空间解析几何与向量代数
1. 设α, β为两个三维向量，则下列等式中正确的是( ).
2
|α|α=αA ．
2
α⋅(β⋅β) =-αβ B ．
C ．α⋅β=β⋅α D ．α⨯β=β⨯α
2. α, β为两个三维向量，则下列等式中正确的是( ).
A . |α|α=α2
B. α⋅(β⋅β) =-αβ2C. α⋅β=β⋅αD. α⨯β=β⨯α
3.
|a a =2i +2j +k 已知向量，求|及其方向余弦cos α，cos β
，cos γ .
4．与向量α=(1, 2, 3) 平行的单位向量是
5．设向量α={λ,1,5}，β={2,10,50}，且α//β，则λ= ；若α⊥β，则λ=____ . 6. 将xoz 坐标平面上的圆x
2
+2z 2=9分别绕x 轴和z 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的
方程分别为 7．方程
222
z =x 2+y 2，2x 2+2y 2=1，z =5(x +y )，
x 2y 2x 2y 2z 2
+=z +2-2=1224，a a c ，
x 2y 2z 2
++=1a 2b 2c 2，x +y -z +1=0 在空间分别表示什么面？其中的旋转曲面是怎样形
成的？
222
⎧⎪2x +y +z =6, ⎨2
x -y 2+z 2=0. ⎪⎩8. 求曲线在xoy 平面上的投影曲线方程，并画出投影曲线的图形.
9．过点
(1,
与平面
x +2y +2z -1
0 =
平行的平面为 ；
点(1,2,1) 到平面x +2y +2z -10=0 的距离为________________ . ⎧10. 用对称式方程及参数方程表示直线
⎨
x -y +z -1=0,
⎩2x +y +z -4=0.
⎧x +2z =11. 求过点（1,2,4）且与直线⎨
1，⎩y -3z =2. 垂直的平面方程.
12. 求过点（0,2,4）且与两平面x +2z =1和y -3z =2 平行的直线方程.
多元函数微分学
z =ln(y -x ) +
1
．函数
的定义域为（ ）.
A ．
D ={(x , y ) |y -x >0, x 2+y 2
B ．
D ={(x , y ) |y -x >0, x ≥0, x 2+y 2
D ={(x , y ) |x ≥0, x 2+y 20, x ≥0}
2．考虑z =
f (x , y ) 的下面四条性质：
（1）f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 连续； （2）f x (x , y ), f y (x , y ) 在点(x 0, y 0) 连续； （3）f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 可微分； （4）f x (x 0, y 0), f y (x 0, y 0) 存在．
若用“P ⇒Q ”表示可由性质P 推出性质Q ，则下列四个选项中正确的是( A ．(2)⇒(3)⇒(1) B ．(3)⇒(2)⇒(1) C ．(3)⇒(4)⇒(1) D ．(3)⇒(1)⇒(4)
方程
) .
3．设
f (x , y , z ) =x 3-xy 2-z , p 0(1,1,0), 则f (x , y , z ) 在p 0处增加最快的方向为
( ) .
A ．沿向量n =2i +2j +k
C ．沿向量n =2i +2j -k
B ．沿向量n =2i -2j +k
D ．沿向量n =2i -2j -k
4. 设函数z =
f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 具有偏导数，则f x (x 0, y 0) =0, f y (x 0, y 0) =0是
函数在(x 0, y 0) 取得极值的（ ）
A ．充要条件 B ．充分条件 C ．必要条件 D．既不充分又不必要条件 5．设z =
f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，
又f x (x 0, y 0) =0, ，f y (x 0, y 0) =0， 令 f xx (x 0, y 0) =A , f xy (x 0, y 0) =B ,
f yy (x 0, y 0) =C
，则 ( ) .
B ．
AC -B 2>0且A
A ．C ．
AC -B 2>0且A >0时f (x 0, y 0)是极大值AC -B 2
D ．
AC -B 20时f (x 0, y 0)是极大值
6.
函数7. 已知函数
的定义域是
x
f (x , y ) =x 2+y 2-xy tan , 则f (tx , ty ) =
y sin(xy )
=
(x , y ) →(2,0)y lim lim
8．二重极限
1-xy
=
(x , y ) →(0,1)x 2+y 2
lim 1-xy
(x , y ) →(0,1)x 2+y 2lim
(x , y ) → =___________
9．设与l
同方向的单位向量为向导数
∂z
=∂l (1,0)
，那么函数z =xe 2y 在点P (1,0)处沿l 方向的方
.
