二重积分的等价定义及应用

第31卷第2期 唐山师范学院学报 2009年3月 Vol. 31 No. 2 Journal of Tangshan Teachers College Mar. 2009

二重积分的等价定义及应用

宋泽成

（唐山师范学院 数学与信息科学系，河北 唐山 063000）

不变的情况下，将定义中的任意分割T改为特殊分割，得到了几种等价定义，并加以证明。

关键词：二重积分；等价定义；分割；积分和 中图分类号： O172.2

文献标识码：A

文章编号：1009-9115(2009)02-0042-04

摘 要：通过分析和研究现行教材中二重积分的定义，对其做出了适当的改进，即在选取点i,j的任意性



The Equivalent Definition and Application of Double Integral

SONG Ze-cheng

(Department of Mathematics and Information Science, Tangshan Teachers College, Tangshan Hebei 063000, China)

Abstract: Through analyzing and researching the definition of the double integral in Present teaching material, this paper made some suitable improvement. In the situation of selecting point randomly without changes, the random partition was changed to special partition and several kinds of equivalent definitions of double integral are obtained and proved.

Key words: double integral; equivalent definition; divide; sum of integral

1 预备知识

1.1 现行教材中二重积分的定义

定义1 设DR2为有界闭域，f是定义在D上的有界函数，J是一个确定的数，若对任给的正数，总存在某一个正数，使得对D上任意分割T，只要它的细度

1x, y都是有理数

fx,y

0x, y中至少有一个是无理数

证明fx, y在D上不可积。

证明 因为对D的任何分割T，在属于它的每一个小区域i上都含有坐标x，y都是有理数的点，同时也含有至少有一个坐标是无理数的点，因此可以把D上的点分成以上两类。

当介点全取D中的坐标x，y都是有理数的点时

max{di}（这里di是Di的直径），对属于分割T

的所有积分和都有



i,j

f(i,j)i,jJ。

则称f(x,y)在D上可积，简称fx,y在D上R－可积，J称为f在D上的二重积分。记作

fx,y

i

i

1，x,yi； 0，x,yi。

当介点取D中的坐标x，y至少有一个是无理数的点时

J

f(x,y)dxdy或Jf。

D

D

i

j

fx,y

i

i

在定义中，既有分割T的不确定性，又有取值点,的任意性，使积分值是一个相当复杂的和的极限。那么，能否转化条件，减少不必要的变量而使定义简化呢？以下主要研究这个问题。

1.2 选取点i,j的任意性是必要的

例1 设D0,10,1，函数fx,y定义在D上，且

所以，无论对于任何分割T，即使它的细度小于任意正数，所得的积分和的极限也不存在。因此，fx,y在D上不可积。

由于介点的选取不同而导致以上例子中对任何分割T，

积分和的极限不存在，从而使函数不可积，这充分说明定义中点的选取的任意性是不可改变的。



────────── 收稿日期：2008-04-30

作者简介：宋泽成（1964-），男，河北唐山人，唐山师范学院数学与信息科学系副教授，研究方向为函数论。 -42-

宋泽成：二重积分的等价定义及应用

我们知道了点的选取任意性不可改变，那么，是否可以去掉分割T的任意性的要求呢？答案是肯定的。由此得出二重积分的一个简单定义。

2 积分区域不变，取确定分割

定义2 设f是定义在有界闭域D上的有界函数，J是一个确定的数。若对任给正数，总存在某一正数，T是

D上某一确定的分割，只要它的细度，对于属于分

割T的所有积分和都有

0

fi,iiJ (1)

i

且J的值与点i,i的选取无关，则称f在D上可积，简称f在D上R1－可积。

定义2中的条件比定义1中的条件减弱了。因为在定义2中并不要求分割T是任意的。我们希望定义2与定义1是等价的。

事实上，定义1定义2。

由定义1，f在D上R－可积，则存在J，对0，总存在0，使D上任何分割T，

只要它的细度，对于属于分割T的所有积分和都有



fi,iiJ (2)

