第三讲克拉默法则与矩阵的概念

§1.6 克拉默法则

含有n个未知数x1,x2,,xn的n个线性方程的方程组

a11x1a12x2a1nxnb1,axaxaxb,2nn2 211222 （1） an1x1an2x2annxnbn

与二、三元线形方程组相类似，它的解可以用n阶行列式表示，即有

1、克拉默法则：如果线形方程组（1）的系数行列式不等于零，即 a11a1n

D

an10, ann

那么，方程组（1）有唯一解 x1DD1D,x22,,xnn, （2） DDD

其中Dj(j1,2,,n)是把系数行列式D中的j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即

a11a1,j1b1

Dj

an1an,j1bna1,j1a1n. an,j1ann

2x1x25x3x48,x3x6x9,412x2x2x45, 例1 解线性方程组23

x14x27x36x40

解

2151rr075131275c12c2353c32c2rr130642130633D21201027,021202127277772147607712

81512851

93061906D181,D2108, 52120512

04761076

21812158

13961309D327,D427, 02520215

14061470

于是得 x13,x24,x31,x41.

2、定理1：如果线形方程组（1）的系数的系数行列式D0，则（1）一定有解，且解是唯一的.

3、定理2（定理1的逆否定理）：如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解,则它的系数行列式必为零.

4、定义：线性方程组(1)右端的常数项b1、b2、、bn不全为零时,线形方程组(1)

叫做非齐次线性方程组,当b1、b2、、bn全为零时,线形方程组(1)叫做齐次线性

方程组.

5、定理3：如果齐次线形方程组的系数行列式D0,则齐次线形方程组只有非零解.

推论：如果齐次线形方程组有非零解,则它的系数行列式必为零.

例2 问取何值时,齐次线形方程组

2z0,(5)x2y0, 2x(6)y (1)

2x(4)z0

有非零解？

解：若齐次线形方程组（1）有非零解，则（1）的系数行列式D0而

52

D26

20204

(5)(6)(4)4(4)4(6)

(5)(2)(8),

由D0,得2、5或8.

5或8时,齐次线形方程组(1)确有非零解. 不难验证,当2、

§2.1 矩阵的定义

6、定义：由mn个数aij(1,2,,m;j1,,2,,n)排成的m行n列的数表

a11

a 21



am1a12a1na22a2n am2amn

称为m行n列矩阵,简称mn矩阵.为表示它是一个整体,总是加一个方括弧或圆括弧,并用大写黑体字母表示它,记作

a11a A21

am1a12a22am2a1na2n amn

只有一行的矩阵A(a1a2an)称为行矩阵,又称行向量.

b1b只有一列的矩阵B2称为列矩阵,又称列向量. bn

矩阵的行数与列数相同的矩阵称为方阵

如果A(aij)与B(bij)是同型矩阵(两个矩阵行数相同，列数相同),并且它的对应元素相等 ,即aijbij,(i1,2,,m;j1,2,,n)那么就称矩阵A与B相等,记作AB.

元素都是零的矩阵成为零矩阵,记作O.不同型的零矩阵是不同的.

a000a0矩阵A(a0)称为数量矩阵(方阵) 00a

10矩阵En00010称为n阶单位矩阵(方阵),简记作E.这个矩阵的特点是:从01

左上角到右下角的直线(叫做主对角线)上的元素都是1,其它元素都是0.

另外还有三角矩阵(包括上三角矩阵和下三角矩阵)和对角矩阵,它们都是方阵,与三角行列式和对角行列式类似

小结与提问:

小结:本讲介绍了克拉默法则及矩阵的定义

提问:有哪些不同类型的矩阵

课外作业: P27 12. 13