第一章 绪论
&1.随机现象与统计学
确定现象 随机现象 本人性别 生男生女 光的速度 学习成绩
种豆得豆 (人的)反应速度
随机现象:具有以下三个特性的现象称为随机现象
(i) 一次试验有多种可能结果,其所有可能结果是已知的。 (ii) 试验之前不能预料哪一种结果会出现 (iii) 在相同条件下可以重复试验
随机事件:随机现象的每一种结果叫做一个随机事件。 随机变量:把能表示随机现象各种结果的变量称为随机变量
统计学的研究对象是随机现象规律性随机变量的分布:(i)正态分布 eg:学习成绩 图(略)
(ii)双峰分布 eg::汽车拥挤程度 图(略)
(iii)另一种分布 eg:如下 图(略)
&2.总体和样本 总体:是我们所研究的具有某种共同特性的个体的总和 样本:是从总体中抽取的作为观察对象的一部分个体。 (i) 总体:有限总体:总体所包含的个体数目有限时
无限总体:总体所包含的个体数目无限时 →参数:总体上的各种数字特征
(ii) 总体→抽样→ 样本:大样本:>30 >50
小样本:≤30 ≤50(更精神) (样本容量:样本中包含的个体数目) →统计量:样本上的数字特征 根据统计量来估计参数
&3.心理统计学的内容 1. 描述统计:
对已获得的数据进行整理,概括,显现其分布特征的统计方法。 集中量 平均数 #
描述 差异量 标准差S: S大:差异大/不稳定 对个别 S小:差异小/稳定 对个别
统计 相关量:相关系数(表示两件事情的相互关系)r.r[-1,1](r表示从无关道完全相关,相关:正相关,相关,负相关)
2. 推断统计
参数估计:#→µ s→σ 推断 r→р
统计 假设检验:参数检验 非参数检验 3. 实验设计
↓
前程:相同符号的一串→非参数检验中的一种
第二章 数据整理
&1.数据种类
一.间断变量与连续变量 eg:人数 ~ 间断 二.四种量表。
1.称名量表。 Eg:307室,学好,电话好吗 不能进行数学运算(也包括不能大小比较) 2.顺序量表。Eg:名次。能力大小,不能运算 3.等距量表。可以运算(做加减法),不能乘除 要求:没有绝对0 年龄有绝对0
时间(年代,日历。。。)位移无绝对0,可能有相对0,即有正负 4.等比量表。可做乘除法。 要有绝对零。
成绩中的,0分不是绝对0(因为并不说明此人一窍不通) 分数代表的意义。Eg:0~10分
与90~100分。 每一分的“距离”不一样
因为严格来说,成绩是顺序量表。但为了实际运用中的各种统计,把它作为等距量表 &2.次数分布表 一.简单次数分布表
eg: 组别 次数(人次)
100 2
90~99 5 80~89 14 70~79 15
60~69 7 60分以下 3
1. 求全距 R=Max – Min(连续变量)
(间断变量)——R=Max-Min+1 2. 定组数 K(组数)=1.87(N-1)。。。 →取整 N-总数 3. 定组距 I=R/K。一般,取奇数或5的倍数(此种更多)。 4. 定各组限
5. 求组值 X=(上限+下限)/2 上限——指最高值加或取10的倍数等) 6. 归类划记 7. 登记次数
例题: 99 96 92 90 90 (I) R=99-57+1=43 87 86 84 83 83
82 82 80 79 78 (II)K=1.87(50-1)。。。≈9 78 78 78 77 77 77 76 76 76 76
75 75 74 74 73 (III)I=R/K =43/9≈5 72 72 72 71 71 71 70 70 69 69
68 67 67 67 65 (iu)组别 组值 次数 64 62 62 61 57 95~99 97 2 90~94 92 3 85~89 87 2
80~84 82 6 75~79 77 14 70~74 72 11 65~69 67 7
60~64 62 4 55~59 57 1 总和 50
二.相对(比值)次数分布表。 累积次数分布表
相对(比值)累积次数:累积次数值/总数N 注:一般避免不等距组(“以上”“以下”称为开口组)
相对次数 累积次数(此处意为“每组上限以下的人次)”小于制“ .04 50 .06 48 .04 45 .12 43 .28 37 .22 23 .14 12 .08 5 .02 1
1.00
&3.次数分布图 一.直方图
1. 标出横轴,纵轴(5:3)标刻度 2. 直方图的宽度(一个或半个组距) 3. 编号,题目
4. 必要时,顶端标数)
图
二.次数多边图
1. 画点,组距正中 2. 连接各点
3. 向下延伸到左右各自一个组距的中央
最大值即y轴最大值
相对次数分布图,只需将纵坐标改为比率。(累积次数,累积百分比也同样改纵坐标即可)”S形”曲线是正态分布图的累积次数分布图
图
第三章 常用统计量数
&1.集中量 一.算术平均数 公式
算术平均数的优缺点。P36~37
算术平均数的特征。Σ(X-#)=0 离(均数)差 Σ(X-#)(X-#)取#时,得最小值 即:离差平方和是一最小值 二.几何平均数 #g= 略
long#g=1/NσlogXi
根据按一定比例变化时,多用几何平均数
eg: 91年 92 93 94 95 96 12% 10% 11% 9% 9% 8% 求平均增长率
xg=
加权平均数
甲:600人 #=70分 乙:100人 #=80分
加权平均数:#=(70*600+80*100)/(600+100) (总平均数)eg:600人,100人 简单平均数:(70+80)/2 三.中(位)数。(Md) 1.原始数据计算法 分:奇、偶。
2.频数分布表计算法(不要求) 3.优点,缺点,适用情况(p42) 四.众数(Mo) 1.理论众数 粗略众数
2.计算方法:Mo=3Md-2#
Mo=Lmo+fa/(fa+fb)*I
计算不要求 3.优缺点
平均数,中位数,众数三者关系。
一.全距 R=Max-Min
