函数恒成立的问题
类型1：利用一次函数的单调性 对于一次函数
f (x ) =kx +b , x ∈[m , n ]有：
⎧f (m )
f (x )
⎩f (n )
⎧f (m ) >0
f (x ) >0恒成立⇔⎨,
f (n ) >0⎩
例1． 若不等式2x -1>m (x
2
-1)
对满足-2≤m ≤2的所有m 都
成立，求x 的范围。
解：原不等式化为 (x－1)m －(2x－1)
记f(m)= (x－1)m －(2x－1) (－2≤m ≤2) 根据题意有： 即：
⎧⎪2x ⎨⎪⎩2x
22
2
⎧⎪f(-2)=-2(x-1) -(2x-1)
2
2
+2x -3>0-2x -1
-1+72
1+32
解之：得x 的取值范围为
类型2：利用一元二次函数的判别式
设f (x ) =ax
2
+bx +c (a ≠0) ，
⑴ f (x ) >0在x ∈R 上恒成立 ⇔a >0且∆
例2： 在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝(1－y) 若不等式(x－a)
⊗
(x＋a)
( )
(A)－1
2
2
2
32
解：由题意可知 (x-a)[1-(x+a)]
即x -x-a +a+1>0对x ∈R 恒成立 记f(x)=x-x-a +a+1 则应满足(-1)-4(-a+a+1)
例3：若不等式x -2mx+2m+1>0对满足0≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。
解：设f(x)=x-2mx+2m+1
本题等价于函数f(x)在0≤x ≤1上的最小值大于0，
求m 的取值范围。
(1)当m
⎧m
解 ⎨
⎩f(0)=2m +1>0
22
2
2
2
2
2
2
2
2
32
,故选择C 。
得 -
2
1
(2)当0≤m ≤1时，f(x)在x=m时取得最小值
⎧0≤m ≤1
解 ⎨ 得 0≤m ≤1 2
f(m)=-m +2m +1>0⎩
(3)当m>1时，f(x)在[0,1] 上是减函数，因此f(1)是最小值
解 ⎧⎨
综合(1)(2)(3) 得 m 例4．若不等式(m -1) x 围。
解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有
判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m-1是否是0。
（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；
m -1≠0时，（2）只需⎨
2
m >1
⎩f(1)=2>0
得 m>1
>-
12
R ，求m 的范
+(m -1) x +2>0的解集是
⎧m -1>0
⎩∆=(m -1) -8(m -1)
2
，所以， m ∈[1, 9) 。
注：当化归为二次函数后，自变量是实数集的子集时，应用二次函数知识解决有时较繁琐。此型题目有时也可转化为后面的法3求解。
类型3：利用函数的最值（或值域）
⑴
f (x ) >α对一切x ∈I 恒成立⇔f (x ) min >α
⑵ f (x )
对一切x ∈I 恒成立⇔f (x ) max >α
。
简单记作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由
此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。
例5
在∆ABC 中，已知
f (B ) =4sin B sin (
2
π
4
+
B 2
) +cos 2B , 且|f (B ) -m |
恒
成立，求实数m 的范围。 解析
由
f (B ) =4sin B sin (
2
π
4
+
B 2
) +cos 2B =2sin B +1, 0
，
f (B ) ∈(1, 3]， |f (B ) -m |
即⎨
⎧m >f (B ) -2⎩m
恒成立，∴m ∈(1, 3]
例4： 求使不等式a >sin 解析：
（1）由于函a >sin
x -cos x =
2sin(x -
x -cos x , x ∈[0, π]恒成立的实数a 的范围。
π
4
), x -π
4
∈[-
π3π
4, 4
]
，
显然函数有最大值
2
，∴a >
2
。
如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：（2）求使不等式a >sin 范围。
解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要
x -cos x , x -
π
4
∈(0,
π
2
)
恒成立的实数a 的
在于自变量的取值范围的变化，
这样使得y =sin
x -cos x 的最大值取不到
2
，即a 取
2
也
满足条件，所以a ≥
2
。
所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最
值，因为这直接关系到最后所求参数a 的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。
类型4：数形结合法: 对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解
f (x ) >g (x ) 对一切x ∈I 恒成立
f (x ) min >g (x ) max (x ∈I )
⇔f (x ) 的图象在g (x ) 的图象的上方或
例5.