∂z ∂z
,
z =f (x , y ) (x , y ) ∂x 10．函数在点偏导数∂y
都存在是函数在点(x , y ) 可微的________条
件.
22r =f (t ) =(t +1,4t -3,2t -6t ) , t ∈R , 则Γ在与t 0=2相应的点Γ11．设空间曲线的向量方程为
处的单位切向量为__________________ 12．函数
f (x , y ) =4(x -y ) -x 2-y 2的驻点为________________
13. 14.
⎧x 2+y 2
⎪z =
4⎨
⎪y =4曲线⎩
在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角α=22
z =x y +y , 则它的全微分dz =设二元函数
15. 设
z =x y (x >0, x ≠1), 则
∂z
=∂x
16. 二元函数 17. 设
z =arctan
⎧xy
,(x , y ) ≠0⎪
f (x , y ) =⎨x 2+y 2
⎪0,(x , y ) =0⎩在(0,0)点处是否连续？偏导数是否存？
u
v
，而u =x +y , v =x -y ，求dz .
22
z =u +v , 而 u =x +y , v =x -y ，求dz . 18. 设
dz
x -2y 3
z =e , x =sin t , y =t 19. 设，求dt .
x z ∂z =ln
y 确定的隐函数，求∂x 20. 设z =z (x , y ) 是由方程z
∂z
及∂y
.
21. 22. 设
y
z =f (u , x , y ), u =xe 23. 设，其中
⎧x 2+y 2+z 2=3x dy dz
⎨, 2x -3y +5z -4=0y =y (x ), z =z (x ) 设由 ⎩确定隐函数，求dx dx
z =f (xy , 2x +y 2)
，其中
∂2z ∂2z
,
f 具有二阶连续偏导数，求∂x 2∂x ∂y .
∂2z ∂2z
,
f 具有连续的二阶偏导数，求∂x 2∂x ∂y .
4. 设z =xy +xF (u ) , 而
222x +y +z =14在点（1,2,3）处的切平面及法线方程． 25. 求球面
u =
∂z ∂z y x +y =z +xy . , F (u )
x 为可导函数，证明 ∂x ∂y
26. 求螺旋线 x =a cos θ, y =a sin θ, z =b θ在点(a ,0,0) 处的切线及法平面方程．
z e 27. 求曲面 -z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程．
28. 求表面积为a 而体积为最大的长方体体积（利用拉格朗日乘数法）.
29. 要建造一个容积为定数A 的长方体无盖水池，已知底面的单位面积造价是侧面单
位面积造价的两倍，问应如何设计水池的尺寸，方可使它的造价最小．
30. 设函数u (x , y , z ), v (x , y , z )的各个偏导数都存在，证明梯度的运算法则：
grad (u ±v )=gradu ±gradv
2
， g r a (d )u =v
v g +r a d u
. u g r a d v
二重积分 1．设有界闭区域( ) .
A ．
D =
{(x , y )0≤x ≤1,1≤y ≤2}，则二重积分I =⎰⎰(x +y +1) d σ的取值范围是
D
2≤I ≤6 B ． 1≤I ≤2 C ．2≤I ≤4 D ．2≤I ≤8
2. 比较二重积分的大小：
I 1=⎰⎰ln(x +y ) d σ, I 2=⎰⎰(ln(x +y )) 2d σ
D
D
，其中
D ={(x , y ) |3≤x ≤5,0≤y ≤1}，下列说法正确的是( )
A. I 1≥I 2 B. I 1≤I 2 C. I 1=I 2 D. 无法确定 3. 设
I 1=⎰⎰(x +y ) 2d σ
D
，
I 2=⎰⎰(x +y ) 3d σ
D
, 其中D 是三角形闭区域，三顶点分
别为(1,0),(1,1),(2,0) ，则I 1____I 2 (比较大小).
4. 设有平面区域D ={(x , y ) -a ≤x ≤a , x ≤y ≤a },D 1={(x , y ) 0≤x ≤a , x ≤y ≤a },
则有D A ．
D 1
⎰⎰(xy +cos x sin y ) dxdy
为 ( )
2⎰⎰xydxdy
D 1
2⎰⎰cos x sin ydxdy
1
x
B ． C ．
4⎰⎰(xy +cos x sin y ) dxdy
D 1
D ． 0
5．二次积分⎰0
dx ⎰2f (x , y )dx
x
改换次序后为 .
1
6
．将二次积分
I =⎰dy ⎰
-1
y +10
f (x , y ) dx +⎰dy ⎰
f (x , y ) dx
交换积分次序，得__________
7．设平面区域D
x =1, y =0, y =
x 由直线围成，则二重积分D
在极坐标系中
化成的二次积分是 ( ) .