二.平均差(MD或AD) MD={Σ|x-#(或Md)|}/N 三.方差
总体方差的估计值
S2 =Σ(X - #)2 反编 样本的方差:σ2 x有编 N很小时,用S2 估计总体
N>30时,用S2 或σ2 x 都可以
计算方法:σ2 x=Σx2 /N - (ΣX/N) 2 标准差σx=σ2 x2/1 四.差异系数(CV)
CV=σx/# *100% CV[5%,35%] 3个用途
五.偏态量与锋态量(SK) 1.偏态量:sk=(#-Mo)/σx
动差(一级~四级) a3 、 3
3= Σ(x-#)/ N/σx2.峰态量:高狭峰 a4>0 (a4=0 ——正态峰) 低调峰。A4
用四级动差 a4=Σ(X - #)4/N/σx4-3
一.百分位数
&2.差异量数 三级动差计算偏态系数) &3.地位量数
eg:P30=60(分) “60分以下的还有30%的人” 二.百分等级
30→60(在30%的人的位置上,相应分数为60) So→Md
第四章 概率与分布
&1.概率 一.概率的定义
W(A)=m/n (频率/相对频数) 后验概率:
P(A)=lim m/n 先验概率:不用做试验的 二.概率的性质和运算 1.性质:o≤P≤1
p=1 必然可能事件 p=0 不可能事件 2.加法。
P(a+b)=P(a)+P(b) “或”:两互不相克事件和。 推广:“有限个” P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) eg:(1)A=出现点数不超过4(x≤4)
P(A)=P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)=1/6+…1/6=4/6=2/3 (2)完全凭猜测做判断题,(共2道),做对1题的概率为: A={T.Ti B={F.Ti C={T.Fi D={F.Fi P=P(B)+P(C)=1/4+1/4=0.5 3.乘法:
P(A1,A2…An)=P(A1),P(A2)…P(An)
Eg:(1)四选1。(十道)完全凭猜测得满分得概率:(1/4)*(1/4)…*(1/4)=1/410 &2.二项分布 一.二项分布
P(x)=Cnxpxgn-x 做对的概率 px :做错的概率 gn-x :X:对的数量pxgn-x ——每一种分情况的概率。一种情况:pxgn-x 再乘上系数。
Eg:产品合格率为90% 取n=3(个)
TTT的情况 90 * 90*90=P3 0.729 TFT 90*0.10*90=P2g1 0.081 两个合格的情况→ TTF FTT 其概率 C32P2g1=3p2g1.
Cn0P0gn+CnP1gn-1+…+CnPng0=1 注:二项分布可能的结果只有两种。F 0r T
合格 Or 不合格 选对 Or 选错 例:(1)10道是非题,凭猜测答对5,6,7,8,9,10题的概率?至少答对5题的概率? P(x=5)=C510P5g5=C510(1/2)51/2)5=.24609
P(x=6)=C610P6g4=C610(1/2)6(1/2)4=.20508 P(x=7)=C710P7g3=C710(1/2)7(1/2)3=.11719
=.04395 =.00977 +P(x=10)=C1010P10g0=(1/2)10 =.000098 至少答对5题:P(X≥5) = 0.62306 (2)四选一,猜中8,9,10题的概率? P(x=8)=C819P8g2=C819(1/4)8(3/4)2=.0039
二.二项分布图(P84~85)
三.二项分布的平均数与标准差(前提np≥5且ng≥5) 平均数——M=np 标准差——r=npg1/2
&3.正态分布 一.正态分布曲线 二.标准正态分布。(P387附表可查面积P) Z=(x-ц)/r (x:原始分数) 标准分数(有正有负) ΣZ=0 三.正态分布表的使用
查表 P(0≤Z≤1)=0.34134——Z的范围中的人数比例(百分数) P(0≤Z≤1.645)=0.4500
1.64 - .44950=0.45 1.65 - .45053=0.45
之上,标准分数高于2个标准差,则非常聪明。 Eg:1. μ=70(分) σ=10
P(70≤x≤80)=p(o≤z≤1) P(60≤x≤70)=P(-1≤z≤0) 2.μ
P(0≤z≤1)=P(μ≤x≤μ+σ) P(-1≤z≤0)=P(μ-σ≤x≤μ) 图(略)
例:某地区高考,物理成绩 μ=57。08(分) σ=18。04(分) 总共47000人。 (1)成绩在90分以上多少人? (2)成绩在(80,90)多少人? (3)成绩在60分以下多少人? 解: X~N(57.08,18.042) —— 参数(μ,σ2) Normal 表示符合正态分布
令Z= (x-57.08)/18.04) ,则Z~N(0,12)标准分数平均数一定为0,标准差一定为1。 (1)Z1=(90-57。08)/18.04=1.82 P(Z>1.82)=.0344
N1=np=47000*0.0344=1616(人) (2)Zz=(80-57.08)/18.04=1.27
P(1.27
(3)Z3=(60-57.08)/18.04=0.16 P(Z
N3=26487(人)
四.正态分布的应用 T=KZ+C T~N(C,K2)
IQ=15Z+100 IQ=100 一般
IQ≥130 ——超常 (30=2x*15)
IQ
eg:1.某市参加一考试2800人,录取150人,平均分数75分,标准差为8。问录取分数定为多少分? 解: X~N(75.82)
2
Z=(x-#)/σx=(x-15)/8 ~N(0,1) P=150/2800=0.053 0.5-0.053=0.447 Z=1.615
X=1.615*8+75≈88(分)
2.某高考,平均500分,标准差100分,一考生650分,设当年录取10%,问该生是否到录取分?
