第二章
一、有理数的意义
2．1 正数和负数
一、知识点
1、像5； 8； 2.4；； π；等大于0的数叫正数。
1 像―1； ―5.2；―；―7；―π等在正数前面加上“－”号的数叫负数。 3
2、0既不是正数，也不是负数。
3、正整数自然数（也叫非负整数） 整数负整数
有理数零
正分数 有限小数和无限循环小数是分数，分数 如：3.14是分数 负分数
正整数非负有理数
零非正整数 负整数
负有理数负分数
负整数和零也叫非正整数；正数中含有正有理数；但正数不一定都是有理数；如π是正数，但不是有理数，当然也就不是分数。
区分正数和整数的概念。
二、例题：
例1、 把下列各数填在相应的集合中：
12215；―2；―0.3；；0；―；5.57；―1；π；102；―78；―104。 476
属于正数集合的有：___________________
属于整数集合的有：____________________
属于分数集合的有：_____________________
属于负数集合的有：________________
属于正整数集合的有：_________________
属于非正整数集合的有：________________
属于有理数集合的有：__________________
既不是正数，又不是负数的有：______________
例2、 填空：
1、如果温度上升6℃记作6℃，那么下降3℃记作________。
2、如果向南走8米，记作―8米，那么向北走15米应记作_____；那么向北走―6米表示向____走____米。
3、最小的正整数是______；最大的负整数是_____；最小的非负整数是______；
最大的非正整数是_______。
2、2数轴
一、知识点：
1、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
2、画数轴时，要注意数轴的三要素缺一不可。
3、数轴的作用：（1）是能形象地表示数，所有的有理数都可在数轴上用点来表示，但数轴上的点所表示的不一定是有理数；如：π。（2）通过数轴从图形上直观的解释相反数；帮助理解绝对值的意义，还可以比较有理数的大小。
4、有理数的大小比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。得到：正数大于0；0大于负数；正数大于负数。
二、例题：
例1、填空：
1、比―4大的负整数有__________________；
2、大于―3.5而不大于3的整数有______个；
3、比较下列数的大小（用“＜”“＞”“＝”填空）
45―5_____0 ； ______ ； ―1111______0.001 56
112 －______－ ；―0.67_____― ；―π_____―3.14 233
例2、如果a ＜0，―1＜b ＜0。试比较a 、ab 、ab 2的大小。
例3、 在数轴上把数4.5、―2.5、0、|―3|、―（―1）、―|―2|表示出来，并用
“＜”号把它们连接起来。
2、3相反数
一、知识点
1、像2和―2，1.5和―1.5这样只有符号不同的两个数，那么其中一个就是另一个的相反数。一般地，数a 的相反数是―a 。
2、规定：0的相反数是0。
3、在数轴上，互为相反数的两个数位于原点的两边，并到原点的距离相等
4、多重符号的化简：
二、例题：
例1、填空：
1、简化（1）；+（―5.2）=______;(2) ―[―(+5)] =______
(3)―{―[―(+2.7)]}=_______;(4)|―[―(―2.3)]|=______
2、_______的相反数是它本身。________的倒数等于它本身。
3、如果―x=7,那么x=____。
4、如果a 是负数，那么―a_____0;如果―a 是负数，那么a____0
例2、数a 、b 在数轴上表示的点如图，比较a 、b 、―a 、―b 的大小
2、4绝对值
一、知识点
1、一个数的绝对值就是在数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作|a|.