π
A ．⎰ 8．
把
4
d θ⎰
sec θ
π
r dr
2
B ．⎰
40
d θ⎰r dr
1
π
2
C ．⎰
40
d θ⎰
sec θ
π
rdr
D ． ⎰
40
d θ⎰
sec θ
rdr
I =⎰dy ⎰
a
x 2+y 2) dx
化为极坐标形式的二次积分，得_____ _____ .
9．二重积分D
⎰⎰2dxdy =____,
其中积分区域D 是由x 轴，y 轴与直线x +y =1所围成.
2d σ=
10．设平面区域D
⎰⎰x =0, y =0, y =x -2由直线围成，则二重积分D
.
11．设区域12. 设
D =(x , y ) x ≤1, y ≤1
{
}，则二重积分
D
22x ⎰⎰y dxdy =D
.
D =(x , y ) x ≤1, y ≤1
{
}，计算二重积分
2
2xy ⎰⎰dxdy =
13. 计算二重积分D
⎰⎰(3xy
+2x 2y )d σ
，其中D 由直线y =0, y =1+x , y =1-x 围成 .
14. 利用极坐标计算二重积分域.
15. 利用极坐标计算D
x
⎰⎰e D
2
+y 2
d σ
22
，其中D 是由圆周x +y =4 所围成的闭区
⎰⎰arctan
y d σ, 2222x x +y =4x +y =1 D 其中是由圆周，
及直线y =0, y =x
所围成的在第一象限内的闭区域.
16. 利用二重积分计算由平面x =0, y =0, x +y =1所围成的柱体被平面z =0和抛物
x 2+y 2=6-z 截得的立体的体积.
17. 计算由平面x =0, y =0, x +y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体的体积.
18.
计算二重积分区域。 19、计算
20、画出积分区域，求D 闭区域.
⎰⎰D
σ
，其中D
2
y =x y =是由两条抛物线
所围成的平面闭
⎰⎰xydxdy
D
2
y D ，其中是由抛物线=x 及直线y =x -2所围成的闭区域.
⎰⎰(x 2+y 2-x ) d σ
, 其中D 是由直线y =2, y =x 及y =2x 轴所围成的
空间解析几何与向量代数
1. 设α, β为两个三维向量，则下列等式中正确的是( ).
2
|α|α=αA ．
2
α⋅(β⋅β) =-αβ B ．
C ．α⋅β=β⋅α D ．α⨯β=β⨯α
2. α, β为两个三维向量，则下列等式中正确的是( ).
A . |α|α=α2
B. α⋅(β⋅β) =-αβ2C. α⋅β=β⋅αD. α⨯β=β⨯α
3.
|a a =2i +2j +k 已知向量，求|及其方向余弦cos α，cos β
，cos γ .
4．与向量α=(1, 2, 3) 平行的单位向量是
5．设向量α={λ,1,5}，β={2,10,50}，且α//β，则λ= ；若α⊥β，则λ=____ . 6. 将xoz 坐标平面上的圆x
2
+2z 2=9分别绕x 轴和z 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的
方程分别为 7．方程
222
z =x 2+y 2，2x 2+2y 2=1，z =5(x +y )，
x 2y 2x 2y 2z 2
+=z +2-2=1224，a a c ，
x 2y 2z 2
++=1a 2b 2c 2，x +y -z +1=0 在空间分别表示什么面？其中的旋转曲面是怎样形
成的？
222
⎧⎪2x +y +z =6, ⎨2
x -y 2+z 2=0. ⎪⎩8. 求曲线在xoy 平面上的投影曲线方程，并画出投影曲线的图形.
9．过点
(1,
与平面
x +2y +2z -1
0 =
平行的平面为 ；
点(1,2,1) 到平面x +2y +2z -10=0 的距离为________________ . ⎧10. 用对称式方程及参数方程表示直线
⎨
x -y +z -1=0,
⎩2x +y +z -4=0.
⎧x +2z =11. 求过点（1,2,4）且与直线⎨
1，⎩y -3z =2. 垂直的平面方程.
12. 求过点（0,2,4）且与两平面x +2z =1和y -3z =2 平行的直线方程.
多元函数微分学
z =ln(y -x ) +
1
．函数
的定义域为（ ）.