22
解: Zo=(650-500)/100=1.5 (X~N(500,100)(Z~N(0,1) Po=0.5-0.43319=0.06681=6.681%
第五章 抽样分布(概率P) &1.抽样方法
一.简单随机抽样 二.等距抽样 三.分层抽样 四.整群抽样 五.有意抽样
&2.抽样分布
(1) (2) (3) (4) (5) 20 25 30 35 40 (1) #=20 22.5 25 27.5 30 (2) 22.5 25 27.5 30 32.5 (3) 25 27.5 30 32.5 35 (4) 27.5 30 32.5 35 37.5 (5) 30 32.5 35 37.5 40
总体分布 图
抽样分布 图
一.平均数 E(#)=µ
二。标准差,方差。
1/222
σx=σ/n σ#=σ/n
&3.样本均值(#)的抽样分布
2
一.总体方差σ已知时,#的抽样分布
2
1.正态总体,σ 已知时,#的抽样分布
2
设(X1,X2,…Xn)为抽自正态总体X~N(μ, σ)
的一个简单随机样本,则其样本均值#也是一个正态分布的随机变量,且有:
2 2
E(#)=μ, σx=σ/n
2
即#~N(μ, σ/n)
1/2
Z=(#-μ)σ/n
Eg:一次测验,μ=100 σ=5
从该总体中抽样一个容量为25的简单随机样本,求这一样本均值间于99到101的概率?
2
解: 已知X~N(100,5) n=25.
2
则#~N(100,1)
Z=(#-100)/1 ~ N(0,1) 当#=99时,Z=-1 当#=101时,Z=1 所以P(99≤#≤101)
=P(-1≤Z≤1)=.68268
2
2.非正态总体,σ已知时,#的抽样分布
设(X1,X2,„Xn)是抽自非正态总体的一个简单1随机样本。当n≥30时,其样本均值#接近正态分布,且有:
2 2
E(#)=μ, σx=σ/n
2
即#~N(μ, σ/n)
若是小样本,题目无解。
Eg(1)一种灯具,平均寿命5000小时,标准差为400小时(无限总体)从产品中抽取100盏灯,问它们的平均寿命不低于4900小时的概率。
解:已知:μ=5000,σ=400,n=100>30是大样本 所以#近似正态分布
2
#~N(5000,40)
1/2
当#=4900时,Z=(4900-5000)/400/100=-2.5 P(#≥4900)=P(Z≥-2.5)=0.99379 3.有限总体的修正系数 (引出)(2)同上题,从2000(有限总体)盏中不放回地抽取100盏,问。。。。。
2
(概念)设总体是有限的总体,其均值为μ,方差为σ (X1,X2…Xn)是以不放回形式从该总体抽取的一个简单随机样本。则样本均值#的数学期望(E(#))与方差为
2 2
E(#)=μ#=μ 和σ =(N-n)/(N-1)*( σ /n)
2
N→∞时,修正系数不计。 σ=[(N-n)/(N-1)*( σ /n)]1/2
.n/N≥0.05%,要用修正系数 如题(2),n/N=0.05 所以要用修正系数
2 2 2
所以解题2:σx=(N-n)/(N-1) *( σ /n)=2000-100)/2000-1=400 /100=1520 σ#=15201/2 =38.987
Z=(4900-5000)/38.987= -2.565
P(Z≥-2.565)=.9949
2
二.总体方差σ未知时,样本均值#的抽样分布。
2 2
用S(总体方差的估计值)代替σ
t=(x-μ)/s/n1/2 ~tn-1→dp(自由度)=n-1 设(X1,X2,„Xn)
为抽自正态总体的一个容量为n的简单随机样本,即t=(x-μ)/s/n1/2符合自由度为n-1的t分布
当总体为非正态分布,且σ未知。 则样本 小:无解
大:接近七分布 t≈t=(x-μ)/s/n1/2 ~ tn-1
Z≈t=(x-μ)/s/n1/2 ~ N(0,1)(也可用Z)
总体均值为80,非正态分布,方差未知,从该总体中抽一容量为64的样本,得S=2,问样本均值大于80.5得概率是多少?
