高中数学函数知识点总结
1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 2. 求函数的定义域有哪些常见类型？
例：函数y
x 4lg x
x 3
2
的定义域是（答：0，22，33，4）
函数定义域求法：
分式中的分母不为零；
偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；
对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
正切函数y 余切函数y
tan x
x
R , 且x
k
2, k
cot x x R , 且x k , k
反三角函数的定义域
函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1]
，值域是
，函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，
值域是 [0, π] ，函数y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是. ，函数y ＝arcctgx 的定义域是 R ，
值域是 (0, π) .
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。3. 如何求复合函数的定义域？
如：函数f (x ) 的定义域是
a ，b ，b （答：a ，
a
0，则函数F (x )
f (x )
f (x ) 的定
义域是_____________。
a ）
复合函数定义域的求法：已知y 出x 的范围，即为y
例
若函数y
f (x ) 的定义域为m, n ，求y f g (x ) 的定义域，可由m
g (x )
n 解
f g (x) 的定义域。
f (x ) 的定义域为
12
, 2，则f (log2x ) 的定义域为
12
。
12
分析：由函数y 解：依题意知：解之，得∴
f (x ) 的定义域为
12
12
, 2可知：
x
2；所以y
f (log2x ) 中有log 2x
2。
log 2x 2
2x 4
x
4
f (log2x ) 的定义域为x |2
4、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例求函数y=
1x
的值域
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=x -2x+5，x [-1，2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面
下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂
a . yb. y
b k+xx
2
2
2
型：直接用不等式性质
型, 先化简，再用均值不等式11x+x n
12
bx mx n x 1+x
22
2
例：y
c .. yd. y
x x
mx
x
2
mx n mx n
型通常用判别式
x n
法一：用判别式
x
2
型
法二：用换元法，把分母替换掉例：y
x 1（x+1）（x+1）+1 x
1
x 1
2
（x+1）
1x
1
1211
4、反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例求函数y=
3x 5x
46
值域。
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例求函数y=
e e
x x
11
，y
2sin 1sin
1
，y
2sin 1
cos
1
的值域。
y y
e e
x x
11
e 1
x
11
y y
01y 21
y |1,
2sin 1sin
|sin ||2sin 1y x )
1
2sin 1y
1cos 2sin y cos 4
y sin(
2
y (1cos )
y , 即sin(14y y
2
x )
14
y y
2
又由sin(
x )
1知
1
解不等式，求出y ，就是要求的答案
6、函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例求函数y=
2
x 5
log
3
x 1（2≤x ≤10）的值域
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例求函数y=x+x 1的值域。
8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
22
例：已知点P （x.y ）在圆x +y=1上， (1)
y
的取值范围
x 2
(2)y-2x 的取值范围
解:(1)令
y x
2
k , 则y
k (x
2), 是一条过(-2,0)的直线.
d (2)
R (d 为圆心到直线的距离,R 为半径) 令y-2x
b , 即y
2
2x b
0, 也是直线d d
2
R
例求函数y=
(x 2)
+
(x 8)
的值域。
解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），B （-8）间的距离之和。由上图可知：当点P 在线段AB 上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB ∣=10
当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB ∣=10 故所求函数的值域为：[10，+∞）例求函数y=
x
2
6x 13+
x
2
4x
2
5的值域
2
解：原函数可变形为：y=
(x 3) (02)
+
(x 2) (01)
22
上式可看成x 轴上的点P （x ，0）到两定点A （3，2），B （-2，-1）的距离之和，由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时， y故所求函数的值域为[
43，+∞）。
min
=∣AB ∣=
(32) (21)
22
=43，
注：求两距离之和时，要将函数9 、不等式法
利用基本不等式a+b≥2ab ，a+b+c≥33abc （a ，b ，c ∈），求函数的最值，其题型特征解析
R 式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例：22
x (x 0)
x
=x (
2
1x 1x
3x
3
2
1x
3
1x
3
3者的乘积变成常数）
应用公式a+b+c
3abc 时，注意使
x (3-2x)(0
x (3-2x)
(x
x+3-2x3(a
b 3
) c
3
2
1
3者之和变成常数）
应用公式abc
) 时，应注意使
3
10. 倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例
求函数y=
x x
23
的值域
y x 1y x 0
x 2x 320时，x
21x 2
20时，y =0y
1
x
2
1x
2
2
y
12
2
多种方法综合运用
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
5. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
切记：做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯
我当年的错误，与到手的满分失之交臂
如：f
x
1
e
x
x ，求f (x ).
令t ∴x ∴f (t ) ∴f (x )
t
x
2
1，则t 1e
t
2
1
t
1
2
11x
e
x
2
x 2
6. 反函数存在的条件是什么？
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域）
如：求函数
f (x ) x
1x
1x x x x
2
x x ）
00
的反函数
（答：f
1
(x )
10
在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题：
(2004.全国理) 函数y A ．y=x－2x+2(x
22
x 11(x
1) 的反函数是（ B ）
B ．y=x－2x+2(x ≥1) D ．y=x －2x (x ≥1)
2
2
当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想，一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。下面请看一下我的思路：
原函数定义域为 x〉=1，那反函数值域也为y>=1. 排除选项C,D. 现在看值域。原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1, 答案为B.
我题目已经做完了，好像没有动笔（除非你拿来写*书）。思路能不能明白呢？7. 反函数的性质有哪些？
反函数性质：1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x 对应原函数中的y ）2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y 对应原函数中的x ）3、反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y ）和点（y ，x ）关于直线y=x对称
①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
③设y
f
1
f(x)的定义域为A ，值域为C ，a
f
1
A ，b
b
C ，则f(a)=b f (b )
1
a
f (a ) (b ) a ，f f
1
(b ) f (a )
由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如（04. 上海春季高考）已知函数
f (x )
log 3(
4x
2) ，则方程f
1
(x )
4的解x __________.