2、绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
3、去绝对值符号，要先考虑绝对值中的数的正负性。
二、例题：
例1、 填空：
1、已知|a|=2,则a=______；如果|－x|=5，则x=_______。
2、如果a ＞0，则|2a|=______；如果a ＜0, 则|2a|=_____。
3、__________的绝对值等于它本身。
4、绝对值不大于3的整数有____________________
5、|x|=－x ；则x 是________数。
|a |例2、 分类讨论的值的情况； -a
例3、 有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简
|c-b|+|a-c|-|b-c|
例4、 已知：a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 的绝对值为2，求代
|a +b |数式－cd+|m|的值。 2m
二、有理数的运算
一、知识点
2、5有理数的加法
1、有理数的加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）互为相反数的两数相加得0；（4）一个数和0相加，仍得这个数。
2、加法交换律：a+b=b+a
3、加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
4、运算时要注意：（1）结果的符号；（2）区分结果的绝对值是把两数的绝对值相加还是相减。
2、6有理数的减法
1、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)。
2、在有理数的减法运算未转化为有理数的加法运算时，被减数与减数的位置不能交换。对减法来讲，没有交换律。
3、在有理数的减法中，当被减数和减数都是正数，而且被减数大于减数时，即为小学学过的算术减法。
4、一个数减去0时等于这个数，但0减去一个数时，要按减法法则，写成加上这个数的相反数。
2、7有理数的加减混合运算
1、一个式子中，有加法也有减法，根据有理数的减法法则，把减法都转化为加法，式子就成为几个正数或负数的和。几个正数和负数的和，有时也叫做代数和。
2、“＋”、“－”、“×”、“÷”（加减乘除）叫做运算符号，而“＋”（正）、“－”（负）又叫做性质符号。
3、代数和里因为所有的运算都是加法，所以通常把加号省略不写，因此有理数―a+b―c 有两种读法：（1）“+”“―”当作性质符号，读作“―a 、b 、―c 的和”（2）“+”“―” 号当作运算符号，读作“―a 加b 减c”。
4、有理数的和可以大于任何一个加数，也可以小于任何一个加数，和可能是正数，也可能是负数或0。
2、8有理数的乘法
1、理数的乘法法则：两数相乘，同号得正、异号得负，并把绝对值相乘，任何数同0相乘，都得0。
2、几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
3、几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。
4、乘法的交换律：ab=ba
5、乘法的结合律：（ab ）c=a(bc)
6、乘法的分配律：a(b+c)=ab+ac
2、9有理数的除法
11、乘积是1的两数互为倒数，即a ·=1（a ≠0），也就是说，a(a≠0) 的倒a
1数是。 a
12、有理数的除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，即a ÷b=a，b
注意0不能作除数。
3、有理数的除法有与乘法相类似的法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都得0。
2、10有理数的乘方 个
1、一般地，有几个相同的因数a 相乘，即aa „„aa 记作a n , 这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数，a n 读作“a 的n 次方”，或“a 的n 次幂”。
2、根据乘方的意义，正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
3、把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记法叫做科学记数法。
4、区分（―2）2和―22； 32和3×2； 32和23；
2222
2×3和（2×3）； （）和。 3322
2、11有理数的混合运算
1、对于有理数的混合运算，要正确掌握运算顺序：（1）有括号的要先算括号内的；（2）不同级的要先算乘方，再算乘除，最后算加减。（3）同一级运算，要从左往右依次计算。
2、能用运算律时，可不按上面的常规顺序，达到简化计算的目的。
二、例题：
例1、 计算：
31、―0.6―（―0.07）―（―）+（+0.93）―（―23） 5
152、71×（―8） 16