解:因为64>30 是大样本
P(#>80.5)=P(t>(x-μ)/s/n1/2 )=P(t>2) df=63 P≈0.025 若用Z,P(Z>z) ≈0.02275
(若N24,总体正态,则Z分布1不能用,只能用七分布) 非正态总体:小样本——无解
大样本——Z≈(x-μ)/σ/n1/2 2
σ已知
正态总体 Z=≈(x-μ)/σ/n1/2
非正态总体:小样本 —— 无解 2
σ未知: 大样本——t≈(x-μ)/σ/n1/2 ≈Z
正态总体:小样本——t=(x-μ)/σ/n1/2
大样本——Z≈t=(x-μ)/σ/n1/2
&3.两个样本均值之差(#1-#2)的抽样分布
2
若#1是独立地抽自总体X1~N(μ1,σ)的一个容量为n,的简单随机样本的均值;#是。。。X2~2 22
N(μ2, σ2)的。。。n2.的。。。则两样本均值之差(#1-#2)~N(μ1-μ2,σ1/n1,σ2/n2)
复杂计算
一种钢丝的拉强度,服从正态分布
总体均值为80,总体标准差6,抽取容量为36的简单随机样本,求样本均值[79,81]的概率 X~N(80,62) Z~N(0,12)
1/2
Z=(x-μ)/6/36 =(x-8)/1 x[79,8081]
2
Z [-1,1]
P=.68268
2 若σ不知。S=b,则 X~(80, σ )
1/2用公式t=(# -μ)/s/n ~ tn-1 =t35
某种零件平均长度0.50cm,标准差0.04cm,从该总零件中随机抽16个,问此16个零件的平均长度小于0.49cm的概率
无解。
抽100个,则概率?
Z≈(x-μ)/σ/n1/2 =(# - 0.50)/0.004
#
=P(Z
从500件产品中不放回地抽25件。
25/500=0.05 要修正系数(N-n)/(N-1)≈.95
某校一教师采用一种他认为有效的方法,一年后,从该师班中随机抽取9名学生的成绩,平均分84.5分,S=3。而全年级总平均分为82分,试问这9名学生的#
2 #~N(82, σ) t~t8
1/2 t=(# -μ)/s/n=84.5-82)/3/3=2.5
df=8
0.975≤P(t
说明方法有效
(S=3是σ的估计值,两组数据都很整齐。
图(略)
&4.有关样本方差的抽样分布
一.f2分布
1.f2 分布的密度函数 f(x)=1/2n/2*r*n/2)* e-x/2*xn/2-1 (x>0)
f(x)=0 (x≤0)
图(略)
2.定理:
2 设(X1,X2,X3…Xn)为抽自正态总体 X~N(μ,σ)的一个容量为n的简单随机样本,则#=∑(X-#)2/n-1为
2 相互独立的随机变量,且#~N(μ, σ/n)
2 2 2 ∑(X-#)2 /σ=(n-1)S/σ~X2n-1(I=1,2,…n)
若抽自非正态总体:小样本 —— 无解
22 2 大样本 —— X≈((n-1)S/σ
二.F分布
1.F分布的密度函数
f(x)= [(n1+n2)/2]/(n1/2)(n2/2) (n1/n2)(n1/n2*X)n1/2-1(1+n1/n2*X)-n1+n2/2 (x≥0)
f(x)=0 (x
2.定理
2 2 设(X1,X2,…Xn)为抽自X~N(μ1, σ1)的一个容量为n1的简单~(y1,y2…yn)为抽自正态总体y~N(μ2, σ2)
的一个容量n2的简单~,则:
2 2 当σ1=σ2时,
22 F=S1/S2~F(n1-1,n2-1) n1~分子自由度 n2~分母自由度
第六章 参数估计(置信水平下的区间估计)
&1.点估计
E(X)(即#)=∑x/N→μ
(拿一个点来估计参数)
2 2 D(X)= ∑(x-#)/N-1→σ
&2.总体均值的区间估计
2 一.总体均值的区间估计,σ已知。
2 正态总体 x~N (μ, σ)
21/2 #~N((μ, r/n) Z=(# -μ)/ σ/n
1.某种零件的长度符合正态分布。σ=1.5,从总体中抽200个作为样本,#=8.8cm,试估计在95%的置信水平下,全部零件平均长的置信区间。
2 解: 已知X~N(μ,1.5)
n=200, #=8.8
1-a=0.95 →a-0.05
Z0.025=1.96
1/2 1/2 P(#-Za/2σ/n
=P(8.59
10%>5%
若不放回地从2000个(总体)中抽出200个。——需修正系数
1/2 1/2 1/2 所以用(N-n)/(n-1)P(# +- 1.96*σ/n*(N-n)/(n-1)=0.95=P(8.60,9.00)
2 二 σ未知
1/2 1/2 P(#-t(a/2,n01)S/ n
为了制定高中学生体锻标准,在某区随机抽36名男生测100米,36名学生平均成绩13.5秒,S=1.1秒,试估计在95%地置信水平下,高中男生100米跑成绩的置信区间。
1/2 1/2 P(# + - 2.03* S/ n)=P(13.5+- 2.03*1.1/36)=9.5
(13.5+-0.37)
即(13.13,13.87)
得(13.14,13.86)
第一章 绪论
&1.随机现象与统计学
确定现象 随机现象 本人性别 生男生女 光的速度 学习成绩
种豆得豆 (人的)反应速度
随机现象:具有以下三个特性的现象称为随机现象
(i) 一次试验有多种可能结果,其所有可能结果是已知的。 (ii) 试验之前不能预料哪一种结果会出现 (iii) 在相同条件下可以重复试验
随机事件:随机现象的每一种结果叫做一个随机事件。 随机变量:把能表示随机现象各种结果的变量称为随机变量
统计学的研究对象是随机现象规律性随机变量的分布:(i)正态分布 eg:学习成绩 图(略)