8 . 如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种：(1)定义法：
根据定义，设任意得x 1,x 2，找出f(x1),f(x
可以变形为求
f (x 1) x 1
f (x 2) x 2
的正负号或者
2
) 之间的大小关系
与1的关系
f (x 1) f (x 2)
(2)参照图象：
①若函数f(x)的图象关于点(a，b) 对称，函数f(x)在关于点(a，0) 的对称区间具有相同的单调性；（特例：奇函数）
②若函数f(x)的图象关于直线x ＝a 对称，则函数f(x)在关于点(a，0) 的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）(3)利用单调函数的性质：
①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数) 是同向变化的
②函数f(x)与cf(x)(c是常数) ，当c ＞0时，它们是同向变化的；当c ＜0时，它们是反向变化的。③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）
④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）⑤函数f(x)与
1f (x )
在f(x)的同号区间里反向变化。
⑥若函数u ＝φ(x)，x[α，β]与函数y ＝F(u)，u ∈[φ(α) ，φ(β)]或u ∈[φ(β), φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y ＝F[φ(x)]是递增的；若函数u ＝φ(x),x[α，β]与函数y ＝F(u)，u ∈[φ(α) ，φ(β)]或u ∈[φ(β) ，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y ＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）
－1
⑦若函数y ＝f(x)是严格单调的，则其反函数x ＝f (y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。f(gg(xf[g(xf(x)+g(f(x)*g() ) )] x) x) 都是
正数
增增增增增增减减/ / 减增减/ / 减减增减减
如：求y
log 1
2
x
2
2
2x 的单调区间
（设u
且log 1u
2
x 2x ，由u
x
1
2
0则0x
2
，u 1，如图：
u
O 1 2 x
当x 当x
(0，1]时，u [1，2) 时，u
，又log 1u
2
，∴y ，∴y
，又log 1u
2
∴……）
9. 如何利用导数判断函数的单调性？
在区间a ，b 内，若总有f '(x )
0则f (x ) 为增函数。（在个别点上导数等于
f '(x )
0呢？
上是单调增函数，则a 的最大值是（
）
零，不影响函数的单调性），反之也对，若
如：已知a A. 0
（令f '(x )
3x
2
0，函数f (x ) x
3
ax 在1，
a 3x
a 3
x
a 3
则x
a 或x 3a 3
) 上为增函数，则
a 3
1，即a
3
由已知f (x ) 在[1，
∴a 的最大值为3）
10. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）
若f (x ) 若f (x )
f (x ) 总成立f (x ) 总成立
f (x ) 为奇函数f (x ) 为偶函数
函数图象关于原点对称函数图象关于y 轴对称
注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则
f(0)
0。
x
a ・2
如：若f (x )
a 1
2
2
x
为奇函数，则实数
a
（∵f (x ) 为奇函数，x
即
・a 2
R ，又0
1）
R ，∴f (0) 0
a 1
2
2
0，∴a
又如：f (x ) 为定义在(1，1) 上的奇函数，当x (0，1) 时，f (x )
24
x
x
1
，
求f (x ) 在
（令x
1，1上的解析式。
1，0，则
x
0，1，f (x )
x
242
x
x
x
1
又f (x ) 为奇函数，∴f (x )
24
x
114
x
2
又f (0)
0，∴f (x )
4
11. 判断函数奇偶性的方法
42
x x x
x
x 1
x x
(1，0) 00，1
）
1
一、定义域法
一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数. 二、
奇偶函数定义法
. 若函数的
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算性.
这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 f(x)-f(-x)=0 f(x)
f(-x)f(x)f(-x)三、f(g) 奇奇偶
1 1
奇函数偶函数偶函数奇函数
f (x ) ，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶
复合函数奇偶性
g(x) 奇偶奇
f[g(x)] 奇偶偶
f(x)+g(x) 奇
非奇非偶
非奇非
f(x)*g(x) 偶奇奇
偶偶偶
偶偶
偶
12. 你熟悉周期函数的定义吗？
（若存在实数T （T 函数，T 是一个周期。）
如：若f x
a
f (x ) ，则
2a 为f (x ) 的一个周期）
f(x)+f(x+t)=0,
f (x )
f (x
0），在定义域内总有f x T f (x ) ，则f (x ) 为周期
（答：f (x ) 是周期函数，T
我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你
f (x )
f (x t )
t ) f (x
02t )
我们要马上反应过来，这时说这
2t ) ，
个函数周期2t. 推导：f (x
同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。
如：
又如：若f (x ) 图象有两条对称轴x a ，x 即f (a x ) f (a x ) ，f (b x ) f (b x )
f (x ) f (x ) 令t 即f (x )
f (2a
x )
t
f (2b x ) f (x 2b 2a )
f (2a x ) 2b 2a , f (t )
b
f (2b x ) f (t
2b 2a )
2a x , 则2b x
所以, 函数f (x ) 以2|b a |为周期(因不知道a , b 的大小关系, 为保守起见, 我加了一个绝对值
13. 你掌握常用的图象变换了吗？
f (x ) 与f (x ) 的图象关于y 轴对称联想点（x,y ）,(-x,y) f (x ) 与f (x ) 与f (x ) 与f
f (x ) 的图象关于x 轴对称f (x ) 的图象关于原点对称
1
联想点（x,y ）,(x,-y) 联想点（x,y ）,(-x,-y) 联想点（x,y ）,(y,x)
(x ) 的图象关于直线y
x ) 的图象关于直线x
x 对称
f (x ) 与f (2a f (x ) 与将y
a 对称联想点（x,y ）,(2a-x,y)
联想点（x,y ）,(2a-x,0) a ) a )
上移b (b 0) 个单位下移b (b 0) 个单位
y y
f (x f (x
a ) a )
b b
f (2a x ) 的图象关于点(a ，0) 对称
左移a (a 0) 个单位右移a (a 0) 个单位
y y
f (x f (x
f (x ) 图象
（这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的
坐标。看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。
注意如下“翻折”变换：
f (x ) f (x )
|f (x ) |把x 轴下方的图像翻到上面f (|x |)把y 轴右方的图像翻到上面
）
如：f (x ) 作出y
log 2x
1
log 2x 1的图象
log 2x 1及y
y
y=log2x
O 1 x
14. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？
(k
y
(k>0)
y=b
O ’(a,b)
O
x=a
x
（1）一次函数：y
（2）反比例函数：y
kx
k x
b k
k
0(k为斜率，b 为直线与y 轴的交点)
b
k x
2
0推广为y
a
k
0是中心O '(a ，b )
的双曲线。
（3）二次函数y
b 2a
ax
2
bx
2
c a
a x
b 2a b 2a
4ac b
图象为抛物线4a
2