1121353、×（―）×÷ 532114
434、―23÷×（―）2 92
254115、[3×（―）+0.4÷（―）]×1÷（―×8）6 3112558
6、 （―12
16）×（+3837）+（+512）×（―3837）―（―1723）×（+3837）
2、12近似数与有效数字
一、知识点：
1、一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
2、有效数字：从左边第一个非0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。
二、例题：
例1、 下列近似数各精确到哪一位？各有几个有效数字？
38200 0.040 20.0500 40万 3.14×105
例2、 用四舍五入的方法，按括号的要求对下列各数取近似
数。
（1）1.5982（精确到0.01）
（2）0.03046（保留两个有效数字）
（3）1598000（保留三个有效数字）
第二章
一、有理数的意义
2．1 正数和负数
一、知识点
1、像5； 8； 2.4；； π；等大于0的数叫正数。
1 像―1； ―5.2；―；―7；―π等在正数前面加上“－”号的数叫负数。 3
2、0既不是正数，也不是负数。
3、正整数自然数（也叫非负整数） 整数负整数
有理数零
正分数 有限小数和无限循环小数是分数，分数 如：3.14是分数 负分数
正整数非负有理数
零非正整数 负整数
负有理数负分数
负整数和零也叫非正整数；正数中含有正有理数；但正数不一定都是有理数；如π是正数，但不是有理数，当然也就不是分数。
区分正数和整数的概念。
二、例题：
例1、 把下列各数填在相应的集合中：
12215；―2；―0.3；；0；―；5.57；―1；π；102；―78；―104。 476
属于正数集合的有：___________________
属于整数集合的有：____________________
属于分数集合的有：_____________________
属于负数集合的有：________________
属于正整数集合的有：_________________
属于非正整数集合的有：________________
属于有理数集合的有：__________________
既不是正数，又不是负数的有：______________
例2、 填空：
1、如果温度上升6℃记作6℃，那么下降3℃记作________。
2、如果向南走8米，记作―8米，那么向北走15米应记作_____；那么向北走―6米表示向____走____米。
3、最小的正整数是______；最大的负整数是_____；最小的非负整数是______；
最大的非正整数是_______。
2、2数轴
一、知识点：
1、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
2、画数轴时，要注意数轴的三要素缺一不可。
3、数轴的作用：（1）是能形象地表示数，所有的有理数都可在数轴上用点来表示，但数轴上的点所表示的不一定是有理数；如：π。（2）通过数轴从图形上直观的解释相反数；帮助理解绝对值的意义，还可以比较有理数的大小。
4、有理数的大小比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。得到：正数大于0；0大于负数；正数大于负数。
二、例题：
例1、填空：
1、比―4大的负整数有__________________；
2、大于―3.5而不大于3的整数有______个；
3、比较下列数的大小（用“＜”“＞”“＝”填空）
45―5_____0 ； ______ ； ―1111______0.001 56
112 －______－ ；―0.67_____― ；―π_____―3.14 233
例2、如果a ＜0，―1＜b ＜0。试比较a 、ab 、ab 2的大小。
例3、 在数轴上把数4.5、―2.5、0、|―3|、―（―1）、―|―2|表示出来，并用
“＜”号把它们连接起来。
2、3相反数
一、知识点
1、像2和―2，1.5和―1.5这样只有符号不同的两个数，那么其中一个就是另一个的相反数。一般地，数a 的相反数是―a 。
2、规定：0的相反数是0。
3、在数轴上，互为相反数的两个数位于原点的两边，并到原点的距离相等
4、多重符号的化简：
二、例题：
例1、填空：
1、简化（1）；+（―5.2）=______;(2) ―[―(+5)] =______
(3)―{―[―(+2.7)]}=_______;(4)|―[―(―2.3)]|=______
2、_______的相反数是它本身。________的倒数等于它本身。
3、如果―x=7,那么x=____。
4、如果a 是负数，那么―a_____0;如果―a 是负数，那么a____0
例2、数a 、b 在数轴上表示的点如图，比较a 、b 、―a 、―b 的大小
2、4绝对值
一、知识点
1、一个数的绝对值就是在数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作|a|.
