第八章 电磁感应
一、电磁感应现象
1．产生感应电流的条件
穿过闭合电路的磁通量发生变化。
当闭合电路的一部分导体在磁场中做切割磁感线的运动时，电路中有感应电流产生。
2．感应电动势产生的条件
穿过电路的磁通量发生变化。
无论电路是否闭合，只要穿过电路的磁通量变化了，就一定有感应电动势产生。
由磁场变化引起的感应电动势叫做感生电动势，其本质是变化的磁场在空间激发出电场；由导体切割磁感线产生的感应电动势叫做动生电动势，其本质与导体内部的自由电荷随导体运动时在磁场中运动受到的洛伦兹力有关。
3．磁通量和磁通量变化
如果在磁感应强度为B 的匀强磁场中有一个与磁场方向垂直的平面，其面积为S ，则定义B 与S 的乘积为穿过这个面的磁通量，用Φ表示，即Φ=BS 。Φ是标量，但是有方向（分进、出该面两种方向）。单位为韦伯，符号为W b 。1W b =1T∙m 2=1kg∙m 2/(A∙s 2) 。
可以认为磁通量就是穿过某个面的磁感线条数。
在匀强磁场的磁感线垂直于平面的情况下，B =Φ/S ，所以磁感应强度又叫磁通密度。
当匀强磁场的磁感应强度B 与平面S 的夹角为α时，磁通量Φ=BS sin α（α是B 与S 的夹角）。 磁通量的变化ΔΦ=Φ2-Φ1。磁通量是有方向的，当初、末状态磁通量方向相同时，计算磁通量变化时应将初、末状态磁通量的大小相减；当初、末状态的磁通量方向相反时，计算磁通量变化时应将初、末状态磁通量的大小相加。
二、感应电流的方向
1．楞次定律
感应电流具有这样的方向，即感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化。
楞次定律的表述中关键有两个磁场：感应电流的磁场（新产生的磁场）和引起感应电流的磁场（原来就有的磁场）。前者和后者的关系不是“同向”或“反向”的简单关系，而是前者“阻碍”后者“变化”的关系。
注意：“阻碍”不等于“反向”；“阻碍”不是“阻止”。
楞次定律的应用应该严格按以下四步进行：⑴确定原磁场方向；⑵判定原磁场如何变化（增大还是减小）；⑶确定感应电流的磁场方向（增反减同）；⑷根据安培定则判定感应电流的方向。
如果感应电流是由相对运动引起的，那么感应电流引起的结果一定是“阻碍相对运动”的。楞次定律的这个结论与能量守恒定律是一致的：既然有感应电流产生，就有其它能转化为电能。又由于感应电流是由相对运动引起的，该过程必然有机械能转化为电能，即机械能减少，磁场力对物体做负功，是阻力，表现出的现象就是“阻碍”相对运动。
如果磁通量变化是由自身电流变化引起的，那么它引起的结果一定是“阻碍自身电流变化”的，就是自感现象。
自感现象的应用：日光灯。要求掌握日光灯电路图，了解其原理。镇流器的作用：①启动时由于启动器自动断路形成瞬时高压，和电源电压叠加后加在灯管两端，使灯管内的汞蒸气电离而导电；②正常工作时与灯管串联分压。启动器的作用：接通电路后会自动断电，
使镇流器产生自感电动势。
- 1 -
自感现象的防止：定值电阻的双线绕法。两个线圈的电流大小相同，方向相反，产生的磁场也必然等大反向，因此穿过线圈的总磁通量始终为零。
练习1. 如图所示，闭合导体环固定。条形磁铁S 极向下以初速度v 0沿过导体环
v 圆心的竖直线下落过程，导体环中的感应电流方向如何？ S 解：从“阻碍磁通量变化”来看，当条形磁铁的中心恰好位于线圈M 所在的水平面时，
磁铁内部向上的磁感线都穿过了线圈，而磁铁外部向下穿过线圈的磁通量最少，所以此时刻穿过线圈M 的磁通量最大。因此全过程中原磁场方向向上，先增后减，感应电
流磁场方向先下后上，感应电流先顺时针后逆时针。
从“阻碍相对运动”来看，线圈对应该是先排斥（靠近阶段）后吸引（远离阶段），把条形磁铁等效为螺线管，该螺线管中的电流是从上向下看逆时针方向的，根据“同向电流互相吸引，反向电流互相排斥”，感应电流方向应该是先顺时针后逆时针的，与前一种方法的结论相同。
练习2. 如图所示，O 1O 2是矩形导线框abcd 的对称轴，其左方有垂直d 于纸面向外的匀强磁场。以下哪些情况下abcd 中有感应电流产生？方向如
何？ A. 将abcd 向纸外平移 B. 将abcd 向右平移
C. 将abcd 以ab 为轴转动60° D. 将abcd 以cd 为轴转动60°
解：A 、C 两种情况下穿过abcd 的磁通量没有发生变化，无感应电流产生。B 、D 两种情况下原磁通向外，减少，感应电流磁场向外，感应电流方向为abcd 。
练习3. 如图所示装置中，cd 杆原来静止。当ab 杆做如下那些运动时，cd 杆将向右移动？
A. 向右匀速运动 B. 向右加速运动
C. 向左加速运动 D. 向左减速运动 解：. ab 匀速运动时，ab 中感应电流恒定，L 1中磁通量不
变，穿过L 2的磁通量不变化，L 2中无感应电流产生，cd 保持静止，A 不正确；ab 向右加速运动时，L 2中的磁通量向下，增大，通过cd 的电流方向向下，cd 向右移动，B 正确；同理可得C 不正确，D 正确。选B 、D
练习4. 如图所示，当磁铁绕O 1O 2轴匀速转动时，矩形导线框（不考虑重力）将如何运动？
解：本题分析方法很多，最简单的方法是：从“阻碍相对运动”的角度来看，导
线框一定会跟随条形磁铁同方向转动起来。如果不计一切摩擦阻力，最终导线框
将和磁铁转动速度无限接近到可以认为相同；如果考虑摩擦阻力，则导线框的转
速总比条形磁铁转速小些（线框始终受到安培力矩的作用，大小和摩擦力的阻力矩相等）。如果用“阻碍磁通量变化”来分析，结论是一样的，但是叙述要复杂得多。可见这类定性判断的题要灵活运用楞次定律的各种表达方式。
练习5. 如图所示，水平面上有两根平行导轨，上面放两根金属棒a 、b 。
当条形磁铁如图向下移动时（不到达导轨平面），a 、b 将如何移动？
解：若按常规用“阻碍磁通量变化”判断，则需要根据下端磁极的极性分别进
行讨论，比较繁琐。而且在判定a 、b 所受磁场力时。
应该以磁极对它们的磁场
b
- 2 -
力为主，不能以a 、b 间的磁场力为主（因为它们的移动方向由所受的合磁场的磁场力决定，而磁铁的磁场显然是起主要作用的）。如果注意到：磁铁向下插，通过闭合回路的磁通量增大，由Φ=BS可知磁通量有增大的趋势，因此S 的相应变化应该是阻碍磁通量的增加，所以a 、b 将互相靠近。这样判定比较起来就简便得多。
练习6 如图所示，绝缘水平面上有两个离得很近的导体环a 、b 。将条形磁铁沿它们的正中向下移动（不到达该平面），a 、b 将如何移动？
解：根据Φ=BS，磁铁向下移动过程中，B 增大，所以穿过每个环中的磁通量都
