] 三角形的形状的判定

三角形的形状的判定

浙江奉化江口中学（315504）毛显勇

在三角函数及向量应用中, 有关三角形的形状的判定，在教材中既没有直接的例题，也没有相应的练习题和习题，而此类型的题又是经常碰到的，所以教师不能只作一些范例的讲解，而应对知识作一种较全面的归纳和分析, 再分不同的类型选择例题作专题讲解。这样，既把所学知识连成一片，又巩固了知识，使所学的内容前后联系，扩大应用范围，达到融会贯通。

1、复习三角形中有关知识：

1.1角的关系：A+B+C=π⇒C =π-(A+B)、 C

2=π

2

2-A +B 2= C

2 或A+B=π-C 、A +B π

2-

1.2边的关系：任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。

1.3边角关系：同一个三角形中，大边对大角，小边对小角。

正弦定理：a

sin A

2=b sin B 2=c sin C =2R 。 余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc cos A ， b =a +c -2ac cos B ， 2

c 2=a 2+b 2-2ab cos C 。

三角形面积：S=1

2ab sin C =1

2bc sin A =1

2ca sin B

1.4三角形的分类：按角分：锐角Δ，直角Δ，钝角Δ。

按边分：等腰Δ，等边Δ。

其它：斜三角形，等腰直角三角形，等等。

2、三角形形状的判定：

在ΔABC 中，三内角A 、B 、C 所对的三边长为a 、b 、c 。

2.1若 a=b或cosA=cosB、tanA=tanB、sinA=sinB ⇒ A=B则三角形是等腰三角形；

2.2若a +b =c 则C 是直角，三角形是直角三角形；

a +b

a +b >c 则C 是锐角，若a 、b 、c 中c 最大，则三角形是锐角三角形。

2.3若 cosAcosBcosC>0, 则A 、B 、C 都是锐角，三角形是锐角三角形；

cosAcosBcosC=0, 则A 、B 、C 中必有一个是直角，三角形是直角三角形； cosAcosBcosC

2.4若a •b =0⇔a ⊥b ，则三角形是直角三角形。

3、举例应用： 222222222

例1 已知α是一个三角形的内角，且sin α+cosα=2

3，则这个三角形的形状是（ ）

A 、 锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不能确定

解：∵ 0

000231；当α=90时，sin α+cosα=1）。故选B 。

说明：本题直接利用三角函数线及三角形中任两边之和大于第三边，缩小角的取值范围，从而快速得解。

例2 在ΔABC 中，内角A 和B 满足cosAcosB=sinAsinB，则ΔABC 的形状是 。 解： cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=0 又 A+B∈（0，π）

∴ A+B=π

2。故ΔABC 是直角三角形。

变式1：若条件为cosAcosB>sinAsinB，则ΔABC 的形状是钝角三角形。

变式2：若条件为cosAcosB

说明：本题倒用两角和与差的公式，再根据角的取值范围先确定角A+B的范围，从而确定角C 的范围，就得解。

例3 在ΔABC 中，已知cos A+cosB+cosC=2，试判定其形状。

解：在ΔABC 中，cos A+cosB+cosC=

=1+1

22222221+cos 2A 2+1+cos 2B 2+cos(A+B) 2(cos2A+cos2B)+cos2(A+B)=1+cos(A+B)cos(A-B)+cos2(A+B)

=1+cos(A+B)[cos(A-B)+cos(A+B)]=1+cos(A+B)2cosAcosB

=1-2cosAcosBcosC=2

⇒cosAcosBcosC=-1

2

⇒A 、B 、C 中必有一个角是钝角⇒ΔABC 是钝角三角形。

推广：由cos 2A+cos2B+cos2C=1-2cosAcosBcosC

得cos 2A+cos2B+cos2C0，则ΔABC 是锐角三角形。

cosA+cosB+cosC=1⇒cosAcosBcosC=0，则ΔABC 是直角三角形。

cos2A+cos2B+cos2C>1⇒cosAcosBcosC

说明：在三角形中不能忘记A+B+C=π。本题用降幂公式、和差化积等公式把已知化简为余弦的连乘积，确定角的范围，故得解。

例4 在ΔABC 中，已知 sin C =sin A +sin B

cos A +cos B 222，试判定ΔABC 的形状。

解：在ΔABC 中，C=π-(A+B) ∴sinC=sin(A+B)