顶点坐标为，
4ac b 4a
，对称轴x
2
开口方向：a
0，向上，函数y min
4ac 4a 4ac 4a b
2
b
a
0，向下，y max
根的关系：x x 1
x 2
b 2a
c ,|x 1a
x 2|
|a |
b
, x 1x 2a
二次函数的几种表达形式：f (x ) f (x ) f (x ) f (x )
ax
2
bx m )
2
c (一般式)
n (顶点式，（m ，n ）为顶点x 2)(x 1, x 2是方程的2个根）x 2)
h (函数经过点（x 1, h )(x 2, h )
a (x a (x a (x
x 1)(x x 1)(x
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
ax
2
bx c 0，0时，两根x 1、x 2为二次函数y
bx
c
ax
2
bx c 的图象与x 轴
的两个交点，也是二次不等式ax 2②求闭区间［m ，n ］上的最值。
区间在对称轴左边（区间在对称轴右边（
n m
b 2a
b
0(0) 解集的端点值。
）f max ）f max ）m
f (m ), f min f (n ), f min
f (n ) f (m )
区间在对称轴2边（n f min
4a c b 4a
2
2a b 2a
, f max max(f (m ), f (n ))
也可以比较m, n 和对称轴的关系，距离越远，值越大(只讨论a
0的情况）
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。④一元二次方程根的分布问题。
如：二次方程ax
2
bx c 0的两根都大于k
b 2a f (k )
k 0
y
(a>0)
O k x 1x 2x
一根大于k ，一根小于k f (k ) 0
在区间（m ，n ）内有2根
m
b 2a f (m ) 0f (n )
在区间（m ，n ）内有1根
0n
f (m ) f (n )
（4）指数函数：y （5）对数函数y 由图象记性质！
a
x
a 0，a 10，a
1
log a x a
（注意底数的限定！）
y
y=a(a>1)
(0
1 O 1 (0
x y=loga x(a>1)
x
（6）“对勾函数”y x
k x
k
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注意等号成立的条件）
y
k
O
k
x
15. 你在基本运算上常出现错误吗？
指数运算：a
m
1(a 0) ，a
m
p
1a
p
(a 0)
a
n
n
a
m
(a 0) ，a
n
n
1a
m
(a 0) log a N M
0，N
log a (M 对数运算：
log a
M N
log a M
N ) log a M
n
log a N ，log a
M
1n
log a M
对数恒等式：a
log a x
x
对数换底公式：log log c b n
n a b log a m
b
log a b
c a
log m
log a x
1log x a
16. 如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）
如：（1）x R ，f (x ) 满足f (x y )
f (x )
f (y ) ，证明f (x ) 为奇函数。
（先令x y
f (0)
0再令y
x ，,, ）
（2）x R ，f (x ) 满足f (xy ) f (x )
f (y ) ，证明f (x ) 是偶函数。
（先令x y t
f (t )(t ) f (t ・t )
∴f (t ) f (t )
f (t )
f (t )
∴f (t )
f (t ) ,, ）
（3）证明单调性：f (x 2)
f x 2
x 1
x 2
,,
（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了1、代y=x，
2、令x=0或1来求出f(0)或f(1)
3、求奇偶性，令y=—x ；求单调性：令x+y=x1几类常见的抽象函数1. 正比例函数型的抽象函数
f （x ）＝kx （k ≠0）---------------f （x ±y ）＝f （x ）±f （y ）
2. 幂函数型的抽象函数
f （x ）＝x a
----------------f （xy ）＝f （x ）f （y ）；f （
x ）＝
f (x ) y
f (y )
3.
指数函数型的抽象函数f （x ）＝a x -------------------
f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）；f （x －y ）＝
f (x ) f (y )
4.
对数函数型的抽象函数
f （x ）＝lo g a x （a >0且a ≠1）-----f （x ・y ）＝f （x ）＋f （y ）；f （
x y
）＝f （x ）－f 5.
三角函数型的抽象函数
f （x ）＝t gx--------------------------f （x ＋y ）＝
f (x ) f (y )
1f (x ) f (y )
f （x ）＝cot x------------------------f （x ＋y ）＝
f (x ) f (y ) 1
f (x )
f (y )
y ）
（
例1已知函数f （x ）对任意实数x 、y 均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x >0时，f (x )>0，f (－1) ＝－2求f (x) 在区间[－2,1]上的值域.
分析：先证明函数f （x ）在R 上是增函数（注意到f （x 2）＝f [（x 2－x 1）＋x 1]＝f （x 2－x 1）＋f （x 1））；再根据区间求其值域. 例2已知函数f （x ）对任意实数x 、y 均有f （x ＋y ）＋2＝f （x ）＋f （y ），且当x >0时，f (x )>2，
2
f (3)＝ 5，求不等式f （a －2a －2）
分析：先证明函数f （x ）在R 上是增函数（仿例1）；再求出f （1）＝3；最后脱去函数符号. 例3已知函数f （x ）对任意实数x 、y 都有f （xy ）＝f （x ）f （y ），且f （－1）＝1，f （27）＝9，当0≤x ＜1时，f （x ）∈[0，1]. （1）判断f （x ）的奇偶性；
（2）判断f （x ）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；（3）若a ≥0且f （a ＋1）≤分析：（1）令y ＝－1；
（2）利用f （x 1）＝f （（3）0≤a ≤2.
例4设函数f （x ）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x 1≠x 2，使得f （x 1）≠f （x 2）；对任何x 和y ，f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）成立. 求：（1）f （0）；
(2)对任意值x ，判断f （x ）值的符号.
分析：（1）令x= y ＝0；（2）令y ＝x ≠0. 例5是否存在函数f （x ），使下列三个条件：①f （x ）>0,x ∈N ；②f （a ＋b ）＝f （a ）f （b ），a 、b ∈N ；③f （2）＝4. 同时成立？若存在，求出f （x ）的解析式，若不存在，说明理由.
x
分析：先猜出f （x ）＝2；再用数学归纳法证明. 例6设f （x ）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足＝1，求：
f （1）（1）；
（2）若f （x ）＋f （x －8）≤2，求x 的取值范围. 分析：（1）利用3＝1×3；
（2）利用函数的单调性和已知关系式.
f （x ・y ）＝f （x ）＋f （y ），f （3）
x 1x 2
・x 2）＝f （
x 1x 2
）f （x 2）；
3
9，求a 的取值范围.
例7设函数y ＝f （x ）的反函数是y ＝g （x ）. 如果f （a b ）＝f （a ）＋f （b ），那么g （a ＋b ）＝
g （a ）・g （b ）是否正确，试说明理由. 分析：设f （a ）＝m ，f （b ）＝n ，则g （m ）＝a ，g （n ）＝b ，进而m ＋n ＝f （a ）＋f （b ）＝f （ab ）＝f [g （m ）g （n ）]…. 例8已知函数f （x ）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：①②③
x 1、x 2是定义域中的数时，有
f （x 1－x 2）＝
f (x 1) f (x 2) 1f (x 2)
f (x 1)
；
f （a ）＝－1（a ＞0，a 是定义域中的一个数）；当0＜x ＜2a 时，f （x ）＜0.