有增大的趋势，由于S 不可改变，为阻碍增大，导体环应该尽量远离磁铁，所以
a 、b 将相互远离。
练习7. 如图所示，在条形磁铁从图示位置绕O 1O 2轴转动90°的过程中，放在导轨右端附近的金属棒ab 将如何移动？
解：无论条形磁铁的哪个极为N 极，也无论是顺时针转动还是逆时针转动，
在转动90°过程中，穿过闭合电路的磁通量总是增大的（条形磁铁内、外的磁感线条数相同但方向相反，在线框所围面积内的总磁通量和磁铁内部的磁
感线方向相同且增大。而该位置闭合电路所围面积越大，总磁通量越小，所以为阻碍磁通量增大金属棒ab 将向右移动。
2．右手定则。
对一部分导线在磁场中切割磁感线产生感应电流的情况，右手定则和楞次定律的结论是完全一致的。这时，用右手定则更方便一些。
例3．一长直铁芯上绕有一固定线圈M ，铁芯右端与一木质圆柱密接，木质圆柱上套有一闭合金属环N ，N 可在木质圆柱上无摩擦移动。M 连接在如图所示的电路中，其中R 为滑线变阻器，E 1和E 2为直流电源，S 为单刀双掷开关。下列情况中，可观测到N 向左运动的是
A ．在S 断开的情况下，S 向a 闭合的瞬间 右
B ．在S 断开的情况下，S 向b 闭合的瞬间C ．在S 己向a 闭合的情况下，将R 的滑动头向c 端移动时
D ．在S 己向a 闭合的情况下，将R 的滑动头向d 端移动时解：当线圈M 中电流增大时，穿过N 的磁通量增大，N 中感应电流方向与M 中电流方向相反，而反向电流互相排斥，N 将向右运动；同理，线圈M 中电流减小时，N 将向左运动。选C 。
例4．如图所示，用丝线将一个闭合金属环悬于O 点，虚线左边有垂直于纸面
向外的匀强磁场，而右边没有磁场。金属环的摆动会很快停下来。试解释这一现象。
若整个空间都有垂直于纸面向外的匀强磁场，会有这种现象吗？
解：只有左边有匀强磁场，金属环在穿越磁场边界时（无论是进入还是穿出），
由于磁通量发生变化，环内一定有感应电流产生。根据楞次定律，感应电流将会阻
碍相对运动，所以摆动会很快停下来，这就是电磁阻尼现象。若左边匀强磁场方向改为竖直向下，穿过金属环的磁通量始终为零，无感应电流，不会阻碍相对运动，摆动就不会很快停下来。
例5．如图所示，a 、b 灯分别标有“36V 40W”和“36V 25W”，闭合电键，调节R ，使a 、b 都正常发光。这时断开电键后重做实验。⑴电键闭合后看到的
现象是什么？⑵稳定后那只灯较亮？⑶再断开电键，又将看到什么现象？
解：⑴重新闭合后，由于L 对电流增大的阻碍作用，a 将慢慢亮起来，而b
立即变亮（这时L 的作用相当于一个大电阻）；⑵稳定后两灯都正常发光，
- 3 - I I
t
设这时它们的电流分别为I a 、I b ，由于a 的额定功率大，所以a 较亮，I a >I b ，（这时L 的作用相当于一只普通的电阻，就是线圈的内阻）；⑶断开后，由于L 对电流减小的阻碍作用，通过a 的电流从I a 逐渐减小，a 渐渐变暗到熄灭，而abRL 组成同一个闭合回路，所以通过b 灯的电流也将从I a 开始逐渐减小，由于原来的I a >I b ，因此b 灯会先闪亮一下，再逐渐变暗到熄灭，该阶段通过b 的电流方向与原来的电流方向相反（这时L 的作用相当于一个电源）。若a 灯的额定功率小于b 灯，则断开电键后b 灯将不会出现“闪亮”现象。
设电键是在t =t 0时刻断开的，则灯a 、b 的电流图象如右上图所示（以向左的电流为正。）
三、感应电动势的产生
1．法拉第电磁感应定律 电路中感应电动势的大小跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比，E =n ∆Φ。（用于感生∆t
电动势的计算，是平均值）
在导线垂直切割磁感线产生感应电动势的情况下，E=Blv。（用于动生电动势，是瞬时值。） 当v ∥B 时无感应电动势产生。 自感电动势E =L ∆I ，L 叫自感系数，简称自感或电感。L 与线圈的大小、形状、匝数、有无∆t
铁芯有关。
d 将均匀电阻丝做成的边长为l 的正方形线圈abcd 从匀强磁场中向右匀速拉出过程，仅ab 边上有感应电动势E =Blv ，ab 边相当于电源，另3边相当于外电路。ab 边两端的电压为3Blv /4，另3边每边两端的电压均为Blv /4。
将均匀电阻丝做成的边长为l 的正方形线圈abcd 放在匀强磁场中，当磁感应强
度均匀减小时，回路中有感应电动势产生，大小为E =l 2(ΔB /Δt ) ，这种情况下，每
条边两端的电压U =E /4-I r = 0均为零。
感应电流的电场线是封闭曲线，静电场的电场线是不封闭的，这一点和静电场
不同。
在导线切割磁感线产生感应电动势的情况下，由法拉第电磁感应定律可推导出感应电动势大小的表达式是：E=BLvsin α（α是B 与v 之间的夹角）。（瞬时值）
例6．如图所示，长L 1宽L 2的矩形线圈电阻为R ，处于磁感应强度为B 的匀强磁场边缘，线圈与磁感线垂直。求：将线圈以向右的速度v 匀速拉出磁场的过程中，⑴拉力的大小F ； ⑵拉力的功率P ； ⑶拉力做的功W ； ⑷线圈中产生的电热Q ；L
⑸通过线圈某一截面的电荷量q 。
B 2L 2E 2v 解：动生电动势，E=Blv。⑴E =BL 2v , I =, F =BIL 2, ∴F =∝v ；R R
B 2L 2v 2
2⑵P =Fv =∝v 2； R
E ∆ΦB 2L 2
2L 1v ⑶W =FL 1=与v 无关 ∝v ； ⑷Q =W ∝v ； ⑸ q =I ⋅t =t =R R R
本题有两点要特别注意：⑴要注意电热Q 和电荷量q 的区别；⑵电荷量q =∆Φ与速度无关（无
R
- 4 -
论该过程电流是否恒定，此结论总是成立的，若为n 匝线圈则q =n ∆Φ，R 表述回路的总电阻。） R
例7．如图所示，U 形导线框固定在水平面上，右端放有质量为m 的金属棒ab ，ab 与导轨间的动摩擦因数为μ，它们围成的矩形边长分别为L 1、L 2，回路的总电阻为R 。从t =0时刻起，在竖直向上方向加一个随时间均匀变化的匀强磁场B =kt ，（k >0）那么在t 为多大时，金属棒开始移动？ ∆Φ解：感生电动势，由E == kL 1L 2可知，回路中感应电动势是恒定的，电流大小也是恒定∆t
的，但由于安培力F=BIL1∝B =kt ∝t ，所以安培力将随时间而增大。当安培力增大到等于最大静摩擦力时，ab 将开始向左移动。这时有：kt ⋅L 1⋅kL 1L 2μmgR =μmg , t =22 R k L 1L 2
2．转动产生的感应电动势
