一、等差数列
1. 等差数列的定义：a n -a n -1=d （d 为常数）（n ≥2）；
2．等差数列通项公式：
a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N ) ， 首项:a 1，公差:d，末项:a n 推广： a n =a m +(n -m ) d ． 从而d =
3．等差中项
（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：A
=a +b 2
*
a n -a m n -m
；
或2A =a +b
（2）等差中项：数列{a n }是等差数列⇔2a n =a n -1+a n +1(n ≥2) ⇔2a n +1=a n +a n +2
4．等差数列的前n 项和公式：
S n =
n (a 1+a n )
2
=n a 1+
n (n -1)
2
d =
d 2
n +(a 1-
2
12
d ) n =A n +B n
2
（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数2n +1时，a n +1是项数为2n+1的等差数列的中间项
S 2n +1=
(2n +1)(a 1+a 2n +1)
2
=(2n +1)a n +1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）
5．等差数列的判定方法
（1） 定义法：若a n -a n -1=d 或a n +1-a n =d (常数n ∈N ) ⇔ {a n }是等差数列．
*
（2） 等差中项：数列{a n }是等差数列⇔2a n =a n -1+a n +1(n ≥2) ⇔2a n +1=a n +a n +2． ⑶数列{a n }是等差数列⇔a n =kn +b （其中k , b 是常数）。 （4）数列{a n }是等差数列⇔S n =A n +B n , （其中A 、B 是常数）。
2
6．等差数列的证明方法
定义法：若a n -a n -1=d 或a n +1-a n =d (常数n ∈N ) ⇔ {a n }是等差数列．
*
7. 提醒：
（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：a 1、d 、n 、a n 及S n ，其中a 1、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）设项技巧：
①一般可设通项a n =a 1+(n -1) d
②奇数个数成等差，可设为„，a -2d , a -d , a , a +d , a +2d „（公差为d ）；
③偶数个数成等差，可设为„，a -3d , a -d , a +d , a +3d , „（注意；公差为2d ）
8.. 等差数列的性质： （1）当公差d ≠0时，
等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；
前n 和S n =n a 1+
n (n -1)
2
d =
d 2
n +(a 1-
2
d 2
) n 是关于n 的二次函数且常数项为0.
（2）若公差d >0，则为递增等差数列，若公差d
（3）当m +n =p +q 时, 则有a m +a n =a p +a q ，特别地，当m +n =2p 时，则有a m +a n =2a p .
注：a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2=⋅⋅⋅，
（4）若{a n }、{b n }为等差数列，则{λa n +b }，{λ1a n +λ2b n }都为等差数列
(5) 若{a n }是等差数列，则S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ，„也成等差数列
（6）数列{a n }为等差数列, 每隔k(k∈N ) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ⋅⋅⋅) 仍为等差数列
（7）设数列{a n }是等差数列，d 为公差，S 奇是奇数项的和，S 偶是偶数项项的和，S n 是前n 项的和
1. 当项数为偶数2n 时，
S 奇=a 1+a 3+a 5+⋅⋅⋅+a 2n -1=S 偶=a 2+a 4+a 6+⋅⋅⋅+a 2n =
n (a 1+a 2n -1)
2
n (a 2+a 2n )
2
=n a n
*
=n a n +1
S 偶-S 奇=na n +1-na n =n (a n +1-a n ) S 奇S 偶
=n a n n a n +1
=a n a n +1
2、当项数为奇数2n +1时，则
⎧⎧S 奇=(n +1) a n +1S 奇n +1⎪S 2n +1=S 奇+S 偶=(2n +1) a n +1⎪
⇒⇒= ⎨⎨
S 奇-S 偶=a n +1S 偶n ⎪S 偶=n a n +1⎪⎩⎩
（其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．
（8）、{b n }的前n 和分别为A n 、B n ，且
则
（9）等差数列{a n }的前n 项和S m =n ，前m 项和S n =m ，则前m+n项和S m +n =-(m +n )
(10)求S n 的最值
法一：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n ∈N 。 法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和
⎧a n ≥0
即当a 1>0，d
a ≤0⎩n +1
*
A n B n
=f (n ) ，
a n b n
=
(2n -1) a n (2n -1) b n
=
A 2n -1B 2n -1
=f (2n -1) .
（2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。
即 当a 10， 由⎨
⎧a n ≤0⎩a n +1≥0
可得S n 达到最小值时的n 值．或求{a n }中正负分界项
法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数，故n 取离二次
函数对称轴最近的整数时，S n 取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为n =
p +q 2
注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于a 1和d 的方程；
②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．
二、等比数列
1. 等比数列的定义：2. 通项公式：
a n =a 1q
n -1
a n a n -1
=q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N
*
)，q 称为公比
=
a 1q
q =A ⋅B
n n
(a 1⋅q ≠0, A ⋅B ≠0)， 首项：a 1；公比：q
推广：a n =a m q 3. 等比中项
n -m
， 从而得q
n -m
=
a n a m
或q =
n （1）如果a , A , b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：A =
ab 或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数） （2）数列{a n }是等比数列⇔a n =a n -1⋅a n +1
2
2
4. 等比数列的前n 项和S n 公式： (1) 当q =1时， S n =n a 1
a 1(1-q 1-q a 11-q
n
(2) 当q ≠1时，S n =
)
=
a 1-a n q 1-q
n
=-
a 11-q
q =A -A ⋅B
n
=A ' B -A ' （A , B , A ', B ' 为常数）
n
5. 等比数列的判定方法
（1）用定义：对任意的n, 都有a n +1=q a n 或
2
a n +1a n
=q (q 为常数，a n ≠0) ⇔{a n }为等比数列
（2） 等比中项：a n =a n +1a n -1（a n +1a n -1≠0）⇔{a n }为等比数列 （3） 通项公式：a n =A ⋅B (A ⋅B ≠0)⇔{a n }为等比数列
（4） 前n 项和公式：S n =A -A ⋅B 或S n =A ' B -A ' (A , B , A ', B ' 为常数)⇔{a n }为等比数列
n
n
n
6. 等比数列的证明方法 依据定义：若
a n a n -1
=q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N
*
)或a
n +1
=qa n ⇔{a n }为等比数列
7. 注意
（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：a 1、q 、n 、a n 及S n ，其中a 1、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；a n =a 1q
如奇数个数成等差，可设为„，
a q
2
n -1
,
a q
, a , a q , a q „（公比为q ，中间项用a 表示）；
2
8. 等比数列的性质 (1) 当q
≠1时
a 1q
①等比数列通项公式a n =a 1q
公比q ②前n 项和S n =
a 1(1-q 1-q
n
n -1
=q =A ⋅B
n n
(A ⋅B ≠0)是关于n 的带有系数的类指数函数，底为
)
=
a 1-a 1q 1-q
n
a 11-q
-
a 11-q
q =A -A ⋅B
n n
=A ' B -A ' ，系数和常数项是
n
互为相反数的类指数函数，底数为公比q
(2) 对任何m,n ∈N , 在等比数列{a n }中, 有a n =a m q
*
n -m
, 特别的, 当m=1时, 便得到等比数列的通项公式. 因
此, 此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t∈N ), 则a n ⋅a m =a s ⋅a t . 特别的, 当n+m=2k时, 得a n ⋅a m =a k 注：a 1⋅a n =a 2⋅a n -1=a 3a n -2⋅⋅⋅
*
2
(4) 列{a n }, {b n }为等比数列, 则数列{
k a n
*
, {k ⋅a n }, {a n }, {k ⋅a n ⋅b n }{
k
a n b n
} (k为非零常数) 均为等比数列.
(5) 数列{a n }为等比数列, 每隔k(k∈N ) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ⋅⋅⋅) 仍为等比数列 (6) 如果{a n }是各项均为正数的等比数列, 则数列{lo g a a n }是等差数列 (7) 若{a n }为等比数列, 则数列S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n , ⋅⋅⋅，成等比数列
(8) 若{a n }为等比数列, 则数列a 1⋅a 2⋅⋅⋅⋅⋅a n , a n +1⋅a n +2⋅⋅⋅⋅⋅a 2n , a 2n +1⋅a 2n +2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a 3n 成等比数列 (9) ①当q >1时， ②当0
{a 1
1
n
1
n
a >0，则{a }为递增数列a >0，则{a }为递减数列
③当q=1时, 该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;
④当q
N
*
) 时,
S 奇S 偶
=
1q
,.