试问：（1）f （x ）的奇偶性如何？说明理由；（2）在（0，4a ）上，f （x ）的单调性如何？说明理由.
分析：（1）利用f [－（x 1－x 2）]＝－f [（x 1－x 2）]，判定f （x ）是奇函数；（3）先证明f （x ）在（0，2a ）上是增函数，再证明其在（2a ，4a ）上也是增函数.
对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意. 有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数. 因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.
例9已知函数f （x ）（x ≠0）满足f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），（1）求证：f （1）＝f （－1）＝0；（2）求证：f （x ）为偶函数；（3）
若f （x ）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式
f （x ）＋f （x －
12
）≤0.
分析：函数模型为：f （x ）＝lo g a |x |（a ＞0）（1）先令x ＝y ＝1，再令x ＝y ＝－1；（2）令y ＝－1；（3）由f （x ）为偶函数，则f （x ）＝f （|x|）.
例10已知函数f （x ）对一切实数x 、y 满足f （0）≠0，f （x ＋y ）＝f （x ）・f （y ），且当x ＜0时，f （x ）＞1，求证：（1）当x ＞0时，0＜f （x ）＜1；（2）f （x ）在x ∈R 上是减函数. 分析：（1）先令x ＝y ＝0得f （0）＝1，再令y ＝－x ；（3）受指数函数单调性的启发：由f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）可得f （x －y ）＝
f (x 1) f (x 2)
f (x ) f (y )
，
进而由x 1＜x 2，有＝f （x 1－x 2）＞1.
练习题：
1. 已知：f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ）对任意实数x 、y 都成立，则（）（A ）f （0）＝0 （B ）f （0）＝1 （C ）f （0）＝0或1 （D ）以上都不对2. 若对任意实数x 、y 总有f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），则下列各式中错误的是（（A ）f （1）＝0 （C ）f （
x y
）
（B ）f （
1x
）＝f （x ）
n
）＝f （x ）－f （y ）（D ）f （x ）＝nf （x ）（n ∈N ）
3. 已知函数f （x ）对一切实数x 、y 满足：f （0）≠0，f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ），且当x ＜0时，f （x ）＞1，则当x ＞0时，f （x ）的取值范围是（）（A ）（1，＋∞）（B ）（－∞，1）（C ）（0，1）（D ）（－1，＋∞）
x 1、x 2都有4. 函数f （x ）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的f （x 1－x 2）＝
f (x 1) 1
f (x 2) f (x 1) f (x 2)
，则f （x ）为（
）
（A ）奇函数非偶函数
（B ）偶函数非奇函数
（C ）既是奇函数又是偶函数（D ）非奇非偶函数
5. 已知不恒为零的函数f （x ）对任意实数x 、y 满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2[f （x ）＋f （y ）]，则函数f （x ）是（）（A ）奇函数非偶函数（B ）偶函数非奇函数（C ）既是奇函数又是偶函数（D ）非奇非偶函数参考答案：1．A 2．B 3 ．C 4．A 5．B
函数典型考题
1. 若函数
f (x )
(m 1) x
2
(m 2) x
(m
2
7m 12) 为偶函数，则m 的值是（B
A.
1
B.
2C.
3
D. 4
2．已知函数
f (x ) 是定义域在R 上的偶函数，且在区间(
, 0) 上单调递减，求满足
f (x
2
2x 3) f (x
2
4x 5) 的x 的集合．
．解：
f (x ) 在R 上为偶函数，在(
,0) 上单调递减
f (x ) 在(0,
) 上为增函数
又
f (x
2
4x 5) f (x
2
4x 5)
x
2
2x 3(x 1) 2
2
0，x 2
4x 5(x 2)
2
10
由
f (x
2
2x 3)
f (x 2
4x 5) 得x 2
2x 3x 2
4x 5
x 1
解集为{x |x 1}.
3. 若f (x)是偶函数，它在
0,
上是减函数, 且f （lgx ）>f(1),则x 的取值范围是（C A. (
11) B. (0，
1110
，10
)
(1，
)
C. (
10
，10) D. (0，1) (10，) 4. 若a 、b 是任意实数，且
a>b,则（
D
a
b
A. a2
>b2
B.
a b
lg a b >0
D.
1
2
12
5. 设a,b,c 都是正数，且3
a
4
b
6c
，则下列正确的是
（B
(A)
111 (B)
221c
a
b
C
(C) 122a
b
C
a
(D)
212b
c a
b
6．对于函数
f x
ax 2
bx b 1（a 0）．
（Ⅰ）当a 1, b
2时，求函数f (x ) 的零点；
（Ⅱ）若对任意实数b ，函数f (x ) 恒有两个相异的零点，求实数
a 的取值范围．
7. 二次函数
y ax
2
bx c 中，a c
0，则函数的零点个数是（
C
）
）
）
）
）
A 0个8．若函数
A ．
B 1个C 2个D 无法确定
f x
1和
x
2
ax b 的两个零点是
2和3, 则函数C ．
g x bx
2
ax 1的零点是（D ）
12
和
2B ．1和2
12
和
13
D ．
13
y 轴对称；④既是
9．下面四个结论：①偶函数的图象一定与
y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于
奇函数又是偶函数的函数一定是f (x ) ＝0（x ∈R ），其中正确命题的个数是（
D
）
A 4
B 3
C 2
D
1
10. 已知函数f(x2
-3)=lgx 2
x
2
6
,
(1)f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性；(3)求f(x)的反函数;
(4)若f[
(x ) ]=lgx,求(3) 的值。
2解：（1）∵f(x2
-3)=lg
(x 3) 3x 3x 2
(x
2
3)
3
, ∴f(x)=lg, 又由
6
得x 2x
3
x
2-3>3,∴f(x)的定义域为（（2）∵f(x)的定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数。（3）由y=lg
x 33(10y
1) (10x
1) 3
, 得x=10
y
1
,
x>3,解得y>0, ∴f -1
3x
(x)=
10
x
1
(x 0)
(4)∵f[
(3) ]=lg
(3) 33(3)
3
lg 3, ∴
(3) (3)
3
3，解得
(3)=6。
11. 下列函数中，同时满足：有反函数，是奇函数，定义域和值域相同的函数是（C ）
x
x
（A ）y=
e
e x 3
2
（B ）y=lg
11
x
（C ）y=-x
（D ）y=
x
零点问题
3，+）。
高中数学函数知识点总结
1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 2. 求函数的定义域有哪些常见类型？
例：函数y
x 4lg x
x 3
2
的定义域是（答：0，22，33，4）
函数定义域求法：
分式中的分母不为零；
偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；
对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
正切函数y 余切函数y
tan x
x
R , 且x
k
2, k
cot x x R , 且x k , k
反三角函数的定义域
函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1]
，值域是
，函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，
值域是 [0, π] ，函数y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是. ，函数y ＝arcctgx 的定义域是 R ，
值域是 (0, π) .