A ．
D ={(x , y ) |y -x >0, x 2+y 2
B ．
D ={(x , y ) |y -x >0, x ≥0, x 2+y 2
D ={(x , y ) |x ≥0, x 2+y 20, x ≥0}
2．考虑z =
f (x , y ) 的下面四条性质：
（1）f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 连续； （2）f x (x , y ), f y (x , y ) 在点(x 0, y 0) 连续； （3）f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 可微分； （4）f x (x 0, y 0), f y (x 0, y 0) 存在．
若用“P ⇒Q ”表示可由性质P 推出性质Q ，则下列四个选项中正确的是( A ．(2)⇒(3)⇒(1) B ．(3)⇒(2)⇒(1) C ．(3)⇒(4)⇒(1) D ．(3)⇒(1)⇒(4)
方程
) .
3．设
f (x , y , z ) =x 3-xy 2-z , p 0(1,1,0), 则f (x , y , z ) 在p 0处增加最快的方向为
( ) .
A ．沿向量n =2i +2j +k
C ．沿向量n =2i +2j -k
B ．沿向量n =2i -2j +k
D ．沿向量n =2i -2j -k
4. 设函数z =
f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 具有偏导数，则f x (x 0, y 0) =0, f y (x 0, y 0) =0是
函数在(x 0, y 0) 取得极值的（ ）
A ．充要条件 B ．充分条件 C ．必要条件 D．既不充分又不必要条件 5．设z =
f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，
又f x (x 0, y 0) =0, ，f y (x 0, y 0) =0， 令 f xx (x 0, y 0) =A , f xy (x 0, y 0) =B ,
f yy (x 0, y 0) =C
，则 ( ) .
B ．
AC -B 2>0且A
A ．C ．
AC -B 2>0且A >0时f (x 0, y 0)是极大值AC -B 2
D ．
AC -B 20时f (x 0, y 0)是极大值
6.
函数7. 已知函数
的定义域是
x
f (x , y ) =x 2+y 2-xy tan , 则f (tx , ty ) =
y sin(xy )
=
(x , y ) →(2,0)y lim lim
8．二重极限
1-xy
=
(x , y ) →(0,1)x 2+y 2
lim 1-xy
(x , y ) →(0,1)x 2+y 2lim
(x , y ) → =___________
9．设与l
同方向的单位向量为向导数
∂z
=∂l (1,0)
，那么函数z =xe 2y 在点P (1,0)处沿l 方向的方
.
∂z ∂z
,
z =f (x , y ) (x , y ) ∂x 10．函数在点偏导数∂y
都存在是函数在点(x , y ) 可微的________条
件.
22r =f (t ) =(t +1,4t -3,2t -6t ) , t ∈R , 则Γ在与t 0=2相应的点Γ11．设空间曲线的向量方程为
处的单位切向量为__________________ 12．函数
f (x , y ) =4(x -y ) -x 2-y 2的驻点为________________
13. 14.
⎧x 2+y 2
⎪z =
4⎨
⎪y =4曲线⎩
在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角α=22
z =x y +y , 则它的全微分dz =设二元函数
15. 设
z =x y (x >0, x ≠1), 则
∂z
=∂x
16. 二元函数 17. 设
z =arctan
⎧xy
,(x , y ) ≠0⎪
f (x , y ) =⎨x 2+y 2
⎪0,(x , y ) =0⎩在(0,0)点处是否连续？偏导数是否存？
u
v
，而u =x +y , v =x -y ，求dz .
22
z =u +v , 而 u =x +y , v =x -y ，求dz . 18. 设
dz
x -2y 3
z =e , x =sin t , y =t 19. 设，求dt .
x z ∂z =ln
y 确定的隐函数，求∂x 20. 设z =z (x , y ) 是由方程z
∂z
及∂y
.
21. 22. 设
y
z =f (u , x , y ), u =xe 23. 设，其中
⎧x 2+y 2+z 2=3x dy dz
⎨, 2x -3y +5z -4=0y =y (x ), z =z (x ) 设由 ⎩确定隐函数，求dx dx
z =f (xy , 2x +y 2)
，其中
∂2z ∂2z
,
f 具有二阶连续偏导数，求∂x 2∂x ∂y .
∂2z ∂2z
,
f 具有连续的二阶偏导数，求∂x 2∂x ∂y .
4. 设z =xy +xF (u ) , 而
222x +y +z =14在点（1,2,3）处的切平面及法线方程． 25. 求球面
u =
∂z ∂z y x +y =z +xy . , F (u )
x 为可导函数，证明 ∂x ∂y
26. 求螺旋线 x =a cos θ, y =a sin θ, z =b θ在点(a ,0,0) 处的切线及法平面方程．
z e 27. 求曲面 -z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程．
28. 求表面积为a 而体积为最大的长方体体积（利用拉格朗日乘数法）.