⑴线圈的转动轴与磁感线垂直。矩形线圈的长、宽分别为L 1、L 2，所围面积为S ，向右的匀强磁场的磁感应强度为B ，线圈绕轴以角速度ω匀速转动。在图示位置，线圈的ab 、cd 两边切割磁感线，产生的感应电动势相加E=BSω。如果线圈由n 匝导线绕制而成，则E=nBSω。若从图示位置开始计时，感应电
动势的瞬时值为e=nBSωcos ωt 。该结论与线圈的形状和转动轴的具体位置无关（但是轴必须与B 垂直）。这就是交流发电机发出的交变电流的瞬时电动势公式。
⑵转动轴与磁感线平行。如图，磁感应强度为B 的匀强磁场方向垂直于纸
面向外，长L 的金属棒Oa 以O 为轴在该平面内以角速度ω逆时针匀速转动。求
金属棒中的感应电动势。在应用感应电动势的公式时，必须注意其中的速度v 应该指导线上各点的平均速度，在本题中应该是金属棒中点的速度，因此有
E =BL ⋅ωL 1=B ωL 2。 22
R 例8．如图所示，一导体圆环位于纸面内，O 为圆心。环内两个圆心角为90º的扇形区域内分别有匀强磁场，两磁场磁感应强度的大
小相等，方向相反且均与纸面垂直。导体杆OM 可绕O 转动，M 端通
过滑动触点与圆环良好接触。在圆心和圆环间连有电阻R 。杆OM 以匀角速度ω逆时针转动，t =0时恰好在图示位置。规定从a 到b 流经电阻R 的电流方向为正，圆环和导体杆的电阻忽略不计，则杆从t =0开始转动一周的过程中，电流随ωt 变化的图象是
A
B
C
D t t t t
解：转动轴与磁感线平行。OM 在扇形磁场区内转动时有恒定的感应电动势E =1B ωL 2，选C 。 2
练习8. 如图所示，xoy 坐标系y 轴左侧和右侧分别有垂直于纸面向外、
向里的匀强磁场，磁感应强度均为B ，一个围成四分之一圆形的导体环oab ，
其圆心在原点o ，半径为R ，开始时在第一象限。从t =0起绕o 点以角速度
- 5 -
ω逆时针匀速转动。试画出环内感应电动势E 随时间t 而变的函数图象（以顺时针电动势为正）。 解：开始的四分之一周期内，oa 、ob 中的感应电动势方向相同，大小应相加；第二个四分之一周期内穿过线圈的磁通量不变，因此感应电动势为零；第三个四分之一周期内感应电动势与第一个四分之一周期内大小相同而方向相反；第四个四分之一周期内感应电动势又为零。感应电动势的最大值为E m =BR2ω，周期为T =2π/ω，图象如右。 四、电磁感应的综合应用
1．电磁感应和恒定电流知识结合 例9．如图所示，粗细均匀的金属丝制成长方形导线框abcd （ad >ab ），处
于匀强磁场中。同种材料同样规格的金属丝MN 可与导线框保持良好的接触并
做无摩擦滑动。当MN 在外力作用下从导线框左端向右匀速运动移动到右端的N 过程中，导线框消耗的电功率的变化情况是
A ．始终增大 B ．先增大后减小 C ．先减小后增大 D ．增大减小，再增大再减小 解：MN 相当于电源，金属框是外电路。当MN 在左、右两端时，外电路总电阻R 1最小，且小于电源内阻r ；MN 在中央位置时，外电路总电阻R 2最大，且大于P 内阻r 。电源输出功率P 出随外电阻R 变化的规律如右图，当内、外电
阻相等时，电源的输出功率最大。本题当MN 从导线框左端移动到右
端的过程中，外电阻先从R 1（小于r ）增加到R 2（大于r ），输出功率 1 2 先增大再减小；接着外电阻又从R 2（大于r ）减小到R 1（小于r ），输出功率又是先增大再减小。因此选D 。 2．电磁感应和牛顿运动定律知识结合
例10．如右图所示，闭合导体线框abcd 从高处自由下落一段定距离后，进入一个有理想边界的匀强磁场中，磁场宽度h 大于线圈宽度l 。从bc 边开始进入磁场
到ad 边即将进入磁场的这段时间里，下面表示该过程中线框里感应电流i 随时间t
变化规律的图象中，一定错误的是
A
B
C D
t t t t
BLv ∝v ，
如果刚进入时安培力小于重力，将做解：bc 进入磁场ad 未进入磁场时，电流I
=R
B 2L 2v =ma ，随着速度的增大，加速度将减小，A 可能B 不可能；加速运动，加速度向下：mg -R
如果bc 刚进入时安培力等于重力，将做匀速运动，D 可能；如果bc 刚进入时安培力大于重力，
B 2L 2v -mg =ma ，随着速度的减小，加速度将减小，加速度减到做减速运动，加速度将向上：R
零后，达到稳定速度，
C 可能。因此一定错误的是
B 。
3．电磁感应和动量知识结合
例11
．如图所示，矩形线圈以一定初速度沿直线水平向右穿过一个有理想边界的匀强磁场区，矩形线圈的一组对边跟磁场边界平行。只考虑磁场对线圈的作用力。
1 v 3 - 6 -
线圈进入磁场前的速度是v 1，线圈完全处于磁场中时的速度是v 2，线圈完全穿出磁场后的速度是v 3。比较线圈进入磁场和穿出磁场这两个过程，下列结论正确的是
A ．两个过程中线圈的动量变化相同 B ．进入磁场过程线圈的动量变化较大
C ．两个过程中线圈的动能变化相同 D ．进入磁场过程线圈的动能变化较小 ∆φ解：进入和穿出过程通过线圈的电量q =是相同的，因此磁场对线圈的安培力的冲量R
Ft=BlIt=Blq是相同的；根据动量定理，线圈的动量变化Δp=Ft是相同的；动能变化由安培力做功W=Fl量度，进入时速度大，安培力F 大，而l 相同，因此进入过程动能变化大。选A 。 ∆φ注意：解在电磁感应问题时，q =和Ft=Blq经常结合使用。 R
4．电磁感应和能量守恒知识结合
只要有感应电流产生，就一定伴随着能量的转化。要有意识地用能量守恒的思想分析问题。 例12．如图，矩形线圈abcd 质量为m ，宽为D ，在竖直平面内由静止自由
下落。其下方有如图方向的匀强磁场，磁场上下边界水平，宽也为D ，ab 边刚进
入磁场就开始做匀速运动，那么在线圈穿越磁场的全过程产生多少电热？
解：ab 刚进入磁场就做匀速运动，说明安培力与重力刚好平衡，由于线圈和
磁场宽度相同，dc 边刚进入磁场时ab 边刚好穿出，因此穿出过程安培力与重力
仍平衡，即线圈穿越磁场过程始终是匀速的，在这下落2d 的过程中，线圈的动能没有变，重力势能的减少全部转化为电能，由焦耳定律电流通过导线时，电能又全部转化为电热，
所以全过程产生电热等于全过程重力势能的减少，Q =2mgD 。
例13．如图所示，竖直放置的足够长的U 形导轨宽为L ，上端串有电阻R （其
余导体部分的电阻都忽略不计）。磁感应强度为B 的匀强磁场方向垂直于纸面向外。金属棒ab 的质量为m ，与导轨接触良好，不计摩擦。从静止释放后ab 保持水平而
下滑。求ab 下滑的最大速度v m 。
解：释放瞬间ab 只受重力，开始向下加速运动。随着速度的增大，感应电动
