绝对值的意义及应用
一. 绝对值的实质：
正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即
也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：
一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为
( )
A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b
(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)
解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0． 所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．
三. 绝对值的性质：
1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，
求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)
根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零， ∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2
(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；
(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝4
例4. 若|a-2|＝2-a，求a的取值范围。
解：根据已知条件等式的结构特征，我们把a-2看作一个整体，那么原式变形为|a-2|＝-(a-2)，又由绝对值概念知a-2≤0，故a的取值范围是a≤2
例7. 已知|a|＝3，|b|＝2，求a+b的值。
解：∵|a|＝3，|b|＝2，
∴ a＝3或-3，b＝2或-2
因此a，b的取值应分四种情况：
a＝3，b＝2或a＝3，b＝-2或a＝-3，b＝2或a＝-3，b＝-2，
从而易求a+b的值分别为5，1，-1，-5
采用零点分区间法，求出绝对值的零点，把数轴分成相应的几个区间进行讨论(所谓绝对值的零点就是使绝对值符号内的代数式等于零的字母所取值在数轴上所对应的点)。
例8. 化简：|1-3x|+|1+2x|．
解：由13x0和12x0得两个零点：x
11和x，这两个点把数轴分成32
三部分：
（1）当x1时，13x0，12x0 2
原式(13x)[(12x)]5x;
（2）当11x时，13x0，12x0 23
原式(13x)(12x)2x；
（3）当x1时，13x0，12x0， 3
∴原式＝-(1-3x)+(1+2x)＝5x．
因为|x|的几何意义是表示数轴上点x到原点的距离，因此|x-a|的几何意义是表示点 x到点 a的距离．由此可知，方程 |x-a|＝k的解是x＝a+k或 x＝a-k(k≥0)
例9. |x-2|+|x-1|+|x-3|的最小值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解：设A(1)，B(2)，C(3)，P(x)，如图所示，求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值，即是在数轴上求一点P，使AP+BP+PC为最小，显然，当P与B重合，即x＝2时，其和有最小值2，故应选
(B)
例14. 化简|x+1|+|x-2|
令x +1＝0，x-2＝0，得x＝-1与x＝2，
故可分段定正负再去符号．
(1)当x＜-1时，
原式＝-(x+1)-(x-2)＝-2x+1；
(2)当-1≤x＜2时，
原式＝(x+1)-(x-2)＝3；
(3)当x≥2时，
原式＝x+1+(x-2)＝
2x-1
说明：例14中没有给定字母任何条件，这种问题应先求零点，然后分区间定正负再去绝对值符号，这种方法可归纳为：“求零点，分区间，定性质，去符号”。
绝对值的意义及应用
一. 绝对值的实质：
正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即
也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：
一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为
( )
A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b
(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)
解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0． 所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．
三. 绝对值的性质：
1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，
求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)
根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零， ∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2
(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；
(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝4
例4. 若|a-2|＝2-a，求a的取值范围。
解：根据已知条件等式的结构特征，我们把a-2看作一个整体，那么原式变形为|a-2|＝-(a-2)，又由绝对值概念知a-2≤0，故a的取值范围是a≤2
例7. 已知|a|＝3，|b|＝2，求a+b的值。
解：∵|a|＝3，|b|＝2，
∴ a＝3或-3，b＝2或-2
因此a，b的取值应分四种情况：
a＝3，b＝2或a＝3，b＝-2或a＝-3，b＝2或a＝-3，b＝-2，
从而易求a+b的值分别为5，1，-1，-5
采用零点分区间法，求出绝对值的零点，把数轴分成相应的几个区间进行讨论(所谓绝对值的零点就是使绝对值符号内的代数式等于零的字母所取值在数轴上所对应的点)。
例8. 化简：|1-3x|+|1+2x|．
解：由13x0和12x0得两个零点：x
11和x，这两个点把数轴分成32
三部分：
（1）当x1时，13x0，12x0 2
原式(13x)[(12x)]5x;
（2）当11x时，13x0，12x0 23
原式(13x)(12x)2x；
（3）当x1时，13x0，12x0， 3
∴原式＝-(1-3x)+(1+2x)＝5x．
因为|x|的几何意义是表示数轴上点x到原点的距离，因此|x-a|的几何意义是表示点 x到点 a的距离．由此可知，方程 |x-a|＝k的解是x＝a+k或 x＝a-k(k≥0)
例9. |x-2|+|x-1|+|x-3|的最小值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解：设A(1)，B(2)，C(3)，P(x)，如图所示，求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值，即是在数轴上求一点P，使AP+BP+PC为最小，显然，当P与B重合，即x＝2时，其和有最小值2，故应选
(B)
例14. 化简|x+1|+|x-2|
令x +1＝0，x-2＝0，得x＝-1与x＝2，
故可分段定正负再去符号．
(1)当x＜-1时，
原式＝-(x+1)-(x-2)＝-2x+1；
(2)当-1≤x＜2时，
原式＝(x+1)-(x-2)＝3；
(3)当x≥2时，
原式＝x+1+(x-2)＝
2x-1
说明：例14中没有给定字母任何条件，这种问题应先求零点，然后分区间定正负再去绝对值符号，这种方法可归纳为：“求零点，分区间，定性质，去符号”。