信息论基础答案6

《信息论基础》试卷答案

一、填空题（共15分，每空1分）

1，当（R=C或信道剩余度为0）时，信源与信道达到匹配。

2，若高斯白噪声的平均功率为6W，则噪声熵为（1/2log12e=3。337bit/自由度）如果一个平均功率为9W的连续信源的熵等于该噪声熵，则该连续信源的熵功率为（6W）

3，信源符号的相关程度越大，信源的符号熵越（小），信源的剩余度越（大）

4，离散无记忆信源在进行无失真变长信源编码时，码字长度是变化的。根据信源符号的统计特性，对概率（大）的符号用短码，对概率（小）的符号用长码，从而减少平均码长，提高编码效率。

8，香农第一编码定理指出平均码长的理论极限值为（信源熵H(S)/logr或HR(S)），此时编码效率为（1）

9，在下面空格中选择填入数学符号“=,,，” 9.1 H2(X)=H(X1X29.2 H (XY) = H(Y)+H(X/Y)  H(Y)+H(X)

Xx1x2x3x4

，10,有一信源X，其概率分布为若对该信源进行100次扩展，

P1/21/41/81/8

其每扩展符号的平均信息量是（175bit/扩展符号）

11当（概率为独立等概）时，信源熵为最大值，8进制信源的最大熵为（3bit/符号）二、判断题（本大题共5小题，每小题1分，共5分）

1）噪声功率相同的加性噪声信道中以高斯噪声信道的容量为最大（）

2）即时码可以在一个码字后面添上一些码元构成另一个码字（） 3）连续信源的熵可正可负可零（） 4）平均互信息始终是非负的（）

5）信道容量C只与信道的统计特性有关，而与输入信源概率分布无关（）三、（10分）计算机终端发出A.B.C.D.E五种符号，出现概率分别为1/16，1/16，1/8,1/4,1/2.通过一条带宽为18KHz的信道传输数据，假设信道输出信噪比为2047，试计算：

1）香农信道容量；

2）无误码传输的最高符号速率。

(1) CtBlog21



S

18log22048198kbit/sN

(2)RBmax

《信息论基础》试卷第1页

CtHx

Hx

1111151

H,,,,

81616842

RBmax

198k158

1.05610Baud

四、（10分）有一信源发出恒定宽度，但不同幅度的脉冲，幅度值x处在a1,a2之间。此信源连至信道，信道接收端接收脉冲的幅度y处在b1，b2之间。已知随机变量x和y

的联合概率密度函数p(x,y)1/(a2a1)(b2b1) 试计算h（x），h（y）h（xy）和I(x;y)

1

a1xa2



p(x)a2a1

0,其他

由p(x,y)得

1

,b2xb2

bbpy210,其他

可见，p(xy)p(x)p(y)，x和y相互独立，且均服从均匀分布， h(x)log(a2a1)bit/自由度 h(y)log(b2b1)bit/自由度

h(xy)h(x)h(y)log(a2a1)(b2b1)

I(x,y)0

五、（10分）设某信道的传递矩阵为

0.8

p

0.1

0.10.1

0.1

0.8

计算该信道的信道容量，并说明达到信道容量的最佳输入概率分布，该信道为准对称信道，

（1）两个对称信道矩阵为

0.80.1

0.10.80.80.1

0.10.1

和 0.80.1

N1=0.8+0.1=0.9,N2=0.1; M1=0.9,M2=0.2

∴Clog2H(0.8,0.1,0.1)0.9log0.90.1log0.20.447bit/符号

最佳输入概率分布为输入等概率，即 p(x1)p(x2)=1/2 六、（10分）设随机变量x和y的联合概率分布如下所示：

《信息论基础》试卷第2页

已知1) 2)

H(x)=H(1/3,1/3)=0.9183bit/符号

H(z)=H(2/3,1/3)=0.9183bit/符号3）H(xy)=H(1/3,1/3,0,1/3)=1.58496 bit/每对符号 4)

xz P(xz) 00 2/3 01 0 10 0 11 1/3

H(xz)=H(2/3,1/3)bit/每对符号 H(x|z)=H(xz)-H(z)=0 5)

