不定积分与定积分的计算
1. 不定积分
1.1不定积分的概念
原函数：若在区间
上F '(x ) =f (x ) ，则称F (x ) 是
原函数的个数: 若
都是
数，则必有
可见，若，则是
的一个原函数. ， 在区间
上的一个原函数, 则对
也是在区间
上的原函数；若
. 在区间
上的原函的全体原函数所成集合为{│Ｒ}.
原函数的存在性: 连续函数必有原函数.
不定积分：的带有任意常数项的原函数称为的不定积分。记作
⎰f (x ) dx
一个重要的原函数：若f (x ) 在区间上连续，a ∈I ，则⎰f (
t ) dt 是的一个a x
原函数。
1.2不定积分的计算
(1)裂项积分法
x 4+1x 4-1+22x 3
2dx =⎰(x -1+2) dx =-x +2arctan x +C 。例1：⎰2=⎰ 23x +1x +1x +1
dx cos 2x +sin 2x 22==(cscx +sec x ) dx 例2：⎰2222⎰⎰cos x sin x cos x sin x
dx (x 2+1) -x 2dx 1=⎰22dx =dx -=-例3：⎰22⎰x 2⎰1+x 2x -arctan x +C x (x +1) x (x +1)
(2)第一换元积分法
有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出
积分。例如，求不定积分⎰cos 2xdx ，如果凑上一个常数因子2，使成为
⎰cos 2xdx =
(3)
例4：11cos x ∙2xdx =cos 2xd (2x )=1sin 2x +C ⎰⎰222=2=2
1+
=C
例5
：=-⎛1⎫ ⎪=-
⎝x ⎭21=x 1-2⎡⎛1⎫⎢ ⎪⎣⎝x ⎭⎢2122⎤1⎡⎛1⎫-⎢1+ ⎪⎥=⎰
2⎢⎥⎣⎝x ⎭⎦⎤⎡⎛1⎫2⎤⎥d ⎢1+ ⎪⎥⎥⎢⎦⎣⎝x ⎭⎥⎦-12 1⎡⎛1⎫=-⋅2⎢1+ ⎪2⎢⎣⎝x ⎭⎤⎥+C =C ⎥⎦
例6： ⎰x t =x x arctan t dx =2⎰d x 2⎰dt 21+x 1+t x (1+x )
=2⎰arctan t d (arctant ) =(arctgt ) 2+c =(arctg x ) 2+c .
(3)第二换元积分法
第二换元积分法用于解决被积函数带根式的不定积分，代换方法如下： 被积函数包含ax +b , 处理方法是令ax +b =t , x =1n (t -b ) ; a
被积函数包含a 2-x 2(a >0) , 处理方法是令x =sin t 或x =cos t ; 被积函数包含a 2+x 2(a >0) , 处理方法是令x =tan t ;
被积函数包含x 2-a 2(a >0) , 处理方法是令x =sec t ;
例7
：计算解：令x =a sin t , -(a >0) πx , 则t =arcsin , -a ≤x ≤a ，且
2a π2≤t ≤
=a cos t =a cos t , dx =a cos tdt , 从而
a 2
⎰a cos t . a cos tdt =a ⎰cos tdt =2=22⎰(1+cos 2t )dt
a 2⎛1a 2a 2⎫ t +sin 2t ⎪+C =t +sin t cos t +C 222⎭ =⎝2
由图2.1知
x sin t =a
所以cos t =a
a 2x a 2x +
C 2arcsin a +2⋅a a ==
a 2x arcsin +C 2a
例8:⎰t 2dt dt 6⎰=-6⎰(1+t ) dt +6⎰= = 21-t 1-t x -x dx t =61⎛⎫ =-6 x +x +ln -x ⎪+c . 2⎝⎭
(4)分部积分法
当积分⎰f (x ) dg (x ) 不好计算, 但⎰g (x ) df (x ) 容易计算时, 使用分部积分公式: ⎰f (x ) dg (x ) =f (x ) g (x ) -⎰g (x ) df (x ) . 常见能使用分部积分法的类型:
(1)⎰x n e x dx , ⎰x n sin xdx , ⎰x n cos xdx 等, 方法是把e x , sin x , cos x 移到d 后面,
分部积分的目的是降低x 的次数
(2)⎰x n ln m xdx , ⎰x n arcsin m xdx , ⎰x n arctan m xdx 等, 方法是把x n 移到d 后面,
分部几分的目的是化去ln x , arcsin x , arctan x .