(11)若{a n }是公比为q 的等比数列, 则S n +m
=S n +q ⋅S m
n
例1、（1）设{a n }是等差数列，且a 1-a 4-a 8-a 12+a 15=2，求a 3+a 13及S 15值。
（2）等比数列{a n }中，a 1+a n =66，a 2a n -1=128，前n 项和S n =126，求n 和公比q 。 （3）等比数列中，q=2，S 99=77，求a 3+a6+…+a99；
（4）项数为奇数的等差数列{a n }，奇数项之和为80，偶数项之和为75，求此数列的中间项与项数。 解：（1）由已知可得a 8=-2，所以a 3+a 13=2a 8=-4，S 15=
15(a 1+a 15)
2
=15a 8=-30
⎧a 1=2⎧a 1=642由题 a a =128, a +a =66，所以⎨或⎨ ()1n 1n
a =64a =2⎩n ⎩n
又S n =
a 1-a n q 1-q
1⎧
⎧q =2⎪q =
=126, 所以⎨或⎨2
⎩n =6⎪⎩n =6
(3) S 99=(a 1+a 4+ +a 97)+(a 2+a 6+ +a 98)+(a 3+a 6+ +a 99)
∴a 3+a 6+ +a 99=44
⎛1⎫1
= 2++1⎪(a 3+a 6+ +a 99)
q ⎝q ⎭
+a 89评注：分解重组，引导发现（a 1+a 4+ +a 97）、（a 2+a 6+ ）与（a 3+a 6+ +a 99）的关系，
从而使问题获得简单的解法。
(a 1
(4)设等差数列共2n-1项, 则
S 奇S 偶
=
+a 2n -1)n 2
=
n n -1
=8075
⇒n =16
a 2+a 2n -2(n -1)
2
所以此数列共31项. 中间项=S 奇-S 偶=80-75=5
评注：（1）在项数为2n +1项的等差数列{a n }中，S 奇=(n +1) a 中, S 偶=na 中, S 2n +1=(2n +1) a 中； （2）在项数为2n 项的等差数列{a n }中S 奇=na n , S 偶=na n +1, S 2n +1=n (a n +a n +1) ．
变式：（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390, 则这个数列 项；
（2）已知数列{a n }是等比数列, 且a n >0, n ∈N , a 3a 5+2a 4a 6+a 5a 7=81，则
a 4+a 6=
*
（3）等差数列前m 项和是30，前2m 项和是100，则它的前3m 项和是 210 ． (4) 等差数列{an }和{bn }的前n 项之和之比为(3n+1)：(2n+3),求. 例2、设等差数列的前n 项之和为S n ，已知a 3=12，S 12>0，S 13
（2）指出S 1，S 2，S 3，…Sn 中哪一个值最大，并说明理由。 解：（1）S 12=12a 1+
12⨯112
d >0，S 13=13a 1+
12⨯132
a 15b 15
。（=
8861
）
⎧2a 1+11d >0
d
a +6d
由a 3=a 1+2d =12, 代入得：-
247
（2）解一：由S 12=6(a 6+a 7)>0，S 13=13a 70, a 7
解二：S n =
d 2n
2
245d ⎫⎛
2
离散的点，根据图象可知S 6最大。
解三：S n
d ⎛5d -24⎫d 5d -242245d -2413
=() ，由-
又抛物线开口向下，所以S 6最大。
评注：求等差数列S n 最值有三法：借助求和公式是关于n 的二次函数的特点, 用配方法求解; 借助等差数
列的性质判断, 通过”转折项”求解; 借助二次函数图象求解。（经过原点）
变式：(1) 已知等差数列{an }中，a 1>0, S 5=S 12，问S 1，S 2，S 3，…Sn 中哪一个值最大。
(2) 数列{a n }是首项为1000，公比为
b k =
1k
110
*
的等比数列，数列{b n }满足
(lga 1+lg a 2+ +lg a k ) (k ∈N ) ，
①求数列{b n }的前n 项和的最大值；②求数列{|bn |}的前n 项和S n '． 略解：（1）由题得a n =10
4-n
，∴lg a n =4-n ，∴{lg a n }是首项为3，公差为-1的AP 。
k (k -1)
2
∴lg a 1+lg a 2+ +lg a k =3k -由⎨
⎧b n ≥0⎩b n +1≤0
，∴b n =
1n
[3n -
n (n -1)
2
]=
7-n 2
，得6≤n ≤7，∴数列{b n }的前n 项和的最大值为S 6=S 7=
212
（2）由（1）当n ≤7时，b n ≥0，当n >7时，b n
3+
7-n 22
) n =-
14n +14
2
∴当n ≤7时，S n '=b 1+b 2+ +b n =(
2
1344
n n +21
当n >7时，S n '=b 1+ +b 7-b 8- -b n =2S 7-S n =
⎧1213
-n +n (n ≤7) ⎪⎪44
∴S n '=⎨．
⎪1n 2-13n +21(n >7) ⎪⎩44
n -
13
例3、(1) 由正数组成的等比数列{a n }，若前2n 项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的11倍，第3
项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{a n }的通项公式．
⎧a 1(1-q ) 11a 1q (1-q
=⎪2
1-q 1-q 解：当q =1时，得2na 1=11na 1不成立，∴q ≠1，∴⎨⎪233a q +a q =11a q ⋅a q ⎩1111
2n
2n
)
①
②
由①得q =
110
，代入②得a 1=10，∴a n =(
110
)
n -2
．
说明：用等比数列前n 项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1．
(2) 若数列{a n }成等差数列，且S m =n , S n =m (m ≠n ) ，求S n +m ． 解：（法一）基本量法（略）；
⎧⎪A n +B n =m
（法二）设S n =A n +B n ，则⎨
2
⎪⎩A m +B m =n
2
2
2
2
(1)(2)
(1)-(2) 得：(n -m ) A +(n -m ) B =m -n ， m ≠n ， ∴(m +n ) A +B =-1，
∴S n +m =(n +m ) A +(n +m ) B =-(n +m ) ．
评注：法二抓住了等差数列前n 项和的特征S n =A n +B n 。
变式：设{an }为等差数列，S n 为{an }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75,Tn 为数列{
S n n
2
2
}的前n 项和，求T n 。
解：法一：（基本量法）设{an }首项为a 1，公差为
7⨯6⎧
S =7a +d =771⎪⎪2
d ，则⎨
⎪S =15a +15⨯14d =75151⎪2⎩
∴
⎧a 1=-2
⎨
⎩d =1
∴
S n =-2+
n (n -1)
2
，∴
S n n
=-2+
n -1214
=
n 2
2
-
52a 4
。
∴ 此式为n 的一次函数， ∴ {
2
S n n
}为等差数列，∴
T n =
n -n
法二：{an }为等差数列，设S n =An+Bn，∴
1⎧A =⎪⎪2
解之得：⎨
⎪B =-5⎪2⎩
2
⎧⎪S 7=A ⨯7+7B =7⎨2⎪⎩S 15=A ⨯15+15B =75
∴
S n =
12
n
2
-
52
n
，下略。
例4、已知等差数列110,116,122, ，
（1）在区间[450,600]上，该数列有多少项？并求它们的和；
（2）在区间[450,600]上，该数列有多少项能被5整除？并求它们的和. 解：a n =110+6(n -1) =6n +104，
（1）由450≤6n +104≤600，得58≤n ≤82，又n ∈N , ∴ 该数列在[450,600]上有25项, 其和S n =
12
(a 58+a 82) ⨯25=13100．
*
（2）∵a n =110+6(n -1) ，∴要使a n 能被5整除，只要n -1能被5整除，即n -1=5k ，
∴n =5k +1，∴58≤5k +1≤82，∴12≤k ≤16，∴在区间[450,600]上该数列中能被5整除的项共有5项即第61, 66, 71, 76, 81项，其和S =
5(a 61+a 81)
2
=2650．
等差、等比数列性质及应用复习参考题
一、选择题
1. 在正整数100至500之间能被11整除的个数为（ ） A.34 B.35 C.36 D.37 2.{a n }是等差数列，且a 1+a 4+a 7=45,a 2+a 5+a 8=39,则a 3+a 6+a 9的值是（ ） A.24 B.27 C.30 D.33 3. 设函数f (x ) 满足f (n +1)=
2f (n ) +n
2
(n ∈N *) 且f (1)=2,则f (20)为（ ）
A.95 B.97 C.105 D.192 4. 若{a n }是等差数列，首项a 1>0, a 2003+a 2004>0, a 2003. a 2004
S n >0成立的最大自然数n 是：
（ ）
A ．4005 B ．4006 C ．4007 D．4008
5. 等差数列{a n }中，已知a 1=－6, a n =0,公差d ∈N *, 则n (n ≥3)的最大值为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8
6. 设命题甲:△ABC 的一个内角为60o ，命题乙:△ABC 的三个内角的度数成等差数列. 那么( ) (A)甲是乙的充分不必要条件 (B)甲是乙的必要不充分条件 (C)甲是乙的充要条件 (D)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7. 已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12, a 4+a 6=－4, 则S 20为（ ） A.180 B. －180 C.90 D. －90
8. 现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为（ ） A.9 B.10 C.19 D.29
9. 由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1+a 4, a2+a 5, a3+a 6…是（ ） A. 公差为d 的等差数列 B. 公差为2d 的等差数列 C. 公差为3d 的等差数列 D. 非等差数列
10. 在等差数列{a n }中，若S 9=18,S n =240,a n －4=30,则n 的值为（ ） A.14 B.15 C.16 D.17 二、填空题
11. 在数列{a n }中，a 1=1,a n +1=
2a n a n +2
(n ∈N *), 则
27
是这个数列的第_________项.
12. 在等差数列{a n }中，已知S 100=10，S 10=100，则S 110=_________.
13. 在－9和3之间插入n 个数，使这n +2个数组成和为－21的等差数列，则n =_______. 14. 等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 、T n , 若
S n T n
=
2n 3n +1
, 则
a 11b 11
a
=_________.
a 1+a 3+a 9
2
15. 已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则16. 若数列{a n }是等差数列，则数列⎨
+a
4
+a 10
的值是
⎧a 1+a 2+ +a n ⎫
⎬也为等差数列，类比上述性质，相应地：若
n ⎩⎭
{c n }是等比数列，且c n >0，则{d n }是等比数列, 其中d n =．
17. 设m ∈N +，log 2m 的整数部分用F(m)表示，则F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是
三、解答题（本大题共5小题，共54分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18. 若等差数列5，8，11，…与3，7，11，…均有100项，问它们有多少相同的项？
19. 在等差数列{a n }中，若a 1=25且S 9=S 17, 求数列前多少项和最大.
20. 已知f (x +1)=x 2－4, 等差数列{a n }中, a 1=f (x －1), a2=－
(1)求x 值； （2）求a 2+a 5+a 8+…+a 26的值.
21. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0(n ≥2),a 1=(1)求证：{
1S n
32
, a 3=f (x ).
12
.
}是等差数列； （2）求a n 表达式；
（3）若b n =2(1－n ) a n (n ≥2),求证：b 22+b 32+…+b n 2
13、14等差、等比数列性质及应用复习题参考答案
一、选择题：
1、 C 2、D 3、B 4、C 5、C 6、C 7、A 8、B 9、B 10、B 二、填空题：
11、6 12、－110 13、5 14、
2132
15、
1316
16
17、8204
三、解答题：
18． 设这两个数列分别为{a n }、{b n },则a n =3n +2,b n =4n －1, 令a k =b m , 则3k +2=4m －1.
∴3k =3(m －1)+m , ∴m 被3整除. 设m =3p (p ∈N *), 则k =4p －1.
∵k 、m ∈［1,100］. 则1≤3p ≤100且1≤p ≤25. ∴它们共有25个相同的项. 19. ∵S 9=S 17，a 1=25,∴9×25+
∴S n =25n +
n (n -1)
2
9⨯(9-1)
2
d =17×25+
17(17-1)
2
d ，解得d =－2,
(－2)=－(n －13) 2+169.由二次函数性质知前13项和最大.
20. 、（1）∵f (x －1)=(x －1－1) 2－4=(x －2) 2－4
∴f (x )=(x －1) 2－4, ∴a 1=(x －2) 2－4, a 3=(x －1) 2－4， 又a 1+a 3=2a 2, 解得x =0或x =3.
(2)∵ a 1、a 2、a 3分别为0、－① 当a n =－② 当a n =
1S n
1S n
32
、－3或－3、－
92
32
、0∴a n =－
32
(n －1) 或a n =
32
(n －3)
32
(n －1) 时，a 2+a 5+…+a 26=
92
(a 2+a 26)=
3512
32
(n －3) 时，a 2+a 5+…+a 26=
1S n -1
(a 2+a 26)=
1S n
2972
.
21、 （1）∵－a n =2S n S n －1, ∴－S n +S n －1=2S n S n －1(n ≥2)，又S n ≠0,
∴
－
=2,又
1S 1
=
1a 1
=2,∴{
12n
}是以2为首项，公差为2的等差数列.