已知a >0, a ≠1, f (x ) =
x -a , 当x ∈(-1, 1) 时, 有f (x )
2
x
12
恒成立
，求实数a
的取值范围。 解析：由
f (x ) =x -a
2
x
12
，得x -
2
12
x
，在同一直角坐标系中做
出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由1
2
-
12
x
=a 及(-1) -1x
及y =()
2
2
12
=a
-1
得到a 分别等于2和0.5，并
2
作出函数y =2
的图象，所以，要想使函数x
x
-
12
x
在
区间x ∈(-1, 1) 中恒成立，只须y =2在区间x ∈(-1, 1) 对应的图象在
y =x -
2
12
在区间
x ∈(-1, 1)
对应图象的上面即可。当
12
a >1时, 只有a ≤2才能保证，而0
a ∈[
12
, 1) (1, 2]
。
2
例6. 若当P (m , n ) 为圆x +(y -1) =1上任意一点时，不等式
2
m +n +c ≥0恒成立，则c 的取值范围是（ ）
A. -1-C. c ≤-
2≤c ≤
2-1 B.2-1≤c ≤2+1
2-1 D.c ≥2-1
解析：由m +n +c ≥0，可以看作是点P(m,n)在直线x +y +c =0
的右侧，而点P(m,n)在圆x 于是x
2
2
2
+(y -1) =1上，实质相当
2
+(y -1) =1在直线的右侧并与它相离或相切。
⎧0+1+c >0
⎪
∴⎨|0+1+c |∴c ≥
≥1
⎪22⎩1+1
2-1，故选D 。
例7：
如果对任意实数x ，不等式x +1≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是0 ≤k ≤1
解析：画出y 1=x +1,y 2=kx的图像，由图可看出 0≤k ≤1
例8：已知a>0且a ≠1, 当x ∈(-1，1) 时，不等式x -a
2
x
2
1⎫
恒成立，则a 的取值范围⎡ ⎢, 1⎪ (1, 2]
⎣2
⎭
解析：不等式x -a x-1
2
x
x
2
22
画出y 1= a,y 2= x-1的图像。由图可看出 1≤ax
2
22
类型5
在题目中分离出参数，化成a>f(x) （afmax (x) （a
例
a ＝
4：已知向量a
=(x
2
,x+1), b
=(1-x,t) 若函数f(x)
t 的取值范围。
·b 在区间(－1，1) 上是增函数，求
解：依题意，
f(x)＝x (1-x)+(x+1)t=-x+x+tx+t 则f ＇(x)=-3x+2x+t
∵f(x)在(－1，1) 上是增函数，则在(－1，1) 上有
2
2
3
2
f ＇(x)≥0
即-3x +2x+t≤0在x ∈(-1，1) 上恒成立
设g(x)=3x-2x
∴t ≥g(-1) 即 t≥5
例5：设a 0为常数，数列｛a n ｝的通项公式为a n ＝
15
2
2
[3+(-1)·2]+(-1)·2·a 0(n∈N ) 若对任意n ≥1，n ∈N ，
n n-1n n n **
不等式a n >an-1恒成立，求a 0的取值范围。
解：依题意：
15
1
n-1
[3+(-1)·2]+(-1)·2·a 0>1[3+(-1)·2
n
n-1
n
n
n
n-1
n-2
n-
5
]+(-1)·2·a 0
化简，得 (-1)·3·2·a 0>-2·3+3(-1)·2
n
n-1
n-1
n
n-1
n-1
55
(1)当n=2k-1 k∈N 时 a0
n-1
*
1525
设g 1(n)= 2·(3) +1
n-1
1525
∵g 1(n)在n ∈N 时且n=2k-1,k∈N 时是增函数 ∴g 1(n)的最小值为g 1(1)＝1
3
**
∴a 0
3
(2) 当n=2k k∈N 时 a0>-2·(3) +1
n-1
*
1525
设g 2(n)=- ·() +1
n-1
232
155
∵g 2(n)在n ∈N 且n=2k,k∈N 时是减函数 ∴g 2(n)的最大值为g 2(2)＝0 ∴a 0>0
综上可知0
3
**
例6：函数y ＝f(x)在区间(0, +∞) 内可导，导函数f ' (x)是减函数，且f ' (x)>0。设x 0∈(0, +∞) ，y=kx+m是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0)) 处的切线方程并设函数g(x)=kx+m
（Ⅰ）用x 0，f(x0) ，f ' (x0) 表示m ； （Ⅱ）证明：当x ∈(0, +∞) 时，g(x)≥f(x) （Ⅲ）若关于x 的不等式x +1≥ax+b≥
2
32
2
x
3
在[0, +∞）上
恒成立，其中a 、b 为实数。求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系。
本题（Ⅲ）应用了此方法。
（Ⅲ）解：0≤b ≤1，a>0是不等式成立的必要条件。以下讨论设此条件成立。 x
2
+1≥ax+b 即x -ax+(1-b)≥0对任意x ∈[0, +∞) 成立
2
1
的充要条件是a ≤2(1-b) 2
令Φ(x)=ax+b-32
2
x
3
，于是ax+b≥
32
2
x
3
对任意x ∈[0, +∞)
成立的充要条件是Φ(x)≥0
由Φ(x)=a-x =0得x=a
'
3
-3
-
1
当00,所以，
-3
-3
当x ＝a 时，Φ(x)取最小值。因此，Φ(x)≥0成立的充要条