∴sin(A+B)=sin A +sin B

cos A +cos B

2sin A +B 2cos A +B

22sin =A +B 2

A +B

2cos cos

2A -B 2 A -B 2

2-1=0⇒cos(A +B ) =0 2cos 又 在ΔABC 中，

⇒A +B =A +B 2≠0 ∴2cos A +B π

2 ∴ΔABC 是以角C 为直角的直角三角形。

说明：本题利用倍角、和差化积等公式，把已知式子化简，并化为同一类角，从而来确定三角形的形状，这是解这类题的常用解法，要熟练掌握。

另解： cosA+cosB=sin A +sin B

sin C ∴b +c -a

2bc 222+a +c -b

2ac 222=a +b

c

即ac 2-a 3+bc2-b 3-a 2b-ab 2=0⇒(a+b)(c2-a 2-b 2)=0 a+b≠0⇒c 2=a2+b2

∴ΔABC 是以角C 为直角的直角三角形。

说明：本解法是应用正弦、余弦定理把“角”全换成“边”，通过边的关系来判定三角形的形状，且这里的正弦、余弦定理都是变形应用。

例5 以长度分别为4，5，6的线段为三角形的三边，则（ ）

A 、所构成的三角形是一个锐角三角形 B、所构成的三角形是一个直角三角形

C、所构成的三角形是一个钝角三角形 D、不能构成三角形

解： 4+5>6 ∴能构成三角形，且是锐角三角形。故选A 。

说明：本题是余弦定理的又一变形应用，用来判断类似题既快速又准确。

例6 在ΔABC 中，b=asinC且c=asin(900-B) ，判定ΔABC 的形状。

解：∵ c=asin(90-B)=acosB=a 0222a +c -b

2ac

222222=a +c -b 2c 222 2222 ⇒a +c -b =2c ⇒a =c +b ⇒A 是直角；

a

又∵ sin A =c

sin C ⇒a =c

sin C ⇒c =a sin C A 是直角⇒sin A =1

由条件b =a sin C ⇒b =c

∴综上得ΔABC 是等腰直角三角形。

说明：条件中有边、角关系，应利用正、余弦定理，把条件统一为边或者是角的关系，从而判定三角形的形状。这是判断三角形形状的常用解题思路。

例7 如图ΔABC 中，AB =c ，BC =a ，CA =b ，则下列推导中，是假命题的为（ ） ．．．

A、若a •b >0，则ΔABC 是钝角三角形

B 、 若a •b =0，则ΔABC 是直角三角形C 、 若a •b =b •c ，则ΔABC 是等腰三角形 a b

D 、 若c •（a +b +c ）=0，则ΔABC 是等边三角形解：∵a +b +c=BC +CA +AB =0对任意三角形都成立，而c •0=0恒成立

∴选项D 中的命题是假命题，故选D 。

说明：本题是一道易错题，很可能会错选A 。要注意的是向量a 、b 的夹角不是内角A ，而应是1800-A （求向量的夹角的前提是它们有共同的起点）；另选项C 也正确，可通过向量a 、c 在b 上的投影相等，再由三角形全等可得a=c。本题主要根据向量的数量积的定义来解，要注意概念的准确运用。

4、总结

1）观察、分析和联想能力在解题能力中占有很重要的地位，观察已知条件中的数、式、形，联想有关的公式、定理、定义、性质、常见变形方法与常用解题思路等，从而找到简便的解法。

2）判定三角形的形状，除单纯角的关系或边的关系外，对含有边角的关系，一定要把条件统一转化成边的关系或角的关系来判断。在转化过程，除了直接应用边角关系的正余弦定理外，还充分用到和、差、倍、半角的三角函数或三角函数的和差化积、积化和差公式去改变角和三角函数的形状，并还利用向量的数量积等有关知识来解题。

5、练习：

1）在ΔABC 中，如果sinA=2sinCcosB，那么这个三角形是（ ）

A 、锐角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形

2）在ΔABC 中，如果sinC=cosA+cosB，那么这个三角形是（ ）

A 、等腰三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、等腰直角三角形

3）ΔABC 中，已知|AB |=|AC |=4，且AB •AC =8，则ΔABC 的形状是 。

4）在ΔABC 中, 已知acosA=bcosB，试判定ΔABC 的形状。

答案：1）C 2）D 3）等边三角形 4）直角三角形或等腰三角形

三角形的形状的判定

浙江奉化江口中学（315504）毛显勇

在三角函数及向量应用中, 有关三角形的形状的判定，在教材中既没有直接的例题，也没有相应的练习题和习题，而此类型的题又是经常碰到的，所以教师不能只作一些范例的讲解，而应对知识作一种较全面的归纳和分析, 再分不同的类型选择例题作专题讲解。这样，既把所学知识连成一片，又巩固了知识，使所学的内容前后联系，扩大应用范围，达到融会贯通。

