科技信息专题论述
一和求船有理函数积分的简便方法
山东万杰医学院数学教研室刘国兴魏涛
［摘耍】求解有理函数的积分，通常的方法是将真分式分解为部分分式之和，对于部分分式中的系数一般都是用待定系数法来求。但计算比较复杂，本文介绍了一种比较简单的求一次因式的系数的方法。
［关键词】有理函数积分一次因式部分分式
对于有理函数的积分ｆ嚣潜ｄｘ。在实数范围内，Ｑ（ｘ）总可以分解成
一次因式与二次不可约因式的乘积．即：例：』南出
Ｑ（ｘ）＝ａ．舡—ｃ。，（ｘ—ｃ妒…ｘ－ｃＪ‘（ｘ２＋ｐ．ｘ＋ｑ，，‘…（ｘ２＋ｐｌｘ＋ｑｒ）‘解：将ｉ；二毒酽面分解为部分分式之和
其中ｃｌ’．一，～ｐＩ．…．ｐ—ｑＩ’．～，ｑｒ为实数，ｆｌ＇．“厶ｋＩ＇．～ｋ为正整数，并且
ｘａ＋ｐｉｘ＋ｑ，（ｉ－ｌ，２，…，ｒ）是不可约的。则器２忑瓦１．再／．ｉｔ篙丽ｋ丽．ｋ．丽１＝鲁＋盘＋南＋箐两边同时乘以（卜１户，则赤＝Ａ－（】一１）２＋Ａ２（ｘ－ｌ卜Ａ一鼍莩｝ｏｃ．１），为方便说明，这里只考虑（ｘ－。Ｉ）ｌ’项拆成的部分分式的系数。令六州，则删１）：争，Ａ卯（１畸＇Ａｌ－业２
令Ｄ（ｘ）；嘶—ｃ矿…“＿ｏ‘（＇“ｐ。ｘ＋ｑ一一。冉”删‘，显然Ｄ（ｃ０≠０
两边同时乘以ｏ。。。）ｌＩ则器２盏２尚＋寺＋．．…＋击＋器即南＝丽１＋由＋由＋箐＝了１所以』莉１再对右边通分后，比较两端分子的同次幂系数得Ｂ一了１，Ｃ＝｝ｄｘ
则器＝Ａ忡ｎ蜘吧，。２…Ａ＾＋器㈣，＝』（南＋互可１＋采矿＋赫）ｄｘ
设Ｅ怍器㈣１）ｊＩ胖器劂眯ｏ＝０（ｋ都。…，／『ｔ－１，＝｝ｌＩＩｘ—ｌＩ＋丽ｂ一可：可１一｝ｌ－竹１）＋｝一＋ｃ
取ｘ＝ｃ－可解得舢一－玎（ｃ－）…Ａｔ＝！ｉｉｊ铲＝｝ｌｌｌＩｘ－ｌｌ＋姒２什ｘ－．３Ｆ一｝ｌＩｌ陋１）＋｝ａＩｃｔ姗ｘ＋ｃ
用同样的方法可求出其他一次因式的待定的系数，进而简化有理参考文献
函数的积分。［１］复旦大学数学系．数学分析．高等教育出版社，１９８３誊仍Ｉ说明．［２］同济大学应用数学系．高等数学．高等教育出版社，２００２
（上接第３０７页）到学生在课堂探究中有很大的自我发挥和自我展示思维的突破和升华，也就提不出科学合理的猜想与假设。所以我们在学的空间和机会，学生的学习兴趣浓，参与活动的积极性高，学生的主体生做出猜想与假设前，应该为学生获得有关问题的感性认识、占有足够性地位得到保证。２．通过探究性学习活动，提高了学生的团结合作意识的事实、提供丰富的表象与及时的帮助，要使学生具备与猜想的问题相及交往能力。这一点也可以从前面的教学案例中去解读。关的知识与生活经验。这样学生就不会盲目胡思乱想．让猜测有理有
（六）教师在探究教学中的作用：１．教师是特殊的学生。探究过程中．据，为课堂探究教学下一步帮助学生确定研究方向、制定计划、选掸实教师不要轻易表达自己的意见，以免自己的观点干扰ｒ学生的思维。要验方法奠定了基础．提高了教学效率。
在学生发表自己的看法后，和学生一起讨论。２．教师是学生的“保护神”。（三）课堂探究教学模式的变通
教师对学生的每一个发现、每一朵创新的火花都要注意保护和鼓励。要课堂探究活动是系统的，也是灵活的．在前面提到的不同类型的物努力使学生对学习物理保持长久的兴趣。理课堂探究教学模式也不是一成不变的。在有些情况下，程序可以有所
三、思考变通。这需要教师根据教学内容、教学目标和学生实际来对基本模式进
（一）教学内容要有所选择，不是所有内容都适合运用探究式教学行适当的调整。比如新授课教学模式［（流程图）提问—探究一归纳一方式进行教学练习］不是四个，还可以更加的细致；又比如科学探究程序的顺序可以高中物理新课程结构和课程内容突出了对知识建构的过程，使学生适当调整等等。