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。3. 如何求复合函数的定义域？
如：函数f (x ) 的定义域是
a ，b ，b （答：a ，
a
0，则函数F (x )
f (x )
f (x ) 的定
义域是_____________。
a ）
复合函数定义域的求法：已知y 出x 的范围，即为y
例
若函数y
f (x ) 的定义域为m, n ，求y f g (x ) 的定义域，可由m
g (x )
n 解
f g (x) 的定义域。
f (x ) 的定义域为
12
, 2，则f (log2x ) 的定义域为
12
。
12
分析：由函数y 解：依题意知：解之，得∴
f (x ) 的定义域为
12
12
, 2可知：
x
2；所以y
f (log2x ) 中有log 2x
2。
log 2x 2
2x 4
x
4
f (log2x ) 的定义域为x |2
4、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例求函数y=
1x
的值域
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=x -2x+5，x [-1，2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面
下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂
a . yb. y
b k+xx
2
2
2
型：直接用不等式性质
型, 先化简，再用均值不等式11x+x n
12
bx mx n x 1+x
22
2
例：y
c .. yd. y
x x
mx
x
2
mx n mx n
型通常用判别式
x n
法一：用判别式
x
2
型
法二：用换元法，把分母替换掉例：y
x 1（x+1）（x+1）+1 x
1
x 1
2
（x+1）
1x
1
1211
4、反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例求函数y=
3x 5x
46
值域。
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例求函数y=
e e
x x
11
，y
2sin 1sin
1
，y
2sin 1
cos
1
的值域。
y y
e e
x x
11
e 1
x
11
y y
01y 21
y |1,
2sin 1sin
|sin ||2sin 1y x )
1
2sin 1y
1cos 2sin y cos 4
y sin(
2
y (1cos )
y , 即sin(14y y
2
x )
14
y y
2
又由sin(
x )
1知
1
解不等式，求出y ，就是要求的答案
6、函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例求函数y=
2
x 5
log
3
x 1（2≤x ≤10）的值域
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例求函数y=x+x 1的值域。
8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
22
例：已知点P （x.y ）在圆x +y=1上， (1)
y
的取值范围
x 2
(2)y-2x 的取值范围
解:(1)令
y x
2
k , 则y
k (x
2), 是一条过(-2,0)的直线.
d (2)
R (d 为圆心到直线的距离,R 为半径) 令y-2x
b , 即y
2
2x b
0, 也是直线d d
2
R
例求函数y=
(x 2)
+
(x 8)
的值域。
解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），B （-8）间的距离之和。由上图可知：当点P 在线段AB 上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB ∣=10
当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB ∣=10 故所求函数的值域为：[10，+∞）例求函数y=
x
2
6x 13+
x
2
4x
2
5的值域
2
解：原函数可变形为：y=
(x 3) (02)
+
(x 2) (01)
22
上式可看成x 轴上的点P （x ，0）到两定点A （3，2），B （-2，-1）的距离之和，由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时， y故所求函数的值域为[
43，+∞）。
min
=∣AB ∣=
(32) (21)
22
=43，
注：求两距离之和时，要将函数9 、不等式法
利用基本不等式a+b≥2ab ，a+b+c≥33abc （a ，b ，c ∈），求函数的最值，其题型特征解析
R 式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例：22
x (x 0)
x
=x (
2
1x 1x
3x
3
2
1x
3
1x
3
3者的乘积变成常数）
应用公式a+b+c
3abc 时，注意使
x (3-2x)(0
x (3-2x)
(x
x+3-2x3(a
b 3
) c
3
2
1
3者之和变成常数）
应用公式abc
) 时，应注意使
3
10. 倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例
求函数y=
x x
23
的值域
y x 1y x 0
x 2x 320时，x
21x 2
20时，y =0y
1
x
2
1x
2
2
y
12
2
多种方法综合运用
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
5. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
切记：做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯
我当年的错误，与到手的满分失之交臂
如：f
x
1
e
x
x ，求f (x ).
令t ∴x ∴f (t ) ∴f (x )
t
x
2
1，则t 1e
t
2
1
t
1
2
11x
e
x
2
x 2
6. 反函数存在的条件是什么？
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域）
如：求函数
f (x ) x
1x
1x x x x
2
x x ）
00
的反函数
（答：f
1
(x )
10
在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题：
(2004.全国理) 函数y A ．y=x－2x+2(x
22
x 11(x
1) 的反函数是（ B ）
B ．y=x－2x+2(x ≥1) D ．y=x －2x (x ≥1)
2
2
当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想，一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。下面请看一下我的思路：
原函数定义域为 x〉=1，那反函数值域也为y>=1. 排除选项C,D. 现在看值域。原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1, 答案为B.
我题目已经做完了，好像没有动笔（除非你拿来写*书）。思路能不能明白呢？7. 反函数的性质有哪些？
反函数性质：1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x 对应原函数中的y ）2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y 对应原函数中的x ）3、反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y ）和点（y ，x ）关于直线y=x对称
①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
③设y
f
1
f(x)的定义域为A ，值域为C ，a
f
1
A ，b
b
C ，则f(a)=b f (b )
1
a
f (a ) (b ) a ，f f
1
(b ) f (a )
由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如（04. 上海春季高考）已知函数
f (x )
log 3(
4x
2) ，则方程f
1
(x )
4的解x __________.
