三角形重心垂心外心内心相关性质介绍

三角形的“四心”

所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心

定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，

即外接圆圆心。ABC的重心一般用字母O表示。

性质：

1.外心到三顶点等距，即OAOBOC。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一

边，即ODBC,OEAC,OFAB. 3.A111BOC,BAOC,CAOB。 222

二、三角形的内心

定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质：

性质：

1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝1三角形的周长内切圆的半径． 2

3.AEAF,BFBD,CDCE；

AEBFCD三角形的周长的一半。 4.BIC90111A,CIA90B，AIB90C。 222

三、三角形的垂心

定义：三角形三条高的交点叫重心。ABC的重心一般用字母H表示。

性质：

1.顶点与垂心连线必垂直对边，

即AHBC,BHAC,CHAB。

2.△ABH的垂心为C，△BHC的

垂心为A，△ACH的垂心为B。

四、三角形的“重心”：

定义：三角形三条中线的交点叫重心。ABC的重心一般用字母G表示。

性质：

1.顶点与重心G的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GA2GD,GB2GE,GC2GF

3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即xGxAxBxCyyByC,yGA. 33

4.向量性质：（1）GAGBGC0；

（2）PG

5.SBGCSCGA1(PAPBPC)，31SAGBSABC。 3

五、三角形“四心”的向量形式：

结论1：若点O为ABC所在的平面内一点，满足，则点O为ABC的垂心。

结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足，则点O为ABC的垂心。

结论3：若点G满足，则点G为ABC的重心。

结论4：若点G为ABC所在的平面内一点，满足

则点G为ABC的重心。

结论5：若点I为ABC所在的平面内一点，并且满足abc

（其中a,b,c为三角形的三边），则点I为△ABC的内心。

结论6：若点O为ABC所在的平面内一点，满足2222221()， 3

()()()，则点O为ABC的外心。

结论7：设0,，则向量AP ，则动点P的轨迹过ABC的内心。