12n (n -1)
（2）由（1）
=2+(n －1)2=2n , ∴S n =，当n ≥2时，a n =S n －S n －1=－
⎧1
⎪ (n =1) 1⎪2
n =1时，a 1=S 1=, ∴a n =⎨
12⎪- (n ≥2)
⎪2n (n -1) ⎩
(3) 由（2）知b n =2(1－n ) a n =
1n
∴b 22+b 32+…+b n 2=
12
2
+
13
2
+…+
1n
2
11⨯2
+
12⨯3
+…+
1(n -1) n
=(1－
12
)+(
12
－
13
)+…+(
1n -1
－
1n
)=1－
1n
三、等差数列与等比数列性质的比较
四、数列的通项公式的求法
求数列通项的相关知识
1．两个基本公式
（1）等差数列的通项公式：a n =a 1+(n -1) d =a m +(n -m ) d 。 （2）等比数列的通项公式：a n =a 1q 2．三个基本方法 （1）S n 法：a n =⎨
⎧
S 1
(n =1) (n ≥2)
n -1
=a m q
n -m
=pq 。
n
⎩S n -S n -1
。
（2）叠加法：a n =a 1+(a 2-a 1) + +(a n -a n -1) 。 （3）累乘法：a
n
=a 1⨯
a 2a 1
⨯
a 3a 2
⨯ ⨯
a n a n -1
。
求数列通项的应用举例
该题型主要的出现形式为给出数列的一些递推关系式，求证数列为特殊数列，并求通项。因此要熟悉各种递推关系式，了解各种递推关系式所对应的数列类型。
求数列通项的方法很多，如：观察法、定义法、公式法、S n 法、叠加法、累乘法、构造法、递推法、待定系数法等。下面就几种常见的类型举例：
1．S 法（利用关系a n
n
S 1⎧
=⎨
⎩S n -S n -1
(n =1) (n >1)
，最后要注意可化简的要化简）
例1．已知下列两数列{a n }的前n 项和s n 的公式，求{a n }的通项公式。 （1）S n =n 2+n 。 （2）S n =n 2+n +1 解：（1）当n=1时，a 1=S 1=1+1=2；
⎤当n>1时，a n =S n -S n -1=(n +n ) -⎡⎣(n -1) +(n -1) ⎦=2n ，验证n=1时，此式也成立。
2
2
2
∴a n =2n 。
（2）当n=1时，a 1=S 1=3；
⎤当n>1时，a n =S n -S n -1=(n +n +1) -⎡⎣(n -1) +(n -1) +1⎦=2n ， ⎧0∴a n =⎨
⎩2n
(n =1) (n >1)
2
2
。
点评：要先分n=1和n >1两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。 例2．已知数列{a n }的前n 项和S n =
13
(a n
12
-1)n ∈N
(
*
)，求证{a }是等比数列.
n
证明：当n =1时，a 1=S 1，所以a 1=- 当n ≥2时，a n =S n -S n -1=
13a n -
13
a n -1
∴
23
a n =-
13
a n -1，∴
a n a n -1
=-
12
（与n 无关的常数）
又当n =1时，也满足，所以{a n }是等比数列。
练习：
1．已知下列两数列{a n }的前n 项和s n 的公式，求{a n }的通项公式。 （1）S n =n 2+4n 。 （2）S n =n 2+1 答案：（1）a n
2．已知数列{b }的首项b
n
=2n +3
；（2）a n
⎧1
=⎨
⎩2n -1
(n =1) (n ≥2)
1
=1
，其前n 项和B
=12nb n -1
n
=
12
(n +1) b n
，求b 。
n
解：∵B ∴b ∵b
n
=
12
(n +1) b n
12
，∴B
n -1
，
，∴(n -1) b ，∴b
=n
=nb n -1，即
n
=B n -B n -1=(n +1) b n -b n n
b n -1
12
nb n -1(n >1)
b 11
b n n
n
=
b n -1n -1
，
1
=1
，由此推出
=
n -1
= ==1
n
。
2．叠加法
例1．（a n +1=a n +f (n ) 型数列） 已知a 1=0, a n +1-a n =n ，求a n 。 解：∵a
1
=0, a n +1-a n =n
，∴a
2
-a 1=1
，a
3
-a 2=2
，„，a
n
-a n -1=n -1
，
将上面各式叠加，得a n -a 1=1+2+3+ +(n -1) ， 得a n =
n (n -1)
2
，当n=1时，此时也成立，所以a n =
n (n -1)
2
。
总结：一般地，对于型如a n +1=a n +f (n ) 类的通项公式，只要f (1) +f (2) + +f (n ) 能进行求和，
则宜采用此方法求解。
练习：若在数列{a n }中，a 1=3，a n +1=a n +n -n ，求通项a n 。
3
2
答案：a n
=3+
14
(n -1) n
22
-
16
(n -1) n (2n -1)
3．累乘法
例1．（a n +1=f (n ) a n 型数列） 已知a 1=1, a n +1=2⋅a n ，求a n 。 解：∵a 1=1, a n +1=2⋅a n ，∴
n n
a n +1a n
=2，∴
n
a 2a 1
⋅
a 3a 2
⋅ ⋅
a n a n -1
=2⋅2⋅ ⋅2
12n -1
，
∴
a n a 1
n (n -1) n (n -1)
=2
2
，∴a n =2
2
。
总结：一般地，对于型如a n +1=f (n)·a n 类的通项公式，当f (1) ⋅f (2) ⋅f (n ) 的值可以求得时，
宜采用此方法。
练习：在数列｛a n ｝中，a 1 =1, (n+1)·a n +1=n·a n ，求a n 的表达式。 解：由(n+1)·a n +1=n·a n 得
a n =
1n
a n +1a n
=
n n +1
，
a n a 1
=
a 2a 1
·
a 3a 2
·
a 4a 3
…
a n a n -1
=
12
⋅
23
⋅
34
n -1n
=
1n
所以
。
4．构造法（构造等差或等比数列求通项公式）
例1．（a n =a n +1+λa n ⋅a n +1型数列）
已知数列{a n }满足，a 1=3, a n =a n +1+5a n ⋅a n +1, n ∈N ，求a n 。
*
解：将等式a n =a n +1+5a n ⋅a n +1两边同时除以a n ⋅a n +1得：
1a n +1
=
1a n
+5。
即，对n ≥1，都有
1a n +1
-
1a n
=5。
⎧1⎫11
=为首项，5为公差的等差数列。 所以数列⎨⎬是以a 13⎩a n ⎭1a n
13
+5(n -1)，a n =
=
15n -
143
(n ≥1)。
总结：由递推关系式a n =a n +1+λa n ⋅a n +1都可转化为等差数列⎨
例2．（a n +1=p a n +r 型数列）
⎧1⎫
⎬。 ⎩a n ⎭
已知数列{a n }的首项a 1=2，a n =2a n -1+1(n ∈N , n ≥2)，求a n 。
*
解：a n +λ=2(a n -1+λ)，即a n =2a n -1+λ， 又∵a n =2a n -1+1，∴λ=1，∴a n +1=2(a n -1+1)， ∴{a n +1}是等比数列，首项为a 1+1=3，公比为2。
∴a n +1=3⨯2
n -1
， ∴a n =3⨯2
n -1
-1。
总结：一般地，已知a 1=a , a n +1=qa n +r ，可把a n +1=qa n +r 化成a n +1+λ=q (a n +λ) 的形式，
其中λ由待定系数法求得。 例3．（a n +1=pa n 型数列） 若数列{a }满足a
n
1
r
=3
，且a
>0
n +1
=a n
2
，求a 。
n
解：∵a
n
n +1
=a n
2
，∴a
1
n
，两边取对数，得lg a
n +1
=2lg a n
，
∴{lg a }是以lg a ∴lg a
n
=lg 3
为首项，以2为公比的等比数列，
2
n -1
=(lga 1) ⋅2
n -1
=lg a 1
r
=lg 3
2
n -1
，∴a
n
=3
2
n -1
。
结论：形如a n +1=pa n (其中p,r 为常数) 型，（1）若p>0，a n >0，用对数法. （2）若p
n
1
n
+qa
2
n -1
型数列）
n +2
n +1
n
n
在数列{a }中a =1, a =2，且a =4a -3a ，求a 。 解法一：∵a =4a -3a ，
设a -λa =m (a -λa ) ，待定系数法得m =1, λ=3，或m ∴a -3a =a -3a ，或a -a =3(a -a )
k +2
k +1
k
n +2
n +1
n +1
n
n +2
n +1
n +1
n
n +2
n +1
n +1
n
=3, λ=1，
∴a
n +1
-3a n =a 2-3a 1=-1，„„①
3
n -1
a n +1-a n =(a 2-a 1) ⋅3
n -1
=3
n -1
，„„②
联立①②，得a 解法二：∵a ∴a
k +1
k +2
n
=
+1
2
。 ，∴a
k -1
k +2
=4a k +1-3a k
k -1
-a k +1=3(a k +1-a k )
2
，∴{a
1
k +1
-a k }为等比数列。
n -2
-a k =(a 2-a 1) ⋅3
=3
。∴a
2
-a 1=3, a 3-a 2=3, , a n -a n -1=3
。
3
n -1
以上各式相加得a
n
-a 1=1+3+3+ +3
n -2
=
3
n -1
-1
3-1
=
12
(3
n -1
-1)
，∴a
n
=
+1
2
。
2
结论：形如a n +1=pa
练习：
1．若数列{a }满足a
n
1
n
+qa
n -1
(其中p,q 为常数) 型，（1）当p+q=1时，用转化法；（2）当p +4q ≥0
时，用待定系数法。
=1，且a n +1=1a n +1
1a n
a n 1+a n
1a n +1
，求a 。
n
解：由a
n +1
=
a n 1+a n
得
=1+
，∴
-
1a n
=1
，
∴数列⎨∴
1a n
⎧1⎫
⎬⎩a n ⎭
是公差为1的等差数列，首项为
1n
1a 1
=1，
=1+(n -1) ⨯1=n
，∴a
n
=
。
2．若数列{a }满足a =2，且a =2a +3，求a 。 解：∵a =2a +3，∴(a +3) =2(a +3) ，
∴数列{a +3}是等比数列，公比为2，首项为a +3=5，
n
1
n +1
n
n
n +1
n
n +1
n
n
1
∴a
n
+3=5⋅2
n -1
，∴a
n
=5⋅2
n -1
-3
。
5．待定系数法
例．设数列{c n }的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c 1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，求通项公式c n
解：设c n =a +(n -1) d +bq
⎧a ⎪⎪a ∴⎨
⎪a ⎪a ⎩
+b =2+d +bq =4+2d +bq +3d +bq
23
n -1
=2=1=1=1
⇒c n =n +2
n -1
=7=12
⎧q ⎪⎪d =⎨⎪b ⎪a ⎩
。
五、数列求和的方法和技巧
数列在高考中的要求：
1．等差数列与等比数列是两种最基本、最重要及应用最广泛的数列，其他数列问题的解决往往借助它们完成，或经过变形转化为等差或等比数列，或利用等差、等比数列的研究方法。所以等差数列与等比数列的基础知识是数列中最基本、最重要也最易把握的知识。
2．数列的通项是数列最重要、最常见的表达形式，它是数列的核心。应弄清通项公式的意义——项数n 的函数；理解通项公式的作用——可以用通项公式求数列的任意一项的值及对数列进行一般性的研究。 3．数列的递推式是数列的另一种表达形式，可以是一阶线性递推、二阶线性递推、二次函数形式递推、勾函数形式递推、与奇偶联系的递推等，是高考的热点。要注重叠加、叠乘、迭代等解题技巧的训练。
数列求和是高中数学的一个重点, 也是高考的热点, 纵观我市近几年的高考的最后一题，都是数列与函数、不等式、解析几何、立体几何、导数、三角、向量、二项式等知识联系在一起，以它的复杂多变、综合性强、解法灵活等特征成为高考的压轴题。