8 . 如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种：(1)定义法：
根据定义，设任意得x 1,x 2，找出f(x1),f(x
可以变形为求
f (x 1) x 1
f (x 2) x 2
的正负号或者
2
) 之间的大小关系
与1的关系
f (x 1) f (x 2)
(2)参照图象：
①若函数f(x)的图象关于点(a，b) 对称，函数f(x)在关于点(a，0) 的对称区间具有相同的单调性；（特例：奇函数）
②若函数f(x)的图象关于直线x ＝a 对称，则函数f(x)在关于点(a，0) 的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）(3)利用单调函数的性质：
①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数) 是同向变化的
②函数f(x)与cf(x)(c是常数) ，当c ＞0时，它们是同向变化的；当c ＜0时，它们是反向变化的。③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）
④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）⑤函数f(x)与
1f (x )
在f(x)的同号区间里反向变化。
⑥若函数u ＝φ(x)，x[α，β]与函数y ＝F(u)，u ∈[φ(α) ，φ(β)]或u ∈[φ(β), φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y ＝F[φ(x)]是递增的；若函数u ＝φ(x),x[α，β]与函数y ＝F(u)，u ∈[φ(α) ，φ(β)]或u ∈[φ(β) ，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y ＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）
－1
⑦若函数y ＝f(x)是严格单调的，则其反函数x ＝f (y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。f(gg(xf[g(xf(x)+g(f(x)*g() ) )] x) x) 都是
正数
增增增增增增减减/ / 减增减/ / 减减增减减
如：求y
log 1
2
x
2
2
2x 的单调区间
（设u
且log 1u
2
x 2x ，由u
x
1
2
0则0x
2
，u 1，如图：
u
O 1 2 x
当x 当x
(0，1]时，u [1，2) 时，u
，又log 1u
2
，∴y ，∴y
，又log 1u
2
∴……）
9. 如何利用导数判断函数的单调性？
在区间a ，b 内，若总有f '(x )
0则f (x ) 为增函数。（在个别点上导数等于
f '(x )
0呢？
上是单调增函数，则a 的最大值是（
）
零，不影响函数的单调性），反之也对，若
如：已知a A. 0
（令f '(x )
3x
2
0，函数f (x ) x
3
ax 在1，
a 3x
a 3
x
a 3
则x
a 或x 3a 3
) 上为增函数，则
a 3
1，即a
3
由已知f (x ) 在[1，
∴a 的最大值为3）
10. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）
若f (x ) 若f (x )
f (x ) 总成立f (x ) 总成立
f (x ) 为奇函数f (x ) 为偶函数
函数图象关于原点对称函数图象关于y 轴对称
注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则
f(0)
0。
x
a ・2
如：若f (x )
a 1
2
2
x
为奇函数，则实数
a
（∵f (x ) 为奇函数，x
即
・a 2
R ，又0
1）
R ，∴f (0) 0
a 1
2
2
0，∴a
又如：f (x ) 为定义在(1，1) 上的奇函数，当x (0，1) 时，f (x )
24
x
x
1
，
求f (x ) 在
（令x
1，1上的解析式。
1，0，则
x
0，1，f (x )
x
242
x
x
x
1
又f (x ) 为奇函数，∴f (x )
24
x
114
x
2
又f (0)
0，∴f (x )
4
11. 判断函数奇偶性的方法
42
x x x
x
x 1
x x
(1，0) 00，1
）
1
一、定义域法
一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数. 二、
奇偶函数定义法
. 若函数的
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算性.
这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 f(x)-f(-x)=0 f(x)
f(-x)f(x)f(-x)三、f(g) 奇奇偶
1 1
奇函数偶函数偶函数奇函数
f (x ) ，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶
复合函数奇偶性
g(x) 奇偶奇
f[g(x)] 奇偶偶
f(x)+g(x) 奇
非奇非偶
非奇非
f(x)*g(x) 偶奇奇
偶偶偶
偶偶
偶
12. 你熟悉周期函数的定义吗？
（若存在实数T （T 函数，T 是一个周期。）
如：若f x
a
f (x ) ，则
2a 为f (x ) 的一个周期）
f(x)+f(x+t)=0,
f (x )
f (x
0），在定义域内总有f x T f (x ) ，则f (x ) 为周期
（答：f (x ) 是周期函数，T
我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你
f (x )
f (x t )
t ) f (x
02t )
我们要马上反应过来，这时说这
2t ) ，
个函数周期2t. 推导：f (x
同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。
如：
又如：若f (x ) 图象有两条对称轴x a ，x 即f (a x ) f (a x ) ，f (b x ) f (b x )
f (x ) f (x ) 令t 即f (x )
f (2a
x )
t
f (2b x ) f (x 2b 2a )
f (2a x ) 2b 2a , f (t )
b
f (2b x ) f (t
2b 2a )
2a x , 则2b x
所以, 函数f (x ) 以2|b a |为周期(因不知道a , b 的大小关系, 为保守起见, 我加了一个绝对值
13. 你掌握常用的图象变换了吗？
f (x ) 与f (x ) 的图象关于y 轴对称联想点（x,y ）,(-x,y) f (x ) 与f (x ) 与f (x ) 与f
f (x ) 的图象关于x 轴对称f (x ) 的图象关于原点对称
1
联想点（x,y ）,(x,-y) 联想点（x,y ）,(-x,-y) 联想点（x,y ）,(y,x)
(x ) 的图象关于直线y
x ) 的图象关于直线x
x 对称
f (x ) 与f (2a f (x ) 与将y
a 对称联想点（x,y ）,(2a-x,y)
联想点（x,y ）,(2a-x,0) a ) a )
上移b (b 0) 个单位下移b (b 0) 个单位
y y
f (x f (x
a ) a )
b b
f (2a x ) 的图象关于点(a ，0) 对称
左移a (a 0) 个单位右移a (a 0) 个单位
y y
f (x f (x
f (x ) 图象
（这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的
坐标。看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。
注意如下“翻折”变换：
f (x ) f (x )
|f (x ) |把x 轴下方的图像翻到上面f (|x |)把y 轴右方的图像翻到上面
）
如：f (x ) 作出y
log 2x
1
log 2x 1的图象
log 2x 1及y
y
y=log2x
O 1 x
14. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？
(k
y
(k>0)
y=b
O ’(a,b)
O
x=a
x
（1）一次函数：y
（2）反比例函数：y
kx
k x
b k
k
0(k为斜率，b 为直线与y 轴的交点)
b
k x
2
0推广为y
a
k
0是中心O '(a ，b )
的双曲线。
（3）二次函数y
b 2a
ax
2
bx
2
c a
a x
b 2a b 2a
4ac b
图象为抛物线4a
2
