抽象函数定义域的类型及求法

抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是求其定义域时，许多同学解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法．

一、已知f (x ) 的定义域，求f [g (x ) ]的定义域

其解法是：若f (x ) 的定义域为a ≤x ≤b ，则在f [g (x ) ]中，a ≤g (x ) ≤b ，从中解得x 的取值范围即为f [g (x ) ]的定义域．

例1 已知函数f (x ) 的定义域为[-15，]，求f (3x -5) 的定义域．

分析：该函数是由u =3x -5和f (u ) 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于f (x ) 与f (u ) 是同一个函数，因此这里是已知-1≤u ≤5，即-1≤3x -5≤5，求x 的取值范围．

410解： f (x ) 的定义域为[-15，]，∴-1≤3x -5≤5，∴3≤x ≤3．

⎡410⎤故函数f (3x -5) 的定义域为⎢⎥． ⎣33⎦

二、已知f [g (x ) ]的定义域，求f (x ) 的定义域

其解法是：若f [g (x ) ]的定义域为m ≤x ≤n ，则由m ≤x ≤n 确定的g (x ) 的范围即为f (x ) 的定义域．

例2 已知函数f (x 2-2x +2) 的定义域为[0，3]，求函数f (x ) 的定义域．分析：令u =x 2-2x +2，则f (x 2-2x +2) =f (u ) ，

由于f (u ) 与f (x ) 是同一函数，因此u 的取值范围即为f (x ) 的定义域．解：由0≤x ≤3，得1≤x 2-2x +2≤5．

令u =x 2-2x +2，则f (x 2-2x +2) =f (u ) ，1≤u ≤5．

故f (x ) 的定义域为[15，]．

三、运算型的抽象函数

求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各

个函数的定义域，然后再求交集．

例３若f (x ) 的定义域为[-3，5]，求ϕ(x ) =f (-x ) +f (2x +5) 的定义域．

⎧-3≤-x ≤5，解：由f (x ) 的定义域为[-3则ϕ(x ) 必有⎨解得-4≤x ≤0．，5]，

⎩-3≤2x +5≤5，

所以函数ϕ(x ) 的定义域为[-4，0]．