1、公式法:
利用以下公式求数列的和
1. Sn =
n (a 1+a n )
2
=na 1+
n (n -1)
2
d ({a n }为等差数列)
2. Sn =
a 1(1-q ) 1-q
2
2
n
=
a 1-a n q 1-q
2
(q ≠1) 或Sn =na 1(q =1) ({a n }为等比数列)
n (n +1)(2n +1)
6
n (n +1)
2
2
3. 1+2+3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+n =
1+2+3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+n =[
2
3
3
3
3
2
] 等公式
例如:已知数列{a n }，a n =n -n ，求前n 项和Sn
解：Sn =(1-1) +(2-2) +(3-3) +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(n -n ) =(1+2+3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+n ) -(1+2+3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+n ) =( =
n (n +1)(2n +1)
63
-
n (n +1)
2
2
2222
222
(n -1) n (n +1)
2、分组求和法
对于数列{a n }，若a n =b n ±C n
和时，可采用该法
. 9⋅⋅ ⋅9 例如：求和：Sn =0. 9+0. 99+0. 999+0. 9999+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+0
n 个9
⋅⋅±⋅⋅⋅⋅
且数列{b n }、{c n }„„都能求出其前n 项的和，则在求{a n }前n 项
⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅9=1-10 解：设a n =0. 9
n 个9
-n
∴Sn =a 1+a 2+a 3+a 4+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a n =(1-10
-1
) +(1-10
-2
) +(1-10
-1
-3
) +(1-10
-3
-4
) +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(1-10
-n
)
+ 1+ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅+1) -(10 =(1
n 个1相加
+10
-2
+10+10
-4
+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+10
-n
)
=n -
19
(1-10
-n
)
3、倒序相加法（或倒序相乘法） （1）．倒序相加法
在教材上推导等差数列{a n }前n 项和Sn 的公式： Sn =例如：求和 S =sin 1+sin 2+sin 3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+sin 89
2
2
2
2
n (a 1+a n )
2
就使用的是该法
解：S 又
=sin 1+sin
2
2 2
2+sin 3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+sin 89
2
2
2 2
„„①
S =sin 89+sin 88+sin 87+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+sin 1=cos 1+cos
2
2
2
即S
2+cos
2
2
3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+cos 89
2
2
2
=cos 1+cos
2
2
2+cos
2
3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+cos 89
2
2
„„②
2
2
由①+②得 2S =(sin1+cos 1) +(sin2+cos 2) +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(sin89+cos 89=89
∴S
=
892
（2）．倒序相乘法
例如：已知a 、b 为两个不相等的正数，在a 、b 之间插入n 个正数，使它们构成以a 为首项，b 为末项的等比数列，求插入的这n 个正数的积p n 解：设插入的n 个正数为a 1、a 2、a 3、„„a
且数列a 、a 1、a 2、a 3、„„a
、b 成等比数列
n n
则ab
=a 1⋅a n =a 2⋅a n -1=⋅⋅⋅⋅⋅⋅
p n =a 1⋅a 2⋅a 3⋅⋅⋅⋅⋅⋅a n
„„① „„②
n
n
又p
n
=a n ⋅a n -1⋅a n -2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a 1
2
由①⨯②得p n =(a 1a n )(a 2a n -1) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(a n a 1) =(ab ) ∴p n =(ab ) 2
4、错位相减法
对于数列{a n }，若a n =b n ⋅c n 且数列{b n }、{c n }分别是等差数列、等比数列时，求该数列{a n }前n
项和时，可用该方法
例如：已知数列{a n }：a n =(2n -1) ⋅3，求数列{a n }前n 项和Sn
n
解：Sn
=1⨯3+3⨯3-5⨯3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+[2(n -1) -1]⋅3
n
123n -1
+(2n -1) ⋅3
n
在上式两边同乘以(或除以) 等比数列{3
2
3
4
}的公比3，得
n
n +1
3Sn =1⨯3+3⨯3+5⨯3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+[2(n -1) -1]3+(2n -1) 3
n
n
由①～②（两等式的右边错位相减）
2Sn =1⨯3+(3⨯3-1⨯3) +(5⨯3-3⨯3) +⋅⋅⋅+(2n -1) 3-[2(n -1) -1]3=1⨯3+2⨯3+2⨯3+⋅⋅⋅+2⨯3-(2n -1) 3
1
2
3
n
n +1
1
2
3
n
12233
{}-(2n -1) 3
n +1
n +1
=1⨯3+2(3+3+⋅⋅⋅+3) -(2n -1) 3-6
=∴Sn
3+(3
n +1
-9) -(2n -1) ⋅3
n +1
n +1
=
(2-2n ) 3
n +1
=(n -1) ⋅3+3
5、裂项相消法
常见的裂项方法有：
1n (n +k )
1
(2n -1)(2n +1)
1
n (n +1)(n +2)
1．2．3．
=
111(-) k n n +k
1
1
12n +1
)
=
22n -11
1
(-
=
2n (n +1)
[-
1(n +1)(n +2)
]
4
1=
1k
例如：已知数列{a n }：a n =
1n +
12n +2
(n ≥2) ，求数列{a n }前n 项和
解： a ∴Sn
=
=
n
=
1n +
n +212
=(n +2-
12
n )
3) +⋅⋅⋅+
12
(n +2-
n )] =
12
12
12
(3-
[(3-
) +(4-2) +(5-
n )
) +(4-2) +(5-3) +⋅⋅⋅+(n +2-
1)
6、并项法
例如：已知Sn =2-4-6-8+10-12+⋅⋅⋅+(-1)
n +1
2n ，则S 15+S 20~S 50= 解： S 15=2-4+6-8+10-12+⋅⋅⋅+26-28+30
=(2-4) +(6-8) +(10-12) +⋅⋅⋅+(26-28) +30=(-2) ⨯7+30=16
S 20=2-4+6-8+10-12+⋅⋅⋅+38-40
=(2-4) +(6-8) +(10-12) +⋅⋅⋅+(38-40) =(-2) ⨯10=-20
同理
S 50=(-2) ⨯25=-50∴S 15+S 20-S 50=16+(-20) +(-50) =46
相应练习：
【巩固练习】1：已知数列（1）求
2, 4
2
{
a n
}
的通项公式为
n
a n =3n -14
，
s n
为
{
a n
}
的前n 项和，
s n
a {； （2）求的前20项和。
【巩固练习】2：求数列22
2n
n
,
62
3
, ⋅⋅⋅,
2n 2
n
, ⋅⋅⋅
前n 项的和.
1
n
解：由题可知，{2}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{2}的通项之积
设
12
S n =
22
+
42
2
+
62
3
+⋅⋅⋅+
2n 2
n
…………………………………①
1) n 2+n +1
2………………………………② （设制错位）
S n =
2
2
2
+
42
+⋅⋅⋅+3
2n (-2
n
(1-
12
①－②得
) S n =
22
+
22
2
+
22
3
+
22
4
+⋅⋅⋅+
22
n
-
2n 2
n +1
（错位相减）
n +22
n -1
=2-
12
n -1
-
2n 2
n +1
∴
S n =4-
【巩固练习】3：求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.
n
n
3
2
解：设
a k =k (k +1)(2k +1) =2k
+3k
n
+k
S n =
∴
n
2
∑
k =1n
k (k +1)(2k +1)
＝k =1
k
∑(2k
3
+3k +k )
2
将其每一项拆开再重新组合得 Sn ＝
3
3
3
2
2
2∑k +3∑k +
k =1
k =1
3
∑
k =1
（分组）
＝2(1+2+⋅⋅⋅+n ) +3(1+2+⋅⋅⋅+n ) +(1+2+⋅⋅⋅+n )
n (n +1)
2
2
2
＝
2
2
+
n (n +1)(2n +1)
2
+
n (n +1)
2
（分组求和）
n (n +1) (n +2)
＝
2
a n =
1n +1
+
2n +1
+⋅⋅⋅+
n n +1，又
b n =
2a n ⋅a n +1
【巩固练习】4：在数列{an}中，和.
，求数列{bn}的前n 项的
解： ∵
a n =
1n +1
+
2n +1
+⋅⋅⋅+
n n +1
=
n
2 ∴
b n =
2n n +1
⋅22
=8(
1n
-
1n +1
)
（裂项）
∴ 数列{bn}的前n 项和
S n =8[(1-
12) +(
12-13) +(
13-14
) +⋅⋅⋅+(
1n -
1n +1
)]
（裂项求和）
8(1-
1
＝
n +1 ＝ n +1 ＝ 0
)
8n
【巩固练习】5：在各项均为正数的等比数列中，若解：设
S n =log
3
a 5a 6=9, 求log
3
a 1+log
3
a 2+⋅⋅⋅+log
3
a 10
的值.
a 1+log
3
a 2+⋅⋅⋅+log
3
a 10
（找特殊性质项） 得
3
由等比数列的性质 和对数的运算性质
S n =(log
3
m +n =p +q ⇒a m a n =a p a q
log
a
M +log
a
N =log
a
M ⋅N
a 1+log
3
a 10) +(log
3
a 2+log
3
a 9) +⋅⋅⋅+(loga 5+log
3
a 6)
（合并求和）
数学
＝ ＝
(loglog
3
a 1⋅a 10) +(log
3
a 2⋅a 9) +⋅⋅⋅+(log
9
3
a 5⋅a 6)
3
9+log
3
9+⋅⋅⋅+log
3
＝10
8(n +1)(n +3)
n
a n =
【巩固练习】6： 已知数列{an}：
(n +1)(a n -a n +1) =8(n +1)[
, 求∑(n +1)(a n -a n +1)
k =1
的值.