的主体性作用和自主性的探究能力培养得到了教学过程结构的保证。总之，课堂探究教学是一个需要探究的课题，“纸上得来终觉浅，绝这凸显了目前教学改革的中心已从让学生接受结论转向让学生自己去知此事要躬行”，只有扎根于课堂教学这一片土壤。才能汲取养分。提高探索知识的形成过程，自己去解决问题。即大力倡导探究性学习．我们自己的课堂实践能力和丰富的课堂实践智慧。
确实应该精心选择一些值得探究的内容，多花一一些时间用于探究教学，
还可以结合学生实际，自己设计一些探究性课题补充、拓展。但我们也参考文献
应清醒地认识到．科学探究不是唯一的教学方式，也不是任何情况下最［１］刘力．新课程理念下的物理教学论［Ｍ］．北京：科学出版社，２００７好的教学力．式。探究教学是・种费时的教学，不可能也不必事事探究。［２］中华人民共和国教育部．普通高中物理课程标准（实验）［Ｍ］．北高中物理新课程结构和课程内容的时代性、基础性、选择性突出了对学京：人民教育出版社，２００３．４
生素质的全面培养，这就要求我们教师要蘑视利用多样化的教学方式［３］李健萍，魏巍．教育学导论［Ｍ］．北京：人民出版社，２００２．７进行教学，使它们的长处和不足口ｒ以互相补充．我们要根据不同的教学［４］管建详．例谈中学物理教学中三类探究性学习活动［Ｊ］．中学物内容和课程资源去选择适当的教学方式：讲授式、实践活动式、探究式、理教与擘，２００８年第三期
实验式、多媒体辅助教学等，例如牛顿第一定律的教学．就可以综合利［５］李友兴．高中物理探宽学习教学内容的选择与设计［Ｊ］．中学物用以卜多种教学方式去完成教学任务。同时，教师在选择多种教学方式理教与学，２００８年第一期
进行教学中表现出的素质也必然会从另一方面潜移默化地促进对学生［６］郭长江．探究式课堂教学：概念与特征［Ｊ］．中学物理教与学，２００８全面素质的提高。对此。我们的认识足：教师在平时应注意某些要素的年第四期
探究活动，精心安排好几个完整的教学活动，避免“过于强化科学探究”［７］卜昭和．自主探究学素导学理论与实践［Ｍ］．北京：长征出版社，的教学倾向．而忽略ｒ其他教学方法的合理运用。２００１．１０
（二）教学中要重视探究猜测的科学与合理性［８］纪荣耀．设计课堂问题构建学习支架［Ｊ］．中学物理教与学，２００７猜测与假设能力在科学探究中是非常亘要的，在探究式教学中，教年第八期
师让学生探究问题时进行多方位、大胆的猜想和假设，对学生科学素养［９］马桂君．高中物理探究性学习活动的实践与思考［Ｊ］．中学物理的培养非常霞要。但在教学中学生容易出现五花八门、随意性大、毫无教与学。２００７年第三期
价值的猜想的结果，如何避免呢？分析原闪，这是因为学生没有在自己［１０］简宇宏，于钢，许敏．高中物理课程实施与案例分析［Ｍ］．桂林：的知识和经验中寻找依据，缺少原有的知识经验做基础。因而不能完成广西师范大学出版社，２００７．１２一３０８一
万方数据
一种求解有理函数积分的简便方法
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：刘国兴， 魏涛山东万杰医学院数学教研室科技信息SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION2009，""(2)0次
参考文献(2条)
1. 复旦大学数学系 数学分析 1983
2. 同济大学应用数学系 高等数学 2002
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_kjxx200902260.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：49a81e5e-d82e-486d-b544-9dc90150f615
下载时间：2010年8月5日