I(x,y)=H(x)+H(y)-H(xy) =0.25164bit/符号七（20）一个离散无记忆信源

x1x



p(x)1/16

x21/16

x31/16

x41/16

x51/4

x6 1/2

z=xy,计算H(X)，H(Z)，H(XY)，H(X/Z)，Ｉ（x；y）

1） 2） 3） 1）

求H(x)和冗余度；（4分）编成Fano码，计算编码效率；（8分）

编成Huffman码，计算编码效率。（8分）

H(x)=H(1/16,1/16,1/16，1/16,1/4,1/2)=2bit

v1

H(x)log6

22.6

﹪

《信息论基础》试卷第3页

116

x5x4x3x2

11001

1101

116116116

11101111

x6x5x4x3x2

1/21/4

1/161/161/161/16

1/21/41/8

1/161/16

1/21/41/81/8

1/21/41/4

1/21/2

[***********]1

L1



2

44

2

H(x)L

100％

八（10分）设一个离散无记忆信源的概率空间为

0.9

0.1

xx1

p(x)0.2x2

，它们通过0.8

干扰信道，信道矩阵为P。信道输出符号集Yy1

0.30.7

（1）信源X的信息熵；（2分）

（2）收到信息y2后，获得关于x1的信息量；（2分）（3）共熵H(XY)；（2分）

（4）信道疑义度H(X|Y);(2分)

y2，试计算：

（5）收到消息Y后获得的关于信源X的平均信息量。（2分）

P(xy) y1 x1

0.9×0.2 0.1×0.2

《信息论基础》试卷第4页

x2 0.3×0.8 0.7×0.8

(1) H(x)=H(0.2,0.8)=0.722bit/符号

（2） I(x1;y2)=I(x1)-I(x1|y2)=log1/0.2-log0,58/0.02=-2.536bit/符号（3） H（xy）=H(0.18,0.02,0.24,0.56)=1.52076bit/每对符号（4） H(x|y)=H(xy)-H(y)=1.52076-H(y) H(y)=H(0.42,0.58)=0.98145 H(x|y)=0.53936bit/符号（5）I(X:Y)=H(x)+H(y)-H(xy)

=H(x)-H(x|y)

=0.722-0.5393=0.1827bit/符号

九（10分）有一个二元马尔科夫信源，其状态转移概率如图所示，括号中的数表示转移时发出的符号。试计算

（1）达到稳定后状态的极限概率（2）该马尔科夫信源的极限熵H。

s10.50.50.5

s20.500.5

(1) p

s0s1s2

00.50

P(s0)=0.5P(s1)

0.5(p(s0)+p(s1)+p(s2))=p(s1) 0.5(p(s0)+p(s2))=p(s2) P(s0)+p(s1)+p(s2)=1 得 p(s0)=0.25; P(s1)=0.5; P(s2)=0.25;

(2)H=1/4H(0.5,0.5)+1/2H(0.5,0.5)+1/4H(0.5,0.5)=1/4+1/2+1/4=1bit/符号

《信息论基础》试卷第5页

《信息论基础》试卷答案

一、填空题（共15分，每空1分）

1，当（R=C或信道剩余度为0）时，信源与信道达到匹配。

3，信源符号的相关程度越大，信源的符号熵越（小），信源的剩余度越（大）

8，香农第一编码定理指出平均码长的理论极限值为（信源熵H(S)/logr或HR(S)），此时编码效率为（1）

9，在下面空格中选择填入数学符号“=,,，” 9.1 H2(X)=H(X1X29.2 H (XY) = H(Y)+H(X/Y)  H(Y)+H(X)

Xx1x2x3x4

，10,有一信源X，其概率分布为若对该信源进行100次扩展，

P1/21/41/81/8

其每扩展符号的平均信息量是（175bit/扩展符号）

11当（概率为独立等概）时，信源熵为最大值，8进制信源的最大熵为（3bit/符号）二、判断题（本大题共5小题，每小题1分，共5分）

1）噪声功率相同的加性噪声信道中以高斯噪声信道的容量为最大（）

2）即时码可以在一个码字后面添上一些码元构成另一个码字（） 3）连续信源的熵可正可负可零（） 4）平均互信息始终是非负的（）

1）香农信道容量；

2）无误码传输的最高符号速率。

(1) CtBlog21



S

18log22048198kbit/sN

(2)RBmax

《信息论基础》试卷第1页

CtHx

Hx

1111151

H,,,,

81616842

RBmax

198k158

1.05610Baud

的联合概率密度函数p(x,y)1/(a2a1)(b2b1) 试计算h（x），h（y）h（xy）和I(x;y)