1(n +1)(n +3) 1
-
1
(n +2)(n +4) 1
]
解：∵
8⋅[
（找通项及特征）
＝
(n +2)(n +4)
+
(n +3)(n +4)
]
（设制分组）
-
1n +4
)
4⋅(
1n +21
-
1n +4
n
) +8(
1n +3
1n +4
＝
n
n
（裂项）
∴
∑
k =1
(n +1)(a n -a n +1) =4∑(
k =1
n +2
-
1n +4
) +8∑(
k =1
1n +3
-)
（分组、裂项求和）
- 21 -
一、等差数列
1. 等差数列的定义：a n -a n -1=d （d 为常数）（n ≥2）；
2．等差数列通项公式：
a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N ) ， 首项:a 1，公差:d，末项:a n 推广： a n =a m +(n -m ) d ． 从而d =
3．等差中项
（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：A
=a +b 2
*
a n -a m n -m
；
或2A =a +b
（2）等差中项：数列{a n }是等差数列⇔2a n =a n -1+a n +1(n ≥2) ⇔2a n +1=a n +a n +2
4．等差数列的前n 项和公式：
S n =
n (a 1+a n )
2
=n a 1+
n (n -1)
2
d =
d 2
n +(a 1-
2
12
d ) n =A n +B n
2
（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数2n +1时，a n +1是项数为2n+1的等差数列的中间项
S 2n +1=
(2n +1)(a 1+a 2n +1)
2
=(2n +1)a n +1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）
5．等差数列的判定方法
（1） 定义法：若a n -a n -1=d 或a n +1-a n =d (常数n ∈N ) ⇔ {a n }是等差数列．
*
（2） 等差中项：数列{a n }是等差数列⇔2a n =a n -1+a n +1(n ≥2) ⇔2a n +1=a n +a n +2． ⑶数列{a n }是等差数列⇔a n =kn +b （其中k , b 是常数）。 （4）数列{a n }是等差数列⇔S n =A n +B n , （其中A 、B 是常数）。
2
6．等差数列的证明方法
定义法：若a n -a n -1=d 或a n +1-a n =d (常数n ∈N ) ⇔ {a n }是等差数列．
*
7. 提醒：
（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：a 1、d 、n 、a n 及S n ，其中a 1、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）设项技巧：
①一般可设通项a n =a 1+(n -1) d
②奇数个数成等差，可设为„，a -2d , a -d , a , a +d , a +2d „（公差为d ）；
③偶数个数成等差，可设为„，a -3d , a -d , a +d , a +3d , „（注意；公差为2d ）
8.. 等差数列的性质： （1）当公差d ≠0时，
等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；
前n 和S n =n a 1+
n (n -1)
2
d =
d 2
n +(a 1-
2
d 2
) n 是关于n 的二次函数且常数项为0.
（2）若公差d >0，则为递增等差数列，若公差d
（3）当m +n =p +q 时, 则有a m +a n =a p +a q ，特别地，当m +n =2p 时，则有a m +a n =2a p .
注：a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2=⋅⋅⋅，
（4）若{a n }、{b n }为等差数列，则{λa n +b }，{λ1a n +λ2b n }都为等差数列
(5) 若{a n }是等差数列，则S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ，„也成等差数列
（6）数列{a n }为等差数列, 每隔k(k∈N ) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ⋅⋅⋅) 仍为等差数列
（7）设数列{a n }是等差数列，d 为公差，S 奇是奇数项的和，S 偶是偶数项项的和，S n 是前n 项的和
1. 当项数为偶数2n 时，
S 奇=a 1+a 3+a 5+⋅⋅⋅+a 2n -1=S 偶=a 2+a 4+a 6+⋅⋅⋅+a 2n =
n (a 1+a 2n -1)
2
n (a 2+a 2n )
2
=n a n
*
=n a n +1
S 偶-S 奇=na n +1-na n =n (a n +1-a n ) S 奇S 偶
=n a n n a n +1
=a n a n +1
2、当项数为奇数2n +1时，则
⎧⎧S 奇=(n +1) a n +1S 奇n +1⎪S 2n +1=S 奇+S 偶=(2n +1) a n +1⎪
⇒⇒= ⎨⎨
S 奇-S 偶=a n +1S 偶n ⎪S 偶=n a n +1⎪⎩⎩
（其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．
（8）、{b n }的前n 和分别为A n 、B n ，且
则
（9）等差数列{a n }的前n 项和S m =n ，前m 项和S n =m ，则前m+n项和S m +n =-(m +n )
(10)求S n 的最值
法一：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n ∈N 。 法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和
⎧a n ≥0
即当a 1>0，d
a ≤0⎩n +1
*
A n B n
=f (n ) ，
a n b n
=
(2n -1) a n (2n -1) b n
=
A 2n -1B 2n -1
=f (2n -1) .
（2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。
即 当a 10， 由⎨
⎧a n ≤0⎩a n +1≥0
可得S n 达到最小值时的n 值．或求{a n }中正负分界项
法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数，故n 取离二次
函数对称轴最近的整数时，S n 取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为n =
p +q 2
注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于a 1和d 的方程；
②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．
二、等比数列
1. 等比数列的定义：2. 通项公式：
a n =a 1q
n -1
a n a n -1
=q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N
*
)，q 称为公比
=
a 1q
q =A ⋅B
n n
(a 1⋅q ≠0, A ⋅B ≠0)， 首项：a 1；公比：q
推广：a n =a m q 3. 等比中项
n -m
， 从而得q
n -m
=
a n a m
或q =
n （1）如果a , A , b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：A =
ab 或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数） （2）数列{a n }是等比数列⇔a n =a n -1⋅a n +1
2
2
4. 等比数列的前n 项和S n 公式： (1) 当q =1时， S n =n a 1
a 1(1-q 1-q a 11-q
n
(2) 当q ≠1时，S n =
)
=
a 1-a n q 1-q
n
=-
a 11-q
q =A -A ⋅B
n
=A ' B -A ' （A , B , A ', B ' 为常数）
n
5. 等比数列的判定方法
（1）用定义：对任意的n, 都有a n +1=q a n 或
2
a n +1a n
=q (q 为常数，a n ≠0) ⇔{a n }为等比数列
（2） 等比中项：a n =a n +1a n -1（a n +1a n -1≠0）⇔{a n }为等比数列 （3） 通项公式：a n =A ⋅B (A ⋅B ≠0)⇔{a n }为等比数列
（4） 前n 项和公式：S n =A -A ⋅B 或S n =A ' B -A ' (A , B , A ', B ' 为常数)⇔{a n }为等比数列
n
n
n
6. 等比数列的证明方法 依据定义：若
a n a n -1
=q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N
*
)或a
n +1
=qa n ⇔{a n }为等比数列
7. 注意
（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：a 1、q 、n 、a n 及S n ，其中a 1、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；a n =a 1q
如奇数个数成等差，可设为„，
a q
2
n -1
,
a q
, a , a q , a q „（公比为q ，中间项用a 表示）；
2
8. 等比数列的性质 (1) 当q
≠1时
a 1q
①等比数列通项公式a n =a 1q
公比q ②前n 项和S n =
a 1(1-q 1-q
n
n -1
=q =A ⋅B
n n
(A ⋅B ≠0)是关于n 的带有系数的类指数函数，底为
)
=
a 1-a 1q 1-q
n
a 11-q
-
a 11-q
q =A -A ⋅B
n n
=A ' B -A ' ，系数和常数项是
n
互为相反数的类指数函数，底数为公比q
(2) 对任何m,n ∈N , 在等比数列{a n }中, 有a n =a m q
*
n -m
, 特别的, 当m=1时, 便得到等比数列的通项公式. 因
此, 此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t∈N ), 则a n ⋅a m =a s ⋅a t . 特别的, 当n+m=2k时, 得a n ⋅a m =a k 注：a 1⋅a n =a 2⋅a n -1=a 3a n -2⋅⋅⋅
*
2
(4) 列{a n }, {b n }为等比数列, 则数列{
k a n
*
, {k ⋅a n }, {a n }, {k ⋅a n ⋅b n }{
k
a n b n
} (k为非零常数) 均为等比数列.
(5) 数列{a n }为等比数列, 每隔k(k∈N ) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ⋅⋅⋅) 仍为等比数列 (6) 如果{a n }是各项均为正数的等比数列, 则数列{lo g a a n }是等差数列 (7) 若{a n }为等比数列, 则数列S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n , ⋅⋅⋅，成等比数列
(8) 若{a n }为等比数列, 则数列a 1⋅a 2⋅⋅⋅⋅⋅a n , a n +1⋅a n +2⋅⋅⋅⋅⋅a 2n , a 2n +1⋅a 2n +2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a 3n 成等比数列 (9) ①当q >1时， ②当0
{a 1
1
n
1
n
a >0，则{a }为递增数列a >0，则{a }为递减数列
③当q=1时, 该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;
④当q
N
*
) 时,
S 奇S 偶
=
1q
,.