i

这里分割T是任意的，只要求它把D分成有限个可求面积的小区域，当然对某一确定的分割T都有(2)成立，因此，f在D上R1－可积，且积分值相等。

定义2定义1。 T是D上某一确定的分割，因为

fi

,i



i

J

i

由极限定义，对任意的0，总存在10，当

1时，对任意点i,ii，都有

fi

,i



i

J

i

即J

fi

,i



i

J。

i

由于对D的分割T，小和sT和大和ST是所有积分和的下确界与上确界，从而有

JsTSTJ

即有0STsT2 所以

0STsT0ii0 (3)

i

现证对有界区域D上的任意分割T也有

0

i'

i

'0。

i

令T是有界区域D上的任意分割，i'是fx,y在小区域i'上的振幅。设T分割D所得的小区域个数为N。

maxd1',d2',,dN'i1,2,,N

这里di'是Di'的直径。

由(3)知，对任给的0，总存在20，当2

时，就有

i

i

，

i

即i

i

。

i

现将使(3)式成立的分割T的小区域固定，对任意分割

T，取

min

,





N

，

当时，可将分割T的小区域i'分成两类：一类是k'i，即小区域k'包含在某一个小区域i中，另一

类是j'，每个j'都分布在分割T的几个相邻的小区域上，且后一类小区域的个数最多为N个。

将

i

'i

'i

中的项分别按前面两类进行结合，并分

别记为'k

'k

'和''j

'j

'kj

，

在第一类小区域中显然有k'i，令

maxi

i'，于是当时，有 i'

i

'k'k'i

'

''j'j

k

j

2

iiN i4

14

从而有

T0

i'

i

'i

0

由分割T的任意性及二重积分可积性的充要条件，即定理1可知，f在D上R－可积，即证得定义1与定义2是等价的，且积分值相等。

上述结果说明，在二重积分定义中可以去掉分割T的任意性的要求。因此，如果将定义中分割

T限定于一类特殊分割，同时保持点i,j的选取的任意性，可以得到更简便的定义。

定义2 设D是积分区域，用任意矩形网分割T（即由平行于坐标轴的直线族构成），若只要，对属于分割T的所有积分和都有

T0

fi

,j

xi

y

j

J

i,j

则称f在D上可积，简称f在D上R1－可积。

易知，定义2与定义1等价。 定理1 下列三个命题是等价的： （I）有界函数f在D上R1'－可积。

（II）对0，存在D上某个矩形网分割T，使得

-43-

第31卷第2期 唐山师范学院学报 2009年3月

STsTii。

i

（III）f在D上的下积分等于上积分，且有

sSf。

D

以上讨论的都是函数f在一般可求面积的区域上的积分，若积分区域为特殊区域，定义会更简单。

3 积分区域为矩形区域 3.1 取一般矩形网分割

定义 设DR2是任一有界闭域，任取矩形域D

，使

DD，若f在D

上延拓函数



fx,y＝fx,yx,yD0

x,yD D在D

上R－可积，则f在D上R－可积，且

f

f。

D



D

由以上定义及积分区域的可加性可得定义3。

定义3 设Da1,b1a2,b2，若对0，总存在0，使得对D上的任意矩形网分割T，只要它的细度，对属于T的所有积分和都有

fi

,j

xi

y

j

J

i,j

则称f在D上R2－可积，且fJ。

D

积分区域是矩形区域时，用矩形网分割使定义条件明显减弱，结论更加完善，进一步，还可以把条件减弱，取特殊矩形网分割，如均等分割，便得到如下定义。

3.2 均等的矩形网分割矩形区域

定义4 f定义在Da1,b1a2,b2上，若存在J，

ua1i2jmia1

b1m

，v

njab2a2

n

，Tmum1,um2,,umm

，

Tnvn1,vn2,,vnn，令TmnTmTn是D的分割。

若存在自然数N，

对m，nN，和任意点i,j∈um,i1,umivn,j1,vnj，有

fi

,j

u

mi

um,i1vnjvn,j1J (4)

