1.08米，CE CE 0.9

BE=4.2米。 0.9

22．如图, 正四面体

A -BCD （空间四边形的

四条边长及两对角线的长都相等）中, E , F 分别是棱

AD , BC 的中点, 则

EF 和AC 所成的角的大小是________.

解析：设各棱长为2，则

AB 的中点为M

，cos ∠MFE =

π即θ=.

23．OX ，OY ，OZ 是空间交于同一点O 的互相垂直的三条直线，点P 到这三条直线的距离分别为3，4，7，则OP 长为_______.

解析：在长方体OXAY —ZBP C 中，OX 、OY 、OZ 是相交的三条互相垂直的三条直线。

又PZ ⊥OZ ，PY ⊥OY ，PX ⊥OX ，有 OX 2+OZ 2=49，OY 2=OX 2=9， OY 2+OZ 2=16，得 OX +OY +OZ =37，OP =37．

24．设直线a 上有6个点，直线b 上有9个点，则这15个点，能确定_____个不同的平面.

25. 在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点．求证：EF 和AD 为异面直线.

EG 2+FH 2=2(EF 2+FG 2) =

(AC 2+BD 2) =(a 2-2b ) 22

27. 如图，在三角形⊿ABC 中，∠ACB=90º，

AC=b,BC=a,P是⊿A BC 所在平面外一点，PB ⊥AB ，M 是PA 的中点，AB ⊥MC ，求异面直MC 与PB 间的距离.

1 2

28. 已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中, A1A=AB， E 、F 分别是BD 1和AD 中点.

（1）求异面直线CD 1、EF 所成的角；（2）证明EF 是异面直线AD 和BD 1的公垂线.

（1）解析：∵在平行四边形BAD 1C 1中，E 也是AC 1的中点，∴EF //C 1D ，（2分）

∴两相交直线D 1C 与CD 1所成的角即异面直线CD 1与EF

D A 1A=AB，长方体的侧面ABB 1A 1, CDDC 11都是正方形，∴D 1C ⊥CD 1

∴异面直线CD 1、EF 所成的角为90°. （7分）

（2）证：设AB=AA1=a , ∵D 1F=a 2+AD =BF , ∴EF ⊥BD 1. （9分）

29. ⊿ABC 是边长为2的正三角形，在⊿ABC 所在平面外有一点P ，

PB=PC=

3，PA=，延长BP 至D ，使

E 是BC 的中点，求AE 和CD 所成角的大小和这两条直线间的距离.

解析：分别连接PE 和CD ，可证PE//CD，（2分）则

∠PEA 即是AE 和CD 所成角．（4分）在R t⊿PBE 中，

3+-

=1． PB=，BE=1，∴

PE=。在⊿AEP 中，

cos ∠

AEP =222

∴∠AEP=60º，即AE 和CD 所成角是60º．（7分）

∵AE ⊥BC ，PE ⊥BC ，PE//DC，∴CD ⊥BC ，∴CE 为异面直线AE 和CD 的公垂线段，（12分）它们之间的距离为1．（14分）

30. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，M ，N 分别是正方体的棱A 1A , AB ，BC ，CC 1, C 1D 1, D 1A 1的中点，试证：E ，F ，G ，H ，M ，N 六点共面．

31. 三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有

或2条 D

解析：分类：1）当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线； 2）当三个平面交于一条

直线时，有一条交线，故选D

32．两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是

A ．4个

（） D ．1条

A ．1条 B ．2条 C ．3条

C ．6个

（） D ．8个

B ．5个

解析：C 如四棱锥的四个侧面，C 4

=6个。

33. ．在空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点如果

EF 与HG 交于点M ，则（）

A ．M 一定在直线AC 上 B ．M 一定在直线BD 上

C ．M 可能在AC 上，也可能在BD 上 D ．M 不在AC 上，也不在BD 上

解析：∵平面ABC ∩平面ACD=AC，先证M ∈平面ABC ，M ∈平面ACD ，从而M ∈AC

34. ．用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是 . 解析：6条

35. 已知：a ⊂α, b ⊂α, a ⋂b =A , P ∈b , PQ //a .

求证:PQ ⊂α..(12分)

本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法.

