求连续三角形数之和的公式

求连续三角形数之和的公式

前面，在“求连续自然数平方和的公式”一文中，介绍了波利亚以“猜想”为先导，推出这个公式的过程。思路新颖独特，发人深思。下面就让我们作一次模仿性练习。

在“有趣的图形数”中，曾经提到过三角形数：

„„

n (n +1) 所组成的数列是1，3，6，„，。 2

在我国元代数学家朱世杰的著作《四元玉鉴》中，就有求这个数列前n 项和的公式：

1＋3＋6＋„＋n (n +1) n ＝(n＋1)(n＋2) 26

下面就比葫芦画瓢，完全模仿波利亚的方法，推导一下这个公式。

首先，算出从1开始的一些连续自然数的和与三角形数的和，列出下表： „„

1＋2＋3＋„＋n „„

1＋3＋6＋„＋n (n +1) „„ 2

然后，以三角形数的和为分子，连续自然数的和为分母，构成分数

n (n +1) 1+3+6+ +， A n ＝1+2+3+ +n

再根据表中的数据，算出分数A n 的值，列出下表：

„„

4578A n „„ 3333

n +2观察发现，A n 的通项公式是。 3

n (n +1) 1+3+6+ +，而它的通项公式是n +2，于是大胆猜想 既然A n ＝31+2+3+ +n

求连续三角形数之和的公式

前面，在“求连续自然数平方和的公式”一文中，介绍了波利亚以“猜想”为先导，推出这个公式的过程。思路新颖独特，发人深思。下面就让我们作一次模仿性练习。

在“有趣的图形数”中，曾经提到过三角形数：

„„

n (n +1) 所组成的数列是1，3，6，„，。 2

在我国元代数学家朱世杰的著作《四元玉鉴》中，就有求这个数列前n 项和的公式：

1＋3＋6＋„＋n (n +1) n ＝(n＋1)(n＋2) 26

下面就比葫芦画瓢，完全模仿波利亚的方法，推导一下这个公式。

首先，算出从1开始的一些连续自然数的和与三角形数的和，列出下表： „„

1＋2＋3＋„＋n „„

1＋3＋6＋„＋n (n +1) „„ 2

然后，以三角形数的和为分子，连续自然数的和为分母，构成分数

n (n +1) 1+3+6+ +， A n ＝1+2+3+ +n

再根据表中的数据，算出分数A n 的值，列出下表：

„„

4578A n „„ 3333

n +2观察发现，A n 的通项公式是。 3

n (n +1) 1+3+6+ +，而它的通项公式是n +2，于是大胆猜想 既然A n ＝31+2+3+ +n


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