势E 、感应电流I 、安培力F 都随之增大，加速度随之减小。当F 增大到F=mg时，加速度变为
mgR B 2L 2v m 零，这时ab 达到最大速度。由F ==mg ，可得v m =22 B L R
注意分析该过程的功能关系：加速阶段重力做功的过程是重力势能向动能和电能转化的过程；安培力做功的过程是机械能向电能转化的过程；合外力（重力和安培力）做功的过程是动能增加的过程；电流做功的过程是电能向内能转化的过程。达到稳定速度后，重力势能的减小全部转化为电能，电流做功又使电能全部转化为内能。这时重力的功率等于电功率也等于热功率。
如果在该图上端电阻的右边串联接一只电键，让ab 下落一段距离后再闭合电键，那么闭合电键后ab 的运动情况又将如何？（无论何时闭合电键，ab 可能先加速后匀速，也可能先减速后匀速，还可能闭合电键后就开始匀速运动，但最终的稳定速度总是一样的）。
例14．如图所示，固定的水平光滑金属导轨，间距为L ，左端接有阻值为R 的电阻，处在方向竖直、磁感应强度为B 的匀强磁场中，质量为m 的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻均可忽略。初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有水平向右的初速度v 0。在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接
触。⑴求初始时刻导体棒受到的安培力。⑵若导体棒从初始时刻到
- 7 -
速度第一次为零时，弹簧的弹性势能为E p ，则这一过程中克服安培力所做的功W 1和电阻R 上产生的焦耳热Q 1分别为多少？⑶导体棒往复运动，最终将静止于何处？从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R 上产生的焦耳热Q 为多少？
E 解：⑴初始时刻感应电动势大小为E=BLv0，感应电流为I =，而安培力F=BLI，因此得R
B 2L 2v 0F =，方向向左。 R
⑵第一次向右运动阶段，由能量守恒，减小的动能转化为弹性势能和电能，电能又转化为焦
12耳热，因此W 1=Q 1= 2mv 0-E p
⑶最终导体棒动能将为零，感应电流也是零，因此弹簧弹力一定是零，静止在初始位置。全
12过程根据能量守恒，全部初动能都转化为焦耳热，因此Q =2mv 0
练习9 如图所示，水平的平行虚线间距为d =50cm，其间有B=1.0T 的匀强磁场。一个正方形线圈边长为l =10cm，线圈质量m=100g ，电阻为R =0.020Ω。开始时，线圈的下边缘到磁场上边缘的距离为h =80cm。将线圈由静止释放，其下边缘刚进入磁场和刚穿出磁场时的速度相等。取g =10m/s2，求：⑴线圈进入磁场过程中产生的电热Q 。⑵线圈下边缘穿越磁场过程中的最小速度v 。⑶线圈下边缘穿越磁场过程中加速度的最小值a 。 解：⑴由于线圈完全处于磁场中时不产生电热，所以线圈进入磁场过
程中产生的电热Q 就是线圈从图中2位置到4位置产生的电热，而2、4位置动能相同，由能量守恒Q =mgd=0.50J
⑵3位置时线圈速度一定最小，而3到4线圈是自由落体运动因此有 v 02-v 2=2g (d-l ) ，得v =22m/s
22B l v ⑶2到3是减速过程，因此安培力 F 由F -mg =ma 知加速= R 度减小，到3位置时加速度最小，a=4.1m/s2
例15．如图所示，水平面上固定有平行导轨，磁感应强度为B 的匀强磁场方向竖直向下。同种合金做的导体棒ab 、cd 横截面积之比为2∶1，长度和导轨的宽均为L ，ab 的质量为m ,电阻为r ，开始时ab 、cd 都垂直于导轨静止，不计摩擦。
给ab 一个向左的瞬时冲量I ，在以后的运动中，cd 的最大速度v m 、最大
加速度a m 、产生的电热Q 各是多少？
解：给ab 冲量后，ab 获得速度向左运动，回路中产生感应电流，cd 受安培力作用而加速，ab 受安培力而减速；当两者速度相等时，都开始做匀速运动。所以开始时cd 的加速度最大，最终cd 的速度最大。全过程系统动能的损失都转化为电能，电能又转化为内能。由于ab 、cd 横截面积之比为2∶1，所以电阻之比为1∶2，根据Q=I 2Rt ∝R ，所以cd 上产生的电热应该是回路中产生的全部电热的2/3。根据已知ab 的初速度v 1=I/m，E =BLv 1, I =E F ，, F =BLI , a m =r +2r m /2
m ⎫⎛2B 2L 2I 解得a m =。系统动量守恒，mv =m + ⎪v m ，最后的共同速度为v m =2I/3m ，系统动能损
123m 2r ⎝⎭
- 8 -
11⎛m ⎫2 2失为ΔE k =mv 12- m +⎪v m =I / 6m ，Q 总=ΔE k =I 2/ 6m ，其中cd 上产生电热Q=I 2/ 9m 22⎝2⎭
例16．磁悬浮列车是一种新型交通工具。它的驱动系统简化为如下模型，固定在列车下端的动力绕组可视为一个矩形纯电阻金属框，电阻为R ，金属框置于xOy 平面内，长边MN 长为l 平行于y 轴，宽为d 的NP 边平行于x 轴，如图1所示。列车轨道沿Ox 方向，轨道区域内存在垂直于金属框平面的磁场，磁感应强度B 沿Ox 方向按正弦规律分布，其空间周期为λ，最大值为B 0，如图2所示，金属框同一长边上各处的磁感应强度相同，整个磁场以速度v 0沿Ox 方向匀速平移。设在短暂时间内，MN 、PQ 边所在位置的磁感应强度随时间的变化可以忽略，并忽略一切阻力。列车在驱动系统作用下沿Ox 方向加速行驶，某时刻速度为v （v
解：⑴由于列车速度与磁场平移速度不同，导致穿过金属框的磁通量发生变化，金属
框中会产生感应电流，该电流在磁场中受的安培力将阻碍列车和磁场的相对运动，由于图1 图2
v
向，这就是列车的驱动力。
⑵MN 、PQ 应位于磁场中磁感应强度同为最大值且反向的位置，因此d 应为λ/2的奇数倍，
λ即d =(2k -1) （k=1，2，3，„„） 2
⑶此时回路总电动势为E=2B 0l (v 0-v ) ，电流为I =E /R ，MN 、PQ 每条边受的安培力为F=B0Il ，
224B 0l (v 0-v )金属框受到的总驱动力为F 驱=2F =。 R
注意：线框左右两边切割磁感线产生的感应电动势应相加，是每边感应电动势的2倍；线框左右两边受到的安培力等大同向，因此驱动力是每边所受安培力的2倍。
- 9 -
第八章 电磁感应
一、电磁感应现象
1．产生感应电流的条件
穿过闭合电路的磁通量发生变化。