2、绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
3、去绝对值符号，要先考虑绝对值中的数的正负性。
二、例题：
例1、 填空：
1、已知|a|=2,则a=______；如果|－x|=5，则x=_______。
2、如果a ＞0，则|2a|=______；如果a ＜0, 则|2a|=_____。
3、__________的绝对值等于它本身。
4、绝对值不大于3的整数有____________________
5、|x|=－x ；则x 是________数。
|a |例2、 分类讨论的值的情况； -a
例3、 有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简
|c-b|+|a-c|-|b-c|
例4、 已知：a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 的绝对值为2，求代
|a +b |数式－cd+|m|的值。 2m
二、有理数的运算
一、知识点
2、5有理数的加法
1、有理数的加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）互为相反数的两数相加得0；（4）一个数和0相加，仍得这个数。
2、加法交换律：a+b=b+a
3、加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
4、运算时要注意：（1）结果的符号；（2）区分结果的绝对值是把两数的绝对值相加还是相减。
2、6有理数的减法
1、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)。
2、在有理数的减法运算未转化为有理数的加法运算时，被减数与减数的位置不能交换。对减法来讲，没有交换律。
3、在有理数的减法中，当被减数和减数都是正数，而且被减数大于减数时，即为小学学过的算术减法。
4、一个数减去0时等于这个数，但0减去一个数时，要按减法法则，写成加上这个数的相反数。
2、7有理数的加减混合运算
1、一个式子中，有加法也有减法，根据有理数的减法法则，把减法都转化为加法，式子就成为几个正数或负数的和。几个正数和负数的和，有时也叫做代数和。
2、“＋”、“－”、“×”、“÷”（加减乘除）叫做运算符号，而“＋”（正）、“－”（负）又叫做性质符号。
3、代数和里因为所有的运算都是加法，所以通常把加号省略不写，因此有理数―a+b―c 有两种读法：（1）“+”“―”当作性质符号，读作“―a 、b 、―c 的和”（2）“+”“―” 号当作运算符号，读作“―a 加b 减c”。
4、有理数的和可以大于任何一个加数，也可以小于任何一个加数，和可能是正数，也可能是负数或0。
2、8有理数的乘法
1、理数的乘法法则：两数相乘，同号得正、异号得负，并把绝对值相乘，任何数同0相乘，都得0。
2、几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
3、几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。
4、乘法的交换律：ab=ba
5、乘法的结合律：（ab ）c=a(bc)
6、乘法的分配律：a(b+c)=ab+ac
2、9有理数的除法
11、乘积是1的两数互为倒数，即a ·=1（a ≠0），也就是说，a(a≠0) 的倒a
1数是。 a
12、有理数的除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，即a ÷b=a，b
注意0不能作除数。
3、有理数的除法有与乘法相类似的法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都得0。
2、10有理数的乘方 个
1、一般地，有几个相同的因数a 相乘，即aa „„aa 记作a n , 这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数，a n 读作“a 的n 次方”，或“a 的n 次幂”。
2、根据乘方的意义，正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
3、把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记法叫做科学记数法。
4、区分（―2）2和―22； 32和3×2； 32和23；
2222
2×3和（2×3）； （）和。 3322
2、11有理数的混合运算
1、对于有理数的混合运算，要正确掌握运算顺序：（1）有括号的要先算括号内的；（2）不同级的要先算乘方，再算乘除，最后算加减。（3）同一级运算，要从左往右依次计算。
2、能用运算律时，可不按上面的常规顺序，达到简化计算的目的。
二、例题：
例1、 计算：
31、―0.6―（―0.07）―（―）+（+0.93）―（―23） 5
152、71×（―8） 16
1121353、×（―）×÷ 532114
434、―23÷×（―）2 92
254115、[3×（―）+0.4÷（―）]×1÷（―×8）6 3112558
6、 （―12
16）×（+3837）+（+512）×（―3837）―（―1723）×（+3837）
2、12近似数与有效数字
一、知识点：
1、一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
2、有效数字：从左边第一个非0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。
二、例题：
例1、 下列近似数各精确到哪一位？各有几个有效数字？
38200 0.040 20.0500 40万 3.14×105
例2、 用四舍五入的方法，按括号的要求对下列各数取近似
数。
（1）1.5982（精确到0.01）
（2）0.03046（保留两个有效数字）
（3）1598000（保留三个有效数字）