(11)若{a n }是公比为q 的等比数列, 则S n +m
=S n +q ⋅S m
n
例1、（1）设{a n }是等差数列，且a 1-a 4-a 8-a 12+a 15=2，求a 3+a 13及S 15值。
（2）等比数列{a n }中，a 1+a n =66，a 2a n -1=128，前n 项和S n =126，求n 和公比q 。 （3）等比数列中，q=2，S 99=77，求a 3+a6+…+a99；
（4）项数为奇数的等差数列{a n }，奇数项之和为80，偶数项之和为75，求此数列的中间项与项数。 解：（1）由已知可得a 8=-2，所以a 3+a 13=2a 8=-4，S 15=
15(a 1+a 15)
2
=15a 8=-30
⎧a 1=2⎧a 1=642由题 a a =128, a +a =66，所以⎨或⎨ ()1n 1n
a =64a =2⎩n ⎩n
又S n =
a 1-a n q 1-q
1⎧
⎧q =2⎪q =
=126, 所以⎨或⎨2
⎩n =6⎪⎩n =6
(3) S 99=(a 1+a 4+ +a 97)+(a 2+a 6+ +a 98)+(a 3+a 6+ +a 99)
∴a 3+a 6+ +a 99=44
⎛1⎫1
= 2++1⎪(a 3+a 6+ +a 99)
q ⎝q ⎭
+a 89评注：分解重组，引导发现（a 1+a 4+ +a 97）、（a 2+a 6+ ）与（a 3+a 6+ +a 99）的关系，
从而使问题获得简单的解法。
(a 1
(4)设等差数列共2n-1项, 则
S 奇S 偶
=
+a 2n -1)n 2
=
n n -1
=8075
⇒n =16
a 2+a 2n -2(n -1)
2
所以此数列共31项. 中间项=S 奇-S 偶=80-75=5
评注：（1）在项数为2n +1项的等差数列{a n }中，S 奇=(n +1) a 中, S 偶=na 中, S 2n +1=(2n +1) a 中； （2）在项数为2n 项的等差数列{a n }中S 奇=na n , S 偶=na n +1, S 2n +1=n (a n +a n +1) ．
变式：（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390, 则这个数列 项；
（2）已知数列{a n }是等比数列, 且a n >0, n ∈N , a 3a 5+2a 4a 6+a 5a 7=81，则
a 4+a 6=
*
（3）等差数列前m 项和是30，前2m 项和是100，则它的前3m 项和是 210 ． (4) 等差数列{an }和{bn }的前n 项之和之比为(3n+1)：(2n+3),求. 例2、设等差数列的前n 项之和为S n ，已知a 3=12，S 12>0，S 13
（2）指出S 1，S 2，S 3，…Sn 中哪一个值最大，并说明理由。 解：（1）S 12=12a 1+
12⨯112
d >0，S 13=13a 1+
12⨯132
a 15b 15
。（=
8861
）
⎧2a 1+11d >0
d
a +6d
由a 3=a 1+2d =12, 代入得：-
247
（2）解一：由S 12=6(a 6+a 7)>0，S 13=13a 70, a 7
解二：S n =
d 2n
2
245d ⎫⎛
2
离散的点，根据图象可知S 6最大。
解三：S n
d ⎛5d -24⎫d 5d -242245d -2413
=() ，由-
又抛物线开口向下，所以S 6最大。
评注：求等差数列S n 最值有三法：借助求和公式是关于n 的二次函数的特点, 用配方法求解; 借助等差数
列的性质判断, 通过”转折项”求解; 借助二次函数图象求解。（经过原点）
变式：(1) 已知等差数列{an }中，a 1>0, S 5=S 12，问S 1，S 2，S 3，…Sn 中哪一个值最大。
(2) 数列{a n }是首项为1000，公比为
b k =
1k
110
*
的等比数列，数列{b n }满足
(lga 1+lg a 2+ +lg a k ) (k ∈N ) ，
①求数列{b n }的前n 项和的最大值；②求数列{|bn |}的前n 项和S n '． 略解：（1）由题得a n =10
4-n
，∴lg a n =4-n ，∴{lg a n }是首项为3，公差为-1的AP 。
k (k -1)
2
∴lg a 1+lg a 2+ +lg a k =3k -由⎨
⎧b n ≥0⎩b n +1≤0
，∴b n =
1n
[3n -
n (n -1)
2
]=
7-n 2
，得6≤n ≤7，∴数列{b n }的前n 项和的最大值为S 6=S 7=
212
（2）由（1）当n ≤7时，b n ≥0，当n >7时，b n
3+
7-n 22
) n =-
14n +14
2
∴当n ≤7时，S n '=b 1+b 2+ +b n =(
2
1344
n n +21
当n >7时，S n '=b 1+ +b 7-b 8- -b n =2S 7-S n =
⎧1213
-n +n (n ≤7) ⎪⎪44
∴S n '=⎨．
⎪1n 2-13n +21(n >7) ⎪⎩44
n -
13
例3、(1) 由正数组成的等比数列{a n }，若前2n 项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的11倍，第3
项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{a n }的通项公式．
⎧a 1(1-q ) 11a 1q (1-q
=⎪2
1-q 1-q 解：当q =1时，得2na 1=11na 1不成立，∴q ≠1，∴⎨⎪233a q +a q =11a q ⋅a q ⎩1111
2n
2n
)
①
②
由①得q =
110
，代入②得a 1=10，∴a n =(
110
)
n -2
．
说明：用等比数列前n 项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1．
(2) 若数列{a n }成等差数列，且S m =n , S n =m (m ≠n ) ，求S n +m ． 解：（法一）基本量法（略）；
⎧⎪A n +B n =m
（法二）设S n =A n +B n ，则⎨
2
⎪⎩A m +B m =n
2
2
2
2
(1)(2)
(1)-(2) 得：(n -m ) A +(n -m ) B =m -n ， m ≠n ， ∴(m +n ) A +B =-1，
∴S n +m =(n +m ) A +(n +m ) B =-(n +m ) ．
评注：法二抓住了等差数列前n 项和的特征S n =A n +B n 。
变式：设{an }为等差数列，S n 为{an }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75,Tn 为数列{
S n n
2
2
}的前n 项和，求T n 。
解：法一：（基本量法）设{an }首项为a 1，公差为
7⨯6⎧
S =7a +d =771⎪⎪2
d ，则⎨
⎪S =15a +15⨯14d =75151⎪2⎩
∴
⎧a 1=-2
⎨
⎩d =1
∴
S n =-2+
n (n -1)
2
，∴
S n n
=-2+
n -1214
=
n 2
2
-
52a 4
。
∴ 此式为n 的一次函数， ∴ {
2
S n n
}为等差数列，∴
T n =
n -n
法二：{an }为等差数列，设S n =An+Bn，∴
1⎧A =⎪⎪2
解之得：⎨
⎪B =-5⎪2⎩
2
⎧⎪S 7=A ⨯7+7B =7⎨2⎪⎩S 15=A ⨯15+15B =75
∴
S n =
12
n
2
-
52
n
，下略。
例4、已知等差数列110,116,122, ，
（1）在区间[450,600]上，该数列有多少项？并求它们的和；
（2）在区间[450,600]上，该数列有多少项能被5整除？并求它们的和. 解：a n =110+6(n -1) =6n +104，
（1）由450≤6n +104≤600，得58≤n ≤82，又n ∈N , ∴ 该数列在[450,600]上有25项, 其和S n =
12
(a 58+a 82) ⨯25=13100．
*
（2）∵a n =110+6(n -1) ，∴要使a n 能被5整除，只要n -1能被5整除，即n -1=5k ，
∴n =5k +1，∴58≤5k +1≤82，∴12≤k ≤16，∴在区间[450,600]上该数列中能被5整除的项共有5项即第61, 66, 71, 76, 81项，其和S =
5(a 61+a 81)
2
=2650．
等差、等比数列性质及应用复习参考题
一、选择题
1. 在正整数100至500之间能被11整除的个数为（ ） A.34 B.35 C.36 D.37 2.{a n }是等差数列，且a 1+a 4+a 7=45,a 2+a 5+a 8=39,则a 3+a 6+a 9的值是（ ） A.24 B.27 C.30 D.33 3. 设函数f (x ) 满足f (n +1)=
2f (n ) +n
2
(n ∈N *) 且f (1)=2,则f (20)为（ ）
A.95 B.97 C.105 D.192 4. 若{a n }是等差数列，首项a 1>0, a 2003+a 2004>0, a 2003. a 2004
S n >0成立的最大自然数n 是：
（ ）
A ．4005 B ．4006 C ．4007 D．4008
5. 等差数列{a n }中，已知a 1=－6, a n =0,公差d ∈N *, 则n (n ≥3)的最大值为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8
6. 设命题甲:△ABC 的一个内角为60o ，命题乙:△ABC 的三个内角的度数成等差数列. 那么( ) (A)甲是乙的充分不必要条件 (B)甲是乙的必要不充分条件 (C)甲是乙的充要条件 (D)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7. 已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12, a 4+a 6=－4, 则S 20为（ ） A.180 B. －180 C.90 D. －90
8. 现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为（ ） A.9 B.10 C.19 D.29
9. 由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1+a 4, a2+a 5, a3+a 6…是（ ） A. 公差为d 的等差数列 B. 公差为2d 的等差数列 C. 公差为3d 的等差数列 D. 非等差数列
10. 在等差数列{a n }中，若S 9=18,S n =240,a n －4=30,则n 的值为（ ） A.14 B.15 C.16 D.17 二、填空题
11. 在数列{a n }中，a 1=1,a n +1=
2a n a n +2
(n ∈N *), 则
27
是这个数列的第_________项.
12. 在等差数列{a n }中，已知S 100=10，S 10=100，则S 110=_________.
13. 在－9和3之间插入n 个数，使这n +2个数组成和为－21的等差数列，则n =_______. 14. 等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 、T n , 若
S n T n
=
2n 3n +1
, 则
a 11b 11
a
=_________.
a 1+a 3+a 9
2
15. 已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则16. 若数列{a n }是等差数列，则数列⎨
+a
4
+a 10
的值是
⎧a 1+a 2+ +a n ⎫
⎬也为等差数列，类比上述性质，相应地：若
n ⎩⎭
{c n }是等比数列，且c n >0，则{d n }是等比数列, 其中d n =．
17. 设m ∈N +，log 2m 的整数部分用F(m)表示，则F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是
三、解答题（本大题共5小题，共54分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18. 若等差数列5，8，11，…与3，7，11，…均有100项，问它们有多少相同的项？
19. 在等差数列{a n }中，若a 1=25且S 9=S 17, 求数列前多少项和最大.
20. 已知f (x +1)=x 2－4, 等差数列{a n }中, a 1=f (x －1), a2=－
(1)求x 值； （2）求a 2+a 5+a 8+…+a 26的值.
21. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0(n ≥2),a 1=(1)求证：{
1S n
32
, a 3=f (x ).
12
.
}是等差数列； （2）求a n 表达式；
（3）若b n =2(1－n ) a n (n ≥2),求证：b 22+b 32+…+b n 2
13、14等差、等比数列性质及应用复习题参考答案
一、选择题：
1、 C 2、D 3、B 4、C 5、C 6、C 7、A 8、B 9、B 10、B 二、填空题：
11、6 12、－110 13、5 14、
2132
15、
1316
16
17、8204
三、解答题：
18． 设这两个数列分别为{a n }、{b n },则a n =3n +2,b n =4n －1, 令a k =b m , 则3k +2=4m －1.
∴3k =3(m －1)+m , ∴m 被3整除. 设m =3p (p ∈N *), 则k =4p －1.
∵k 、m ∈［1,100］. 则1≤3p ≤100且1≤p ≤25. ∴它们共有25个相同的项. 19. ∵S 9=S 17，a 1=25,∴9×25+
∴S n =25n +
n (n -1)
2
9⨯(9-1)
2
d =17×25+
17(17-1)
2
d ，解得d =－2,
(－2)=－(n －13) 2+169.由二次函数性质知前13项和最大.
20. 、（1）∵f (x －1)=(x －1－1) 2－4=(x －2) 2－4
∴f (x )=(x －1) 2－4, ∴a 1=(x －2) 2－4, a 3=(x －1) 2－4， 又a 1+a 3=2a 2, 解得x =0或x =3.
(2)∵ a 1、a 2、a 3分别为0、－① 当a n =－② 当a n =
1S n
1S n
32
、－3或－3、－
92
32
、0∴a n =－
32
(n －1) 或a n =
32
(n －3)
32
(n －1) 时，a 2+a 5+…+a 26=
92
(a 2+a 26)=
3512
32
(n －3) 时，a 2+a 5+…+a 26=
1S n -1
(a 2+a 26)=
1S n
2972
.
21、 （1）∵－a n =2S n S n －1, ∴－S n +S n －1=2S n S n －1(n ≥2)，又S n ≠0,
∴
－
=2,又
1S 1
=
1a 1
=2,∴{
12n
}是以2为首项，公差为2的等差数列.
