数列求和的基本方法和技巧
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：S(n?1)n?
n(a1?an)
2
na1?
n2
d
(q?1)2、等比数列求和公式：Sn
na1?a?qn
1(1)
a?anq?(q?1)
1?q?1
1?qn
n
3、 Sn?
k?
11) 4、S1n?
k2
k?12
(n?k?1
6
(n?1)(2n?1)n
5、 Sn?
k3?[1n(n?12
k?1
2)] [例1] 已知log?13x?
log，求x?x2?x3?????xn????的前n项和.
23解：由log
13
x?
log
2
3
log
3
x??log
3
2?x?
12
由等比数列求和公式得 S23n
n?x?x?x?????x 1
＝
x(1?xn
)2
(1?1n
)
11?x
＝1?
1＝1－
2
n
2
[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求f(n)?
Sn
(n?32)S的最大值.
n?1 解：由等差数列求和公式得 S1n(n?1)， S?
1n?2
n2
(n?1)(n?2) ∴ f(n)?
Sn
(n?32)S＝
nn?1
n2
34n?64
＝
1＝1?
1n?34?
64n
(n?
82
n)?50
50
（利用常用公式） （利用常用公式）
∴ 当
n?
88
，即n＝8时，f(n)max?
150
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和：Sn?1?3x?5x2?7x3?????(2n?1)xn?1………………………①
解：由题可知，{(2n?1)xn?1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn?1}的通项之积
设xSn?1x?3x2?5x3?7x4?????(2n?1)xn………………………. ② （设制错位） ①－②得 (1?x)Sn?1?2x?2x2?2x3?2x4?????2xn?1?(2n?1)xn （错位相减）
1?x
n?1
n
再利用等比数列的求和公式得：(1?x)Sn?1?2x?
(2n?1)x
n?1
n
1?x
(2n?1)x
∴ Sn?[例4] 求数列,
2
4
2
(2n?1)x?(1?x)(1?x)
2
22
,
62
3
,???,2n24
n
2n2
n
,???前n项的和.
12
n
解：由题可知，{
设Sn?
12Sn?
2222
2
}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{
62
3
}的通项之积
2
2
2n2
n
…………………………………①
………………………………② （设制错位）
22
4
4212
3
62
4
22?221
2
2n2?
n?1
①－②得(1?
)Sn?
222n
3
22
n
2n2
n?1
（错位相减）
2? ∴ Sn?4?
n?1 n?1
22n?22
n?1
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1?an).
012nn
[例5] 求证：Cn?3Cn?5Cn?????(2n?1)Cn?(n?1)2
012n
证明： 设Sn?Cn?3Cn?5Cn?????(2n?1)Cn………………………….. ①
把①式右边倒转过来得
Sn?(2n?1)Cn?(2n?1)Cn
n
n?1
3Cn?Cn （反序）
10
又由Cnm?Cnn?m可得
1n?1n
Sn?(2n?1)Cn0?(2n?1)Cn?????3Cn?Cn…………..…….. ②
1n?1nn ①+②得 2Sn?(2n?2)(Cn0?Cn?????Cn?Cn)?2(n?1)?2 （反序相加）
∴ Sn?(n?1)?2n
[例6] 求sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?的值
解：设S?sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?…………. ①
将①式右边反序得
S?sin289??sin288??????sin23??sin22??sin21?…………..② （反序） 又因为 sinx?cos(90??x),sin
2
x?cosx?1
2
①+②得 （反序相加）
2S?(sin1?cos1)?(sin
2
2
2
2?cos2)?????(sin
2?2
89?cos89)＝89
2?
∴ S＝44.5
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n项和：1?1,
解：设Sn?(1?1)?(
1a1a
2
1a
4,
1
2
4)?(
a
1
2
7,???,
1a
n?1
3n?2，… 1
3n?2)
a
7)?????(
a
n?1
将其每一项拆开再重新组合得
Sn?(1?
1a?
1
n?1
当a＝1时，Sn?n?
1?
a
(3n?1)n
2
)?(1?4?7?????3n?2) （分组）
＝
(3n?1)n
2
（分组求和）
1
n
a?(3n?1)n＝a?a1a?12
1?n
当a?1时，Sn?