解析：∵PQ ∥a , ∴PQ 与a 确定一个平面β, ∴直线a ⊂β, 点P ∈β.

p ∈b , b ⊂α, ∴p ∈α

又 a ⊂α

∴α与β重合

∴PQ ⊂α

36. 已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线。（12分）

本题主要考查用平面公理和推论证明共线问题的方法解析：∵A 、B 、C 是不在同一直线上的三点 ∴过A 、B 、C 有一个平面β

又 AB ⋂α=P , 且AB ⊂β

同理可证:Q ∈l , R ∈l

∴点P 既在β内又在α内, 设α⋂β=l , 则p ∈l .

∴P , Q , R 三点共线.

37. 已知：平面α⋂平面β=a , b ⊂α, b ⋂a =A , c ⊂β且c //a ,

求证：b 、c 是异面直线

38. 在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，EF=，求AD 与BC 所成角的大小

（本题考查中位线法求异面二直线所成角）

解析：取BD 中点M ，连结EM 、MF ，则

AD =1, MF //BC 且MF =BC =1, 22

EM 2+MF 2-EF 21+1-31

在∆MEF 中, EF =, 由余弦定理得cos ∠EMF ===-

2⋅EM ⋅MF 22

∴∠EMF =120EM //AD , 且EM =

∴异面直线AD , BC 所成角的大小为60

39. 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，求异

面直线CM 与D 1N 所成角的正弦值.(14分) （本题考查平移法，补形法等求异面二直线所成角）

解析：取DD 1中点G ，连结BG ，MG ，MB ，GC 得矩形MBCG ，记MC ∩BG=0 则BG 和MC 所成的角为异面直线CM 与D 1N 所成的角.

MC 2=MA 2+AC 2=(a ) 2(设正方体的棱长为a )

BC =a ∴cos ∠BOC =

∴sin ∠BOC =

而CM 与D 1N 所成角的正弦值为45

40. 如图，P 是正角形ABC 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 和PC 的中点，且PA=PB=PC=AB=a。

（1）求证：MN 是AB 和PC 的公垂线

（2）求异面二直线AB 和PC 之间的距离

解析：（1）连结AN ，BN ，∵△APC 与△BPC 是全等的正三角形，又N 是PC 的中点 ∴AN=BN

又∵M 是AB 的中点，∴MN ⊥AB 同理可证MN ⊥PC

又∵MN ∩AB=M，MN ∩PC=N ∴MN 是AB 和PC 的公垂线。

（2）在等腰在角形ANB 中， AN =BN =a , AB =a , ∴MN =AN 2-(1AB ) 2=2a

即异面二直线AB 和PC 之间的距离为

2a . 2

41空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的平面 [ ]

A ．可能有3个，也可能有2个 B．可能有4个，也可能有3个 C ．可能有3个，也可能有1个 D．可能有4个，也可能有1个

③四边相等的四边形是平面图形 ④矩形一定是平面图形 A ．1个 B ．2个 C．3个 D．4个

解析：命题①是正确的，因为三角形的三个顶点不共线，所以这三点确定平面。

45. 三角形、四边形、正六边形、圆，其中一定是平面图形的有________3个。

46. 三条平行直线可以确定平面_________个。答案：1个或3个

解析：分类、一类三线共面，即确定一个平面，另一类三线不共面，每两条确定一个，可确定3个。

47. 画出满足下列条件的图形。 (1)α∩β=1，a (2)α∩β=a，b

α，b

β，a ∩b=A

β，b ∥a

解析：如图1-8-甲，1-8-乙

48. 经过平面α外两点A ，B 和平面α垂直的平面有几个？解析：一个或无数多个。

当A ，B 不垂直于平面α时，只有一个。当A ，B 垂直于平面α时，有无数多个。

∵ EFGH是平行四边形，HG ＝

AB＝62， 2

HE ＝

，CD ＝23， 2

∴ SEFGH ＝HG ·HE ·sin ∠EHG ＝126 sin∠EHG, ∴ 12 6sin ∠EHG ＝12.

∴ sin∠EHG ＝

, 故∠EHG ＝45°. 2

∴ AB和CD 所成的角为45°

注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。 50. 点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=

AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角。2

F D

（如图）

解析：设G 是AC 中点，连接DG 、FG 。因D 、F 分别是AB 、

CD 中点，故EG ∥BC 且EG= BC ，FG ∥AD ，且FG=AD ，由异

面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线

AD 、BC 所成角，即∠EGF 为所求。由BC=AD知EG=GF=AD ，

又EF=AD，由余弦定理可得cos ∠EGF=0，即∠EGF=90°。

高中立体几何典型500题及解析(1)(1~50题)

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