科技信息专题论述
一和求船有理函数积分的简便方法
山东万杰医学院数学教研室刘国兴魏涛
［摘耍】求解有理函数的积分，通常的方法是将真分式分解为部分分式之和，对于部分分式中的系数一般都是用待定系数法来求。但计算比较复杂，本文介绍了一种比较简单的求一次因式的系数的方法。
［关键词】有理函数积分一次因式部分分式
对于有理函数的积分ｆ嚣潜ｄｘ。在实数范围内，Ｑ（ｘ）总可以分解成
一次因式与二次不可约因式的乘积．即：例：』南出
Ｑ（ｘ）＝ａ．舡—ｃ。，（ｘ—ｃ妒…ｘ－ｃＪ‘（ｘ２＋ｐ．ｘ＋ｑ，，‘…（ｘ２＋ｐｌｘ＋ｑｒ）‘解：将ｉ；二毒酽面分解为部分分式之和
其中ｃｌ’．一，～ｐＩ．…．ｐ—ｑＩ’．～，ｑｒ为实数，ｆｌ＇．“厶ｋＩ＇．～ｋ为正整数，并且
ｘａ＋ｐｉｘ＋ｑ，（ｉ－ｌ，２，…，ｒ）是不可约的。则器２忑瓦１．再／．ｉｔ篙丽ｋ丽．ｋ．丽１＝鲁＋盘＋南＋箐两边同时乘以（卜１户，则赤＝Ａ－（】一１）２＋Ａ２（ｘ－ｌ卜Ａ一鼍莩｝ｏｃ．１），为方便说明，这里只考虑（ｘ－。Ｉ）ｌ’项拆成的部分分式的系数。令六州，则删１）：争，Ａ卯（１畸＇Ａｌ－业２
令Ｄ（ｘ）；嘶—ｃ矿…“＿ｏ‘（＇“ｐ。ｘ＋ｑ一一。冉”删‘，显然Ｄ（ｃ０≠０
两边同时乘以ｏ。。。）ｌＩ则器２盏２尚＋寺＋．．…＋击＋器即南＝丽１＋由＋由＋箐＝了１所以』莉１再对右边通分后，比较两端分子的同次幂系数得Ｂ一了１，Ｃ＝｝ｄｘ
则器＝Ａ忡ｎ蜘吧，。２…Ａ＾＋器㈣，＝』（南＋互可１＋采矿＋赫）ｄｘ
设Ｅ怍器㈣１）ｊＩ胖器劂眯ｏ＝０（ｋ都。…，／『ｔ－１，＝｝ｌＩＩｘ—ｌＩ＋丽ｂ一可：可１一｝ｌ－竹１）＋｝一＋ｃ
取ｘ＝ｃ－可解得舢一－玎（ｃ－）…Ａｔ＝！ｉｉｊ铲＝｝ｌｌｌＩｘ－ｌｌ＋姒２什ｘ－．３Ｆ一｝ｌＩｌ陋１）＋｝ａＩｃｔ姗ｘ＋ｃ
用同样的方法可求出其他一次因式的待定的系数，进而简化有理参考文献
函数的积分。［１］复旦大学数学系．数学分析．高等教育出版社，１９８３誊仍Ｉ说明．［２］同济大学应用数学系．高等数学．高等教育出版社，２００２
（上接第３０７页）到学生在课堂探究中有很大的自我发挥和自我展示思维的突破和升华，也就提不出科学合理的猜想与假设。所以我们在学的空间和机会，学生的学习兴趣浓，参与活动的积极性高，学生的主体生做出猜想与假设前，应该为学生获得有关问题的感性认识、占有足够性地位得到保证。２．通过探究性学习活动，提高了学生的团结合作意识的事实、提供丰富的表象与及时的帮助，要使学生具备与猜想的问题相及交往能力。这一点也可以从前面的教学案例中去解读。关的知识与生活经验。这样学生就不会盲目胡思乱想．让猜测有理有
（六）教师在探究教学中的作用：１．教师是特殊的学生。探究过程中．据，为课堂探究教学下一步帮助学生确定研究方向、制定计划、选掸实教师不要轻易表达自己的意见，以免自己的观点干扰ｒ学生的思维。要验方法奠定了基础．提高了教学效率。
在学生发表自己的看法后，和学生一起讨论。２．教师是学生的“保护神”。（三）课堂探究教学模式的变通
教师对学生的每一个发现、每一朵创新的火花都要注意保护和鼓励。要课堂探究活动是系统的，也是灵活的．在前面提到的不同类型的物努力使学生对学习物理保持长久的兴趣。理课堂探究教学模式也不是一成不变的。在有些情况下，程序可以有所
三、思考变通。这需要教师根据教学内容、教学目标和学生实际来对基本模式进
（一）教学内容要有所选择，不是所有内容都适合运用探究式教学行适当的调整。比如新授课教学模式［（流程图）提问—探究一归纳一方式进行教学练习］不是四个，还可以更加的细致；又比如科学探究程序的顺序可以高中物理新课程结构和课程内容突出了对知识建构的过程，使学生适当调整等等。