1?
(3n?1)n
2
a
[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
32
解：设ak?k(k?1)(2k?1)?2k?3k?k
nn
3
∴ Sn?
k(k?1)(2k?1)＝?(2k
k?1
k?1
3k?k)
2
将其每一项拆开再重新组合得
n
3
n
2
n
Sn＝2?k?3?k?
k?1
k?1
k?1
k （分组）
＝2(13?23?????n3)?3(12?22?????n2)?(1?2?????n) n(n?1)
2
2
2
2
＝?
n(n?1)(2n?1)
2
n(n?1)2
（分组求和）
＝
n(n?1)(n?2)
2
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）an?f(n?1)?f(n) （2）
sin1
cosncos(n?1)
(2n)
2
tan(n?1)?tann
（3）an?
1n(n?1)
1
1n
1n?1?1[
（4）an?1
(2n?1)(2n?1)
1?
1
22n?1
(
1
12n?1
)
（5）an?
n(n?1)(n?2)
n?2
1
n
2n(n?1)
1(n?1)(n?2)
1n?2
n?1
]
(6) an?
n(n?1)2
2(n?1)?nn(n?1)
12
n
1(n?1)2
n
,则Sn?1?
1(n?1)2
n
[例9] 求数列
11?
2
,
12?1
3
,???,
1n?n?1?
n?1
,???的前n项和.
解：设an?
n?1
n?1
n （裂项）
则 Sn?
1?2
12?
3
1n?
n?1
（裂项求和）
＝(2?)?(3? ＝n?1?1
2)?????(n?1?n)
[例10] 在数列{an}中，an?
1
1n?1?
2
2n?1
nn?1n
，又bn?
n2
2an?an?1
，求数列{bn}的前n项的和.
解： ∵ an?
∴ bn?
n?1n?1
n?1
2nn?1?221
12
8(
1n
1n?1
) （裂项）
∴ 数列{bn}的前n项和 Sn?8[(1?
＝8(1?
1cos0cos1
1cos0cos1
21
)?(?
13
)?(8n
13
14
)?????(
1n
1n?1
)] （裂项求和）
n?1
) ＝
n?1
1
cos88cos89
1
cos88cos89
[例11] 求证：
解：设S?
1cos1cos2
1cos1cos2
cos1
2
sin1
∵
sin1
cosncos(n?1)
1
tan(n?1)?tann （裂项）
1
∴S?
cos0cos1cos1cos2cos88cos891????????
{(tan1?tan0)?(tan2?tan1)?(tan3?tan2)?[tan89?tan88]} ＝?
sin1
1
（裂项求和）
＝
1sin1
(tan89?tan0)＝
1sin1
cot1＝
cos1
2
sin1
∴ 原等式成立
六、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
∵ cosn??cos(180?n) （找特殊性质项） ∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···
+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和） ＝ 0
[例13] 数列{an}：a1?1,a2?3,a3?2,an?2?an?1?an，求S2002.
解：设S2002＝a1?a2?a3?????a2002
1?解：由于111???
k个119?999?????9????k个119(10k?1) （找通项及特征）
∴ 1?11?111?????111????1 ??
n个1
＝1(10?1)?11(102?1)?1(103?1)?????1(10n?1) （分组求和） 9999
＝112103?????10n
9(10?10?)?1
9(1???1??1?????????1) n个1
110(10n
＝9??1)
10?1?n
9 ＝11
81(10n??10?9n)
[例16] 已知数列{an}：an?8(n?1)(n?3),求?(n?1)(an?an?1)的值.
n?1
解：∵ (n?1)(an?an?1)?8(n?1)[1(n?1)(n?3)?1
(n?2)(n?4)] （找通项及特征）
＝8?[1?1
(n?2)(n?4)(n?3)(n?4)] （设制分组）
＝4?(1
n?2?1)?8(11
n?4n?3?n?4) （裂项）
1?