当闭合电路的一部分导体在磁场中做切割磁感线的运动时，电路中有感应电流产生。
2．感应电动势产生的条件
穿过电路的磁通量发生变化。
无论电路是否闭合，只要穿过电路的磁通量变化了，就一定有感应电动势产生。
由磁场变化引起的感应电动势叫做感生电动势，其本质是变化的磁场在空间激发出电场；由导体切割磁感线产生的感应电动势叫做动生电动势，其本质与导体内部的自由电荷随导体运动时在磁场中运动受到的洛伦兹力有关。
3．磁通量和磁通量变化
如果在磁感应强度为B 的匀强磁场中有一个与磁场方向垂直的平面，其面积为S ，则定义B 与S 的乘积为穿过这个面的磁通量，用Φ表示，即Φ=BS 。Φ是标量，但是有方向（分进、出该面两种方向）。单位为韦伯，符号为W b 。1W b =1T∙m 2=1kg∙m 2/(A∙s 2) 。
可以认为磁通量就是穿过某个面的磁感线条数。
在匀强磁场的磁感线垂直于平面的情况下，B =Φ/S ，所以磁感应强度又叫磁通密度。
当匀强磁场的磁感应强度B 与平面S 的夹角为α时，磁通量Φ=BS sin α（α是B 与S 的夹角）。 磁通量的变化ΔΦ=Φ2-Φ1。磁通量是有方向的，当初、末状态磁通量方向相同时，计算磁通量变化时应将初、末状态磁通量的大小相减；当初、末状态的磁通量方向相反时，计算磁通量变化时应将初、末状态磁通量的大小相加。
二、感应电流的方向
1．楞次定律
感应电流具有这样的方向，即感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化。
楞次定律的表述中关键有两个磁场：感应电流的磁场（新产生的磁场）和引起感应电流的磁场（原来就有的磁场）。前者和后者的关系不是“同向”或“反向”的简单关系，而是前者“阻碍”后者“变化”的关系。
注意：“阻碍”不等于“反向”；“阻碍”不是“阻止”。
楞次定律的应用应该严格按以下四步进行：⑴确定原磁场方向；⑵判定原磁场如何变化（增大还是减小）；⑶确定感应电流的磁场方向（增反减同）；⑷根据安培定则判定感应电流的方向。
如果感应电流是由相对运动引起的，那么感应电流引起的结果一定是“阻碍相对运动”的。楞次定律的这个结论与能量守恒定律是一致的：既然有感应电流产生，就有其它能转化为电能。又由于感应电流是由相对运动引起的，该过程必然有机械能转化为电能，即机械能减少，磁场力对物体做负功，是阻力，表现出的现象就是“阻碍”相对运动。
如果磁通量变化是由自身电流变化引起的，那么它引起的结果一定是“阻碍自身电流变化”的，就是自感现象。
自感现象的应用：日光灯。要求掌握日光灯电路图，了解其原理。镇流器的作用：①启动时由于启动器自动断路形成瞬时高压，和电源电压叠加后加在灯管两端，使灯管内的汞蒸气电离而导电；②正常工作时与灯管串联分压。启动器的作用：接通电路后会自动断电，
使镇流器产生自感电动势。
- 1 -
自感现象的防止：定值电阻的双线绕法。两个线圈的电流大小相同，方向相反，产生的磁场也必然等大反向，因此穿过线圈的总磁通量始终为零。
练习1. 如图所示，闭合导体环固定。条形磁铁S 极向下以初速度v 0沿过导体环
v 圆心的竖直线下落过程，导体环中的感应电流方向如何？ S 解：从“阻碍磁通量变化”来看，当条形磁铁的中心恰好位于线圈M 所在的水平面时，
磁铁内部向上的磁感线都穿过了线圈，而磁铁外部向下穿过线圈的磁通量最少，所以此时刻穿过线圈M 的磁通量最大。因此全过程中原磁场方向向上，先增后减，感应电
流磁场方向先下后上，感应电流先顺时针后逆时针。
从“阻碍相对运动”来看，线圈对应该是先排斥（靠近阶段）后吸引（远离阶段），把条形磁铁等效为螺线管，该螺线管中的电流是从上向下看逆时针方向的，根据“同向电流互相吸引，反向电流互相排斥”，感应电流方向应该是先顺时针后逆时针的，与前一种方法的结论相同。
练习2. 如图所示，O 1O 2是矩形导线框abcd 的对称轴，其左方有垂直d 于纸面向外的匀强磁场。以下哪些情况下abcd 中有感应电流产生？方向如
何？ A. 将abcd 向纸外平移 B. 将abcd 向右平移
C. 将abcd 以ab 为轴转动60° D. 将abcd 以cd 为轴转动60°
解：A 、C 两种情况下穿过abcd 的磁通量没有发生变化，无感应电流产生。B 、D 两种情况下原磁通向外，减少，感应电流磁场向外，感应电流方向为abcd 。
练习3. 如图所示装置中，cd 杆原来静止。当ab 杆做如下那些运动时，cd 杆将向右移动？
A. 向右匀速运动 B. 向右加速运动
C. 向左加速运动 D. 向左减速运动 解：. ab 匀速运动时，ab 中感应电流恒定，L 1中磁通量不
变，穿过L 2的磁通量不变化，L 2中无感应电流产生，cd 保持静止，A 不正确；ab 向右加速运动时，L 2中的磁通量向下，增大，通过cd 的电流方向向下，cd 向右移动，B 正确；同理可得C 不正确，D 正确。选B 、D
练习4. 如图所示，当磁铁绕O 1O 2轴匀速转动时，矩形导线框（不考虑重力）将如何运动？
解：本题分析方法很多，最简单的方法是：从“阻碍相对运动”的角度来看，导
线框一定会跟随条形磁铁同方向转动起来。如果不计一切摩擦阻力，最终导线框
将和磁铁转动速度无限接近到可以认为相同；如果考虑摩擦阻力，则导线框的转
速总比条形磁铁转速小些（线框始终受到安培力矩的作用，大小和摩擦力的阻力矩相等）。如果用“阻碍磁通量变化”来分析，结论是一样的，但是叙述要复杂得多。可见这类定性判断的题要灵活运用楞次定律的各种表达方式。
练习5. 如图所示，水平面上有两根平行导轨，上面放两根金属棒a 、b 。
当条形磁铁如图向下移动时（不到达导轨平面），a 、b 将如何移动？
解：若按常规用“阻碍磁通量变化”判断，则需要根据下端磁极的极性分别进
行讨论，比较繁琐。而且在判定a 、b 所受磁场力时。
应该以磁极对它们的磁场
b
- 2 -
力为主，不能以a 、b 间的磁场力为主（因为它们的移动方向由所受的合磁场的磁场力决定，而磁铁的磁场显然是起主要作用的）。如果注意到：磁铁向下插，通过闭合回路的磁通量增大，由Φ=BS可知磁通量有增大的趋势，因此S 的相应变化应该是阻碍磁通量的增加，所以a 、b 将互相靠近。这样判定比较起来就简便得多。
练习6 如图所示，绝缘水平面上有两个离得很近的导体环a 、b 。将条形磁铁沿它们的正中向下移动（不到达该平面），a 、b 将如何移动？
解：根据Φ=BS，磁铁向下移动过程中，B 增大，所以穿过每个环中的磁通量都
有增大的趋势，由于S 不可改变，为阻碍增大，导体环应该尽量远离磁铁，所以
a 、b 将相互远离。