1

a1xa2



p(x)a2a1

0,其他

由p(x,y)得

1

,b2xb2

bbpy210,其他

可见，p(xy)p(x)p(y)，x和y相互独立，且均服从均匀分布， h(x)log(a2a1)bit/自由度 h(y)log(b2b1)bit/自由度

h(xy)h(x)h(y)log(a2a1)(b2b1)

I(x,y)0

五、（10分）设某信道的传递矩阵为

0.8

p

0.1

0.10.1

0.1

0.8

计算该信道的信道容量，并说明达到信道容量的最佳输入概率分布，该信道为准对称信道，

（1）两个对称信道矩阵为

0.80.1

0.10.80.80.1

0.10.1

和 0.80.1

N1=0.8+0.1=0.9,N2=0.1; M1=0.9,M2=0.2

∴Clog2H(0.8,0.1,0.1)0.9log0.90.1log0.20.447bit/符号

最佳输入概率分布为输入等概率，即 p(x1)p(x2)=1/2 六、（10分）设随机变量x和y的联合概率分布如下所示：

《信息论基础》试卷第2页

已知1) 2)

H(x)=H(1/3,1/3)=0.9183bit/符号

H(z)=H(2/3,1/3)=0.9183bit/符号3）H(xy)=H(1/3,1/3,0,1/3)=1.58496 bit/每对符号 4)

xz P(xz) 00 2/3 01 0 10 0 11 1/3

H(xz)=H(2/3,1/3)bit/每对符号 H(x|z)=H(xz)-H(z)=0 5)

I(x,y)=H(x)+H(y)-H(xy) =0.25164bit/符号七（20）一个离散无记忆信源

x1x



p(x)1/16

x21/16

x31/16

x41/16

x51/4

x6 1/2

z=xy,计算H(X)，H(Z)，H(XY)，H(X/Z)，Ｉ（x；y）

1） 2） 3） 1）

求H(x)和冗余度；（4分）编成Fano码，计算编码效率；（8分）

编成Huffman码，计算编码效率。（8分）

H(x)=H(1/16,1/16,1/16，1/16,1/4,1/2)=2bit

v1

H(x)log6

22.6

﹪

《信息论基础》试卷第3页

116

x5x4x3x2

11001

1101

116116116

11101111

x6x5x4x3x2

1/21/4

1/161/161/161/16

1/21/41/8

1/161/16

1/21/41/81/8

1/21/41/4

1/21/2

[***********]1

L1



2

44

2

H(x)L

100％

八（10分）设一个离散无记忆信源的概率空间为

0.9

0.1

xx1

p(x)0.2x2

，它们通过0.8

干扰信道，信道矩阵为P。信道输出符号集Yy1

0.30.7

（1）信源X的信息熵；（2分）

（2）收到信息y2后，获得关于x1的信息量；（2分）（3）共熵H(XY)；（2分）

（4）信道疑义度H(X|Y);(2分)

y2，试计算：

（5）收到消息Y后获得的关于信源X的平均信息量。（2分）

P(xy) y1 x1

0.9×0.2 0.1×0.2

《信息论基础》试卷第4页

x2 0.3×0.8 0.7×0.8

(1) H(x)=H(0.2,0.8)=0.722bit/符号

=H(x)-H(x|y)

=0.722-0.5393=0.1827bit/符号

九（10分）有一个二元马尔科夫信源，其状态转移概率如图所示，括号中的数表示转移时发出的符号。试计算

（1）达到稳定后状态的极限概率（2）该马尔科夫信源的极限熵H。

s10.50.50.5

s20.500.5

(1) p

s0s1s2

00.50

P(s0)=0.5P(s1)

0.5(p(s0)+p(s1)+p(s2))=p(s1) 0.5(p(s0)+p(s2))=p(s2) P(s0)+p(s1)+p(s2)=1 得 p(s0)=0.25; P(s1)=0.5; P(s2)=0.25;

(2)H=1/4H(0.5,0.5)+1/2H(0.5,0.5)+1/4H(0.5,0.5)=1/4+1/2+1/4=1bit/符号

《信息论基础》试卷第5页

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