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文章编号：（2001）1007-285302-0069-04
第18卷第2期
2001年6月
吉林化工学院学报Vol. 18No. 2Jun.
2001
JOURNAL OF JILIN INSTITUTE OF CHEMICAL TECHNOLOGY
微（卷）积分方程（组）的解法数例
宋占奎
（湖北十堰职业技术学院基础部，湖北十堰
442000）
摘要：根据拉氏变换的性质，用拉氏变换来解几种特殊的微分方程、卷积型积分方程以及微分方程组，进而讨论了传递函数的激励和响应，其方法是先取拉氏变换把微分方程或积分方程化为象函数的代数方程，根据该代数方程求出象函数，然后再取逆变换就得出原来微分方程或积分方程的解. 关
键
词：卷积；拉氏变换；拉氏逆变换；传递函数；激励；响应
文献标识码：A
中图分类号：O 175
预备知识拉氏变换定义定义，而且广义积分
（S ）=F
设函数（当I ＞0时有f I ）
（）SI （m -1）m e ］-S 1）S B
该公式称为海维赛展开式.
卷积定义
含参变量I 的积分
I 01
2
j
+
（e -SI c I f I ）
在复参量S 的某一域内收敛，则称F （S ）为
（的拉氏变换（或象函数），记为F （S ）=f I ）
［（］；而称（为F （S ）的拉氏逆变换（或象L f I ）f I ）
1
（S ）］原函数），记为L -［F .
拉氏变换的线性性质
若a 、I 是常数，
［f （］=F （，［f （］=F （，则有L L 1I ）1S ）2I ）2S ）［a f （］=aL ［f （］+IL ［f （］；L 1I ）+I f （1I ）1I ）2I ）
11
］=aL -［］+L -［aF （F （1S ）+IF （2S ）1S ）1
］IL -［F （. 2S ）
c x
j f （x ）f （I -x ）
是I 的函数，称作函数f （与f （的卷积函1I ）2I ）数，简称卷积，记为f （，即。f （1I ）2I ）
f （。f （1I ）2I ）=卷积定理
c x
j f （x ）f （I -x ）
01
2
I
两个函数卷积的象函数，等于两
个函数各自的象函数的乘积，即
［f （］=L ［f （］［f （］；・L L 。f （1I ）2I ）1I ）2I ）
1
］=f （・F （L -［F （. 。f （1S ）2S ）1I ）2I ）
本文作为练习，根据拉氏变换的性质，利用拉
若L ［（］=f I ）
氏变换对南京工学院数学教研组所编《积分变换》（高等教育出版社，第96页习题五1978年版）中的几个特殊的微分方程、卷积型积分方程以及微分方程组进行了详解，继而讨论了传递函数的激励和响应，具体做法如下：
例1
求微分方程
（I -1）y ~+3y ' +2y =U
满足初始条件y （0）=0，' 0）=1的解. y （
解
因单位阶跃函数的定义为
（I ）=U
所以，
拉氏变换的微分性质
（S ），则有F
［f （］=SF （S ）-（；L ' I ）f 0）（I ）［f （I ）］=S I F （S ）L ' 0）-S I -1（-S I -2f （-f 0）若F （S ）=A （S ）（S ），/B 其中A （S ），（S ）是不可约的多项式，（S ）的次B B 数是I ，而且A （S ）的次数小于B （S ）的次数. 若（S ）的一个m 阶零点，…，S 1是B S m +1，S m +2，S I 是B （S ）的单零点，即S 1是F （S ）的m 阶极点，…，是它的单极点. 则有S （m +2，I ）I I =m +1，
I
1…-f I -（0）.
拉氏逆变换定理
{{
（f I ）=
I =m+1
】
（S I ）S I A ［（S e K +lim
S I m -1S —S 1B'
0，I
设L ［y （I ）］=Y （S ），对方程的两边取拉氏
（I -1）=U
1，I >0，
0，I 1，
收稿日期：2001-04-04
基金项目：中国科学院兰州化学物理研究所资助项目. 作者简介：宋占奎（1947-），男，陕西大荔人，湖北十堰职业技术学院副教授，主要从事应用数学方面的研究.