练习7. 如图所示，在条形磁铁从图示位置绕O 1O 2轴转动90°的过程中，放在导轨右端附近的金属棒ab 将如何移动？
解：无论条形磁铁的哪个极为N 极，也无论是顺时针转动还是逆时针转动，
在转动90°过程中，穿过闭合电路的磁通量总是增大的（条形磁铁内、外的磁感线条数相同但方向相反，在线框所围面积内的总磁通量和磁铁内部的磁
感线方向相同且增大。而该位置闭合电路所围面积越大，总磁通量越小，所以为阻碍磁通量增大金属棒ab 将向右移动。
2．右手定则。
对一部分导线在磁场中切割磁感线产生感应电流的情况，右手定则和楞次定律的结论是完全一致的。这时，用右手定则更方便一些。
例3．一长直铁芯上绕有一固定线圈M ，铁芯右端与一木质圆柱密接，木质圆柱上套有一闭合金属环N ，N 可在木质圆柱上无摩擦移动。M 连接在如图所示的电路中，其中R 为滑线变阻器，E 1和E 2为直流电源，S 为单刀双掷开关。下列情况中，可观测到N 向左运动的是
A ．在S 断开的情况下，S 向a 闭合的瞬间 右
B ．在S 断开的情况下，S 向b 闭合的瞬间C ．在S 己向a 闭合的情况下，将R 的滑动头向c 端移动时
D ．在S 己向a 闭合的情况下，将R 的滑动头向d 端移动时解：当线圈M 中电流增大时，穿过N 的磁通量增大，N 中感应电流方向与M 中电流方向相反，而反向电流互相排斥，N 将向右运动；同理，线圈M 中电流减小时，N 将向左运动。选C 。
例4．如图所示，用丝线将一个闭合金属环悬于O 点，虚线左边有垂直于纸面
向外的匀强磁场，而右边没有磁场。金属环的摆动会很快停下来。试解释这一现象。
若整个空间都有垂直于纸面向外的匀强磁场，会有这种现象吗？
解：只有左边有匀强磁场，金属环在穿越磁场边界时（无论是进入还是穿出），
由于磁通量发生变化，环内一定有感应电流产生。根据楞次定律，感应电流将会阻
碍相对运动，所以摆动会很快停下来，这就是电磁阻尼现象。若左边匀强磁场方向改为竖直向下，穿过金属环的磁通量始终为零，无感应电流，不会阻碍相对运动，摆动就不会很快停下来。
例5．如图所示，a 、b 灯分别标有“36V 40W”和“36V 25W”，闭合电键，调节R ，使a 、b 都正常发光。这时断开电键后重做实验。⑴电键闭合后看到的
现象是什么？⑵稳定后那只灯较亮？⑶再断开电键，又将看到什么现象？
解：⑴重新闭合后，由于L 对电流增大的阻碍作用，a 将慢慢亮起来，而b
立即变亮（这时L 的作用相当于一个大电阻）；⑵稳定后两灯都正常发光，
- 3 - I I
t
设这时它们的电流分别为I a 、I b ，由于a 的额定功率大，所以a 较亮，I a >I b ，（这时L 的作用相当于一只普通的电阻，就是线圈的内阻）；⑶断开后，由于L 对电流减小的阻碍作用，通过a 的电流从I a 逐渐减小，a 渐渐变暗到熄灭，而abRL 组成同一个闭合回路，所以通过b 灯的电流也将从I a 开始逐渐减小，由于原来的I a >I b ，因此b 灯会先闪亮一下，再逐渐变暗到熄灭，该阶段通过b 的电流方向与原来的电流方向相反（这时L 的作用相当于一个电源）。若a 灯的额定功率小于b 灯，则断开电键后b 灯将不会出现“闪亮”现象。
设电键是在t =t 0时刻断开的，则灯a 、b 的电流图象如右上图所示（以向左的电流为正。）
三、感应电动势的产生
1．法拉第电磁感应定律 电路中感应电动势的大小跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比，E =n ∆Φ。（用于感生∆t
电动势的计算，是平均值）
在导线垂直切割磁感线产生感应电动势的情况下，E=Blv。（用于动生电动势，是瞬时值。） 当v ∥B 时无感应电动势产生。 自感电动势E =L ∆I ，L 叫自感系数，简称自感或电感。L 与线圈的大小、形状、匝数、有无∆t
铁芯有关。
d 将均匀电阻丝做成的边长为l 的正方形线圈abcd 从匀强磁场中向右匀速拉出过程，仅ab 边上有感应电动势E =Blv ，ab 边相当于电源，另3边相当于外电路。ab 边两端的电压为3Blv /4，另3边每边两端的电压均为Blv /4。
将均匀电阻丝做成的边长为l 的正方形线圈abcd 放在匀强磁场中，当磁感应强
度均匀减小时，回路中有感应电动势产生，大小为E =l 2(ΔB /Δt ) ，这种情况下，每
条边两端的电压U =E /4-I r = 0均为零。
感应电流的电场线是封闭曲线，静电场的电场线是不封闭的，这一点和静电场
不同。
在导线切割磁感线产生感应电动势的情况下，由法拉第电磁感应定律可推导出感应电动势大小的表达式是：E=BLvsin α（α是B 与v 之间的夹角）。（瞬时值）
例6．如图所示，长L 1宽L 2的矩形线圈电阻为R ，处于磁感应强度为B 的匀强磁场边缘，线圈与磁感线垂直。求：将线圈以向右的速度v 匀速拉出磁场的过程中，⑴拉力的大小F ； ⑵拉力的功率P ； ⑶拉力做的功W ； ⑷线圈中产生的电热Q ；L
⑸通过线圈某一截面的电荷量q 。
B 2L 2E 2v 解：动生电动势，E=Blv。⑴E =BL 2v , I =, F =BIL 2, ∴F =∝v ；R R
B 2L 2v 2
2⑵P =Fv =∝v 2； R
E ∆ΦB 2L 2
2L 1v ⑶W =FL 1=与v 无关 ∝v ； ⑷Q =W ∝v ； ⑸ q =I ⋅t =t =R R R
本题有两点要特别注意：⑴要注意电热Q 和电荷量q 的区别；⑵电荷量q =∆Φ与速度无关（无
R
- 4 -
论该过程电流是否恒定，此结论总是成立的，若为n 匝线圈则q =n ∆Φ，R 表述回路的总电阻。） R
例7．如图所示，U 形导线框固定在水平面上，右端放有质量为m 的金属棒ab ，ab 与导轨间的动摩擦因数为μ，它们围成的矩形边长分别为L 1、L 2，回路的总电阻为R 。从t =0时刻起，在竖直向上方向加一个随时间均匀变化的匀强磁场B =kt ，（k >0）那么在t 为多大时，金属棒开始移动？ ∆Φ解：感生电动势，由E == kL 1L 2可知，回路中感应电动势是恒定的，电流大小也是恒定∆t
的，但由于安培力F=BIL1∝B =kt ∝t ，所以安培力将随时间而增大。当安培力增大到等于最大静摩擦力时，ab 将开始向左移动。这时有：kt ⋅L 1⋅kL 1L 2μmgR =μmg , t =22 R k L 1L 2
2．转动产生的感应电动势
⑴线圈的转动轴与磁感线垂直。矩形线圈的长、宽分别为L 1、L 2，所围面积为S ，向右的匀强磁场的磁感应强度为B ，线圈绕轴以角速度ω匀速转动。在图示位置，线圈的ab 、cd 两边切割磁感线，产生的感应电动势相加E=BSω。如果线圈由n 匝导线绕制而成，则E=nBSω。若从图示位置开始计时，感应电