-3
件是Φ(a ) ≥0。
-3
即a ≥ (2b)
2
-
1
综上，不等式x +1≥ax+b≥
充要条件是
(2b)
-12
2
32
2
x
3
对任意x ∈[0, +∞]成立的
≤a ≤2(1-b)2„„„„„„„„„„„„„„„„„„①
1
显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是： 不
(
-12
等
12
式
1
)
≤2
„„„„„„„„„„„„„„„„② 2b (
有解。
解不等式②得 ③
因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数a 与b 所满足
2-24
≤b ≤
2+24
„„„„„„„„„„„
的关系。
例12：
当x ∈(1,2)时，不等式(x-1)2
分析：若将不等号两边分别设成两个函数，
则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。 解：设y 1=(x-1),y 2=loga x, 则y 1的图象为右图所
2
示的抛物线，要使对一切x ∈(1,2),y11,并且必须也只需当x=2时y 2的函数值大于等于y 1的函数值。 故log a 2>1,a>1,∴1
例12：已知关于x 的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求实数a 的取值范围。
分析：方程可转化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),从而得x 2+20x=8x-6a-3>0,注意到若将等号两边看成是二次函数y= x2+20x及一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x 轴上方恒有唯一交点即可。
解：令y 1= x 2+20x=（x+10）2-100,y 2=8x-6a-3,则如图所示，y 1的图象为一个定抛物线，y 2的图象
是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使y 1和y 2在x 轴上有唯一交点，则直线必须位于l 1和l 2之间。（包括l 1但不包括l 2)
当直线为l 1时，直线过点（-20，0）此时纵截距为-6a-3=160,a=-
1636
;
当直线为l 2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a=-
12
∴a 的范围为[-
1636
，
-
12
）。
函数恒成立的问题
类型1：利用一次函数的单调性 对于一次函数
f (x ) =kx +b , x ∈[m , n ]有：
⎧f (m )
f (x )
⎩f (n )
⎧f (m ) >0
f (x ) >0恒成立⇔⎨,
f (n ) >0⎩
例1． 若不等式2x -1>m (x
2
-1)
对满足-2≤m ≤2的所有m 都
成立，求x 的范围。
解：原不等式化为 (x－1)m －(2x－1)
记f(m)= (x－1)m －(2x－1) (－2≤m ≤2) 根据题意有： 即：
⎧⎪2x ⎨⎪⎩2x
22
2
⎧⎪f(-2)=-2(x-1) -(2x-1)
2
2
+2x -3>0-2x -1
-1+72
1+32
解之：得x 的取值范围为
类型2：利用一元二次函数的判别式
设f (x ) =ax
2
+bx +c (a ≠0) ，
⑴ f (x ) >0在x ∈R 上恒成立 ⇔a >0且∆
例2： 在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝(1－y) 若不等式(x－a)
⊗
(x＋a)
( )
(A)－1
2
2
2
32
解：由题意可知 (x-a)[1-(x+a)]
即x -x-a +a+1>0对x ∈R 恒成立 记f(x)=x-x-a +a+1 则应满足(-1)-4(-a+a+1)
例3：若不等式x -2mx+2m+1>0对满足0≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。
解：设f(x)=x-2mx+2m+1
本题等价于函数f(x)在0≤x ≤1上的最小值大于0，
求m 的取值范围。
(1)当m
⎧m
解 ⎨
⎩f(0)=2m +1>0
22
2
2
2
2
2
2
2
2
32
,故选择C 。
得 -
2
1
(2)当0≤m ≤1时，f(x)在x=m时取得最小值
⎧0≤m ≤1
解 ⎨ 得 0≤m ≤1 2
f(m)=-m +2m +1>0⎩
(3)当m>1时，f(x)在[0,1] 上是减函数，因此f(1)是最小值
解 ⎧⎨
综合(1)(2)(3) 得 m 例4．若不等式(m -1) x 围。
解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有
判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m-1是否是0。
（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；
m -1≠0时，（2）只需⎨
2
m >1
⎩f(1)=2>0
得 m>1
>-
12
R ，求m 的范
+(m -1) x +2>0的解集是
⎧m -1>0