例9:⎰x 2e x dx =⎰x 2de x =x 2e x -⎰e x ⋅2xdx =
x 2e x -2⎰xdx =x 2e x -2(xe x -⎰e x dx ) =e x (x 2-2x +2) +C
ln x 11⎛1⎫dx =ln xd -=-ln x +d ln x = ⎪例10:⎰x 2⎰⎰x x ⎝x ⎭
1dx 1-ln x +⎰2=-(lnx +1) +C x x x
例11: ⎰(1+6x 2) arctan xdx =⎰arctan xd (x +2x 3) =
x +2x 3(x +2x )arctan x -⎰1+x 2dx = 3
x 2x -(x +2x )arctan x -⎰⎛ 1+x ⎝3⎫dx =2⎪⎭
(x +2x )arctan x -x 321+ln (1+x 2)+C 2
例12: ⎰cos 2xdx =⎰cos xd sin x =cos x sin x +⎰sin 2xdx =
=cos x sin x +x -⎰cos 2xdx ，
解得 ⎰cos 2xdx =x 1+sin 2x +c . 24
例13: ⎰sec 3xdx =⎰sec x ⋅sec 2xdx =⎰sec xdtgx =sec xtgx -⎰tgx sec xtgxdx
=sec xtgx -⎰(sec2x -1) sec xdx =sec xtgx -⎰sec 3xdx +⎰sec xdx =
=sec xtgx +ln |sec x +tgx |-⎰sec 3xdx ,
解得 ⎰sec 3xdx =11sec xtgx +ln |sec x +tgx |+c . 22
以上两例所示的通过分部积分与解方程的方法求解不定积分是一种技巧 例14 设函数f (x ) 的一个原函数是sin x , 求⎰x f '(x ) dx 。 x
'x cos x -sin x ⎛sin x ⎫=解： f (x ) = ⎪2x ⎝x ⎭
⎰x f '(x ) dx =⎰xd (f (x )) =xf (x ) -⎰f (x ) dx =x
=cos x -2sin x +c x x cos x -sin x sin x -+c 2x x
[评]:本题主要考察原函数和不定积分的概念以及分部积分法.
例15 计算⎰xe arctan x
(1+x ) 23
[说明]涉及到arcsin x , arctan x 的积分一般有两种处理方法.
(1)用分部积分法; (2)作变量替换令arcsin x =t 或arctan x =t
⎛11e arctan x 12arctan x =⎰d (1+x ) =-⋅2⎰e d 解法一: ⎰33 22(1+x 2) 22(1+x 2) 2⎝+x xe arctan x ⎫⎪ ⎪⎭
=-1+x 2
1
+x 2e arctan x +⎰1+x 2e arctan x (1+x ) 2e arctan x 1 21+x =-e arctan x +⎰3
……
评:分部积分后, 后面的积分计算更加困难. 为此我们考虑变量替换法. 解法二:令arctan x =y , x =tan y
tan y ⋅e y ⋅sec 2y 1y y ==sin ye dy =(siny -cos y ) +C ⎰(1+x 2) 3⎰⎰2sec 3y xe arctan x
=1arctan x ⎛x 1 e - 22+x 2⎝+x ⎫⎪+C ⎪⎭
评:变量替换后几分的难度大大降低, ⎰sin ye y dy 是每种教材上都有的积分.
2. 定积分
定积分的计算主要用牛顿莱布尼兹公式通过不定积分计算.