∴ ?(n?1)(a4?(n?1
n?an?1)??28?(1?1 （分组、裂项求和）
n?1n?1n?4)?
n?1n?3n?4)
＝4?(1
3?1
4)?8?1
4
＝13
3
说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。
7
转载请保留出处，http://www.360docs.net/doc/info-fd8b381ec5da50e2524d7fd8.html
数列求和的基本方法和技巧
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：S(n?1)n?
n(a1?an)
2
na1?
n2
d
(q?1)2、等比数列求和公式：Sn
na1?a?qn
1(1)
a?anq?(q?1)
1?q?1
1?qn
n
3、 Sn?
k?
11) 4、S1n?
k2
k?12
(n?k?1
6
(n?1)(2n?1)n
5、 Sn?
k3?[1n(n?12
k?1
2)] [例1] 已知log?13x?
log，求x?x2?x3?????xn????的前n项和.
23解：由log
13
x?
log
2
3
log
3
x??log
3
2?x?
12
由等比数列求和公式得 S23n
n?x?x?x?????x 1
＝
x(1?xn
)2
(1?1n
)
11?x
＝1?
1＝1－
2
n
2
[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求f(n)?
Sn
(n?32)S的最大值.
n?1 解：由等差数列求和公式得 S1n(n?1)， S?
1n?2
n2
(n?1)(n?2) ∴ f(n)?
Sn
(n?32)S＝
nn?1
n2
34n?64
＝
1＝1?
1n?34?
64n
(n?
82
n)?50
50
（利用常用公式） （利用常用公式）
∴ 当
n?
88
，即n＝8时，f(n)max?
150
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和：Sn?1?3x?5x2?7x3?????(2n?1)xn?1………………………①
解：由题可知，{(2n?1)xn?1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn?1}的通项之积
设xSn?1x?3x2?5x3?7x4?????(2n?1)xn………………………. ② （设制错位） ①－②得 (1?x)Sn?1?2x?2x2?2x3?2x4?????2xn?1?(2n?1)xn （错位相减）
1?x
n?1
n
再利用等比数列的求和公式得：(1?x)Sn?1?2x?
(2n?1)x
n?1
n
1?x
(2n?1)x
∴ Sn?[例4] 求数列,
2
4
2
(2n?1)x?(1?x)(1?x)
2
22
,
62
3
,???,2n24
n
2n2
n
,???前n项的和.
12
n
解：由题可知，{
设Sn?
12Sn?
2222
2
}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{
62
3
}的通项之积
2
2
2n2
n
…………………………………①
………………………………② （设制错位）
22
4
4212
3
62
4
22?221
2
2n2?
n?1
①－②得(1?
)Sn?
222n
3
22
n
2n2
n?1
（错位相减）
2? ∴ Sn?4?
n?1 n?1
22n?22
n?1
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1?an).
012nn
[例5] 求证：Cn?3Cn?5Cn?????(2n?1)Cn?(n?1)2
012n
证明： 设Sn?Cn?3Cn?5Cn?????(2n?1)Cn………………………….. ①
把①式右边倒转过来得
Sn?(2n?1)Cn?(2n?1)Cn
n
n?1
3Cn?Cn （反序）
10
又由Cnm?Cnn?m可得
1n?1n
Sn?(2n?1)Cn0?(2n?1)Cn?????3Cn?Cn…………..…….. ②
1n?1nn ①+②得 2Sn?(2n?2)(Cn0?Cn?????Cn?Cn)?2(n?1)?2 （反序相加）
∴ Sn?(n?1)?2n
[例6] 求sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?的值
解：设S?sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?…………. ①
将①式右边反序得
S?sin289??sin288??????sin23??sin22??sin21?…………..② （反序） 又因为 sinx?cos(90??x),sin
2
x?cosx?1
2
①+②得 （反序相加）
2S?(sin1?cos1)?(sin
2
2
2
2?cos2)?????(sin
2?2
89?cos89)＝89
2?
∴ S＝44.5
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n项和：1?1,
解：设Sn?(1?1)?(
1a1a
2
1a
4,
1
2
4)?(
a
1
2
7,???,
1a
n?1
3n?2，… 1
3n?2)
a
7)?????(
a
n?1
将其每一项拆开再重新组合得
Sn?(1?
1a?
1
n?1
当a＝1时，Sn?n?
1?
a
(3n?1)n
2
)?(1?4?7?????3n?2) （分组）
＝
(3n?1)n
2
（分组求和）
1
n
a?(3n?1)n＝a?a1a?12
1?n
当a?1时，Sn?