70
吉林化工学院学报
t
200l 年
$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$变换，则
［y U +3y ' +2y ］=L ［U （t -l ）］，L
根据拉氏变换的微分性质，有（S ）-S y （0）-y （（S ）-3y （0）S Y ' 0）+3SY
（S ）=L ［U （t -l ）］，+2Y
考虑到初始条件，整理化简后为（S 2+3S +2）（S ）-l =L ［U （t -l ）］Y . 于是，根据卷积定理，2
（f t ）=at +解
t 0
（t -x ）（c x . f x ）
" sin
由卷积定义，
. =sin t ! （f t ）
（t -x ）（c x f x ）
" sin 则原方程变形为
（f t ）=at +sin t ! （f t ）
对方程的两边取拉氏变换，设L ［（］=F （S ）. f t ）Y
（S ）=l l
S 2
+3S +2+S 2
+3S +2［L U （t -l ）］=S +l
S +2+L {L -l
S +l S +2! U （t -l ）］}
Y （S ）的一阶极点为S l =-l ，S 2=-2. 根据海维赛展开式，上式两边取拉氏逆变换，
得
（y t ）=L -［l l S +l S +2］+L -［l
l S +l S +2］! U （
t -l ）（l ）而L -［l
（S +l ）（S +2）］
=（S 2
+3S +2）' e St I S =-l +（S 2+3S +2）'
e St I S =-2=
l 2S +3e St I S l =-l +2S +3
e St
I S =-2=e -t -e -2t ；（2）又因
l =
{
U
（x -l ），x >l ，U （t -l ），t >l . 故L -［l
（S +l ）（S +2）］!
U （t -l ）
=（e -t -e -2t ）! U
（t -l ）=
"
t
U （x -l ）［e -（t -x ）0-e -2（
t -x ）
］c x =
" t -（t -x ）-2（
t -x ）l
U
（x -l ）［e -e ］c x =U
（t -l ）（e " -t
t
e x
c x -e -" 2t
t
e 2x
l
l
c x ）
=U （t -l ）（e -t e x I l t
-
2e -2t e 2x I l t ）=U
（t -l ）［e -（t e t -e ）-l 2
e -2（t
e 2t -e 2）］=［e -2（t -l ）-e -（t -l ）2+2］
U （t -l ）. （3）把（2）（、3）代入（l ）得
（y
t ）=e -t -e -2t +［2e -2（t -l ）-e -（t -l ）
+l 2
］U （t -l ）. 这便是所求微分方程的解.
例2
求解积分方程
由拉氏变换的线性性质及卷积定理，得
L ［（f t ）］=L ［at ］+L ［sin t ! （f t ）
］. F （S ）=aL ［t ］+L （sin t ）・L ［（f t ）］. 由拉氏变换定义，
L
［t ］=S 2；L ［sin t ］=S 2+l . 故F （S ）=a
l S 2+S 2+l F
（S ）整理化简后为F （S ）=a 2S 4
.
F
（S ）仅有一个四阶极点S =0. 根据海维赛展开式，得
（f t ）=3！lim ［S S 42
e St
］U' =lim ［2S e St #0S
46S #0+（S 2+l ）
t e St ］U =a
6lim ［S 2e St +4St e St +（S 2+l ）t 2e St ］' #0
=
a
6lim ［6t e St +6St 2e St +（S 2+l ）t 3e St ］S #0
=66t +t 3）=（a
t +6
t 3
）. 即（f t ）=（a
t +6
t 3
）这便是所求积分方程的解.
例3求微分方程组
{
x' -2y ' =F
（t ），xU -y U +y =0
满足初始条件（x 0）=x' （0）=y （0）=y （' 0）=0
的解.