12n (n -1)
（2）由（1）
=2+(n －1)2=2n , ∴S n =，当n ≥2时，a n =S n －S n －1=－
⎧1
⎪ (n =1) 1⎪2
n =1时，a 1=S 1=, ∴a n =⎨
12⎪- (n ≥2)
⎪2n (n -1) ⎩
(3) 由（2）知b n =2(1－n ) a n =
1n
∴b 22+b 32+…+b n 2=
12
2
+
13
2
+…+
1n
2
11⨯2
+
12⨯3
+…+
1(n -1) n
=(1－
12
)+(
12
－
13
)+…+(
1n -1
－
1n
)=1－
1n
三、等差数列与等比数列性质的比较
四、数列的通项公式的求法
求数列通项的相关知识
1．两个基本公式
（1）等差数列的通项公式：a n =a 1+(n -1) d =a m +(n -m ) d 。 （2）等比数列的通项公式：a n =a 1q 2．三个基本方法 （1）S n 法：a n =⎨
⎧
S 1
(n =1) (n ≥2)
n -1
=a m q
n -m
=pq 。
n
⎩S n -S n -1
。
（2）叠加法：a n =a 1+(a 2-a 1) + +(a n -a n -1) 。 （3）累乘法：a
n
=a 1⨯
a 2a 1
⨯
a 3a 2
⨯ ⨯
a n a n -1
。
求数列通项的应用举例
该题型主要的出现形式为给出数列的一些递推关系式，求证数列为特殊数列，并求通项。因此要熟悉各种递推关系式，了解各种递推关系式所对应的数列类型。
求数列通项的方法很多，如：观察法、定义法、公式法、S n 法、叠加法、累乘法、构造法、递推法、待定系数法等。下面就几种常见的类型举例：
1．S 法（利用关系a n
n
S 1⎧
=⎨
⎩S n -S n -1
(n =1) (n >1)
，最后要注意可化简的要化简）
例1．已知下列两数列{a n }的前n 项和s n 的公式，求{a n }的通项公式。 （1）S n =n 2+n 。 （2）S n =n 2+n +1 解：（1）当n=1时，a 1=S 1=1+1=2；
⎤当n>1时，a n =S n -S n -1=(n +n ) -⎡⎣(n -1) +(n -1) ⎦=2n ，验证n=1时，此式也成立。
2
2
2
∴a n =2n 。
（2）当n=1时，a 1=S 1=3；
⎤当n>1时，a n =S n -S n -1=(n +n +1) -⎡⎣(n -1) +(n -1) +1⎦=2n ， ⎧0∴a n =⎨
⎩2n
(n =1) (n >1)
2
2
。
点评：要先分n=1和n >1两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。 例2．已知数列{a n }的前n 项和S n =
13
(a n
12
-1)n ∈N
(
*
)，求证{a }是等比数列.
n
证明：当n =1时，a 1=S 1，所以a 1=- 当n ≥2时，a n =S n -S n -1=
13a n -
13
a n -1
∴
23
a n =-
13
a n -1，∴
a n a n -1
=-
12
（与n 无关的常数）
又当n =1时，也满足，所以{a n }是等比数列。
练习：
1．已知下列两数列{a n }的前n 项和s n 的公式，求{a n }的通项公式。 （1）S n =n 2+4n 。 （2）S n =n 2+1 答案：（1）a n
2．已知数列{b }的首项b
n
=2n +3
；（2）a n
⎧1
=⎨
⎩2n -1
(n =1) (n ≥2)
1
=1
，其前n 项和B
=12nb n -1
n
=
12
(n +1) b n
，求b 。
n
解：∵B ∴b ∵b
n
=
12
(n +1) b n
12
，∴B
n -1
，
，∴(n -1) b ，∴b
=n
=nb n -1，即
n
=B n -B n -1=(n +1) b n -b n n
b n -1
12
nb n -1(n >1)
b 11
b n n
n
=
b n -1n -1
，
1
=1
，由此推出
=
n -1
= ==1
n
。
2．叠加法
例1．（a n +1=a n +f (n ) 型数列） 已知a 1=0, a n +1-a n =n ，求a n 。 解：∵a
1
=0, a n +1-a n =n
，∴a
2
-a 1=1
，a
3
-a 2=2
，„，a
n
-a n -1=n -1
，
将上面各式叠加，得a n -a 1=1+2+3+ +(n -1) ， 得a n =
n (n -1)
2
，当n=1时，此时也成立，所以a n =
n (n -1)
2
。
总结：一般地，对于型如a n +1=a n +f (n ) 类的通项公式，只要f (1) +f (2) + +f (n ) 能进行求和，
则宜采用此方法求解。
练习：若在数列{a n }中，a 1=3，a n +1=a n +n -n ，求通项a n 。
3
2
答案：a n
=3+
14
(n -1) n
22
-
16
(n -1) n (2n -1)
3．累乘法
例1．（a n +1=f (n ) a n 型数列） 已知a 1=1, a n +1=2⋅a n ，求a n 。 解：∵a 1=1, a n +1=2⋅a n ，∴
n n
a n +1a n
=2，∴
n
a 2a 1
⋅
a 3a 2
⋅ ⋅
a n a n -1
=2⋅2⋅ ⋅2
12n -1
，
∴
a n a 1
n (n -1) n (n -1)
=2
2
，∴a n =2
2
。
总结：一般地，对于型如a n +1=f (n)·a n 类的通项公式，当f (1) ⋅f (2) ⋅f (n ) 的值可以求得时，
宜采用此方法。
练习：在数列｛a n ｝中，a 1 =1, (n+1)·a n +1=n·a n ，求a n 的表达式。 解：由(n+1)·a n +1=n·a n 得
a n =
1n
a n +1a n
=
n n +1
，
a n a 1
=
a 2a 1
·
a 3a 2
·
a 4a 3
…
a n a n -1
=
12
⋅
23
⋅
34
n -1n
=
1n
所以
。
4．构造法（构造等差或等比数列求通项公式）
例1．（a n =a n +1+λa n ⋅a n +1型数列）
已知数列{a n }满足，a 1=3, a n =a n +1+5a n ⋅a n +1, n ∈N ，求a n 。
*
解：将等式a n =a n +1+5a n ⋅a n +1两边同时除以a n ⋅a n +1得：
1a n +1
=
1a n
+5。
即，对n ≥1，都有
1a n +1
-
1a n
=5。
⎧1⎫11
=为首项，5为公差的等差数列。 所以数列⎨⎬是以a 13⎩a n ⎭1a n
13
+5(n -1)，a n =
=
15n -
143
(n ≥1)。
总结：由递推关系式a n =a n +1+λa n ⋅a n +1都可转化为等差数列⎨
例2．（a n +1=p a n +r 型数列）
⎧1⎫
⎬。 ⎩a n ⎭
已知数列{a n }的首项a 1=2，a n =2a n -1+1(n ∈N , n ≥2)，求a n 。
*
解：a n +λ=2(a n -1+λ)，即a n =2a n -1+λ， 又∵a n =2a n -1+1，∴λ=1，∴a n +1=2(a n -1+1)， ∴{a n +1}是等比数列，首项为a 1+1=3，公比为2。
∴a n +1=3⨯2
n -1
， ∴a n =3⨯2
n -1
-1。
总结：一般地，已知a 1=a , a n +1=qa n +r ，可把a n +1=qa n +r 化成a n +1+λ=q (a n +λ) 的形式，
其中λ由待定系数法求得。 例3．（a n +1=pa n 型数列） 若数列{a }满足a
n
1
r
=3
，且a
>0
n +1
=a n
2
，求a 。
n
解：∵a
n
n +1
=a n
2
，∴a
1
n
，两边取对数，得lg a
n +1
=2lg a n
，
∴{lg a }是以lg a ∴lg a
n
=lg 3
为首项，以2为公比的等比数列，
2
n -1
=(lga 1) ⋅2
n -1
=lg a 1
r
=lg 3
2
n -1
，∴a
n
=3
2
n -1
。
结论：形如a n +1=pa n (其中p,r 为常数) 型，（1）若p>0，a n >0，用对数法. （2）若p
n
1
n
+qa
2
n -1
型数列）
n +2
n +1
n
n
在数列{a }中a =1, a =2，且a =4a -3a ，求a 。 解法一：∵a =4a -3a ，
设a -λa =m (a -λa ) ，待定系数法得m =1, λ=3，或m ∴a -3a =a -3a ，或a -a =3(a -a )
k +2
k +1
k
n +2
n +1
n +1
n
n +2
n +1
n +1
n
n +2
n +1
n +1
n
=3, λ=1，
∴a
n +1
-3a n =a 2-3a 1=-1，„„①
3
n -1
a n +1-a n =(a 2-a 1) ⋅3
n -1
=3
n -1
，„„②
联立①②，得a 解法二：∵a ∴a
k +1
k +2
n
=
+1
2
。 ，∴a
k -1
k +2
=4a k +1-3a k
k -1
-a k +1=3(a k +1-a k )
2
，∴{a
1
k +1
-a k }为等比数列。
n -2
-a k =(a 2-a 1) ⋅3
=3
。∴a
2
-a 1=3, a 3-a 2=3, , a n -a n -1=3
。
3
n -1
以上各式相加得a
n
-a 1=1+3+3+ +3
n -2
=
3
n -1
-1
3-1
=
12
(3
n -1
-1)
，∴a
n
=
+1
2
。
2
结论：形如a n +1=pa
练习：
1．若数列{a }满足a
n
1
n
+qa
n -1
(其中p,q 为常数) 型，（1）当p+q=1时，用转化法；（2）当p +4q ≥0
时，用待定系数法。
=1，且a n +1=1a n +1
1a n
a n 1+a n
1a n +1
，求a 。
n
解：由a
n +1
=
a n 1+a n
得
=1+
，∴
-
1a n
=1
，
∴数列⎨∴
1a n
⎧1⎫
⎬⎩a n ⎭
是公差为1的等差数列，首项为
1n
1a 1
=1，
=1+(n -1) ⨯1=n
，∴a
n
=
。
2．若数列{a }满足a =2，且a =2a +3，求a 。 解：∵a =2a +3，∴(a +3) =2(a +3) ，
∴数列{a +3}是等比数列，公比为2，首项为a +3=5，
n
1
n +1
n
n
n +1
n
n +1
n
n
1
∴a
n
+3=5⋅2
n -1
，∴a
n
=5⋅2
n -1
-3
。
5．待定系数法
例．设数列{c n }的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c 1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，求通项公式c n
解：设c n =a +(n -1) d +bq
⎧a ⎪⎪a ∴⎨
⎪a ⎪a ⎩
+b =2+d +bq =4+2d +bq +3d +bq
23
n -1
=2=1=1=1
⇒c n =n +2
n -1
=7=12
⎧q ⎪⎪d =⎨⎪b ⎪a ⎩
。
五、数列求和的方法和技巧
数列在高考中的要求：
1．等差数列与等比数列是两种最基本、最重要及应用最广泛的数列，其他数列问题的解决往往借助它们完成，或经过变形转化为等差或等比数列，或利用等差、等比数列的研究方法。所以等差数列与等比数列的基础知识是数列中最基本、最重要也最易把握的知识。
2．数列的通项是数列最重要、最常见的表达形式，它是数列的核心。应弄清通项公式的意义——项数n 的函数；理解通项公式的作用——可以用通项公式求数列的任意一项的值及对数列进行一般性的研究。 3．数列的递推式是数列的另一种表达形式，可以是一阶线性递推、二阶线性递推、二次函数形式递推、勾函数形式递推、与奇偶联系的递推等，是高考的热点。要注重叠加、叠乘、迭代等解题技巧的训练。
数列求和是高中数学的一个重点, 也是高考的热点, 纵观我市近几年的高考的最后一题，都是数列与函数、不等式、解析几何、立体几何、导数、三角、向量、二项式等知识联系在一起，以它的复杂多变、综合性强、解法灵活等特征成为高考的压轴题。
1、公式法:
利用以下公式求数列的和
1. Sn =
n (a 1+a n )
2
=na 1+
n (n -1)
2
d ({a n }为等差数列)
2. Sn =
a 1(1-q ) 1-q