1、复习三角形中有关知识：

1.1角的关系：A+B+C=π⇒C =π-(A+B)、 C

2=π

2

2-A +B 2= C

2 或A+B=π-C 、A +B π

2-

1.2边的关系：任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。

1.3边角关系：同一个三角形中，大边对大角，小边对小角。

正弦定理：a

sin A

2=b sin B 2=c sin C =2R 。 余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc cos A ， b =a +c -2ac cos B ， 2

c 2=a 2+b 2-2ab cos C 。

三角形面积：S=1

2ab sin C =1

2bc sin A =1

2ca sin B

1.4三角形的分类：按角分：锐角Δ，直角Δ，钝角Δ。

按边分：等腰Δ，等边Δ。

其它：斜三角形，等腰直角三角形，等等。

2、三角形形状的判定：

在ΔABC 中，三内角A 、B 、C 所对的三边长为a 、b 、c 。

2.1若 a=b或cosA=cosB、tanA=tanB、sinA=sinB ⇒ A=B则三角形是等腰三角形；

2.2若a +b =c 则C 是直角，三角形是直角三角形；

a +b

a +b >c 则C 是锐角，若a 、b 、c 中c 最大，则三角形是锐角三角形。

2.3若 cosAcosBcosC>0, 则A 、B 、C 都是锐角，三角形是锐角三角形；

cosAcosBcosC=0, 则A 、B 、C 中必有一个是直角，三角形是直角三角形； cosAcosBcosC

2.4若a •b =0⇔a ⊥b ，则三角形是直角三角形。

3、举例应用： 222222222

例1 已知α是一个三角形的内角，且sin α+cosα=2

3，则这个三角形的形状是（ ）

A 、 锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不能确定

解：∵ 0

000231；当α=90时，sin α+cosα=1）。故选B 。

说明：本题直接利用三角函数线及三角形中任两边之和大于第三边，缩小角的取值范围，从而快速得解。

例2 在ΔABC 中，内角A 和B 满足cosAcosB=sinAsinB，则ΔABC 的形状是 。 解： cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=0 又 A+B∈（0，π）

∴ A+B=π

2。故ΔABC 是直角三角形。

变式1：若条件为cosAcosB>sinAsinB，则ΔABC 的形状是钝角三角形。

变式2：若条件为cosAcosB

说明：本题倒用两角和与差的公式，再根据角的取值范围先确定角A+B的范围，从而确定角C 的范围，就得解。

例3 在ΔABC 中，已知cos A+cosB+cosC=2，试判定其形状。

解：在ΔABC 中，cos A+cosB+cosC=

=1+1

22222221+cos 2A 2+1+cos 2B 2+cos(A+B) 2(cos2A+cos2B)+cos2(A+B)=1+cos(A+B)cos(A-B)+cos2(A+B)

=1+cos(A+B)[cos(A-B)+cos(A+B)]=1+cos(A+B)2cosAcosB

=1-2cosAcosBcosC=2

⇒cosAcosBcosC=-1

2

⇒A 、B 、C 中必有一个角是钝角⇒ΔABC 是钝角三角形。

推广：由cos 2A+cos2B+cos2C=1-2cosAcosBcosC

得cos 2A+cos2B+cos2C0，则ΔABC 是锐角三角形。

cosA+cosB+cosC=1⇒cosAcosBcosC=0，则ΔABC 是直角三角形。

cos2A+cos2B+cos2C>1⇒cosAcosBcosC

说明：在三角形中不能忘记A+B+C=π。本题用降幂公式、和差化积等公式把已知化简为余弦的连乘积，确定角的范围，故得解。

例4 在ΔABC 中，已知 sin C =sin A +sin B

cos A +cos B 222，试判定ΔABC 的形状。

解：在ΔABC 中，C=π-(A+B) ∴sinC=sin(A+B)