解
对方程组两个方程两边取拉氏变换，设
L ［x （t l ）］= （S ），L ［y （t ）］=Y （S ），则得{
L
［x' -2y ' ］=L ［F （t ）］，L ［xU -y U +y ］=L ［0］. 根据拉氏变换的微分性质，有{
S （S ）-x （0）-2SY （S ）+2（y 0）=［L
F （t ）］，S 2
（S ）-Sx （0）-x' （0）-S 2Y （S ）+S （y 0）+y （
' 0）+Y （S ）=0. 考虑到初始条件，整理后简化为
第2期宋占奎：微（卷）积分方程（组）的解法数例
7l
#############################################################（S ）-（S 2-l ）（S ）=0. S 2X Y
，得S X （4）-（5）
（-S 2-l ）（S ）=SL ［F （I ）］Y . 根据卷积定理，
{
（S ）-2SY （S ）=L ［F （I ）］，SX （4）
根据拉氏变换的线性性质、海维赛展开式及
l 2S S l l l
］=L -［］］-2-2L -［
S S +l S S 2+l
，则有（5）（6）
l
L -［
］l ! F （I ）. （S ）=2L ［F （I ）］=L L -Y 2（）S l +S +l
（S ）的一阶极点为S l =i ，Y S 2=-i. 根据海维赛展开式，而］l SI
L -［e e SI =I +S i =222
（S +l ）（S +l ）S +l ' '
l S SI S SI
e I S =i +e I S =-i =-e iI +e -iI ）I S =-i =2S 2S 2
（6）=-cos I.
S ］（）l l
（I ）=L -［（S ）］=L -［y y ! F I 2
S +l
（I ）. =-cos I ! F
将Y （S ）=2［F （I ）］代入（4）并根据卷L
S +l
积定理，有故
［F （I ）］+2Y （S ）=L ［F （I ）］L S S
2S l 2S
［F （I ）］=（-2）［F （I ）］L L -2
S S +l S +l 2S l l ］（I ）. =L L -［-! F S +l
l /S 有一个一阶极点S =0.
（S ）=X
{}
SI
=I S =0-2cos I =e SI I S =0-2cos I =l -2cos I. S'
l l 故（（S ）］=L -［］F （I ）x I ）=L -［X . -2
S S +l !
! F （I ）=l ! F （I ）（I ）=（l -2cos I ）-2cos I ! F （I ）=l ! F （I ）-2cos I ! F （I ），x
所以
（I ）=-cos I ! F （I ）. y
这便是所求方程组的解.
{
k
，
+求当激励x （I ）=A sin ! I 时的系统响应y （I ）.
解设X （S ）=L ［（］；（S ）=L ［（］x I ）Y . y I ）由拉氏变换的定义
例4
某系统的传递函数G （S ）=（S ）=L ［A sin ［sin X ! I ］=AL ! I ］=由传递函数的定义
（S ）=G （S ）（S ）=Y X
.
S +! 2
2
{}
A k
・22
l +TS S +!
. =3222=（）S -! i （）S +! i ）TS +S +T ! S +! （TS +l （S ）的一阶极点为Y S l =-l /T ，S 2S 3=-! i. =! i ，
根据海维赛展开式，得
（I ）=y
SI SI 22e I S =-+3222e I S =! i
（TS +S +T ）（）TS +S +T ! S +! ' ! S +! '
SI
+3222e I S =-! i （TS +S +T ' ! S +! ）
Ak Ak Ak SI SI SI +e e =I I +S S i =-=2222! 22e I S =-! i 3TS +2S +T 3TS +2S +T 3TS +2S +T ! ! !
e ! Ii +e -! Ii =-l 2e -+22
T +T -2T -2T ! ! +2! i ! -2! i
l -［-l e e ! Ii -e -! Ii ］=Ak -2T 2T 2T +T ! -i ! +i ! T T T ］i e ! Ii -i e -! Ii ］-［e =Ak -（l +T 2! 2）（l +T 2! 2）l +T 2! 222Ak l T -e ! Ii +e -! Ii ）］T e =+e ! Ii -e -! Ii ）-! 2i 2l +T !
l -+
=
-
-
+=-
］e -
+=-
l sin I cos I -e =+-222］l +（）（）（）cotarctan T l tanarctan T l cotarctan T ++! ! ! 3
2
72
吉林化工学院学报2001年
#############################################################
=
==
1sin z cos z ）
e -+-cscarctan T secarctan T cscarctan T ! ! ! e -sinarctan ! T +（sin ! z cosarctan ! T -cos ］! z sinarctan ! T ）（! z -arctan ! T ）-sinarctan ! T +
.
当z " + 时，
暂态分量
e -sinarctan ! T " 0
消失，仅剩稳态分量，表明过程结束，进入稳定状态，所以该系统响应
（z ）
=（! z -arctan ! T ）sin . y 教育出版社，1978.