(ii)双峰分布 eg::汽车拥挤程度 图(略)
(iii)另一种分布 eg:如下 图(略)
&2.总体和样本 总体:是我们所研究的具有某种共同特性的个体的总和 样本:是从总体中抽取的作为观察对象的一部分个体。 (i) 总体:有限总体:总体所包含的个体数目有限时
无限总体:总体所包含的个体数目无限时 →参数:总体上的各种数字特征
(ii) 总体→抽样→ 样本:大样本:>30 >50
小样本:≤30 ≤50(更精神) (样本容量:样本中包含的个体数目) →统计量:样本上的数字特征 根据统计量来估计参数
&3.心理统计学的内容 1. 描述统计:
对已获得的数据进行整理,概括,显现其分布特征的统计方法。 集中量 平均数 #
描述 差异量 标准差S: S大:差异大/不稳定 对个别 S小:差异小/稳定 对个别
统计 相关量:相关系数(表示两件事情的相互关系)r.r[-1,1](r表示从无关道完全相关,相关:正相关,相关,负相关)
2. 推断统计
参数估计:#→µ s→σ 推断 r→р
统计 假设检验:参数检验 非参数检验 3. 实验设计
↓
前程:相同符号的一串→非参数检验中的一种
第二章 数据整理
&1.数据种类
一.间断变量与连续变量 eg:人数 ~ 间断 二.四种量表。
1.称名量表。 Eg:307室,学好,电话好吗 不能进行数学运算(也包括不能大小比较) 2.顺序量表。Eg:名次。能力大小,不能运算 3.等距量表。可以运算(做加减法),不能乘除 要求:没有绝对0 年龄有绝对0
时间(年代,日历。。。)位移无绝对0,可能有相对0,即有正负 4.等比量表。可做乘除法。 要有绝对零。
成绩中的,0分不是绝对0(因为并不说明此人一窍不通) 分数代表的意义。Eg:0~10分
与90~100分。 每一分的“距离”不一样
因为严格来说,成绩是顺序量表。但为了实际运用中的各种统计,把它作为等距量表 &2.次数分布表 一.简单次数分布表
eg: 组别 次数(人次)
100 2
90~99 5 80~89 14 70~79 15
60~69 7 60分以下 3
1. 求全距 R=Max – Min(连续变量)
(间断变量)——R=Max-Min+1 2. 定组数 K(组数)=1.87(N-1)。。。 →取整 N-总数 3. 定组距 I=R/K。一般,取奇数或5的倍数(此种更多)。 4. 定各组限
5. 求组值 X=(上限+下限)/2 上限——指最高值加或取10的倍数等) 6. 归类划记 7. 登记次数
例题: 99 96 92 90 90 (I) R=99-57+1=43 87 86 84 83 83
82 82 80 79 78 (II)K=1.87(50-1)。。。≈9 78 78 78 77 77 77 76 76 76 76
75 75 74 74 73 (III)I=R/K =43/9≈5 72 72 72 71 71 71 70 70 69 69
68 67 67 67 65 (iu)组别 组值 次数 64 62 62 61 57 95~99 97 2 90~94 92 3 85~89 87 2
80~84 82 6 75~79 77 14 70~74 72 11 65~69 67 7
60~64 62 4 55~59 57 1 总和 50
二.相对(比值)次数分布表。 累积次数分布表
相对(比值)累积次数:累积次数值/总数N 注:一般避免不等距组(“以上”“以下”称为开口组)
相对次数 累积次数(此处意为“每组上限以下的人次)”小于制“ .04 50 .06 48 .04 45 .12 43 .28 37 .22 23 .14 12 .08 5 .02 1
1.00
&3.次数分布图 一.直方图
1. 标出横轴,纵轴(5:3)标刻度 2. 直方图的宽度(一个或半个组距) 3. 编号,题目
4. 必要时,顶端标数)
图
二.次数多边图
1. 画点,组距正中 2. 连接各点
3. 向下延伸到左右各自一个组距的中央
最大值即y轴最大值
相对次数分布图,只需将纵坐标改为比率。(累积次数,累积百分比也同样改纵坐标即可)”S形”曲线是正态分布图的累积次数分布图
图
第三章 常用统计量数
&1.集中量 一.算术平均数 公式
算术平均数的优缺点。P36~37
算术平均数的特征。Σ(X-#)=0 离(均数)差 Σ(X-#)(X-#)取#时,得最小值 即:离差平方和是一最小值 二.几何平均数 #g= 略
long#g=1/NσlogXi
根据按一定比例变化时,多用几何平均数
eg: 91年 92 93 94 95 96 12% 10% 11% 9% 9% 8% 求平均增长率
xg=
加权平均数
甲:600人 #=70分 乙:100人 #=80分
加权平均数:#=(70*600+80*100)/(600+100) (总平均数)eg:600人,100人 简单平均数:(70+80)/2 三.中(位)数。(Md) 1.原始数据计算法 分:奇、偶。
2.频数分布表计算法(不要求) 3.优点,缺点,适用情况(p42) 四.众数(Mo) 1.理论众数 粗略众数
2.计算方法:Mo=3Md-2#
Mo=Lmo+fa/(fa+fb)*I
计算不要求 3.优缺点
平均数,中位数,众数三者关系。
一.全距 R=Max-Min
二.平均差(MD或AD) MD={Σ|x-#(或Md)|}/N 三.方差
总体方差的估计值
S2 =Σ(X - #)2 反编 样本的方差:σ2 x有编 N很小时,用S2 估计总体
N>30时,用S2 或σ2 x 都可以