1?
(3n?1)n
2
a
[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
32
解：设ak?k(k?1)(2k?1)?2k?3k?k
nn
3
∴ Sn?
k(k?1)(2k?1)＝?(2k
k?1
k?1
3k?k)
2
将其每一项拆开再重新组合得
n
3
n
2
n
Sn＝2?k?3?k?
k?1
k?1
k?1
k （分组）
＝2(13?23?????n3)?3(12?22?????n2)?(1?2?????n) n(n?1)
2
2
2
2
＝?
n(n?1)(2n?1)
2
n(n?1)2
（分组求和）
＝
n(n?1)(n?2)
2
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）an?f(n?1)?f(n) （2）
sin1
cosncos(n?1)
(2n)
2
tan(n?1)?tann
（3）an?
1n(n?1)
1
1n
1n?1?1[
（4）an?1
(2n?1)(2n?1)
1?
1
22n?1
(
1
12n?1
)
（5）an?
n(n?1)(n?2)
n?2
1
n
2n(n?1)
1(n?1)(n?2)
1n?2
n?1
]
(6) an?
n(n?1)2
2(n?1)?nn(n?1)
12
n
1(n?1)2
n
,则Sn?1?
1(n?1)2
n
[例9] 求数列
11?
2
,
12?1
3
,???,
1n?n?1?
n?1
,???的前n项和.
解：设an?
n?1
n?1
n （裂项）
则 Sn?
1?2
12?
3
1n?
n?1
（裂项求和）
＝(2?)?(3? ＝n?1?1
2)?????(n?1?n)
[例10] 在数列{an}中，an?
1
1n?1?
2
2n?1
nn?1n
，又bn?
n2
2an?an?1
，求数列{bn}的前n项的和.
解： ∵ an?
∴ bn?
n?1n?1
n?1
2nn?1?221
12
8(
1n
1n?1
) （裂项）
∴ 数列{bn}的前n项和 Sn?8[(1?
＝8(1?
1cos0cos1
1cos0cos1
21
)?(?
13
)?(8n
13
14
)?????(
1n
1n?1
)] （裂项求和）
n?1
) ＝
n?1
1
cos88cos89
1
cos88cos89
[例11] 求证：
解：设S?
1cos1cos2
1cos1cos2
cos1
2
sin1
∵
sin1
cosncos(n?1)
1
tan(n?1)?tann （裂项）
1
∴S?
cos0cos1cos1cos2cos88cos891????????
{(tan1?tan0)?(tan2?tan1)?(tan3?tan2)?[tan89?tan88]} ＝?
sin1
1
（裂项求和）
＝
1sin1
(tan89?tan0)＝
1sin1
cot1＝
cos1
2
sin1
∴ 原等式成立
六、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
∵ cosn??cos(180?n) （找特殊性质项） ∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···
+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和） ＝ 0
[例13] 数列{an}：a1?1,a2?3,a3?2,an?2?an?1?an，求S2002.
解：设S2002＝a1?a2?a3?????a2002
1?解：由于111???
k个119?999?????9????k个119(10k?1) （找通项及特征）
∴ 1?11?111?????111????1 ??
n个1
＝1(10?1)?11(102?1)?1(103?1)?????1(10n?1) （分组求和） 9999
＝112103?????10n
9(10?10?)?1
9(1???1??1?????????1) n个1
110(10n
＝9??1)
10?1?n
9 ＝11
81(10n??10?9n)
[例16] 已知数列{an}：an?8(n?1)(n?3),求?(n?1)(an?an?1)的值.
n?1
解：∵ (n?1)(an?an?1)?8(n?1)[1(n?1)(n?3)?1
(n?2)(n?4)] （找通项及特征）
＝8?[1?1
(n?2)(n?4)(n?3)(n?4)] （设制分组）
＝4?(1
n?2?1)?8(11
n?4n?3?n?4) （裂项）
1?
∴ ?(n?1)(a4?(n?1
n?an?1)??28?(1?1 （分组、裂项求和）
n?1n?1n?4)?
n?1n?3n?4)
＝4?(1
3?1
4)?8?1
4
＝13
3
说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。
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