［2］周肇锡. 拉普拉斯变换与付里叶变换［M ］国. 北京：
防工业出版社，1990.
［3］路季平. 积分变换及其在物理海洋学中的应用［M ］.
北京：海洋出版社，1984.
［4］金忆丹. 复变函数与拉普拉斯变换［M ］浙江. 杭州：
大学出版社，1994.
［5］沈燮昌. 复变函数论基础［M ］科学技术出版. 上海：
社，1982.
参考文献：
［1］南京工学院数学教研组. 积分变换［M ］，北京：高等
The solvin g p rocess of convolution inte g ration e G uations
SONG Zhan-kui
（De p t. of Basic Sciences ，Shi y an CoIIe g e of VocationaI TechnoIo gy ，Shi y an 442000，China ）
Abstract ：SeveraI s p eciaI differentiaI e g uations ，convoIution inte g ration e g uations and differentiaI s y stems
are soIved b y a pp I y in g the p ro p ert y of La p Iace transformation. The excitation and the res p onse of transfer function are discussed. The method is that first the aI g ebraic e g uation of ima g e function is derived from the differentiaI e g uation or inte g ration e g uation b y usin g the La p Iace transformation ，and the ima g e function can be soIved on the basis of the aI g ebraic e g uation. Then the soIution of the ori g inaI differentiaI e g uation or the inte g ration e g uation can be soIved b y usin g the inverse transformation.
Ke y words ：convoIution ；La p Iace transformation ；inverse La p Iace transformation ；transfer function ；excitation ；res p onse
微(卷)积分方程(组)的解法数例
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
宋占奎， SONG Zhan-kui
湖北十堰职业技术学院基础部,
吉林化工学院学报
JOURNAL OF JILIN INSTITUTE OF CHEMICAL TECHNOLOGY2001,18(2)
1. 沈燮昌 复变函数论基础 19822. 金忆丹 复变函数与拉普拉斯变换 1994
3. 路季平 积分变换及其在物理海洋学中的应用 19844. 周肇锡 拉普拉斯变换与傅立叶变换 19905. 南京工学院数学教研组 积分变换 1978
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_jlhgxyxb200102022.aspx
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文章编号：（2001）1007-285302-0069-04
第18卷第2期
2001年6月
吉林化工学院学报Vol. 18No. 2Jun.
2001
JOURNAL OF JILIN INSTITUTE OF CHEMICAL TECHNOLOGY
微（卷）积分方程（组）的解法数例
宋占奎
（湖北十堰职业技术学院基础部，湖北十堰
442000）
摘要：根据拉氏变换的性质，用拉氏变换来解几种特殊的微分方程、卷积型积分方程以及微分方程组，进而讨论了传递函数的激励和响应，其方法是先取拉氏变换把微分方程或积分方程化为象函数的代数方程，根据该代数方程求出象函数，然后再取逆变换就得出原来微分方程或积分方程的解. 关
键
词：卷积；拉氏变换；拉氏逆变换；传递函数；激励；响应
文献标识码：A
中图分类号：O 175
预备知识拉氏变换定义定义，而且广义积分
（S ）=F
设函数（当I ＞0时有f I ）
（）SI （m -1）m e ］-S 1）S B
该公式称为海维赛展开式.
卷积定义
含参变量I 的积分
I 01
2
j
+
（e -SI c I f I ）
在复参量S 的某一域内收敛，则称F （S ）为
（的拉氏变换（或象函数），记为F （S ）=f I ）
［（］；而称（为F （S ）的拉氏逆变换（或象L f I ）f I ）
1
（S ）］原函数），记为L -［F .
