“三角形”定则与力学中两种典型的动态变化问题
张 静
(江苏省淮阴中学 江苏 淮安 223002)
一、由“平行四边形”定则到“三角形”定则
互成角度的两个力F1、F2与它们的合力F之间满足“平行四边形”定则，如图1所示。这个平行四边形中有两个全F
F2 等的三角形，故可将“平行四边形”定则简化，
将F2、沿F1的方向平移F1长，得到图2，一个三角形，图2中，两个分力F1、F2首尾相接，合力F从总的起点指向总的末端点，这样这得到了力F1 的合成与分解的“三角形”定则：将两分力首尾图 2 图 1 相接，则从总的起点指向总的末端点的有向线段
表示这两个力的合力。关于“三角形”定则有以下几点说明：
1、三角形定则只是一种运算方法，各有向线段的起点并不是该力的作用点。但各有向线段的方向一定与力的方向相同，长度也和对应力的大小成比例。
2、与“平行四边形”定则一样，任何矢量的“和”及“差”运算都遵循“三角形”定则，因此也称之为矢量的“三角形”定则。
3、可将“三角形”定则推广为矢量的“多边形”定则。 求三个力F1、F2、F3的合力：先利用“三角形”定
F
F3
则求F1、F2的合力F12，再据“三角形”定则将F12与F3合成得合力F，如图3所示。可发现三个分力
F12 F1、F2、F3依次首尾相接，合力F从总的起点指向总
F
2 F2 的末端点。依此类推，N个力的合力，就是将这N
个力首尾相接，则从总的起点指向总的末端点的有向线段表示这N个力的合力。如图4所示，类似一F1 1
图 3 图 4
多边形。
4、如果几个力的首尾相接能构成一个封闭的多边形，则这几个力
F2
的合力为零。
5、一个重要结论：若一个物体在几个（三个以上）共点力作用下
F
3
平衡，则这几个力首尾相连可构成一个封闭的多边形，特别是，若三个
F1 共点力合力为零，则三个力依次首尾相连构成一个封闭的三角形，如图
图 5
5所示。
虽然“三角形”定则中是由“平行四边形”定则延伸出来的，但是它比“平行四边形”定则少了两条线，在运用的过程中会发现它非常简洁，同时也具有很强的灵活性，熟练地掌握它，会对解题有很大的帮助。下面通过力学中两类动态变化问题来体会它的好处。
二、力学中两种典型的动态变化问题
1、一个力恒定，另一力方向变化的情形
例1：如图6所示，一半圆形的钢梁下吊着一重为G的物体，且结点O正好位于钢梁的圆心处，现在将OA绳的端点A沿钢梁缓慢向上移动，则在移动过程中绳OA、OB中的拉力如何变化？
分析：分析结点O受力，受重物对它的拉力，大小等于物体的重力G，绳OB对它的拉力FB，绳OA对它的拉力FA，且这三个力作用下结点O处于平衡状态，所以这三个力的合力为零，这三个力首尾相连构成一个封闭的三角形，如左图所示，当A点缓慢向图 6 上移动的过程中，力FA
的方向由水平向左变成斜
图 7
P A
向右上方，而拉力FB的方向保持不变，也就对应于这个矢量三角形中的顶点P沿FB方向向上缓慢移动，很容易看出，这个过程中FB一直变小，FA先变小后变大，且当FA与FB垂直时（即绳OA与OB互相垂直时）最小。
2、一力恒定，另一力大小不变，但方向不确定的情形
例2：如图所示，轻绳悬挂一重为G的小球，现有一大小为F（F＜
G）的力作用于小球上，要使悬绳偏离竖直方向的角度α最大，则力F的
应沿什么方向？
分析：稳定时，小球受到的重力G、拉力F及绳拉力T三个力平衡，其合
力应为零。所以将这三个力依次首尾相连，得一矢量三角形，如图9所示，并且由于力F的大小一定，而方向不确定，可知这个三角形的顶点P，可在以重力G的末端点为圆心、力F大小为半径的圆弧上移动，根据图 8
GFF
即：sinsin sinsinG
F
所示当θ＝900时，α有最大值， ，此时，力T的方向与圆
G
F
弧相切，力F与水平方向的夹角也为
G
正弦定理，可得：
图 9
P
三角形定则不仅可用于力的合成、分解，它适用于一切矢量的合成与分解运算。用它来分析小船过河模型中渡河的最短航程问题也很方便。 例3：如图10所示，一小船在静水中的速度为v1，一条小河河宽为d，各处河水流速相同且水流速度恒为v2，要使小船渡河时航程最
短，船头应指向什么方向？
分析：小船的实际航行速度v 等于船相对水的速度（即为船在静水中的速度v1）与河水速度v2的合速度，根据三角形定则可画出这三个速度间的关系，如图11中的实线所示。设船的实际航行速度v与河岸方向的夹角为α，航程为L
图 10
d
。 sin
由于水流的速度v2恒定，船相对水的速度v1大小恒定、而方向可改变，所以这个矢量三角形的顶点P可在以v2末端点为圆心、v1大小为半径的圆弧上移动，
1若v1＞v2 ，则α可取到900，此时的矢量三角形如图11中的虚 ○
线所示，合速度v的方向垂直河岸，小船可以垂直渡河，航程最短，L＝d；
2若v1＜v2，则α不可能取到900，此时矢量三角形如图12所 ○
示，图中虚线是以v2的末端点为圆心、v1大小为半径的圆弧，当v1与
2
图 11
2
图 12
v
圆弧相切时，α可取得最大值，易得：sin1 ，所以当船头的
v2
v
指向与上游河岸夹角1时航程最短，为
v2
dv1d
L
sinv2
（收稿日期：2004－ ）