⎩∆=(m -1) -8(m -1)
2
，所以， m ∈[1, 9) 。
注：当化归为二次函数后，自变量是实数集的子集时，应用二次函数知识解决有时较繁琐。此型题目有时也可转化为后面的法3求解。
类型3：利用函数的最值（或值域）
⑴
f (x ) >α对一切x ∈I 恒成立⇔f (x ) min >α
⑵ f (x )
对一切x ∈I 恒成立⇔f (x ) max >α
。
简单记作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由
此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。
例5
在∆ABC 中，已知
f (B ) =4sin B sin (
2
π
4
+
B 2
) +cos 2B , 且|f (B ) -m |
恒
成立，求实数m 的范围。 解析
由
f (B ) =4sin B sin (
2
π
4
+
B 2
) +cos 2B =2sin B +1, 0
，
f (B ) ∈(1, 3]， |f (B ) -m |
即⎨
⎧m >f (B ) -2⎩m
恒成立，∴m ∈(1, 3]
例4： 求使不等式a >sin 解析：
（1）由于函a >sin
x -cos x =
2sin(x -
x -cos x , x ∈[0, π]恒成立的实数a 的范围。
π
4
), x -π
4
∈[-
π3π
4, 4
]
，
显然函数有最大值
2
，∴a >
2
。
如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：（2）求使不等式a >sin 范围。
解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要
x -cos x , x -
π
4
∈(0,
π
2
)
恒成立的实数a 的
在于自变量的取值范围的变化，
这样使得y =sin
x -cos x 的最大值取不到
2
，即a 取
2
也
满足条件，所以a ≥
2
。
所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最
值，因为这直接关系到最后所求参数a 的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。
类型4：数形结合法: 对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解
f (x ) >g (x ) 对一切x ∈I 恒成立
f (x ) min >g (x ) max (x ∈I )
⇔f (x ) 的图象在g (x ) 的图象的上方或
例5.
已知a >0, a ≠1, f (x ) =
x -a , 当x ∈(-1, 1) 时, 有f (x )
2
x
12
恒成立
，求实数a
的取值范围。 解析：由
f (x ) =x -a
2
x
12
，得x -
2
12
x
，在同一直角坐标系中做
出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由1
2
-
12
x
=a 及(-1) -1x
及y =()
2
2
12
=a
-1
得到a 分别等于2和0.5，并
2
作出函数y =2
的图象，所以，要想使函数x
x
-
12
x
在
区间x ∈(-1, 1) 中恒成立，只须y =2在区间x ∈(-1, 1) 对应的图象在
y =x -
2
12
在区间
x ∈(-1, 1)
对应图象的上面即可。当
12
a >1时, 只有a ≤2才能保证，而0
a ∈[
12
, 1) (1, 2]
。
2
例6. 若当P (m , n ) 为圆x +(y -1) =1上任意一点时，不等式
2
m +n +c ≥0恒成立，则c 的取值范围是（ ）
A. -1-C. c ≤-
2≤c ≤
2-1 B.2-1≤c ≤2+1
2-1 D.c ≥2-1
解析：由m +n +c ≥0，可以看作是点P(m,n)在直线x +y +c =0
的右侧，而点P(m,n)在圆x 于是x
2
2
2
+(y -1) =1上，实质相当
2
+(y -1) =1在直线的右侧并与它相离或相切。
⎧0+1+c >0
⎪
∴⎨|0+1+c |∴c ≥
≥1
⎪22⎩1+1
2-1，故选D 。
例7：
如果对任意实数x ，不等式x +1≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是0 ≤k ≤1
解析：画出y 1=x +1,y 2=kx的图像，由图可看出 0≤k ≤1
例8：已知a>0且a ≠1, 当x ∈(-1，1) 时，不等式x -a
2
x
2
1⎫
恒成立，则a 的取值范围⎡ ⎢, 1⎪ (1, 2]
⎣2
⎭
解析：不等式x -a x-1
2
x
x
2
22
画出y 1= a,y 2= x-1的图像。由图可看出 1≤ax
2
22
类型5
在题目中分离出参数，化成a>f(x) （afmax (x) （a
例
a ＝
4：已知向量a
=(x
2
,x+1), b
=(1-x,t) 若函数f(x)
t 的取值范围。
·b 在区间(－1，1) 上是增函数，求
解：依题意，
f(x)＝x (1-x)+(x+1)t=-x+x+tx+t 则f ＇(x)=-3x+2x+t