拉氏变换的线性性质
若a 、I 是常数，
［f （］=F （，［f （］=F （，则有L L 1I ）1S ）2I ）2S ）［a f （］=aL ［f （］+IL ［f （］；L 1I ）+I f （1I ）1I ）2I ）
11
］=aL -［］+L -［aF （F （1S ）+IF （2S ）1S ）1
］IL -［F （. 2S ）
c x
j f （x ）f （I -x ）
是I 的函数，称作函数f （与f （的卷积函1I ）2I ）数，简称卷积，记为f （，即。f （1I ）2I ）
f （。f （1I ）2I ）=卷积定理
c x
j f （x ）f （I -x ）
01
2
I
两个函数卷积的象函数，等于两
个函数各自的象函数的乘积，即
［f （］=L ［f （］［f （］；・L L 。f （1I ）2I ）1I ）2I ）
1
］=f （・F （L -［F （. 。f （1S ）2S ）1I ）2I ）
本文作为练习，根据拉氏变换的性质，利用拉
若L ［（］=f I ）
氏变换对南京工学院数学教研组所编《积分变换》（高等教育出版社，第96页习题五1978年版）中的几个特殊的微分方程、卷积型积分方程以及微分方程组进行了详解，继而讨论了传递函数的激励和响应，具体做法如下：
例1
求微分方程
（I -1）y ~+3y ' +2y =U
满足初始条件y （0）=0，' 0）=1的解. y （
解
因单位阶跃函数的定义为
（I ）=U
所以，
拉氏变换的微分性质
（S ），则有F
［f （］=SF （S ）-（；L ' I ）f 0）（I ）［f （I ）］=S I F （S ）L ' 0）-S I -1（-S I -2f （-f 0）若F （S ）=A （S ）（S ），/B 其中A （S ），（S ）是不可约的多项式，（S ）的次B B 数是I ，而且A （S ）的次数小于B （S ）的次数. 若（S ）的一个m 阶零点，…，S 1是B S m +1，S m +2，S I 是B （S ）的单零点，即S 1是F （S ）的m 阶极点，…，是它的单极点. 则有S （m +2，I ）I I =m +1，
I
1…-f I -（0）.
拉氏逆变换定理
{{
（f I ）=
I =m+1
】
（S I ）S I A ［（S e K +lim
S I m -1S —S 1B'
0，I
设L ［y （I ）］=Y （S ），对方程的两边取拉氏
（I -1）=U
1，I >0，
0，I 1，
收稿日期：2001-04-04
基金项目：中国科学院兰州化学物理研究所资助项目. 作者简介：宋占奎（1947-），男，陕西大荔人，湖北十堰职业技术学院副教授，主要从事应用数学方面的研究.
70
吉林化工学院学报
t
200l 年
$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$变换，则
［y U +3y ' +2y ］=L ［U （t -l ）］，L
根据拉氏变换的微分性质，有（S ）-S y （0）-y （（S ）-3y （0）S Y ' 0）+3SY
（S ）=L ［U （t -l ）］，+2Y
考虑到初始条件，整理化简后为（S 2+3S +2）（S ）-l =L ［U （t -l ）］Y . 于是，根据卷积定理，2
（f t ）=at +解
t 0
（t -x ）（c x . f x ）
" sin
由卷积定义，
. =sin t ! （f t ）
（t -x ）（c x f x ）
" sin 则原方程变形为
（f t ）=at +sin t ! （f t ）
对方程的两边取拉氏变换，设L ［（］=F （S ）. f t ）Y
（S ）=l l
S 2
+3S +2+S 2
+3S +2［L U （t -l ）］=S +l
S +2+L {L -l
S +l S +2! U （t -l ）］}
Y （S ）的一阶极点为S l =-l ，S 2=-2. 根据海维赛展开式，上式两边取拉氏逆变换，
得
（y t ）=L -［l l S +l S +2］+L -［l
l S +l S +2］! U （
t -l ）（l ）而L -［l
（S +l ）（S +2）］
=（S 2
+3S +2）' e St I S =-l +（S 2+3S +2）'
e St I S =-2=
l 2S +3e St I S l =-l +2S +3
e St
I S =-2=e -t -e -2t ；（2）又因
l =
{
U
（x -l ），x >l ，U （t -l ），t >l . 故L -［l
（S +l ）（S +2）］!
U （t -l ）
=（e -t -e -2t ）! U
（t -l ）=
"
t
U （x -l ）［e -（t -x ）0-e -2（
t -x ）
］c x =
" t -（t -x ）-2（
t -x ）l
U
（x -l ）［e -e ］c x =U
（t -l ）（e " -t
t
e x
c x -e -" 2t
t
e 2x
l
l
c x ）
=U （t -l ）（e -t e x I l t
-
2e -2t e 2x I l t ）=U
（t -l ）［e -（t e t -e ）-l 2
e -2（t
e 2t -e 2）］=［e -2（t -l ）-e -（t -l ）2+2］
U （t -l ）. （3）把（2）（、3）代入（l ）得
（y
t ）=e -t -e -2t +［2e -2（t -l ）-e -（t -l ）
+l 2
］U （t -l ）. 这便是所求微分方程的解.