动势的瞬时值为e=nBSωcos ωt 。该结论与线圈的形状和转动轴的具体位置无关（但是轴必须与B 垂直）。这就是交流发电机发出的交变电流的瞬时电动势公式。
⑵转动轴与磁感线平行。如图，磁感应强度为B 的匀强磁场方向垂直于纸
面向外，长L 的金属棒Oa 以O 为轴在该平面内以角速度ω逆时针匀速转动。求
金属棒中的感应电动势。在应用感应电动势的公式时，必须注意其中的速度v 应该指导线上各点的平均速度，在本题中应该是金属棒中点的速度，因此有
E =BL ⋅ωL 1=B ωL 2。 22
R 例8．如图所示，一导体圆环位于纸面内，O 为圆心。环内两个圆心角为90º的扇形区域内分别有匀强磁场，两磁场磁感应强度的大
小相等，方向相反且均与纸面垂直。导体杆OM 可绕O 转动，M 端通
过滑动触点与圆环良好接触。在圆心和圆环间连有电阻R 。杆OM 以匀角速度ω逆时针转动，t =0时恰好在图示位置。规定从a 到b 流经电阻R 的电流方向为正，圆环和导体杆的电阻忽略不计，则杆从t =0开始转动一周的过程中，电流随ωt 变化的图象是
A
B
C
D t t t t
解：转动轴与磁感线平行。OM 在扇形磁场区内转动时有恒定的感应电动势E =1B ωL 2，选C 。 2
练习8. 如图所示，xoy 坐标系y 轴左侧和右侧分别有垂直于纸面向外、
向里的匀强磁场，磁感应强度均为B ，一个围成四分之一圆形的导体环oab ，
其圆心在原点o ，半径为R ，开始时在第一象限。从t =0起绕o 点以角速度
- 5 -
ω逆时针匀速转动。试画出环内感应电动势E 随时间t 而变的函数图象（以顺时针电动势为正）。 解：开始的四分之一周期内，oa 、ob 中的感应电动势方向相同，大小应相加；第二个四分之一周期内穿过线圈的磁通量不变，因此感应电动势为零；第三个四分之一周期内感应电动势与第一个四分之一周期内大小相同而方向相反；第四个四分之一周期内感应电动势又为零。感应电动势的最大值为E m =BR2ω，周期为T =2π/ω，图象如右。 四、电磁感应的综合应用
1．电磁感应和恒定电流知识结合 例9．如图所示，粗细均匀的金属丝制成长方形导线框abcd （ad >ab ），处
于匀强磁场中。同种材料同样规格的金属丝MN 可与导线框保持良好的接触并
做无摩擦滑动。当MN 在外力作用下从导线框左端向右匀速运动移动到右端的N 过程中，导线框消耗的电功率的变化情况是
A ．始终增大 B ．先增大后减小 C ．先减小后增大 D ．增大减小，再增大再减小 解：MN 相当于电源，金属框是外电路。当MN 在左、右两端时，外电路总电阻R 1最小，且小于电源内阻r ；MN 在中央位置时，外电路总电阻R 2最大，且大于P 内阻r 。电源输出功率P 出随外电阻R 变化的规律如右图，当内、外电
阻相等时，电源的输出功率最大。本题当MN 从导线框左端移动到右
端的过程中，外电阻先从R 1（小于r ）增加到R 2（大于r ），输出功率 1 2 先增大再减小；接着外电阻又从R 2（大于r ）减小到R 1（小于r ），输出功率又是先增大再减小。因此选D 。 2．电磁感应和牛顿运动定律知识结合
例10．如右图所示，闭合导体线框abcd 从高处自由下落一段定距离后，进入一个有理想边界的匀强磁场中，磁场宽度h 大于线圈宽度l 。从bc 边开始进入磁场
到ad 边即将进入磁场的这段时间里，下面表示该过程中线框里感应电流i 随时间t
变化规律的图象中，一定错误的是
A
B
C D
t t t t
BLv ∝v ，
如果刚进入时安培力小于重力，将做解：bc 进入磁场ad 未进入磁场时，电流I
=R
B 2L 2v =ma ，随着速度的增大，加速度将减小，A 可能B 不可能；加速运动，加速度向下：mg -R
如果bc 刚进入时安培力等于重力，将做匀速运动，D 可能；如果bc 刚进入时安培力大于重力，
B 2L 2v -mg =ma ，随着速度的减小，加速度将减小，加速度减到做减速运动，加速度将向上：R
零后，达到稳定速度，
C 可能。因此一定错误的是
B 。
3．电磁感应和动量知识结合
例11
．如图所示，矩形线圈以一定初速度沿直线水平向右穿过一个有理想边界的匀强磁场区，矩形线圈的一组对边跟磁场边界平行。只考虑磁场对线圈的作用力。
1 v 3 - 6 -
线圈进入磁场前的速度是v 1，线圈完全处于磁场中时的速度是v 2，线圈完全穿出磁场后的速度是v 3。比较线圈进入磁场和穿出磁场这两个过程，下列结论正确的是
A ．两个过程中线圈的动量变化相同 B ．进入磁场过程线圈的动量变化较大
C ．两个过程中线圈的动能变化相同 D ．进入磁场过程线圈的动能变化较小 ∆φ解：进入和穿出过程通过线圈的电量q =是相同的，因此磁场对线圈的安培力的冲量R
Ft=BlIt=Blq是相同的；根据动量定理，线圈的动量变化Δp=Ft是相同的；动能变化由安培力做功W=Fl量度，进入时速度大，安培力F 大，而l 相同，因此进入过程动能变化大。选A 。 ∆φ注意：解在电磁感应问题时，q =和Ft=Blq经常结合使用。 R
4．电磁感应和能量守恒知识结合
只要有感应电流产生，就一定伴随着能量的转化。要有意识地用能量守恒的思想分析问题。 例12．如图，矩形线圈abcd 质量为m ，宽为D ，在竖直平面内由静止自由
下落。其下方有如图方向的匀强磁场，磁场上下边界水平，宽也为D ，ab 边刚进
入磁场就开始做匀速运动，那么在线圈穿越磁场的全过程产生多少电热？
解：ab 刚进入磁场就做匀速运动，说明安培力与重力刚好平衡，由于线圈和
磁场宽度相同，dc 边刚进入磁场时ab 边刚好穿出，因此穿出过程安培力与重力
仍平衡，即线圈穿越磁场过程始终是匀速的，在这下落2d 的过程中，线圈的动能没有变，重力势能的减少全部转化为电能，由焦耳定律电流通过导线时，电能又全部转化为电热，
所以全过程产生电热等于全过程重力势能的减少，Q =2mgD 。
例13．如图所示，竖直放置的足够长的U 形导轨宽为L ，上端串有电阻R （其
余导体部分的电阻都忽略不计）。磁感应强度为B 的匀强磁场方向垂直于纸面向外。金属棒ab 的质量为m ，与导轨接触良好，不计摩擦。从静止释放后ab 保持水平而
下滑。求ab 下滑的最大速度v m 。
解：释放瞬间ab 只受重力，开始向下加速运动。随着速度的增大，感应电动
势E 、感应电流I 、安培力F 都随之增大，加速度随之减小。当F 增大到F=mg时，加速度变为