计算方法:σ2 x=Σx2 /N - (ΣX/N) 2 标准差σx=σ2 x2/1 四.差异系数(CV)
CV=σx/# *100% CV[5%,35%] 3个用途
五.偏态量与锋态量(SK) 1.偏态量:sk=(#-Mo)/σx
动差(一级~四级) a3 、 3
3= Σ(x-#)/ N/σx2.峰态量:高狭峰 a4>0 (a4=0 ——正态峰) 低调峰。A4
用四级动差 a4=Σ(X - #)4/N/σx4-3
一.百分位数
&2.差异量数 三级动差计算偏态系数) &3.地位量数
eg:P30=60(分) “60分以下的还有30%的人” 二.百分等级
30→60(在30%的人的位置上,相应分数为60) So→Md
第四章 概率与分布
&1.概率 一.概率的定义
W(A)=m/n (频率/相对频数) 后验概率:
P(A)=lim m/n 先验概率:不用做试验的 二.概率的性质和运算 1.性质:o≤P≤1
p=1 必然可能事件 p=0 不可能事件 2.加法。
P(a+b)=P(a)+P(b) “或”:两互不相克事件和。 推广:“有限个” P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) eg:(1)A=出现点数不超过4(x≤4)
P(A)=P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)=1/6+…1/6=4/6=2/3 (2)完全凭猜测做判断题,(共2道),做对1题的概率为: A={T.Ti B={F.Ti C={T.Fi D={F.Fi P=P(B)+P(C)=1/4+1/4=0.5 3.乘法:
P(A1,A2…An)=P(A1),P(A2)…P(An)
Eg:(1)四选1。(十道)完全凭猜测得满分得概率:(1/4)*(1/4)…*(1/4)=1/410 &2.二项分布 一.二项分布
P(x)=Cnxpxgn-x 做对的概率 px :做错的概率 gn-x :X:对的数量pxgn-x ——每一种分情况的概率。一种情况:pxgn-x 再乘上系数。
Eg:产品合格率为90% 取n=3(个)
TTT的情况 90 * 90*90=P3 0.729 TFT 90*0.10*90=P2g1 0.081 两个合格的情况→ TTF FTT 其概率 C32P2g1=3p2g1.
Cn0P0gn+CnP1gn-1+…+CnPng0=1 注:二项分布可能的结果只有两种。F 0r T
合格 Or 不合格 选对 Or 选错 例:(1)10道是非题,凭猜测答对5,6,7,8,9,10题的概率?至少答对5题的概率? P(x=5)=C510P5g5=C510(1/2)51/2)5=.24609
P(x=6)=C610P6g4=C610(1/2)6(1/2)4=.20508 P(x=7)=C710P7g3=C710(1/2)7(1/2)3=.11719
=.04395 =.00977 +P(x=10)=C1010P10g0=(1/2)10 =.000098 至少答对5题:P(X≥5) = 0.62306 (2)四选一,猜中8,9,10题的概率? P(x=8)=C819P8g2=C819(1/4)8(3/4)2=.0039
二.二项分布图(P84~85)
三.二项分布的平均数与标准差(前提np≥5且ng≥5) 平均数——M=np 标准差——r=npg1/2
&3.正态分布 一.正态分布曲线 二.标准正态分布。(P387附表可查面积P) Z=(x-ц)/r (x:原始分数) 标准分数(有正有负) ΣZ=0 三.正态分布表的使用
查表 P(0≤Z≤1)=0.34134——Z的范围中的人数比例(百分数) P(0≤Z≤1.645)=0.4500
1.64 - .44950=0.45 1.65 - .45053=0.45
之上,标准分数高于2个标准差,则非常聪明。 Eg:1. μ=70(分) σ=10
P(70≤x≤80)=p(o≤z≤1) P(60≤x≤70)=P(-1≤z≤0) 2.μ
P(0≤z≤1)=P(μ≤x≤μ+σ) P(-1≤z≤0)=P(μ-σ≤x≤μ) 图(略)
例:某地区高考,物理成绩 μ=57。08(分) σ=18。04(分) 总共47000人。 (1)成绩在90分以上多少人? (2)成绩在(80,90)多少人? (3)成绩在60分以下多少人? 解: X~N(57.08,18.042) —— 参数(μ,σ2) Normal 表示符合正态分布
令Z= (x-57.08)/18.04) ,则Z~N(0,12)标准分数平均数一定为0,标准差一定为1。 (1)Z1=(90-57。08)/18.04=1.82 P(Z>1.82)=.0344
N1=np=47000*0.0344=1616(人) (2)Zz=(80-57.08)/18.04=1.27
P(1.27
(3)Z3=(60-57.08)/18.04=0.16 P(Z
N3=26487(人)
四.正态分布的应用 T=KZ+C T~N(C,K2)
IQ=15Z+100 IQ=100 一般
IQ≥130 ——超常 (30=2x*15)
IQ
eg:1.某市参加一考试2800人,录取150人,平均分数75分,标准差为8。问录取分数定为多少分? 解: X~N(75.82)
2
Z=(x-#)/σx=(x-15)/8 ~N(0,1) P=150/2800=0.053 0.5-0.053=0.447 Z=1.615
X=1.615*8+75≈88(分)
2.某高考,平均500分,标准差100分,一考生650分,设当年录取10%,问该生是否到录取分?