i,j

则称f在D上R3－可积。

定理2 Tmn是D的分割，且如定义4中定义，以下三个命题是等价的：

（I）f在D上R2－可积。

（II）

infSTmnm,nN

supsTmnm,nN

。 （III）mlimSTmnn



mlimsTmn。 n



现在给出定义4与定义3等价的证明，即证f在D上

R3－可积与f在D上R2－可积等价。

事实上，由f在D上R2－可积推得f在D上R3－可

-44-

积是显然的。只需证明由f在D上R3－可积也可得到f在

D上R2－可积。

假设f在闭区域Da1,b1a2,b2上R3－可积，J

是函数f在D上的积分值，则0，存在自然数N，当m，nN时，存在实数i1,i2um,i1,umi，



j1

,j2vn,j1,vnj，i1,2,,m;j1,2,,n。并

且，fi1,j1足够接近supf



um,i1,umivn,j1,vnj，

fi2,j2足够接近inffum,i1,umivn,j1,vnj



，

那么有

STmnfi1,j1umium,i1vnjvn,j1 (5)

i,j

sTmnfi2,j2umium,i1vnjvn,j1 (6)

i,j

由(4)，得

f

i1

,j1fi2,j2umium,i1vnjvn,j1 (7)

i,j

由(5)、(6)、(7)可知，对m，n，有

STmnsTmn3成立，从而有

mlimSTmnlimsTmn

n

mn



J。 由定理4得，f在D上R2－可积。

由以上几种定义可以看出二重积分是建立在用任何曲线网来分割区域的基础上的，与坐标系的选择无关，不仅仅局限于直角坐标系及平行于坐标轴的矩形网分割，灵活运用这一特性，可以使很多问题简化，如在极坐标系中，我们完全可以仿照对矩形区域的分割方法，依次类推，采用r＝常数的一族同心圆与＝常数的一族过极坐标点的射线来分割区域，从而较直观的得出二重积分在极坐标下的等价定义。这里不再赘述。

4 等价定义的应用

例2 证明函数fx,yc（c为常数且c≠0）在

Da1,b1a2,b2上可积。

证明 对区域Da1,b1a2,b2作分割T，即对区

间a1,b1作m等分，得到a1,b1上的分割

Txb1a1iixia1m,i1,2,,m

m，

n

同时对区间a2,b2作等分，得到a2,b2上的分割

Tnyyab2a2j,j1,2,jj2

,nn

。 令TT×Tmn，任取i,jxi1,xiyj1,yj，

i1,2,,m；j1,2,,n。分割T的相应的积分和为

fi,jxiyjc(b1a1)(b2a2)i,j。 i,j

mn所以

mlim

i

,j

xi

y

j

nfi,j

宋泽成：二重积分的等价定义及应用

(bamlimnc11)(b2a2)

i,jmlim(bamn

1)(b2a2)nmnc1mn

c(b1a1)(b2a2)

由定义4，得fx,y在Da1,b1a2,b2上可积。 例3 已知fx,yxy，D0,10,1上，证明

fx,y在D上可积，并求积分值xydxdy。

D

解 用直线网xi/n，yj/n，（i,j1,2,,n），分割D0,10,1，则

STsupf[xi1,xi][yj1,yj]xiyji,j



f(ij11

ij1i,j

n,nnn2 i,jnnn

nn

1n

4

i1

j

ij1

则nlimSTnlim1n(n1)2

n4＝1。 2

4sTinff([xi1,xi][yj1,yj])xiyji,j

f(

i1ji,j

n,111

n)nn



i12

i,j

nj11nn nn



1n4

(i1)(j1)