(1)基本积分法
3
0例16 计算⎰dx (1+5x ) +x 22
解： 令x =tan t ，则
3
3
0⎰dx (1+5x ) +x
π22π=⎰60sec 2tdt cos tdt 6= (1+5tan 2t ) sec t ⎰0cos 2t +5sin 2t π
6
0π1d (2sin t ) 1=⎰6=arctan(2sin t ) 2021+(2sin t ) 2=π
8
(2)分割区域处理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小值函数 例17 计算⎰x x -2dx 03
解：⎰x x -2=⎰x (2-x ) dx +⎰x (x -2) dx =0023238 3
例17 计算⎰max{x , 1-x }dx 0
11
2
013解：⎰max{x , 1-x }dx =⎰(1-x ) dx +⎰1x dx =024 5
(3)利用函数的奇偶性化简定积分
a
-a ⎰
1⎧⎪0a f (x ) dx =⎨f (x ) dx ⎪⎩⎰0当f (x ) 是奇函数当f (x ) 是偶函数 例18 计算⎰(x ++x 2) 2dx -1
解：⎰(x ++x 2) 2dx =⎰1dx +2⎰-1-1111-1x +x 2dx =2+0=2
例19 计算⎰(x +x ) e -x dx -11
解：⎰(x +x ) e -x dx =⎰xe -x dx +⎰x e -x dx -1-1-1111
=0+2⎰xe -x dx =2-4e -1 01
x 2e sin x 例20 计算⎰4π x -1+e 4π
分析：被积函数即不是奇函数，又不是偶函数，无法利用函数的奇偶性化简。但是积分区间是关于原点对称的，可考虑使用化简公式的推导方法。 x 20e sin x e x sin 2x e x sin 2x 4解：⎰πdx =⎰+⎰π x x x 0--1+e 1+e 1+e 444ππ
令x =-y ，
-y 0e e x sin 2x sin 2(-y ) e -y sin 2y sin 2y sin 2x 444⎰-π
41+e x =⎰π
41+e -y (-y ) =⎰01+e -y =⎰01+e y =⎰01+e x 0πππ
所以
x 2x 2x 20e sin x e sin x e sin x π444sin 2xdx ==dx +=-1 ⎰-π
41+e x ⎰01+e x ⎰-π
41+e x ⎰08πππ
(4)一类定积分问题
例21 已知f (x ) 是连续函数，f (x ) =3x 2-2⎰f (x ) dx ，求f (x ) 01
分析：本题的解题关键是理解定积分是一个固定的常数。 解：令⎰f (x ) dx =A , 则f (x ) =3x 2-2A ， 01
A =⎰f (x ) dx =⎰(3x 2-2A ) dx =1-2A 所以A =111 00
f (x ) =3x 2-2
3
3
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不定积分与定积分的计算
1. 不定积分
1.1不定积分的概念
原函数：若在区间
上F '(x ) =f (x ) ，则称F (x ) 是
原函数的个数: 若
都是
数，则必有
可见，若，则是
的一个原函数. ， 在区间
上的一个原函数, 则对
也是在区间
上的原函数；若
. 在区间
上的原函的全体原函数所成集合为{│Ｒ}.
原函数的存在性: 连续函数必有原函数.
不定积分：的带有任意常数项的原函数称为的不定积分。记作
⎰f (x ) dx
一个重要的原函数：若f (x ) 在区间上连续，a ∈I ，则⎰f (
t ) dt 是的一个a x
原函数。
1.2不定积分的计算
(1)裂项积分法
x 4+1x 4-1+22x 3
2dx =⎰(x -1+2) dx =-x +2arctan x +C 。例1：⎰2=⎰ 23x +1x +1x +1
dx cos 2x +sin 2x 22==(cscx +sec x ) dx 例2：⎰2222⎰⎰cos x sin x cos x sin x
dx (x 2+1) -x 2dx 1=⎰22dx =dx -=-例3：⎰22⎰x 2⎰1+x 2x -arctan x +C x (x +1) x (x +1)
(2)第一换元积分法
有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出
积分。例如，求不定积分⎰cos 2xdx ，如果凑上一个常数因子2，使成为
⎰cos 2xdx =
(3)
例4：11cos x ∙2xdx =cos 2xd (2x )=1sin 2x +C ⎰⎰222=2=2
1+
=C
例5
：=-⎛1⎫ ⎪=-
⎝x ⎭21=x 1-2⎡⎛1⎫⎢ ⎪⎣⎝x ⎭⎢2122⎤1⎡⎛1⎫-⎢1+ ⎪⎥=⎰
2⎢⎥⎣⎝x ⎭⎦⎤⎡⎛1⎫2⎤⎥d ⎢1+ ⎪⎥⎥⎢⎦⎣⎝x ⎭⎥⎦-12 1⎡⎛1⎫=-⋅2⎢1+ ⎪2⎢⎣⎝x ⎭⎤⎥+C =C ⎥⎦
例6： ⎰x t =x x arctan t dx =2⎰d x 2⎰dt 21+x 1+t x (1+x )
=2⎰arctan t d (arctant ) =(arctgt ) 2+c =(arctg x ) 2+c .