的主体性作用和自主性的探究能力培养得到了教学过程结构的保证。总之，课堂探究教学是一个需要探究的课题，“纸上得来终觉浅，绝这凸显了目前教学改革的中心已从让学生接受结论转向让学生自己去知此事要躬行”，只有扎根于课堂教学这一片土壤。才能汲取养分。提高探索知识的形成过程，自己去解决问题。即大力倡导探究性学习．我们自己的课堂实践能力和丰富的课堂实践智慧。
确实应该精心选择一些值得探究的内容，多花一一些时间用于探究教学，
还可以结合学生实际，自己设计一些探究性课题补充、拓展。但我们也参考文献
应清醒地认识到．科学探究不是唯一的教学方式，也不是任何情况下最［１］刘力．新课程理念下的物理教学论［Ｍ］．北京：科学出版社，２００７好的教学力．式。探究教学是・种费时的教学，不可能也不必事事探究。［２］中华人民共和国教育部．普通高中物理课程标准（实验）［Ｍ］．北高中物理新课程结构和课程内容的时代性、基础性、选择性突出了对学京：人民教育出版社，２００３．４
生素质的全面培养，这就要求我们教师要蘑视利用多样化的教学方式［３］李健萍，魏巍．教育学导论［Ｍ］．北京：人民出版社，２００２．７进行教学，使它们的长处和不足口ｒ以互相补充．我们要根据不同的教学［４］管建详．例谈中学物理教学中三类探究性学习活动［Ｊ］．中学物内容和课程资源去选择适当的教学方式：讲授式、实践活动式、探究式、理教与擘，２００８年第三期
实验式、多媒体辅助教学等，例如牛顿第一定律的教学．就可以综合利［５］李友兴．高中物理探宽学习教学内容的选择与设计［Ｊ］．中学物用以卜多种教学方式去完成教学任务。同时，教师在选择多种教学方式理教与学，２００８年第一期
进行教学中表现出的素质也必然会从另一方面潜移默化地促进对学生［６］郭长江．探究式课堂教学：概念与特征［Ｊ］．中学物理教与学，２００８全面素质的提高。对此。我们的认识足：教师在平时应注意某些要素的年第四期
探究活动，精心安排好几个完整的教学活动，避免“过于强化科学探究”［７］卜昭和．自主探究学素导学理论与实践［Ｍ］．北京：长征出版社，的教学倾向．而忽略ｒ其他教学方法的合理运用。２００１．１０
（二）教学中要重视探究猜测的科学与合理性［８］纪荣耀．设计课堂问题构建学习支架［Ｊ］．中学物理教与学，２００７猜测与假设能力在科学探究中是非常亘要的，在探究式教学中，教年第八期
师让学生探究问题时进行多方位、大胆的猜想和假设，对学生科学素养［９］马桂君．高中物理探究性学习活动的实践与思考［Ｊ］．中学物理的培养非常霞要。但在教学中学生容易出现五花八门、随意性大、毫无教与学。２００７年第三期
价值的猜想的结果，如何避免呢？分析原闪，这是因为学生没有在自己［１０］简宇宏，于钢，许敏．高中物理课程实施与案例分析［Ｍ］．桂林：的知识和经验中寻找依据，缺少原有的知识经验做基础。因而不能完成广西师范大学出版社，２００７．１２一３０８一
万方数据
一种求解有理函数积分的简便方法
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：刘国兴， 魏涛山东万杰医学院数学教研室科技信息SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION2009，""(2)0次
参考文献(2条)
1. 复旦大学数学系 数学分析 1983
2. 同济大学应用数学系 高等数学 2002
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_kjxx200902260.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：49a81e5e-d82e-486d-b544-9dc90150f615
下载时间：2010年8月5日