∵f(x)在(－1，1) 上是增函数，则在(－1，1) 上有
2
2
3
2
f ＇(x)≥0
即-3x +2x+t≤0在x ∈(-1，1) 上恒成立
设g(x)=3x-2x
∴t ≥g(-1) 即 t≥5
例5：设a 0为常数，数列｛a n ｝的通项公式为a n ＝
15
2
2
[3+(-1)·2]+(-1)·2·a 0(n∈N ) 若对任意n ≥1，n ∈N ，
n n-1n n n **
不等式a n >an-1恒成立，求a 0的取值范围。
解：依题意：
15
1
n-1
[3+(-1)·2]+(-1)·2·a 0>1[3+(-1)·2
n
n-1
n
n
n
n-1
n-2
n-
5
]+(-1)·2·a 0
化简，得 (-1)·3·2·a 0>-2·3+3(-1)·2
n
n-1
n-1
n
n-1
n-1
55
(1)当n=2k-1 k∈N 时 a0
n-1
*
1525
设g 1(n)= 2·(3) +1
n-1
1525
∵g 1(n)在n ∈N 时且n=2k-1,k∈N 时是增函数 ∴g 1(n)的最小值为g 1(1)＝1
3
**
∴a 0
3
(2) 当n=2k k∈N 时 a0>-2·(3) +1
n-1
*
1525
设g 2(n)=- ·() +1
n-1
232
155
∵g 2(n)在n ∈N 且n=2k,k∈N 时是减函数 ∴g 2(n)的最大值为g 2(2)＝0 ∴a 0>0
综上可知0
3
**
例6：函数y ＝f(x)在区间(0, +∞) 内可导，导函数f ' (x)是减函数，且f ' (x)>0。设x 0∈(0, +∞) ，y=kx+m是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0)) 处的切线方程并设函数g(x)=kx+m
（Ⅰ）用x 0，f(x0) ，f ' (x0) 表示m ； （Ⅱ）证明：当x ∈(0, +∞) 时，g(x)≥f(x) （Ⅲ）若关于x 的不等式x +1≥ax+b≥
2
32
2
x
3
在[0, +∞）上
恒成立，其中a 、b 为实数。求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系。
本题（Ⅲ）应用了此方法。
（Ⅲ）解：0≤b ≤1，a>0是不等式成立的必要条件。以下讨论设此条件成立。 x
2
+1≥ax+b 即x -ax+(1-b)≥0对任意x ∈[0, +∞) 成立
2
1
的充要条件是a ≤2(1-b) 2
令Φ(x)=ax+b-32
2
x
3
，于是ax+b≥
32
2
x
3
对任意x ∈[0, +∞)
成立的充要条件是Φ(x)≥0
由Φ(x)=a-x =0得x=a
'
3
-3
-
1
当00,所以，
-3
-3
当x ＝a 时，Φ(x)取最小值。因此，Φ(x)≥0成立的充要条
-3
件是Φ(a ) ≥0。
-3
即a ≥ (2b)
2
-
1
综上，不等式x +1≥ax+b≥
充要条件是
(2b)
-12
2
32
2
x
3
对任意x ∈[0, +∞]成立的
≤a ≤2(1-b)2„„„„„„„„„„„„„„„„„„①
1
显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是： 不
(
-12
等
12
式
1
)
≤2
„„„„„„„„„„„„„„„„② 2b (
有解。
解不等式②得 ③
因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数a 与b 所满足
2-24
≤b ≤
2+24
„„„„„„„„„„„
的关系。
例12：
当x ∈(1,2)时，不等式(x-1)2
分析：若将不等号两边分别设成两个函数，
则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。 解：设y 1=(x-1),y 2=loga x, 则y 1的图象为右图所
2
示的抛物线，要使对一切x ∈(1,2),y11,并且必须也只需当x=2时y 2的函数值大于等于y 1的函数值。 故log a 2>1,a>1,∴1
例12：已知关于x 的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求实数a 的取值范围。
分析：方程可转化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),从而得x 2+20x=8x-6a-3>0,注意到若将等号两边看成是二次函数y= x2+20x及一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x 轴上方恒有唯一交点即可。
解：令y 1= x 2+20x=（x+10）2-100,y 2=8x-6a-3,则如图所示，y 1的图象为一个定抛物线，y 2的图象
是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使y 1和y 2在x 轴上有唯一交点，则直线必须位于l 1和l 2之间。（包括l 1但不包括l 2)
当直线为l 1时，直线过点（-20，0）此时纵截距为-6a-3=160,a=-
1636
;
当直线为l 2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a=-
12
∴a 的范围为[-
1636
，
-
12
）。