顶点坐标为，
4ac b 4a
，对称轴x
2
开口方向：a
0，向上，函数y min
4ac 4a 4ac 4a b
2
b
a
0，向下，y max
根的关系：x x 1
x 2
b 2a
c ,|x 1a
x 2|
|a |
b
, x 1x 2a
二次函数的几种表达形式：f (x ) f (x ) f (x ) f (x )
ax
2
bx m )
2
c (一般式)
n (顶点式，（m ，n ）为顶点x 2)(x 1, x 2是方程的2个根）x 2)
h (函数经过点（x 1, h )(x 2, h )
a (x a (x a (x
x 1)(x x 1)(x
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
ax
2
bx c 0，0时，两根x 1、x 2为二次函数y
bx
c
ax
2
bx c 的图象与x 轴
的两个交点，也是二次不等式ax 2②求闭区间［m ，n ］上的最值。
区间在对称轴左边（区间在对称轴右边（
n m
b 2a
b
0(0) 解集的端点值。
）f max ）f max ）m
f (m ), f min f (n ), f min
f (n ) f (m )
区间在对称轴2边（n f min
4a c b 4a
2
2a b 2a
, f max max(f (m ), f (n ))
也可以比较m, n 和对称轴的关系，距离越远，值越大(只讨论a
0的情况）
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。④一元二次方程根的分布问题。
如：二次方程ax
2
bx c 0的两根都大于k
b 2a f (k )
k 0
y
(a>0)
O k x 1x 2x
一根大于k ，一根小于k f (k ) 0
在区间（m ，n ）内有2根
m
b 2a f (m ) 0f (n )
在区间（m ，n ）内有1根
0n
f (m ) f (n )
（4）指数函数：y （5）对数函数y 由图象记性质！
a
x
a 0，a 10，a
1
log a x a
（注意底数的限定！）
y
y=a(a>1)
(0
1 O 1 (0
x y=loga x(a>1)
x
（6）“对勾函数”y x
k x
k
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注意等号成立的条件）
y
k
O
k
x
15. 你在基本运算上常出现错误吗？
指数运算：a
m
1(a 0) ，a
m
p
1a
p
(a 0)
a
n
n
a
m
(a 0) ，a
n
n
1a
m
(a 0) log a N M
0，N
log a (M 对数运算：
log a
M N
log a M
N ) log a M
n
log a N ，log a
M
1n
log a M
对数恒等式：a
log a x
x
对数换底公式：log log c b n
n a b log a m
b
log a b
c a
log m
log a x
1log x a
16. 如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）
如：（1）x R ，f (x ) 满足f (x y )
f (x )
f (y ) ，证明f (x ) 为奇函数。
（先令x y
f (0)
0再令y
x ，,, ）
（2）x R ，f (x ) 满足f (xy ) f (x )
f (y ) ，证明f (x ) 是偶函数。
（先令x y t
f (t )(t ) f (t ・t )
∴f (t ) f (t )
f (t )
f (t )
∴f (t )
f (t ) ,, ）
（3）证明单调性：f (x 2)
f x 2
x 1
x 2
,,
（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了1、代y=x，
2、令x=0或1来求出f(0)或f(1)
3、求奇偶性，令y=—x ；求单调性：令x+y=x1几类常见的抽象函数1. 正比例函数型的抽象函数
f （x ）＝kx （k ≠0）---------------f （x ±y ）＝f （x ）±f （y ）
2. 幂函数型的抽象函数
f （x ）＝x a
----------------f （xy ）＝f （x ）f （y ）；f （
x ）＝
f (x ) y
f (y )
3.
指数函数型的抽象函数f （x ）＝a x -------------------
f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）；f （x －y ）＝
f (x ) f (y )
4.
对数函数型的抽象函数
f （x ）＝lo g a x （a >0且a ≠1）-----f （x ・y ）＝f （x ）＋f （y ）；f （
x y
）＝f （x ）－f 5.
三角函数型的抽象函数
f （x ）＝t gx--------------------------f （x ＋y ）＝
f (x ) f (y )
1f (x ) f (y )
f （x ）＝cot x------------------------f （x ＋y ）＝
f (x ) f (y ) 1
f (x )
f (y )
y ）
（
例1已知函数f （x ）对任意实数x 、y 均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x >0时，f (x )>0，f (－1) ＝－2求f (x) 在区间[－2,1]上的值域.
分析：先证明函数f （x ）在R 上是增函数（注意到f （x 2）＝f [（x 2－x 1）＋x 1]＝f （x 2－x 1）＋f （x 1））；再根据区间求其值域. 例2已知函数f （x ）对任意实数x 、y 均有f （x ＋y ）＋2＝f （x ）＋f （y ），且当x >0时，f (x )>2，
2
f (3)＝ 5，求不等式f （a －2a －2）
分析：先证明函数f （x ）在R 上是增函数（仿例1）；再求出f （1）＝3；最后脱去函数符号. 例3已知函数f （x ）对任意实数x 、y 都有f （xy ）＝f （x ）f （y ），且f （－1）＝1，f （27）＝9，当0≤x ＜1时，f （x ）∈[0，1]. （1）判断f （x ）的奇偶性；
（2）判断f （x ）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；（3）若a ≥0且f （a ＋1）≤分析：（1）令y ＝－1；
（2）利用f （x 1）＝f （（3）0≤a ≤2.
例4设函数f （x ）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x 1≠x 2，使得f （x 1）≠f （x 2）；对任何x 和y ，f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）成立. 求：（1）f （0）；
(2)对任意值x ，判断f （x ）值的符号.
分析：（1）令x= y ＝0；（2）令y ＝x ≠0. 例5是否存在函数f （x ），使下列三个条件：①f （x ）>0,x ∈N ；②f （a ＋b ）＝f （a ）f （b ），a 、b ∈N ；③f （2）＝4. 同时成立？若存在，求出f （x ）的解析式，若不存在，说明理由.
x
分析：先猜出f （x ）＝2；再用数学归纳法证明. 例6设f （x ）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足＝1，求：
f （1）（1）；
（2）若f （x ）＋f （x －8）≤2，求x 的取值范围. 分析：（1）利用3＝1×3；
（2）利用函数的单调性和已知关系式.
f （x ・y ）＝f （x ）＋f （y ），f （3）
x 1x 2
・x 2）＝f （
x 1x 2
）f （x 2）；
3
9，求a 的取值范围.
例7设函数y ＝f （x ）的反函数是y ＝g （x ）. 如果f （a b ）＝f （a ）＋f （b ），那么g （a ＋b ）＝
g （a ）・g （b ）是否正确，试说明理由. 分析：设f （a ）＝m ，f （b ）＝n ，则g （m ）＝a ，g （n ）＝b ，进而m ＋n ＝f （a ）＋f （b ）＝f （ab ）＝f [g （m ）g （n ）]…. 例8已知函数f （x ）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：①②③
x 1、x 2是定义域中的数时，有
f （x 1－x 2）＝
f (x 1) f (x 2) 1f (x 2)
f (x 1)
；
f （a ）＝－1（a ＞0，a 是定义域中的一个数）；当0＜x ＜2a 时，f （x ）＜0.