22
解: Zo=(650-500)/100=1.5 (X~N(500,100)(Z~N(0,1) Po=0.5-0.43319=0.06681=6.681%
第五章 抽样分布(概率P) &1.抽样方法
一.简单随机抽样 二.等距抽样 三.分层抽样 四.整群抽样 五.有意抽样
&2.抽样分布
(1) (2) (3) (4) (5) 20 25 30 35 40 (1) #=20 22.5 25 27.5 30 (2) 22.5 25 27.5 30 32.5 (3) 25 27.5 30 32.5 35 (4) 27.5 30 32.5 35 37.5 (5) 30 32.5 35 37.5 40
总体分布 图
抽样分布 图
一.平均数 E(#)=µ
二。标准差,方差。
1/222
σx=σ/n σ#=σ/n
&3.样本均值(#)的抽样分布
2
一.总体方差σ已知时,#的抽样分布
2
1.正态总体,σ 已知时,#的抽样分布
2
设(X1,X2,…Xn)为抽自正态总体X~N(μ, σ)
的一个简单随机样本,则其样本均值#也是一个正态分布的随机变量,且有:
2 2
E(#)=μ, σx=σ/n
2
即#~N(μ, σ/n)
1/2
Z=(#-μ)σ/n
Eg:一次测验,μ=100 σ=5
从该总体中抽样一个容量为25的简单随机样本,求这一样本均值间于99到101的概率?
2
解: 已知X~N(100,5) n=25.
2
则#~N(100,1)
Z=(#-100)/1 ~ N(0,1) 当#=99时,Z=-1 当#=101时,Z=1 所以P(99≤#≤101)
=P(-1≤Z≤1)=.68268
2
2.非正态总体,σ已知时,#的抽样分布
设(X1,X2,„Xn)是抽自非正态总体的一个简单1随机样本。当n≥30时,其样本均值#接近正态分布,且有:
2 2
E(#)=μ, σx=σ/n
2
即#~N(μ, σ/n)
若是小样本,题目无解。
Eg(1)一种灯具,平均寿命5000小时,标准差为400小时(无限总体)从产品中抽取100盏灯,问它们的平均寿命不低于4900小时的概率。
解:已知:μ=5000,σ=400,n=100>30是大样本 所以#近似正态分布
2
#~N(5000,40)
1/2
当#=4900时,Z=(4900-5000)/400/100=-2.5 P(#≥4900)=P(Z≥-2.5)=0.99379 3.有限总体的修正系数 (引出)(2)同上题,从2000(有限总体)盏中不放回地抽取100盏,问。。。。。
2
(概念)设总体是有限的总体,其均值为μ,方差为σ (X1,X2…Xn)是以不放回形式从该总体抽取的一个简单随机样本。则样本均值#的数学期望(E(#))与方差为
2 2
E(#)=μ#=μ 和σ =(N-n)/(N-1)*( σ /n)
2
N→∞时,修正系数不计。 σ=[(N-n)/(N-1)*( σ /n)]1/2
.n/N≥0.05%,要用修正系数 如题(2),n/N=0.05 所以要用修正系数
2 2 2
所以解题2:σx=(N-n)/(N-1) *( σ /n)=2000-100)/2000-1=400 /100=1520 σ#=15201/2 =38.987
Z=(4900-5000)/38.987= -2.565
P(Z≥-2.565)=.9949
2
二.总体方差σ未知时,样本均值#的抽样分布。
2 2
用S(总体方差的估计值)代替σ
t=(x-μ)/s/n1/2 ~tn-1→dp(自由度)=n-1 设(X1,X2,„Xn)
为抽自正态总体的一个容量为n的简单随机样本,即t=(x-μ)/s/n1/2符合自由度为n-1的t分布
当总体为非正态分布,且σ未知。 则样本 小:无解
大:接近七分布 t≈t=(x-μ)/s/n1/2 ~ tn-1
Z≈t=(x-μ)/s/n1/2 ~ N(0,1)(也可用Z)
总体均值为80,非正态分布,方差未知,从该总体中抽一容量为64的样本,得S=2,问样本均值大于80.5得概率是多少?