i1

j1

则sT1nlim

4。所以nlimST1

nlim

sT4

。所以，fx,y在Da1,b1a2,b2上可积，且

xydxdy1。

D

4

例4 设二元函数fx,y在Dx,yaxb,cyd

上有定义，并且fx,y对于确定的xa,b是对y在

c,d上单调增加函数，对于确定的yc,d是对x在

a,b上单调增加函数，证明fx,y在D上可积。

证明 在x轴上将a,bn等分，

在y轴上将c,dn等分，得分划

ax0x1x2xnb，

cy0y1y2ynd。

过这些等分点作平行于坐标轴的直线，将区域D分成

n2

个小矩形，显然，当n时，小矩形直径趋向零。小

矩形的面积为

badcn2



n2

。

n

若能证明



ij

n2

0（当n），则fx,y在 i,j1

D上可积。

注意到f分别关于x，y递增，所以f在每个小矩形上

ijfxi,yjfxi1,yj1，

n

n

ij22i,j1

nnfxi,yjfxi1,yj1。 i,j1相加时，D内部每个网点上，值fxi,yj各取了两次，

一正一负，被消去，只剩下边界网点之值。因此

n

n

ij22i,j1

nnfxi,ynfx0,yi1i1

n1

fx

n,yifxi,y01。 i

但

fxi,ynfx0,yi1fxn,ynfx0,y0 fxn,yifxi,y0fxn,ynfx0,y0

所以

n



ij



2

fxn,ynfx0,y02n i,j1

nn22

nfb,dfa,c0（当n）

故fx,y在D上可积。

[参考文献]

[1] 华东师范大学数学系.数学分析(第二版)下册[M].北京:高

等教育出版社,1991.

[2] 宋天鉴.对定积分定义中分法 的任意性的讨论[J].曲靖

师专学报,1994,2:1-3.

[3] 王向东,熊道统.数学分析的概念与方法[M].上海:上海科

学技术文献出版社,1990.

[4] 张永锋.关于重积分定义的注记[J].安康师专学报,

1995,1:62-66.

[5] 迈克尔·斯皮瓦克.微积分[M].北京:人民教育出版社, 1980. [6] 刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,

1992.

[7] 刘涌泉.黎曼可积的一个等价条件[J].江西师范大学学报,

1996,2:188-189.

[8] 麦结华,曾素行.黎曼积分的几个等价定义[J].数学研究,

2005,1:35-41.

[9] 吉林大学数学系.数学分析[M].北京:人民教育出版社,1978. [10] A.я.辛钦.数学分析八讲[M].武汉:武汉大学出版社, 1998.

（责任编辑、校对：赵光峰）

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第31卷第2期 唐山师范学院学报 2009年3月 Vol. 31 No. 2 Journal of Tangshan Teachers College Mar. 2009

二重积分的等价定义及应用

宋泽成

（唐山师范学院 数学与信息科学系，河北 唐山 063000）

不变的情况下，将定义中的任意分割T改为特殊分割，得到了几种等价定义，并加以证明。

关键词：二重积分；等价定义；分割；积分和 中图分类号： O172.2

文献标识码：A

文章编号：1009-9115(2009)02-0042-04

摘 要：通过分析和研究现行教材中二重积分的定义，对其做出了适当的改进，即在选取点i,j的任意性



The Equivalent Definition and Application of Double Integral

SONG Ze-cheng

(Department of Mathematics and Information Science, Tangshan Teachers College, Tangshan Hebei 063000, China)

Abstract: Through analyzing and researching the definition of the double integral in Present teaching material, this paper made some suitable improvement. In the situation of selecting point randomly without changes, the random partition was changed to special partition and several kinds of equivalent definitions of double integral are obtained and proved.