∴sin(A+B)=sin A +sin B

cos A +cos B

2sin A +B 2cos A +B

22sin =A +B 2

A +B

2cos cos

2A -B 2 A -B 2

2-1=0⇒cos(A +B ) =0 2cos 又 在ΔABC 中，

⇒A +B =A +B 2≠0 ∴2cos A +B π

2 ∴ΔABC 是以角C 为直角的直角三角形。

说明：本题利用倍角、和差化积等公式，把已知式子化简，并化为同一类角，从而来确定三角形的形状，这是解这类题的常用解法，要熟练掌握。

另解： cosA+cosB=sin A +sin B

sin C ∴b +c -a

2bc 222+a +c -b

2ac 222=a +b

c

即ac 2-a 3+bc2-b 3-a 2b-ab 2=0⇒(a+b)(c2-a 2-b 2)=0 a+b≠0⇒c 2=a2+b2

∴ΔABC 是以角C 为直角的直角三角形。

说明：本解法是应用正弦、余弦定理把“角”全换成“边”，通过边的关系来判定三角形的形状，且这里的正弦、余弦定理都是变形应用。

例5 以长度分别为4，5，6的线段为三角形的三边，则（ ）

A 、所构成的三角形是一个锐角三角形 B、所构成的三角形是一个直角三角形

C、所构成的三角形是一个钝角三角形 D、不能构成三角形

解： 4+5>6 ∴能构成三角形，且是锐角三角形。故选A 。

说明：本题是余弦定理的又一变形应用，用来判断类似题既快速又准确。

例6 在ΔABC 中，b=asinC且c=asin(900-B) ，判定ΔABC 的形状。

解：∵ c=asin(90-B)=acosB=a 0222a +c -b

2ac

222222=a +c -b 2c 222 2222 ⇒a +c -b =2c ⇒a =c +b ⇒A 是直角；

a

又∵ sin A =c

sin C ⇒a =c

sin C ⇒c =a sin C A 是直角⇒sin A =1

由条件b =a sin C ⇒b =c

∴综上得ΔABC 是等腰直角三角形。

说明：条件中有边、角关系，应利用正、余弦定理，把条件统一为边或者是角的关系，从而判定三角形的形状。这是判断三角形形状的常用解题思路。

例7 如图ΔABC 中，AB =c ，BC =a ，CA =b ，则下列推导中，是假命题的为（ ） ．．．

A、若a •b >0，则ΔABC 是钝角三角形

B 、 若a •b =0，则ΔABC 是直角三角形C 、 若a •b =b •c ，则ΔABC 是等腰三角形 a b

D 、 若c •（a +b +c ）=0，则ΔABC 是等边三角形解：∵a +b +c=BC +CA +AB =0对任意三角形都成立，而c •0=0恒成立

∴选项D 中的命题是假命题，故选D 。

说明：本题是一道易错题，很可能会错选A 。要注意的是向量a 、b 的夹角不是内角A ，而应是1800-A （求向量的夹角的前提是它们有共同的起点）；另选项C 也正确，可通过向量a 、c 在b 上的投影相等，再由三角形全等可得a=c。本题主要根据向量的数量积的定义来解，要注意概念的准确运用。

4、总结

1）观察、分析和联想能力在解题能力中占有很重要的地位，观察已知条件中的数、式、形，联想有关的公式、定理、定义、性质、常见变形方法与常用解题思路等，从而找到简便的解法。

2）判定三角形的形状，除单纯角的关系或边的关系外，对含有边角的关系，一定要把条件统一转化成边的关系或角的关系来判断。在转化过程，除了直接应用边角关系的正余弦定理外，还充分用到和、差、倍、半角的三角函数或三角函数的和差化积、积化和差公式去改变角和三角函数的形状，并还利用向量的数量积等有关知识来解题。

5、练习：

1）在ΔABC 中，如果sinA=2sinCcosB，那么这个三角形是（ ）

A 、锐角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形

2）在ΔABC 中，如果sinC=cosA+cosB，那么这个三角形是（ ）

A 、等腰三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、等腰直角三角形

3）ΔABC 中，已知|AB |=|AC |=4，且AB •AC =8，则ΔABC 的形状是 。

4）在ΔABC 中, 已知acosA=bcosB，试判定ΔABC 的形状。

答案：1）C 2）D 3）等边三角形 4）直角三角形或等腰三角形