解:因为64>30 是大样本
P(#>80.5)=P(t>(x-μ)/s/n1/2 )=P(t>2) df=63 P≈0.025 若用Z,P(Z>z) ≈0.02275
(若N24,总体正态,则Z分布1不能用,只能用七分布) 非正态总体:小样本——无解
大样本——Z≈(x-μ)/σ/n1/2 2
σ已知
正态总体 Z=≈(x-μ)/σ/n1/2
非正态总体:小样本 —— 无解 2
σ未知: 大样本——t≈(x-μ)/σ/n1/2 ≈Z
正态总体:小样本——t=(x-μ)/σ/n1/2
大样本——Z≈t=(x-μ)/σ/n1/2
&3.两个样本均值之差(#1-#2)的抽样分布
2
若#1是独立地抽自总体X1~N(μ1,σ)的一个容量为n,的简单随机样本的均值;#是。。。X2~2 22
N(μ2, σ2)的。。。n2.的。。。则两样本均值之差(#1-#2)~N(μ1-μ2,σ1/n1,σ2/n2)
复杂计算
一种钢丝的拉强度,服从正态分布
总体均值为80,总体标准差6,抽取容量为36的简单随机样本,求样本均值[79,81]的概率 X~N(80,62) Z~N(0,12)
1/2
Z=(x-μ)/6/36 =(x-8)/1 x[79,8081]
2
Z [-1,1]
P=.68268
2 若σ不知。S=b,则 X~(80, σ )
1/2用公式t=(# -μ)/s/n ~ tn-1 =t35
某种零件平均长度0.50cm,标准差0.04cm,从该总零件中随机抽16个,问此16个零件的平均长度小于0.49cm的概率
无解。
抽100个,则概率?
Z≈(x-μ)/σ/n1/2 =(# - 0.50)/0.004
#
=P(Z
从500件产品中不放回地抽25件。
25/500=0.05 要修正系数(N-n)/(N-1)≈.95
某校一教师采用一种他认为有效的方法,一年后,从该师班中随机抽取9名学生的成绩,平均分84.5分,S=3。而全年级总平均分为82分,试问这9名学生的#
2 #~N(82, σ) t~t8
1/2 t=(# -μ)/s/n=84.5-82)/3/3=2.5
df=8
0.975≤P(t
说明方法有效
(S=3是σ的估计值,两组数据都很整齐。
图(略)
&4.有关样本方差的抽样分布
一.f2分布
1.f2 分布的密度函数 f(x)=1/2n/2*r*n/2)* e-x/2*xn/2-1 (x>0)
f(x)=0 (x≤0)
图(略)
2.定理:
2 设(X1,X2,X3…Xn)为抽自正态总体 X~N(μ,σ)的一个容量为n的简单随机样本,则#=∑(X-#)2/n-1为
2 相互独立的随机变量,且#~N(μ, σ/n)
2 2 2 ∑(X-#)2 /σ=(n-1)S/σ~X2n-1(I=1,2,…n)
若抽自非正态总体:小样本 —— 无解
22 2 大样本 —— X≈((n-1)S/σ
二.F分布
1.F分布的密度函数
f(x)= [(n1+n2)/2]/(n1/2)(n2/2) (n1/n2)(n1/n2*X)n1/2-1(1+n1/n2*X)-n1+n2/2 (x≥0)
f(x)=0 (x
2.定理
2 2 设(X1,X2,…Xn)为抽自X~N(μ1, σ1)的一个容量为n1的简单~(y1,y2…yn)为抽自正态总体y~N(μ2, σ2)
的一个容量n2的简单~,则:
2 2 当σ1=σ2时,
22 F=S1/S2~F(n1-1,n2-1) n1~分子自由度 n2~分母自由度
第六章 参数估计(置信水平下的区间估计)
&1.点估计
E(X)(即#)=∑x/N→μ
(拿一个点来估计参数)
2 2 D(X)= ∑(x-#)/N-1→σ
&2.总体均值的区间估计
2 一.总体均值的区间估计,σ已知。
2 正态总体 x~N (μ, σ)
21/2 #~N((μ, r/n) Z=(# -μ)/ σ/n
1.某种零件的长度符合正态分布。σ=1.5,从总体中抽200个作为样本,#=8.8cm,试估计在95%的置信水平下,全部零件平均长的置信区间。
2 解: 已知X~N(μ,1.5)
n=200, #=8.8
1-a=0.95 →a-0.05
Z0.025=1.96
1/2 1/2 P(#-Za/2σ/n
=P(8.59
10%>5%
若不放回地从2000个(总体)中抽出200个。——需修正系数
1/2 1/2 1/2 所以用(N-n)/(n-1)P(# +- 1.96*σ/n*(N-n)/(n-1)=0.95=P(8.60,9.00)
2 二 σ未知
1/2 1/2 P(#-t(a/2,n01)S/ n
为了制定高中学生体锻标准,在某区随机抽36名男生测100米,36名学生平均成绩13.5秒,S=1.1秒,试估计在95%地置信水平下,高中男生100米跑成绩的置信区间。
1/2 1/2 P(# + - 2.03* S/ n)=P(13.5+- 2.03*1.1/36)=9.5
(13.5+-0.37)
即(13.13,13.87)
得(13.14,13.86)