Key words: double integral; equivalent definition; divide; sum of integral

1 预备知识

1.1 现行教材中二重积分的定义

定义1 设DR2为有界闭域，f是定义在D上的有界函数，J是一个确定的数，若对任给的正数，总存在某一个正数，使得对D上任意分割T，只要它的细度

1x, y都是有理数

fx,y

0x, y中至少有一个是无理数

证明fx, y在D上不可积。

证明 因为对D的任何分割T，在属于它的每一个小区域i上都含有坐标x，y都是有理数的点，同时也含有至少有一个坐标是无理数的点，因此可以把D上的点分成以上两类。

当介点全取D中的坐标x，y都是有理数的点时

max{di}（这里di是Di的直径），对属于分割T

的所有积分和都有



i,j

f(i,j)i,jJ。

则称f(x,y)在D上可积，简称fx,y在D上R－可积，J称为f在D上的二重积分。记作

fx,y

i

i

1，x,yi； 0，x,yi。

当介点取D中的坐标x，y至少有一个是无理数的点时

J

f(x,y)dxdy或Jf。

D

D

i

j

fx,y

i

i

在定义中，既有分割T的不确定性，又有取值点,的任意性，使积分值是一个相当复杂的和的极限。那么，能否转化条件，减少不必要的变量而使定义简化呢？以下主要研究这个问题。

1.2 选取点i,j的任意性是必要的

例1 设D0,10,1，函数fx,y定义在D上，且

所以，无论对于任何分割T，即使它的细度小于任意正数，所得的积分和的极限也不存在。因此，fx,y在D上不可积。

由于介点的选取不同而导致以上例子中对任何分割T，

积分和的极限不存在，从而使函数不可积，这充分说明定义中点的选取的任意性是不可改变的。



────────── 收稿日期：2008-04-30

作者简介：宋泽成（1964-），男，河北唐山人，唐山师范学院数学与信息科学系副教授，研究方向为函数论。 -42-

宋泽成：二重积分的等价定义及应用

我们知道了点的选取任意性不可改变，那么，是否可以去掉分割T的任意性的要求呢？答案是肯定的。由此得出二重积分的一个简单定义。

2 积分区域不变，取确定分割

定义2 设f是定义在有界闭域D上的有界函数，J是一个确定的数。若对任给正数，总存在某一正数，T是

D上某一确定的分割，只要它的细度，对于属于分

割T的所有积分和都有

0

fi,iiJ (1)

i

且J的值与点i,i的选取无关，则称f在D上可积，简称f在D上R1－可积。

定义2中的条件比定义1中的条件减弱了。因为在定义2中并不要求分割T是任意的。我们希望定义2与定义1是等价的。

事实上，定义1定义2。

由定义1，f在D上R－可积，则存在J，对0，总存在0，使D上任何分割T，

只要它的细度，对于属于分割T的所有积分和都有



fi,iiJ (2)

i

这里分割T是任意的，只要求它把D分成有限个可求面积的小区域，当然对某一确定的分割T都有(2)成立，因此，f在D上R1－可积，且积分值相等。

定义2定义1。 T是D上某一确定的分割，因为

fi

,i



i

J

i

由极限定义，对任意的0，总存在10，当

1时，对任意点i,ii，都有

fi

,i



i

J

i

即J

fi

,i



i

J。

i

由于对D的分割T，小和sT和大和ST是所有积分和的下确界与上确界，从而有

JsTSTJ

即有0STsT2 所以

0STsT0ii0 (3)

i

现证对有界区域D上的任意分割T也有

0

i'

i

'0。

i

令T是有界区域D上的任意分割，i'是fx,y在小区域i'上的振幅。设T分割D所得的小区域个数为N。

maxd1',d2',,dN'i1,2,,N

这里di'是Di'的直径。

由(3)知，对任给的0，总存在20，当2

时，就有

i

i

，

i

即i

i

。

i

现将使(3)式成立的分割T的小区域固定，对任意分割

T，取

min

,





N

，

当时，可将分割T的小区域i'分成两类：一类是k'i，即小区域k'包含在某一个小区域i中，另一

类是j'，每个j'都分布在分割T的几个相邻的小区域上，且后一类小区域的个数最多为N个。

将

i

'i

'i

中的项分别按前面两类进行结合，并分

别记为'k

'k

'和''j

'j

'kj

，

在第一类小区域中显然有k'i，令

maxi

i'，于是当时，有 i'

i

'k'k'i

'