29. 要建造一个容积为定数A 的长方体无盖水池，已知底面的单位面积造价是侧面单
位面积造价的两倍，问应如何设计水池的尺寸，方可使它的造价最小．
30. 设函数u (x , y , z ), v (x , y , z )的各个偏导数都存在，证明梯度的运算法则：
grad (u ±v )=gradu ±gradv
2
， g r a (d )u =v
v g +r a d u
. u g r a d v
二重积分 1．设有界闭区域( ) .
A ．
D =
{(x , y )0≤x ≤1,1≤y ≤2}，则二重积分I =⎰⎰(x +y +1) d σ的取值范围是
D
2≤I ≤6 B ． 1≤I ≤2 C ．2≤I ≤4 D ．2≤I ≤8
2. 比较二重积分的大小：
I 1=⎰⎰ln(x +y ) d σ, I 2=⎰⎰(ln(x +y )) 2d σ
D
D
，其中
D ={(x , y ) |3≤x ≤5,0≤y ≤1}，下列说法正确的是( )
A. I 1≥I 2 B. I 1≤I 2 C. I 1=I 2 D. 无法确定 3. 设
I 1=⎰⎰(x +y ) 2d σ
D
，
I 2=⎰⎰(x +y ) 3d σ
D
, 其中D 是三角形闭区域，三顶点分
别为(1,0),(1,1),(2,0) ，则I 1____I 2 (比较大小).
4. 设有平面区域D ={(x , y ) -a ≤x ≤a , x ≤y ≤a },D 1={(x , y ) 0≤x ≤a , x ≤y ≤a },
则有D A ．
D 1
⎰⎰(xy +cos x sin y ) dxdy
为 ( )
2⎰⎰xydxdy
D 1
2⎰⎰cos x sin ydxdy
1
x
B ． C ．
4⎰⎰(xy +cos x sin y ) dxdy
D 1
D ． 0
5．二次积分⎰0
dx ⎰2f (x , y )dx
x
改换次序后为 .
1
6
．将二次积分
I =⎰dy ⎰
-1
y +10
f (x , y ) dx +⎰dy ⎰
f (x , y ) dx
交换积分次序，得__________
7．设平面区域D
x =1, y =0, y =
x 由直线围成，则二重积分D
在极坐标系中
化成的二次积分是 ( ) .
π
A ．⎰ 8．
把
4
d θ⎰
sec θ
π
r dr
2
B ．⎰
40
d θ⎰r dr
1
π
2
C ．⎰
40
d θ⎰
sec θ
π
rdr
D ． ⎰
40
d θ⎰
sec θ
rdr
I =⎰dy ⎰
a
x 2+y 2) dx
化为极坐标形式的二次积分，得_____ _____ .
9．二重积分D
⎰⎰2dxdy =____,
其中积分区域D 是由x 轴，y 轴与直线x +y =1所围成.
2d σ=
10．设平面区域D
⎰⎰x =0, y =0, y =x -2由直线围成，则二重积分D
.
11．设区域12. 设
D =(x , y ) x ≤1, y ≤1
{
}，则二重积分
D
22x ⎰⎰y dxdy =D
.
D =(x , y ) x ≤1, y ≤1
{
}，计算二重积分
2
2xy ⎰⎰dxdy =
13. 计算二重积分D
⎰⎰(3xy
+2x 2y )d σ
，其中D 由直线y =0, y =1+x , y =1-x 围成 .
14. 利用极坐标计算二重积分域.
15. 利用极坐标计算D
x
⎰⎰e D
2
+y 2
d σ
22
，其中D 是由圆周x +y =4 所围成的闭区
⎰⎰arctan
y d σ, 2222x x +y =4x +y =1 D 其中是由圆周，
及直线y =0, y =x
所围成的在第一象限内的闭区域.
16. 利用二重积分计算由平面x =0, y =0, x +y =1所围成的柱体被平面z =0和抛物
x 2+y 2=6-z 截得的立体的体积.
17. 计算由平面x =0, y =0, x +y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体的体积.
18.
计算二重积分区域。 19、计算
20、画出积分区域，求D 闭区域.
⎰⎰D
σ
，其中D
2
y =x y =是由两条抛物线
所围成的平面闭
⎰⎰xydxdy
D
2
y D ，其中是由抛物线=x 及直线y =x -2所围成的闭区域.
⎰⎰(x 2+y 2-x ) d σ
, 其中D 是由直线y =2, y =x 及y =2x 轴所围成的