mgR B 2L 2v m 零，这时ab 达到最大速度。由F ==mg ，可得v m =22 B L R
注意分析该过程的功能关系：加速阶段重力做功的过程是重力势能向动能和电能转化的过程；安培力做功的过程是机械能向电能转化的过程；合外力（重力和安培力）做功的过程是动能增加的过程；电流做功的过程是电能向内能转化的过程。达到稳定速度后，重力势能的减小全部转化为电能，电流做功又使电能全部转化为内能。这时重力的功率等于电功率也等于热功率。
如果在该图上端电阻的右边串联接一只电键，让ab 下落一段距离后再闭合电键，那么闭合电键后ab 的运动情况又将如何？（无论何时闭合电键，ab 可能先加速后匀速，也可能先减速后匀速，还可能闭合电键后就开始匀速运动，但最终的稳定速度总是一样的）。
例14．如图所示，固定的水平光滑金属导轨，间距为L ，左端接有阻值为R 的电阻，处在方向竖直、磁感应强度为B 的匀强磁场中，质量为m 的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻均可忽略。初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有水平向右的初速度v 0。在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接
触。⑴求初始时刻导体棒受到的安培力。⑵若导体棒从初始时刻到
- 7 -
速度第一次为零时，弹簧的弹性势能为E p ，则这一过程中克服安培力所做的功W 1和电阻R 上产生的焦耳热Q 1分别为多少？⑶导体棒往复运动，最终将静止于何处？从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R 上产生的焦耳热Q 为多少？
E 解：⑴初始时刻感应电动势大小为E=BLv0，感应电流为I =，而安培力F=BLI，因此得R
B 2L 2v 0F =，方向向左。 R
⑵第一次向右运动阶段，由能量守恒，减小的动能转化为弹性势能和电能，电能又转化为焦
12耳热，因此W 1=Q 1= 2mv 0-E p
⑶最终导体棒动能将为零，感应电流也是零，因此弹簧弹力一定是零，静止在初始位置。全
12过程根据能量守恒，全部初动能都转化为焦耳热，因此Q =2mv 0
练习9 如图所示，水平的平行虚线间距为d =50cm，其间有B=1.0T 的匀强磁场。一个正方形线圈边长为l =10cm，线圈质量m=100g ，电阻为R =0.020Ω。开始时，线圈的下边缘到磁场上边缘的距离为h =80cm。将线圈由静止释放，其下边缘刚进入磁场和刚穿出磁场时的速度相等。取g =10m/s2，求：⑴线圈进入磁场过程中产生的电热Q 。⑵线圈下边缘穿越磁场过程中的最小速度v 。⑶线圈下边缘穿越磁场过程中加速度的最小值a 。 解：⑴由于线圈完全处于磁场中时不产生电热，所以线圈进入磁场过
程中产生的电热Q 就是线圈从图中2位置到4位置产生的电热，而2、4位置动能相同，由能量守恒Q =mgd=0.50J
⑵3位置时线圈速度一定最小，而3到4线圈是自由落体运动因此有 v 02-v 2=2g (d-l ) ，得v =22m/s
22B l v ⑶2到3是减速过程，因此安培力 F 由F -mg =ma 知加速= R 度减小，到3位置时加速度最小，a=4.1m/s2
例15．如图所示，水平面上固定有平行导轨，磁感应强度为B 的匀强磁场方向竖直向下。同种合金做的导体棒ab 、cd 横截面积之比为2∶1，长度和导轨的宽均为L ，ab 的质量为m ,电阻为r ，开始时ab 、cd 都垂直于导轨静止，不计摩擦。
给ab 一个向左的瞬时冲量I ，在以后的运动中，cd 的最大速度v m 、最大
加速度a m 、产生的电热Q 各是多少？
解：给ab 冲量后，ab 获得速度向左运动，回路中产生感应电流，cd 受安培力作用而加速，ab 受安培力而减速；当两者速度相等时，都开始做匀速运动。所以开始时cd 的加速度最大，最终cd 的速度最大。全过程系统动能的损失都转化为电能，电能又转化为内能。由于ab 、cd 横截面积之比为2∶1，所以电阻之比为1∶2，根据Q=I 2Rt ∝R ，所以cd 上产生的电热应该是回路中产生的全部电热的2/3。根据已知ab 的初速度v 1=I/m，E =BLv 1, I =E F ，, F =BLI , a m =r +2r m /2
m ⎫⎛2B 2L 2I 解得a m =。系统动量守恒，mv =m + ⎪v m ，最后的共同速度为v m =2I/3m ，系统动能损
123m 2r ⎝⎭
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11⎛m ⎫2 2失为ΔE k =mv 12- m +⎪v m =I / 6m ，Q 总=ΔE k =I 2/ 6m ，其中cd 上产生电热Q=I 2/ 9m 22⎝2⎭
例16．磁悬浮列车是一种新型交通工具。它的驱动系统简化为如下模型，固定在列车下端的动力绕组可视为一个矩形纯电阻金属框，电阻为R ，金属框置于xOy 平面内，长边MN 长为l 平行于y 轴，宽为d 的NP 边平行于x 轴，如图1所示。列车轨道沿Ox 方向，轨道区域内存在垂直于金属框平面的磁场，磁感应强度B 沿Ox 方向按正弦规律分布，其空间周期为λ，最大值为B 0，如图2所示，金属框同一长边上各处的磁感应强度相同，整个磁场以速度v 0沿Ox 方向匀速平移。设在短暂时间内，MN 、PQ 边所在位置的磁感应强度随时间的变化可以忽略，并忽略一切阻力。列车在驱动系统作用下沿Ox 方向加速行驶，某时刻速度为v （v
解：⑴由于列车速度与磁场平移速度不同，导致穿过金属框的磁通量发生变化，金属
框中会产生感应电流，该电流在磁场中受的安培力将阻碍列车和磁场的相对运动，由于图1 图2
v
向，这就是列车的驱动力。
⑵MN 、PQ 应位于磁场中磁感应强度同为最大值且反向的位置，因此d 应为λ/2的奇数倍，
λ即d =(2k -1) （k=1，2，3，„„） 2
⑶此时回路总电动势为E=2B 0l (v 0-v ) ，电流为I =E /R ，MN 、PQ 每条边受的安培力为F=B0Il ，
224B 0l (v 0-v )金属框受到的总驱动力为F 驱=2F =。 R
注意：线框左右两边切割磁感线产生的感应电动势应相加，是每边感应电动势的2倍；线框左右两边受到的安培力等大同向，因此驱动力是每边所受安培力的2倍。
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