2
2
n
=
a 1-a n q 1-q
2
(q ≠1) 或Sn =na 1(q =1) ({a n }为等比数列)
n (n +1)(2n +1)
6
n (n +1)
2
2
3. 1+2+3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+n =
1+2+3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+n =[
2
3
3
3
3
2
] 等公式
例如:已知数列{a n }，a n =n -n ，求前n 项和Sn
解：Sn =(1-1) +(2-2) +(3-3) +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(n -n ) =(1+2+3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+n ) -(1+2+3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+n ) =( =
n (n +1)(2n +1)
63
-
n (n +1)
2
2
2222
222
(n -1) n (n +1)
2、分组求和法
对于数列{a n }，若a n =b n ±C n
和时，可采用该法
. 9⋅⋅ ⋅9 例如：求和：Sn =0. 9+0. 99+0. 999+0. 9999+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+0
n 个9
⋅⋅±⋅⋅⋅⋅
且数列{b n }、{c n }„„都能求出其前n 项的和，则在求{a n }前n 项
⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅9=1-10 解：设a n =0. 9
n 个9
-n
∴Sn =a 1+a 2+a 3+a 4+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a n =(1-10
-1
) +(1-10
-2
) +(1-10
-1
-3
) +(1-10
-3
-4
) +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(1-10
-n
)
+ 1+ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅+1) -(10 =(1
n 个1相加
+10
-2
+10+10
-4
+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+10
-n
)
=n -
19
(1-10
-n
)
3、倒序相加法（或倒序相乘法） （1）．倒序相加法
在教材上推导等差数列{a n }前n 项和Sn 的公式： Sn =例如：求和 S =sin 1+sin 2+sin 3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+sin 89
2
2
2
2
n (a 1+a n )
2
就使用的是该法
解：S 又
=sin 1+sin
2
2 2
2+sin 3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+sin 89
2
2
2 2
„„①
S =sin 89+sin 88+sin 87+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+sin 1=cos 1+cos
2
2
2
即S
2+cos
2
2
3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+cos 89
2
2
2
=cos 1+cos
2
2
2+cos
2
3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+cos 89
2
2
„„②
2
2
由①+②得 2S =(sin1+cos 1) +(sin2+cos 2) +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(sin89+cos 89=89
∴S
=
892
（2）．倒序相乘法
例如：已知a 、b 为两个不相等的正数，在a 、b 之间插入n 个正数，使它们构成以a 为首项，b 为末项的等比数列，求插入的这n 个正数的积p n 解：设插入的n 个正数为a 1、a 2、a 3、„„a
且数列a 、a 1、a 2、a 3、„„a
、b 成等比数列
n n
则ab
=a 1⋅a n =a 2⋅a n -1=⋅⋅⋅⋅⋅⋅
p n =a 1⋅a 2⋅a 3⋅⋅⋅⋅⋅⋅a n
„„① „„②
n
n
又p
n
=a n ⋅a n -1⋅a n -2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a 1
2
由①⨯②得p n =(a 1a n )(a 2a n -1) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(a n a 1) =(ab ) ∴p n =(ab ) 2
4、错位相减法
对于数列{a n }，若a n =b n ⋅c n 且数列{b n }、{c n }分别是等差数列、等比数列时，求该数列{a n }前n
项和时，可用该方法
例如：已知数列{a n }：a n =(2n -1) ⋅3，求数列{a n }前n 项和Sn
n
解：Sn
=1⨯3+3⨯3-5⨯3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+[2(n -1) -1]⋅3
n
123n -1
+(2n -1) ⋅3
n
在上式两边同乘以(或除以) 等比数列{3
2
3
4
}的公比3，得
n
n +1
3Sn =1⨯3+3⨯3+5⨯3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+[2(n -1) -1]3+(2n -1) 3
n
n
由①～②（两等式的右边错位相减）
2Sn =1⨯3+(3⨯3-1⨯3) +(5⨯3-3⨯3) +⋅⋅⋅+(2n -1) 3-[2(n -1) -1]3=1⨯3+2⨯3+2⨯3+⋅⋅⋅+2⨯3-(2n -1) 3
1
2
3
n
n +1
1
2
3
n
12233
{}-(2n -1) 3
n +1
n +1
=1⨯3+2(3+3+⋅⋅⋅+3) -(2n -1) 3-6
=∴Sn
3+(3
n +1
-9) -(2n -1) ⋅3
n +1
n +1
=
(2-2n ) 3
n +1
=(n -1) ⋅3+3
5、裂项相消法
常见的裂项方法有：
1n (n +k )
1
(2n -1)(2n +1)
1
n (n +1)(n +2)
1．2．3．
=
111(-) k n n +k
1
1
12n +1
)
=
22n -11
1
(-
=
2n (n +1)
[-
1(n +1)(n +2)
]
4
1=
1k
例如：已知数列{a n }：a n =
1n +
12n +2
(n ≥2) ，求数列{a n }前n 项和
解： a ∴Sn
=
=
n
=
1n +
n +212
=(n +2-
12
n )
3) +⋅⋅⋅+
12
(n +2-
n )] =
12
12
12
(3-
[(3-
) +(4-2) +(5-
n )
) +(4-2) +(5-3) +⋅⋅⋅+(n +2-
1)
6、并项法
例如：已知Sn =2-4-6-8+10-12+⋅⋅⋅+(-1)
n +1
2n ，则S 15+S 20~S 50= 解： S 15=2-4+6-8+10-12+⋅⋅⋅+26-28+30
=(2-4) +(6-8) +(10-12) +⋅⋅⋅+(26-28) +30=(-2) ⨯7+30=16
S 20=2-4+6-8+10-12+⋅⋅⋅+38-40
=(2-4) +(6-8) +(10-12) +⋅⋅⋅+(38-40) =(-2) ⨯10=-20
同理
S 50=(-2) ⨯25=-50∴S 15+S 20-S 50=16+(-20) +(-50) =46
相应练习：
【巩固练习】1：已知数列（1）求
2, 4
2
{
a n
}
的通项公式为
n
a n =3n -14
，
s n
为
{
a n
}
的前n 项和，
s n
a {； （2）求的前20项和。
【巩固练习】2：求数列22
2n
n
,
62
3
, ⋅⋅⋅,
2n 2
n
, ⋅⋅⋅
前n 项的和.
1
n
解：由题可知，{2}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{2}的通项之积
设
12
S n =
22
+
42
2
+
62
3
+⋅⋅⋅+
2n 2
n
…………………………………①
1) n 2+n +1
2………………………………② （设制错位）
S n =
2
2
2
+
42
+⋅⋅⋅+3
2n (-2
n
(1-
12
①－②得
) S n =
22
+
22
2
+
22
3
+
22
4
+⋅⋅⋅+
22
n
-
2n 2
n +1
（错位相减）
n +22
n -1
=2-
12
n -1
-
2n 2
n +1
∴
S n =4-
【巩固练习】3：求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.
n
n
3
2
解：设
a k =k (k +1)(2k +1) =2k
+3k
n
+k
S n =
∴
n
2
∑
k =1n
k (k +1)(2k +1)
＝k =1
k
∑(2k
3
+3k +k )
2
将其每一项拆开再重新组合得 Sn ＝
3
3
3
2
2
2∑k +3∑k +
k =1
k =1
3
∑
k =1
（分组）
＝2(1+2+⋅⋅⋅+n ) +3(1+2+⋅⋅⋅+n ) +(1+2+⋅⋅⋅+n )
n (n +1)
2
2
2
＝
2
2
+
n (n +1)(2n +1)
2
+
n (n +1)
2
（分组求和）
n (n +1) (n +2)
＝
2
a n =
1n +1
+
2n +1
+⋅⋅⋅+
n n +1，又
b n =
2a n ⋅a n +1
【巩固练习】4：在数列{an}中，和.
，求数列{bn}的前n 项的
解： ∵
a n =
1n +1
+
2n +1
+⋅⋅⋅+
n n +1
=
n
2 ∴
b n =
2n n +1
⋅22
=8(
1n
-
1n +1
)
（裂项）
∴ 数列{bn}的前n 项和
S n =8[(1-
12) +(
12-13) +(
13-14
) +⋅⋅⋅+(
1n -
1n +1
)]
（裂项求和）
8(1-
1
＝
n +1 ＝ n +1 ＝ 0
)
8n
【巩固练习】5：在各项均为正数的等比数列中，若解：设
S n =log
3
a 5a 6=9, 求log
3
a 1+log
3
a 2+⋅⋅⋅+log
3
a 10
的值.
a 1+log
3
a 2+⋅⋅⋅+log
3
a 10
（找特殊性质项） 得
3
由等比数列的性质 和对数的运算性质
S n =(log
3
m +n =p +q ⇒a m a n =a p a q
log
a
M +log
a
N =log
a
M ⋅N
a 1+log
3
a 10) +(log
3
a 2+log
3
a 9) +⋅⋅⋅+(loga 5+log
3
a 6)
（合并求和）
数学
＝ ＝
(loglog
3
a 1⋅a 10) +(log
3
a 2⋅a 9) +⋅⋅⋅+(log
9
3
a 5⋅a 6)
3
9+log
3
9+⋅⋅⋅+log
3
＝10
8(n +1)(n +3)
n
a n =
【巩固练习】6： 已知数列{an}：
(n +1)(a n -a n +1) =8(n +1)[
, 求∑(n +1)(a n -a n +1)
k =1
的值.
1(n +1)(n +3) 1
-
1
(n +2)(n +4) 1
]
解：∵
8⋅[
（找通项及特征）
＝
(n +2)(n +4)
+
(n +3)(n +4)
]
（设制分组）
-
1n +4
)
4⋅(
1n +21
-
1n +4
n
) +8(
1n +3
1n +4
＝
n
n
（裂项）
∴
∑
k =1
(n +1)(a n -a n +1) =4∑(
k =1
n +2
-
1n +4
) +8∑(
k =1
1n +3
-)
（分组、裂项求和）
- 21 -