''j'j

k

j

2

iiN i4

14

从而有

T0

i'

i

'i

0

由分割T的任意性及二重积分可积性的充要条件，即定理1可知，f在D上R－可积，即证得定义1与定义2是等价的，且积分值相等。

上述结果说明，在二重积分定义中可以去掉分割T的任意性的要求。因此，如果将定义中分割

T限定于一类特殊分割，同时保持点i,j的选取的任意性，可以得到更简便的定义。

定义2 设D是积分区域，用任意矩形网分割T（即由平行于坐标轴的直线族构成），若只要，对属于分割T的所有积分和都有

T0

fi

,j

xi

y

j

J

i,j

则称f在D上可积，简称f在D上R1－可积。

易知，定义2与定义1等价。 定理1 下列三个命题是等价的： （I）有界函数f在D上R1'－可积。

（II）对0，存在D上某个矩形网分割T，使得

-43-

第31卷第2期 唐山师范学院学报 2009年3月

STsTii。

i

（III）f在D上的下积分等于上积分，且有

sSf。

D

以上讨论的都是函数f在一般可求面积的区域上的积分，若积分区域为特殊区域，定义会更简单。

3 积分区域为矩形区域 3.1 取一般矩形网分割

定义 设DR2是任一有界闭域，任取矩形域D

，使

DD，若f在D

上延拓函数



fx,y＝fx,yx,yD0

x,yD D在D

上R－可积，则f在D上R－可积，且

f

f。

D



D

由以上定义及积分区域的可加性可得定义3。

定义3 设Da1,b1a2,b2，若对0，总存在0，使得对D上的任意矩形网分割T，只要它的细度，对属于T的所有积分和都有

fi

,j

xi

y

j

J

i,j

则称f在D上R2－可积，且fJ。

D

积分区域是矩形区域时，用矩形网分割使定义条件明显减弱，结论更加完善，进一步，还可以把条件减弱，取特殊矩形网分割，如均等分割，便得到如下定义。

3.2 均等的矩形网分割矩形区域

定义4 f定义在Da1,b1a2,b2上，若存在J，

ua1i2jmia1

b1m

，v

njab2a2

n

，Tmum1,um2,,umm

，

Tnvn1,vn2,,vnn，令TmnTmTn是D的分割。

若存在自然数N，

对m，nN，和任意点i,j∈um,i1,umivn,j1,vnj，有

fi

,j

u

mi

um,i1vnjvn,j1J (4)

i,j

则称f在D上R3－可积。

定理2 Tmn是D的分割，且如定义4中定义，以下三个命题是等价的：

（I）f在D上R2－可积。

（II）

infSTmnm,nN

supsTmnm,nN

。 （III）mlimSTmnn



mlimsTmn。 n



现在给出定义4与定义3等价的证明，即证f在D上

R3－可积与f在D上R2－可积等价。

事实上，由f在D上R2－可积推得f在D上R3－可

-44-

积是显然的。只需证明由f在D上R3－可积也可得到f在

D上R2－可积。

假设f在闭区域Da1,b1a2,b2上R3－可积，J

是函数f在D上的积分值，则0，存在自然数N，当m，nN时，存在实数i1,i2um,i1,umi，



j1

,j2vn,j1,vnj，i1,2,,m;j1,2,,n。并

且，fi1,j1足够接近supf



um,i1,umivn,j1,vnj，

fi2,j2足够接近inffum,i1,umivn,j1,vnj



，

那么有

STmnfi1,j1umium,i1vnjvn,j1 (5)

i,j

sTmnfi2,j2umium,i1vnjvn,j1 (6)

i,j

由(4)，得

f

i1

,j1fi2,j2umium,i1vnjvn,j1 (7)