例2
求解积分方程
由拉氏变换的线性性质及卷积定理，得
L ［（f t ）］=L ［at ］+L ［sin t ! （f t ）
］. F （S ）=aL ［t ］+L （sin t ）・L ［（f t ）］. 由拉氏变换定义，
L
［t ］=S 2；L ［sin t ］=S 2+l . 故F （S ）=a
l S 2+S 2+l F
（S ）整理化简后为F （S ）=a 2S 4
.
F
（S ）仅有一个四阶极点S =0. 根据海维赛展开式，得
（f t ）=3！lim ［S S 42
e St
］U' =lim ［2S e St #0S
46S #0+（S 2+l ）
t e St ］U =a
6lim ［S 2e St +4St e St +（S 2+l ）t 2e St ］' #0
=
a
6lim ［6t e St +6St 2e St +（S 2+l ）t 3e St ］S #0
=66t +t 3）=（a
t +6
t 3
）. 即（f t ）=（a
t +6
t 3
）这便是所求积分方程的解.
例3求微分方程组
{
x' -2y ' =F
（t ），xU -y U +y =0
满足初始条件（x 0）=x' （0）=y （0）=y （' 0）=0
的解.
解
对方程组两个方程两边取拉氏变换，设
L ［x （t l ）］= （S ），L ［y （t ）］=Y （S ），则得{
L
［x' -2y ' ］=L ［F （t ）］，L ［xU -y U +y ］=L ［0］. 根据拉氏变换的微分性质，有{
S （S ）-x （0）-2SY （S ）+2（y 0）=［L
F （t ）］，S 2
（S ）-Sx （0）-x' （0）-S 2Y （S ）+S （y 0）+y （
' 0）+Y （S ）=0. 考虑到初始条件，整理后简化为
第2期宋占奎：微（卷）积分方程（组）的解法数例
7l
#############################################################（S ）-（S 2-l ）（S ）=0. S 2X Y
，得S X （4）-（5）
（-S 2-l ）（S ）=SL ［F （I ）］Y . 根据卷积定理，
{
（S ）-2SY （S ）=L ［F （I ）］，SX （4）
根据拉氏变换的线性性质、海维赛展开式及
l 2S S l l l
］=L -［］］-2-2L -［
S S +l S S 2+l
，则有（5）（6）
l
L -［
］l ! F （I ）. （S ）=2L ［F （I ）］=L L -Y 2（）S l +S +l
（S ）的一阶极点为S l =i ，Y S 2=-i. 根据海维赛展开式，而］l SI
L -［e e SI =I +S i =222
（S +l ）（S +l ）S +l ' '
l S SI S SI
e I S =i +e I S =-i =-e iI +e -iI ）I S =-i =2S 2S 2
（6）=-cos I.
S ］（）l l
（I ）=L -［（S ）］=L -［y y ! F I 2
S +l
（I ）. =-cos I ! F
将Y （S ）=2［F （I ）］代入（4）并根据卷L
S +l
积定理，有故
［F （I ）］+2Y （S ）=L ［F （I ）］L S S
2S l 2S
［F （I ）］=（-2）［F （I ）］L L -2
S S +l S +l 2S l l ］（I ）. =L L -［-! F S +l
l /S 有一个一阶极点S =0.
（S ）=X
{}
SI
=I S =0-2cos I =e SI I S =0-2cos I =l -2cos I. S'
l l 故（（S ）］=L -［］F （I ）x I ）=L -［X . -2
S S +l !
! F （I ）=l ! F （I ）（I ）=（l -2cos I ）-2cos I ! F （I ）=l ! F （I ）-2cos I ! F （I ），x
所以
（I ）=-cos I ! F （I ）. y
这便是所求方程组的解.
{
k
，
+求当激励x （I ）=A sin ! I 时的系统响应y （I ）.
解设X （S ）=L ［（］；（S ）=L ［（］x I ）Y . y I ）由拉氏变换的定义
例4
某系统的传递函数G （S ）=（S ）=L ［A sin ［sin X ! I ］=AL ! I ］=由传递函数的定义
（S ）=G （S ）（S ）=Y X
.