试问：（1）f （x ）的奇偶性如何？说明理由；（2）在（0，4a ）上，f （x ）的单调性如何？说明理由.
分析：（1）利用f [－（x 1－x 2）]＝－f [（x 1－x 2）]，判定f （x ）是奇函数；（3）先证明f （x ）在（0，2a ）上是增函数，再证明其在（2a ，4a ）上也是增函数.
对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意. 有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数. 因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.
例9已知函数f （x ）（x ≠0）满足f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），（1）求证：f （1）＝f （－1）＝0；（2）求证：f （x ）为偶函数；（3）
若f （x ）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式
f （x ）＋f （x －
12
）≤0.
分析：函数模型为：f （x ）＝lo g a |x |（a ＞0）（1）先令x ＝y ＝1，再令x ＝y ＝－1；（2）令y ＝－1；（3）由f （x ）为偶函数，则f （x ）＝f （|x|）.
例10已知函数f （x ）对一切实数x 、y 满足f （0）≠0，f （x ＋y ）＝f （x ）・f （y ），且当x ＜0时，f （x ）＞1，求证：（1）当x ＞0时，0＜f （x ）＜1；（2）f （x ）在x ∈R 上是减函数. 分析：（1）先令x ＝y ＝0得f （0）＝1，再令y ＝－x ；（3）受指数函数单调性的启发：由f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）可得f （x －y ）＝
f (x 1) f (x 2)
f (x ) f (y )
，
进而由x 1＜x 2，有＝f （x 1－x 2）＞1.
练习题：
1. 已知：f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ）对任意实数x 、y 都成立，则（）（A ）f （0）＝0 （B ）f （0）＝1 （C ）f （0）＝0或1 （D ）以上都不对2. 若对任意实数x 、y 总有f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），则下列各式中错误的是（（A ）f （1）＝0 （C ）f （
x y
）
（B ）f （
1x
）＝f （x ）
n
）＝f （x ）－f （y ）（D ）f （x ）＝nf （x ）（n ∈N ）
3. 已知函数f （x ）对一切实数x 、y 满足：f （0）≠0，f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ），且当x ＜0时，f （x ）＞1，则当x ＞0时，f （x ）的取值范围是（）（A ）（1，＋∞）（B ）（－∞，1）（C ）（0，1）（D ）（－1，＋∞）
x 1、x 2都有4. 函数f （x ）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的f （x 1－x 2）＝
f (x 1) 1
f (x 2) f (x 1) f (x 2)
，则f （x ）为（
）
（A ）奇函数非偶函数
（B ）偶函数非奇函数
（C ）既是奇函数又是偶函数（D ）非奇非偶函数
5. 已知不恒为零的函数f （x ）对任意实数x 、y 满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2[f （x ）＋f （y ）]，则函数f （x ）是（）（A ）奇函数非偶函数（B ）偶函数非奇函数（C ）既是奇函数又是偶函数（D ）非奇非偶函数参考答案：1．A 2．B 3 ．C 4．A 5．B
函数典型考题
1. 若函数
f (x )
(m 1) x
2
(m 2) x
(m
2
7m 12) 为偶函数，则m 的值是（B
A.
1
B.
2C.
3
D. 4
2．已知函数
f (x ) 是定义域在R 上的偶函数，且在区间(
, 0) 上单调递减，求满足
f (x
2
2x 3) f (x
2
4x 5) 的x 的集合．
．解：
f (x ) 在R 上为偶函数，在(
,0) 上单调递减
f (x ) 在(0,
) 上为增函数
又
f (x
2
4x 5) f (x
2
4x 5)
x
2
2x 3(x 1) 2
2
0，x 2
4x 5(x 2)
2
10
由
f (x
2
2x 3)
f (x 2
4x 5) 得x 2
2x 3x 2
4x 5
x 1
解集为{x |x 1}.
3. 若f (x)是偶函数，它在
0,
上是减函数, 且f （lgx ）>f(1),则x 的取值范围是（C A. (
11) B. (0，
1110
，10
)
(1，
)
C. (
10
，10) D. (0，1) (10，) 4. 若a 、b 是任意实数，且
a>b,则（
D
a
b
A. a2
>b2
B.
a b
lg a b >0
D.
1
2
12
5. 设a,b,c 都是正数，且3
a
4
b
6c
，则下列正确的是
（B
(A)
111 (B)
221c
a
b
C
(C) 122a
b
C
a
(D)
212b
c a
b
6．对于函数
f x
ax 2
bx b 1（a 0）．
（Ⅰ）当a 1, b
2时，求函数f (x ) 的零点；
（Ⅱ）若对任意实数b ，函数f (x ) 恒有两个相异的零点，求实数
a 的取值范围．
7. 二次函数
y ax
2
bx c 中，a c
0，则函数的零点个数是（
C
）
）
）
）
）
A 0个8．若函数
A ．
B 1个C 2个D 无法确定
f x
1和
x
2
ax b 的两个零点是
2和3, 则函数C ．
g x bx
2
ax 1的零点是（D ）
12
和
2B ．1和2
12
和
13
D ．
13
y 轴对称；④既是
9．下面四个结论：①偶函数的图象一定与
y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于
奇函数又是偶函数的函数一定是f (x ) ＝0（x ∈R ），其中正确命题的个数是（
D
）
A 4
B 3
C 2
D
1
10. 已知函数f(x2
-3)=lgx 2
x
2
6
,
(1)f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性；(3)求f(x)的反函数;
(4)若f[
(x ) ]=lgx,求(3) 的值。
2解：（1）∵f(x2
-3)=lg
(x 3) 3x 3x 2
(x
2
3)
3
, ∴f(x)=lg, 又由
6
得x 2x
3
x
2-3>3,∴f(x)的定义域为（（2）∵f(x)的定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数。（3）由y=lg
x 33(10y
1) (10x
1) 3
, 得x=10
y
1
,
x>3,解得y>0, ∴f -1
3x
(x)=
10
x
1
(x 0)
(4)∵f[
(3) ]=lg
(3) 33(3)
3
lg 3, ∴
(3) (3)
3
3，解得
(3)=6。
11. 下列函数中，同时满足：有反函数，是奇函数，定义域和值域相同的函数是（C ）
x
x
（A ）y=
e
e x 3
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（B ）y=lg
11
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（C ）y=-x
（D ）y=
x
零点问题
3，+）。