(3)第二换元积分法
第二换元积分法用于解决被积函数带根式的不定积分，代换方法如下： 被积函数包含ax +b , 处理方法是令ax +b =t , x =1n (t -b ) ; a
被积函数包含a 2-x 2(a >0) , 处理方法是令x =sin t 或x =cos t ; 被积函数包含a 2+x 2(a >0) , 处理方法是令x =tan t ;
被积函数包含x 2-a 2(a >0) , 处理方法是令x =sec t ;
例7
：计算解：令x =a sin t , -(a >0) πx , 则t =arcsin , -a ≤x ≤a ，且
2a π2≤t ≤
=a cos t =a cos t , dx =a cos tdt , 从而
a 2
⎰a cos t . a cos tdt =a ⎰cos tdt =2=22⎰(1+cos 2t )dt
a 2⎛1a 2a 2⎫ t +sin 2t ⎪+C =t +sin t cos t +C 222⎭ =⎝2
由图2.1知
x sin t =a
所以cos t =a
a 2x a 2x +
C 2arcsin a +2⋅a a ==
a 2x arcsin +C 2a
例8:⎰t 2dt dt 6⎰=-6⎰(1+t ) dt +6⎰= = 21-t 1-t x -x dx t =61⎛⎫ =-6 x +x +ln -x ⎪+c . 2⎝⎭
(4)分部积分法
当积分⎰f (x ) dg (x ) 不好计算, 但⎰g (x ) df (x ) 容易计算时, 使用分部积分公式: ⎰f (x ) dg (x ) =f (x ) g (x ) -⎰g (x ) df (x ) . 常见能使用分部积分法的类型:
(1)⎰x n e x dx , ⎰x n sin xdx , ⎰x n cos xdx 等, 方法是把e x , sin x , cos x 移到d 后面,
分部积分的目的是降低x 的次数
(2)⎰x n ln m xdx , ⎰x n arcsin m xdx , ⎰x n arctan m xdx 等, 方法是把x n 移到d 后面,
分部几分的目的是化去ln x , arcsin x , arctan x .
例9:⎰x 2e x dx =⎰x 2de x =x 2e x -⎰e x ⋅2xdx =
x 2e x -2⎰xdx =x 2e x -2(xe x -⎰e x dx ) =e x (x 2-2x +2) +C
ln x 11⎛1⎫dx =ln xd -=-ln x +d ln x = ⎪例10:⎰x 2⎰⎰x x ⎝x ⎭
1dx 1-ln x +⎰2=-(lnx +1) +C x x x
例11: ⎰(1+6x 2) arctan xdx =⎰arctan xd (x +2x 3) =
x +2x 3(x +2x )arctan x -⎰1+x 2dx = 3
x 2x -(x +2x )arctan x -⎰⎛ 1+x ⎝3⎫dx =2⎪⎭
(x +2x )arctan x -x 321+ln (1+x 2)+C 2
例12: ⎰cos 2xdx =⎰cos xd sin x =cos x sin x +⎰sin 2xdx =
=cos x sin x +x -⎰cos 2xdx ，
解得 ⎰cos 2xdx =x 1+sin 2x +c . 24
例13: ⎰sec 3xdx =⎰sec x ⋅sec 2xdx =⎰sec xdtgx =sec xtgx -⎰tgx sec xtgxdx
=sec xtgx -⎰(sec2x -1) sec xdx =sec xtgx -⎰sec 3xdx +⎰sec xdx =
=sec xtgx +ln |sec x +tgx |-⎰sec 3xdx ,
解得 ⎰sec 3xdx =11sec xtgx +ln |sec x +tgx |+c . 22
以上两例所示的通过分部积分与解方程的方法求解不定积分是一种技巧 例14 设函数f (x ) 的一个原函数是sin x , 求⎰x f '(x ) dx 。 x
'x cos x -sin x ⎛sin x ⎫=解： f (x ) = ⎪2x ⎝x ⎭
⎰x f '(x ) dx =⎰xd (f (x )) =xf (x ) -⎰f (x ) dx =x
=cos x -2sin x +c x x cos x -sin x sin x -+c 2x x
[评]:本题主要考察原函数和不定积分的概念以及分部积分法.