S +! 2
2
{}
A k
・22
l +TS S +!
. =3222=（）S -! i （）S +! i ）TS +S +T ! S +! （TS +l （S ）的一阶极点为Y S l =-l /T ，S 2S 3=-! i. =! i ，
根据海维赛展开式，得
（I ）=y
SI SI 22e I S =-+3222e I S =! i
（TS +S +T ）（）TS +S +T ! S +! ' ! S +! '
SI
+3222e I S =-! i （TS +S +T ' ! S +! ）
Ak Ak Ak SI SI SI +e e =I I +S S i =-=2222! 22e I S =-! i 3TS +2S +T 3TS +2S +T 3TS +2S +T ! ! !
e ! Ii +e -! Ii =-l 2e -+22
T +T -2T -2T ! ! +2! i ! -2! i
l -［-l e e ! Ii -e -! Ii ］=Ak -2T 2T 2T +T ! -i ! +i ! T T T ］i e ! Ii -i e -! Ii ］-［e =Ak -（l +T 2! 2）（l +T 2! 2）l +T 2! 222Ak l T -e ! Ii +e -! Ii ）］T e =+e ! Ii -e -! Ii ）-! 2i 2l +T !
l -+
=
-
-
+=-
］e -
+=-
l sin I cos I -e =+-222］l +（）（）（）cotarctan T l tanarctan T l cotarctan T ++! ! ! 3
2
72
吉林化工学院学报2001年
#############################################################
=
==
1sin z cos z ）
e -+-cscarctan T secarctan T cscarctan T ! ! ! e -sinarctan ! T +（sin ! z cosarctan ! T -cos ］! z sinarctan ! T ）（! z -arctan ! T ）-sinarctan ! T +
.
当z " + 时，
暂态分量
e -sinarctan ! T " 0
消失，仅剩稳态分量，表明过程结束，进入稳定状态，所以该系统响应
（z ）
=（! z -arctan ! T ）sin . y 教育出版社，1978.
［2］周肇锡. 拉普拉斯变换与付里叶变换［M ］国. 北京：
防工业出版社，1990.
［3］路季平. 积分变换及其在物理海洋学中的应用［M ］.
北京：海洋出版社，1984.
［4］金忆丹. 复变函数与拉普拉斯变换［M ］浙江. 杭州：
大学出版社，1994.
［5］沈燮昌. 复变函数论基础［M ］科学技术出版. 上海：
社，1982.
参考文献：
［1］南京工学院数学教研组. 积分变换［M ］，北京：高等
The solvin g p rocess of convolution inte g ration e G uations
SONG Zhan-kui
（De p t. of Basic Sciences ，Shi y an CoIIe g e of VocationaI TechnoIo gy ，Shi y an 442000，China ）
Abstract ：SeveraI s p eciaI differentiaI e g uations ，convoIution inte g ration e g uations and differentiaI s y stems
are soIved b y a pp I y in g the p ro p ert y of La p Iace transformation. The excitation and the res p onse of transfer function are discussed. The method is that first the aI g ebraic e g uation of ima g e function is derived from the differentiaI e g uation or inte g ration e g uation b y usin g the La p Iace transformation ，and the ima g e function can be soIved on the basis of the aI g ebraic e g uation. Then the soIution of the ori g inaI differentiaI e g uation or the inte g ration e g uation can be soIved b y usin g the inverse transformation.
Ke y words ：convoIution ；La p Iace transformation ；inverse La p Iace transformation ；transfer function ；excitation ；res p onse
微(卷)积分方程(组)的解法数例
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
宋占奎， SONG Zhan-kui
湖北十堰职业技术学院基础部,
吉林化工学院学报
JOURNAL OF JILIN INSTITUTE OF CHEMICAL TECHNOLOGY2001,18(2)
1. 沈燮昌 复变函数论基础 19822. 金忆丹 复变函数与拉普拉斯变换 1994
3. 路季平 积分变换及其在物理海洋学中的应用 19844. 周肇锡 拉普拉斯变换与傅立叶变换 19905. 南京工学院数学教研组 积分变换 1978
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_jlhgxyxb200102022.aspx