i,j

由(5)、(6)、(7)可知，对m，n，有

STmnsTmn3成立，从而有

mlimSTmnlimsTmn

n

mn



J。 由定理4得，f在D上R2－可积。

由以上几种定义可以看出二重积分是建立在用任何曲线网来分割区域的基础上的，与坐标系的选择无关，不仅仅局限于直角坐标系及平行于坐标轴的矩形网分割，灵活运用这一特性，可以使很多问题简化，如在极坐标系中，我们完全可以仿照对矩形区域的分割方法，依次类推，采用r＝常数的一族同心圆与＝常数的一族过极坐标点的射线来分割区域，从而较直观的得出二重积分在极坐标下的等价定义。这里不再赘述。

4 等价定义的应用

例2 证明函数fx,yc（c为常数且c≠0）在

Da1,b1a2,b2上可积。

证明 对区域Da1,b1a2,b2作分割T，即对区

间a1,b1作m等分，得到a1,b1上的分割

Txb1a1iixia1m,i1,2,,m

m，

n

同时对区间a2,b2作等分，得到a2,b2上的分割

Tnyyab2a2j,j1,2,jj2

,nn

。 令TT×Tmn，任取i,jxi1,xiyj1,yj，

i1,2,,m；j1,2,,n。分割T的相应的积分和为

fi,jxiyjc(b1a1)(b2a2)i,j。 i,j

mn所以

mlim

i

,j

xi

y

j

nfi,j

宋泽成：二重积分的等价定义及应用

(bamlimnc11)(b2a2)

i,jmlim(bamn

1)(b2a2)nmnc1mn

c(b1a1)(b2a2)

由定义4，得fx,y在Da1,b1a2,b2上可积。 例3 已知fx,yxy，D0,10,1上，证明

fx,y在D上可积，并求积分值xydxdy。

D

解 用直线网xi/n，yj/n，（i,j1,2,,n），分割D0,10,1，则

STsupf[xi1,xi][yj1,yj]xiyji,j



f(ij11

ij1i,j

n,nnn2 i,jnnn

nn

1n

4

i1

j

ij1

则nlimSTnlim1n(n1)2

n4＝1。 2

4sTinff([xi1,xi][yj1,yj])xiyji,j

f(

i1ji,j

n,111

n)nn



i12

i,j

nj11nn nn



1n4

(i1)(j1)

i1

j1

则sT1nlim

4。所以nlimST1

nlim

sT4

。所以，fx,y在Da1,b1a2,b2上可积，且

xydxdy1。

D

4

例4 设二元函数fx,y在Dx,yaxb,cyd

上有定义，并且fx,y对于确定的xa,b是对y在

c,d上单调增加函数，对于确定的yc,d是对x在

a,b上单调增加函数，证明fx,y在D上可积。

证明 在x轴上将a,bn等分，

在y轴上将c,dn等分，得分划

ax0x1x2xnb，

cy0y1y2ynd。

过这些等分点作平行于坐标轴的直线，将区域D分成

n2

个小矩形，显然，当n时，小矩形直径趋向零。小

矩形的面积为

badcn2



n2

。

n

若能证明



ij

n2

0（当n），则fx,y在 i,j1

D上可积。

注意到f分别关于x，y递增，所以f在每个小矩形上

ijfxi,yjfxi1,yj1，

n

n

ij22i,j1

nnfxi,yjfxi1,yj1。 i,j1相加时，D内部每个网点上，值fxi,yj各取了两次，

一正一负，被消去，只剩下边界网点之值。因此

n

n

ij22i,j1

nnfxi,ynfx0,yi1i1

n1

fx

n,yifxi,y01。 i

但

fxi,ynfx0,yi1fxn,ynfx0,y0 fxn,yifxi,y0fxn,ynfx0,y0

所以

n



ij



2

fxn,ynfx0,y02n i,j1

nn22

nfb,dfa,c0（当n）

故fx,y在D上可积。

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（责任编辑、校对：赵光峰）

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