例15 计算⎰xe arctan x
(1+x ) 23
[说明]涉及到arcsin x , arctan x 的积分一般有两种处理方法.
(1)用分部积分法; (2)作变量替换令arcsin x =t 或arctan x =t
⎛11e arctan x 12arctan x =⎰d (1+x ) =-⋅2⎰e d 解法一: ⎰33 22(1+x 2) 22(1+x 2) 2⎝+x xe arctan x ⎫⎪ ⎪⎭
=-1+x 2
1
+x 2e arctan x +⎰1+x 2e arctan x (1+x ) 2e arctan x 1 21+x =-e arctan x +⎰3
……
评:分部积分后, 后面的积分计算更加困难. 为此我们考虑变量替换法. 解法二:令arctan x =y , x =tan y
tan y ⋅e y ⋅sec 2y 1y y ==sin ye dy =(siny -cos y ) +C ⎰(1+x 2) 3⎰⎰2sec 3y xe arctan x
=1arctan x ⎛x 1 e - 22+x 2⎝+x ⎫⎪+C ⎪⎭
评:变量替换后几分的难度大大降低, ⎰sin ye y dy 是每种教材上都有的积分.
2. 定积分
定积分的计算主要用牛顿莱布尼兹公式通过不定积分计算.
(1)基本积分法
3
0例16 计算⎰dx (1+5x ) +x 22
解： 令x =tan t ，则
3
3
0⎰dx (1+5x ) +x
π22π=⎰60sec 2tdt cos tdt 6= (1+5tan 2t ) sec t ⎰0cos 2t +5sin 2t π
6
0π1d (2sin t ) 1=⎰6=arctan(2sin t ) 2021+(2sin t ) 2=π
8
(2)分割区域处理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小值函数 例17 计算⎰x x -2dx 03
解：⎰x x -2=⎰x (2-x ) dx +⎰x (x -2) dx =0023238 3
例17 计算⎰max{x , 1-x }dx 0
11
2
013解：⎰max{x , 1-x }dx =⎰(1-x ) dx +⎰1x dx =024 5
(3)利用函数的奇偶性化简定积分
a
-a ⎰
1⎧⎪0a f (x ) dx =⎨f (x ) dx ⎪⎩⎰0当f (x ) 是奇函数当f (x ) 是偶函数 例18 计算⎰(x ++x 2) 2dx -1
解：⎰(x ++x 2) 2dx =⎰1dx +2⎰-1-1111-1x +x 2dx =2+0=2
例19 计算⎰(x +x ) e -x dx -11
解：⎰(x +x ) e -x dx =⎰xe -x dx +⎰x e -x dx -1-1-1111
=0+2⎰xe -x dx =2-4e -1 01
x 2e sin x 例20 计算⎰4π x -1+e 4π
分析：被积函数即不是奇函数，又不是偶函数，无法利用函数的奇偶性化简。但是积分区间是关于原点对称的，可考虑使用化简公式的推导方法。 x 20e sin x e x sin 2x e x sin 2x 4解：⎰πdx =⎰+⎰π x x x 0--1+e 1+e 1+e 444ππ
令x =-y ，
-y 0e e x sin 2x sin 2(-y ) e -y sin 2y sin 2y sin 2x 444⎰-π
41+e x =⎰π
41+e -y (-y ) =⎰01+e -y =⎰01+e y =⎰01+e x 0πππ
所以
x 2x 2x 20e sin x e sin x e sin x π444sin 2xdx ==dx +=-1 ⎰-π
41+e x ⎰01+e x ⎰-π
41+e x ⎰08πππ
(4)一类定积分问题
例21 已知f (x ) 是连续函数，f (x ) =3x 2-2⎰f (x ) dx ，求f (x ) 01
分析：本题的解题关键是理解定积分是一个固定的常数。 解：令⎰f (x ) dx =A , 则f (x ) =3x 2-2A ， 01
A =⎰f (x ) dx =⎰(3x 2-2A ) dx =1-2A 所以A =111 00
f (x ) =3x 2-2
3
3
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