“三角形”定则与力学中两种典型的动态变化问题
张 静
(江苏省淮阴中学 江苏 淮安 223002)
一、由“平行四边形”定则到“三角形”定则
互成角度的两个力F1、F2与它们的合力F之间满足“平行四边形”定则，如图1所示。这个平行四边形中有两个全F
F2 等的三角形，故可将“平行四边形”定则简化，
将F2、沿F1的方向平移F1长，得到图2，一个三角形，图2中，两个分力F1、F2首尾相接，合力F从总的起点指向总的末端点，这样这得到了力F1 的合成与分解的“三角形”定则：将两分力首尾图 2 图 1 相接，则从总的起点指向总的末端点的有向线段
表示这两个力的合力。关于“三角形”定则有以下几点说明：
1、三角形定则只是一种运算方法，各有向线段的起点并不是该力的作用点。但各有向线段的方向一定与力的方向相同，长度也和对应力的大小成比例。
2、与“平行四边形”定则一样，任何矢量的“和”及“差”运算都遵循“三角形”定则，因此也称之为矢量的“三角形”定则。
3、可将“三角形”定则推广为矢量的“多边形”定则。 求三个力F1、F2、F3的合力：先利用“三角形”定
F
F3
则求F1、F2的合力F12，再据“三角形”定则将F12与F3合成得合力F，如图3所示。可发现三个分力
F12 F1、F2、F3依次首尾相接，合力F从总的起点指向总
F
2 F2 的末端点。依此类推，N个力的合力，就是将这N
个力首尾相接，则从总的起点指向总的末端点的有向线段表示这N个力的合力。如图4所示，类似一F1 1
图 3 图 4
多边形。
4、如果几个力的首尾相接能构成一个封闭的多边形，则这几个力
F2
的合力为零。
5、一个重要结论：若一个物体在几个（三个以上）共点力作用下
F
3
平衡，则这几个力首尾相连可构成一个封闭的多边形，特别是，若三个
F1 共点力合力为零，则三个力依次首尾相连构成一个封闭的三角形，如图
图 5
5所示。
虽然“三角形”定则中是由“平行四边形”定则延伸出来的，但是它比“平行四边形”定则少了两条线，在运用的过程中会发现它非常简洁，同时也具有很强的灵活性，熟练地掌握它，会对解题有很大的帮助。下面通过力学中两类动态变化问题来体会它的好处。
二、力学中两种典型的动态变化问题
1、一个力恒定，另一力方向变化的情形
例1：如图6所示，一半圆形的钢梁下吊着一重为G的物体，且结点O正好位于钢梁的圆心处，现在将OA绳的端点A沿钢梁缓慢向上移动，则在移动过程中绳OA、OB中的拉力如何变化？
分析：分析结点O受力，受重物对它的拉力，大小等于物体的重力G，绳OB对它的拉力FB，绳OA对它的拉力FA，且这三个力作用下结点O处于平衡状态，所以这三个力的合力为零，这三个力首尾相连构成一个封闭的三角形，如左图所示，当A点缓慢向图 6 上移动的过程中，力FA
的方向由水平向左变成斜
图 7
P A
向右上方，而拉力FB的方向保持不变，也就对应于这个矢量三角形中的顶点P沿FB方向向上缓慢移动，很容易看出，这个过程中FB一直变小，FA先变小后变大，且当FA与FB垂直时（即绳OA与OB互相垂直时）最小。
2、一力恒定，另一力大小不变，但方向不确定的情形
例2：如图所示，轻绳悬挂一重为G的小球，现有一大小为F（F＜
G）的力作用于小球上，要使悬绳偏离竖直方向的角度α最大，则力F的
应沿什么方向？
分析：稳定时，小球受到的重力G、拉力F及绳拉力T三个力平衡，其合
力应为零。所以将这三个力依次首尾相连，得一矢量三角形，如图9所示，并且由于力F的大小一定，而方向不确定，可知这个三角形的顶点P，可在以重力G的末端点为圆心、力F大小为半径的圆弧上移动，根据图 8
GFF
即：sinsin sinsinG
F
所示当θ＝900时，α有最大值， ，此时，力T的方向与圆
G
F
弧相切，力F与水平方向的夹角也为
G
正弦定理，可得：
图 9
P
三角形定则不仅可用于力的合成、分解，它适用于一切矢量的合成与分解运算。用它来分析小船过河模型中渡河的最短航程问题也很方便。 例3：如图10所示，一小船在静水中的速度为v1，一条小河河宽为d，各处河水流速相同且水流速度恒为v2，要使小船渡河时航程最
短，船头应指向什么方向？
分析：小船的实际航行速度v 等于船相对水的速度（即为船在静水中的速度v1）与河水速度v2的合速度，根据三角形定则可画出这三个速度间的关系，如图11中的实线所示。设船的实际航行速度v与河岸方向的夹角为α，航程为L
图 10
d
。 sin
由于水流的速度v2恒定，船相对水的速度v1大小恒定、而方向可改变，所以这个矢量三角形的顶点P可在以v2末端点为圆心、v1大小为半径的圆弧上移动，
1若v1＞v2 ，则α可取到900，此时的矢量三角形如图11中的虚 ○
线所示，合速度v的方向垂直河岸，小船可以垂直渡河，航程最短，L＝d；
2若v1＜v2，则α不可能取到900，此时矢量三角形如图12所 ○
示，图中虚线是以v2的末端点为圆心、v1大小为半径的圆弧，当v1与
2
图 11
2
图 12
v
圆弧相切时，α可取得最大值，易得：sin1 ，所以当船头的
v2
v
指向与上游河岸夹角1时航程最短，为
v2
dv1d
L
sinv2
（收稿日期：2004－ ）